必修五不等式专题附加答案解析
不等式专题
一共分为6部分 1.不等关系与不等式 2.一元二次不等式及其解法 3.二元一次不等式组与平面区域 4.线性规划与实际应用 5.线性规划与基本不等式 6.不等式综合复习
第一部分不等关系与不等式
实数的符号：
任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>；
0,00a b a b <
②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>?>；
0,00a b ab <
③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >
0x R x ∈?≥，2
00x x =?=. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->?>； ②0b a b a -
对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
1、某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为
218m ，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：
（1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过2
180m ；
（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有：
**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤??+????? 即*
*600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤??+?
????
此即为所求满足题意的不等式组
1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5
(80.2)0.1
x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
2.5
(80.2)200.1x x --
?≥
2、某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析：设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．
根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t 矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 用下面的关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可，
91066836004,07,x y x y x x y x +≤???+?≥??
≤≤∈??≤≤∈?N N ，即9
543004,07,x y x y x x y x +≤??+≥?
?≤≤∈??≤≤∈?N N
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：
(1) 对称性：a>b bb, b>c a>c ? (3) 可加性：a b a c b c >?+>+ (c ∈R)
(4) 可乘性：a>b ，??
?
???>bc ac c bc ac c bc ac c 000
运算性质有：
(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>?+>+
(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>??>? (3) 可乘方性：*
0,0n n
a
b n N a b >>∈?>>
(4) 可开方性：a b 0,n N ,n 1+
>>
∈>?
>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据
1、对于实数a,b,c 判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac
a 1>b
1
, 则a>0, b<0． 【解析】
（１）因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小，故原命题为假命题。 （２）因为ac 2>bc 2, 所以c ≠0, 从而c 2>0，故原命题为真命题。 （３）因为??
?<<0
a b
a ，所以a 2>a
b ①
又??
?<<0
b b
a ，所以ab>
b 2 ②
综合①②得a 2>ab>b 2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为???
??>>b a b
a 11 ，所以0110a
b a b
->???->??
所以???
??>-<-00ab
a b a b ，从而ab<0
又因a>b ，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
2、船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
【解析】设甲地与乙地的距离为S ，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间22
2S S uS t u v u v u v
=
+=+--
平均速度22
2S u v u t u
-==，
∵222
0u v v u u u u u
--=-=-< ， ∴ u u <
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。
1、若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；
(2)
0a b
d c
+<；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·
(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )． C
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、若a >>和均不成立 B.1111a-b a |a ||b | >>和均不成立 C. 221111 a ( b a b a b a >+>+-和(均不成立 D. 221111(a (b+)|a ||b |b a >+>和均不成立 【解析】特殊值法： a b 0,<<∴取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B. 3、甲乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a 行走一半路程，用速度b 行走另一半路程，若a b ≠，试判断哪辆车先到达B 地. 【解析】设从A 到B 的路程为S ，甲车用的时间为1t ，乙车用的时间为2t ， 则 1112211,,(),22222t t S S S S a b S t t a b a b a b +=∴==+=++ 222S S 112S ()S 4S ()S ()S 0222()2() a b ab a b a b a b a b a b ab ab a b ab a b ??===-< ???＋－＋－－＋－＋＋＋＋ 所以，甲车先到达B 地。 作差法： 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。 ①0b a b a ->?>； ②0b a b a - 任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较 a b 与1的关系，进一步比较a 与b 的大小。 ① 1b a a b >?>； ②1b a a b a b =?=. 中间量法： 若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论。 要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。 1、 已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小． 【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。 【解析】∵2 22()a b c ab bc ca ++-++ = 2221 [()()()]02 a b b c c a -+--≥， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 2、已知a b >(0ab ≠), 试比较 1a 和1 b 的大小。 【解析】 11b a a b ab --=， ∵a b >即0b a -<， ∴当0ab >时 0b a ab -<，11 a b <； 当0ab <时0b a ab ->，11 a b >. 3、已知：a 、b R +∈, 且a b ≠,比较a b b a a b a b 与的大小. 【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法. 【解析】 ∵a 、b R + ∈ ，∴0a b a b >，0b a a b > 作商：()()()()()a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --=== （*） (1)若a>b>0, 则1>b a ，a-b>0, 1)(>-b a b a , 此时a b b a a b a b >成立； (2)若b>a>0, 则10<-b a b a , 此时a b b a a b a b >成立。 综上，a b b a a b a b >总成立。 1、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)2 6+ （2 ）2 2 1)； （3 ； （4）当0a b >>时，12 log a 12 log b . 【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜ 2、比较下列两代数式的大小： （1）(5)(9)x x ++与2 (7)x +；（2）2 2222a b ab +-与223a b +-. 【答案】 （1）2(5)(9)(7)x x x ++<+ （2）2 2(222)(223)a b ab a b +--+- 2222(21)(21)(2)1a a b b a ab b =-++-++-++ 222(1)(1)()110a b a b =-+-+-+≥>， ∴2 2222223a b ab a b +->+-. 3、已知a 0,b>0a b >≠且，比较 22 a b a b b a ++与的大小 【答案】22 ()a b a b b a +-+（ 3322 2() 2()(()()0 a b a b ab a a b b a b ab a b a b ab +=-+-+=++-=> 22 .a b a b b a ∴+>+ 4、已知a b c 、、为互不相等的正数，求证：2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c .+++> 【答案】a b c 、、为不等正数，不失一般性，设a b c 0,>>> 这时2a 2b 2c a b c 0>，b c c a a b a b c 0+++>，则有： 2a 2b 2c (a b)(a c)(b c)(b a)(c a)(c b) a b b c c a b c c a a b a b c a b c a b c ()()()a b c b c a -+--+--+----+++== a b c 0>>> a b c 1,a b 0;1,b c 0;01,c-a<0b c a ∴>->>-><< 由指数函数的性质可知：a b b c c a a b c ()1,()1,()1b c a --->>> 2a 2b 2c b c c a a b a b c 1a b c +++∴>，即2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c +++> 1．已知0＜a ＜1，log log a a x =+1 log 52 a y =，log log a a z =，则( ) A ．x ＞y ＞z B ．z ＞y ＞x C ．y ＞x ＞z D ．z ＞x ＞y 2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ） A.120/d 10m v km h ≤≥或 B.120/10v km h d m ≤??≥? C. 120/v km h ≤ D.10d m ≥ 1．【答案】 C 【解析】 ∵ log log log a a a x ==， 1 log 5log 2 a a y ==， log log log a a a z ==0＜a ＜1知，函数f (x )＝log a x 为减函数，∴y ＞x ＞z .故选C. 2．【答案】B 【解析】依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为120/d 10m v km h ≤≥，注意这两个不等式要同时成立 3．已知a,b,c ∈R,则下面推理中正确的是( ) A 、a>b ? am 2>bm 2 B 、c b c a > ?a>b C 、a 3>b 3, ab>0? b a 11< D 、a 2>b 2, ab>0?b a 11< 4．若x+y>0,a<0,ay>0，则x-y 的值为( ) A 、大于0 B 、小于0 C 、等于0 D 、符号不确定 3．【答案 】 C 【解 析 】用淘 汰法 . (A)中若 m=0不成立；(B)中若 c<0，不成立；(C)中 a 3- b 3>0 (a-b)(a 2+ab+b 2)>0. ∵a 2+ab+b 2>0恒成立， 故 a-b>0. ∴a>b ， 又 ∵ab>0 ， ∴a 1< b 1 (D)中a 2>b 2 (a+b)(a-b)>0，不能说明a>b ，故本题应选(C ). 4． 【答案】A 【 解析】用直 接 法 . ∵a<0 ， ay>0 y<0， 又 ∵x+y>0 x>0 ， ∴x-y=x+(-y)>0.故本题应选(A ). 5．已知0x y a 1<<<<，则有（ ） A 、a log (xy)0< B 、a 0log (xy)1<< C 、a 1log (xy)2<< D 、a log (xy)2> 6．若a b 、是任意实数，且a b >，则（ ） A 、 22a b > B 、 b 1a < C 、lg(a b)0-> D 、 a b 11 ()22<（） 5．【答案】D 【解析】∵0＜x ＜y ＜a ＜1，∴0＜xy ＜1，故log a (xy)＞0，排除A ， 又xy ＜y ＜a ，故log a (xy)＞log a a ＝1，排除B ， ∵log a (xy)＝log a x ＋log a y ＞log a a ＋log a a ＝1＋1＝2，故选D. 6．【答案】D 【解析】∵a ＞b 且y ＝x ? ?? ??21为单减函数，故b a ? ? ? ????? ??2121＜，故选D ， 因不知道a ，b 的正负，故可排除A 、B 、C 选项. 7．下列命题中的真命题为 （１）若a>b, 则ac 2>bc 2； （２）若a ； （４）若a b <1； （５）若c>a>b>0，则 a c a -＞b c b -． 7．【答案】（4）（5） 【解析】 （１）∵c 2≥0，当c=0时ac 2=bc 2=0，故原命题为假命题. （２）举特例-2<-1<0但- 2 1 >-1，故原命题为假命题. （３）由于a ??>->->->-01 10 a b b a ，∴a b b a >，故原命题为假命题. （４）∵a ||| |a b ＜１，∴a b ＜１，故原命题为真命题． （５）∵c>a>b>0，∴? ? ?>-<-a c b a ，∴c-b>c-a>0，∴a c -1＞b c -1＞0， 又∵a>b>0 ，∴ a c a -＞b c b -，故原命题为真命题． 1.若α，β满足2 2 π π αβ- <<< ，则2α－β的取值范围是 2．若实数,44,643,,2 2 +-=-+-=+a a c b a a c b c b a 满足试确定c b a ,,的大小关系 1．【答案】3222ππ αβ-<-<.【解析】 ∵2 2 π π α- << ，又2 2 π π β- <-< ，且α<β， ∴－π<α－β<0，∴3222 ππ αβ-<-<. 2．【答案】a c b >≥【解析】由已知2(2)0b c a b c -=-≥?≥， 2 22 346144b c a a c a b c a a ?+=-+??=+?-=-+??由 ∴2 2131(024c a a a a c a -=+-=-+>?> 综上所述，a c b >≥ 3．已知222 a a a a a x a,M log x ,N log (log x),P=(log x),<<==则M 、N 、P 的大小顺序是 . 4．设b a b m a n a b 0,m 0,n 0,, ,, a b a m b n ++>>>>++则由小到大的排列顺序是 3．【答案】 M P N ∴>>【解析】2a x a << ，2a a ∴<，0a 1∴<< ，20a x a 1 ∴<<<<， a 1log x<2∴ M P N ∴>> 4．【答案】b b m a n a a a m b n b ++<<<++【解析】特殊值法：对a 、b 、m 、n 分别取特殊值， 比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得b b m a n a a a m b n b ++<<<++. 5.某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【解析】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆． 根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t 矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 用下面的关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可， 91066836004,07,x y x y x x y x +≤???+?≥?? ≤≤∈??≤≤∈?N N ，即9543004,07,x y x y x x y x +≤??+≥? ?≤≤∈??≤≤∈?N N 6.已知0a >,且1a ≠，m n 0>>，比较m m 1A=a a + 和n n 1B a a =+的大小. 【解析】m n m n m n m n m n m n m n 1111(a a )(a 1)A B=a )(a )(a a )()a a a a a ++---+-+=-+-= （, m n a 0a 0+>∴> 当1a >时， m>n>0，m n a a ∴> ，m n 0a a 1+>= ，A B 0∴->即A B >. 当01a <<时， m n a a <，m n 0a a 1+<=，A B 0∴->即A B > 综上A B.> .7.设x>0且x ≠1，比较1+log x 3与2log x 2的大小. 解析】作差：(1log 3)2log 2x x +-3log 3log 4log 4 x x x x x =-= (1) 当??? ??<<<<14301 0x x ， 即0 x >，此时，1log 32log 2x x +>. (2) 当01 ,314 x x x < ∈??>?? (3) 当时即341143 01 ≤ ? ??≤<>x x x 3log 04x x ≤, 此时1log 32log 2x x +≤，其中34=x 时取等号. (4) 当??? ??>>14 31 x x 即34>x 时，3log 04x x >，此时1log 32log 2x x +> 综上所述，当0＜x ＜1或x ＞ 34时，1＋log x 3＞2log x 2；当1＜x ＜34时，1＋log x 3＜2log x 2；当x ＝3 4 时，1＋log x 3＝2log x 2. 8.已知2 2 π π αβ- ≤<≤ ，求 2 αβ +， 2αβ -的取值范围． 【解析】 因为22 π π αβ- ≤<≤ ，所以4 2 4 π α π - ≤ < ，4 2 4 π β π - < ≤ . 两式相加，得22 2 π αβ π +- < < . 因为4 24 π βπ - < ≤ ，所以4 2 4 π β π - ≤- < ， 则222 παβπ--≤<. 又α＜β，所以02 αβ -<， 则02 2 π αβ -- ≤ <. 第二部分一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 1.一元二次不等式及其解法 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：2 50x x -<.一元二 次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或2 ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式2 0ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立 2.一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42 -=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关 系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 24b ac ?=- 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图 象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异 实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- ==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或?? ?? ??-≠a b x x 2R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? （1）一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2 与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式2 0ax bx c ++>与2 0ax bx c ++<的解集. 3.解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程2 0ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0?=时，求根a b x x 221-==； ③0?<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的过程 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系 数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 【解析】 （1）方法一： 因为2(5)410250? =--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数 25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二： 250(5)0x x x x -???- 50 x x ? 解得05x x >??? ，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2 440 x x -+=的解为1 22x x ==. 函数 244y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2 244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2 245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 【总结升华】 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 【变式1】已知函数222,0, ()2,0 x x x f x x x x ?+≥?=?-+ 【答案】由题意知2 0,23 x x x ≥??+>?或2 0,23, x x x -+>? 解得：x ＞1. 故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 【变式2】解不等式2230x x -+-> 【答案】整理，得2 230x x -+<. 因为0?<，方程2 230x x -+=无实数解， 所以不等式2 230x x -+<的解集是?. 从而，原不等式的解集是?. 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax ≤-a 2+1； （2）x 2-ax+1>0； （3）x 2-(a+1)x+a<0； 【思路点拨】 解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】 (1) 2 2210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤?---+≤?-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4 }2 2当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2 a x x ≠. 当Δ<0，即-2 当a>1时，原不等式的解集为{x|1 【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： ①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； ②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 【答案】原不等式化为0)1 )((<--a x a x ①a=1或a=-1时，解集为?； ②当0 1< ，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a>1或 -1 {|}x x a a <<. 【变式2】解关于x 的不等式：223 ()0x a a x a -++>（a R ∈） 【答案】2 232()0()()0x a a x a x a x a -++>?--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{| 0}x x ≠； 当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{| 1}x x ≠； 例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式?－x+1＜0?x ＞1； 若a ＜0，原不等式?211(10x x a a -++>11 ()(1)0x x x a a ?-->?<或x ＞1； 若a ＞0，原不等式?2 111(1)0(1)0x x x x a a a -++ 其解的情况应由1 a 与1的大小关系决定，故 （1）当a=1时，原不等式?x ∈?； （2）当a ＞1时，原不等式?1 1x a <<； （3）当0＜a ＜1时，原不等式?11x a << 综上所述： 当a ＜0，解集为1 {| 1}x x x a <>或； 当a=0时，解集为{x|x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a <<； 当a=1时，解集为?； 当a ＞1时，解集为1 {| 1}x x a <<. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”. 【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a ≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,1 21== x a x ①当a>0时， 若210>>a a ，， 即210< []2,(+∞-∞∈a x ； 若210＝，a a >， 即21 =a 时，x ∈R ； 若210<>a a ，， 即21>a 时，),2[]1 ,(+∞-∞∈ a x . ②当a<0时，则有：21 [，a x ∈. 【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0； 【答案】当a=0时，)2 1 ,(-∞∈x . 当a ≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，11,11(a a a a x ++-+--∈. ②a<0时， 若a<0，△<0， 即a<-1时，x ∈R ； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x ∈R 且x ≠1； 若a<0，△>0， 即 -1 (+∞+--++--∞∈a a a a x . 【变式3】求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 【答案】 当a ＞0时，不等式的解集为{| -}43 a a x x x <>或； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为{| -}34 a a x x x <>或. 类型三：一元二次不等式的逆向运用 例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式2 10nx mx +->的解集. 【思路点拨】 由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程2 0x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得. 【解析】由题意可知方程2 0x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ?=- ∴9m =-，20n =- ∴ 210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++< (41)(51)0x x ++<，解得11 45 x -<<-， 故不等式2 10nx mx +->的解集为11(,)45 --. 【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3 【答案】由不等式的解集为{x|-3 由根与系数关系得???????-=?-=-=+-=-62)3(a 12123a b 解得a=-2, b=-2. 【变式2】已知2 20ax x c ++>的解为11 32 x - <<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【答案】由韦达定理有：11232a -+=-，1132c a -?=，∴12a =-,2c =. ∴代入不等式2 20cx x a -+->得222120x x -++>， 即2 60x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式2 20cx x a -+->的解集为：(2,3)-. 【变式3】已知关于x 的不等式2 0x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式2 10bx ax ++>的解集. 【答案】由韦达定理有：1212a b -=+?? =??，解得32 a b =-??=?, 代入不等式2 10bx ax ++>得 22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得1 2 x < 或1x >. ∴2 10bx ax ++>的解集为：1 (,)(1,)2 -∞+∞. 类型四：不等式的恒成立问题 例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立， 求实数a 的取值范围． 【思路点拨】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【解析】原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立， 显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2， 从而有2 20, 44(2)(1)0. a a a +>?? ?=-+- 整理，得2,(2)(3)0.a a a >-???=-+>? 解得a ＞2. 故a 的取值范围是(2，＋∞)． 【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论 . 【变式1】已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】 (1)当m 2+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x 成立，符合题意. 若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去. (2)当m 2+4m-5≠0即 m ≠1且m ≠-5时， 由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3开口向上，且与x 轴无交点， 所以?????<-+--=?>-+0 )5m 4m (12)1m (160 5m 4m 2 22， 即???<<-<>19 m 15m 1m 或， ∴ 1 综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤ m<19}. 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 《不等式专题》 第一讲：不等式的解法 知识要点： 一、不等式的同解原理： 原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。 二、一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。 二次函数 （） 的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注意： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三 种情况，得到一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠与20(0)ax bx c a ++<≠的解集。 三、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。 数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过” 四、分式不等式的解法： （1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。 （2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化： ()()()()() ()()()()()()()()() ()()()()000;0.0000;0.0 f x g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ?≥?>??>≥??≠??≤?>?>><>?>>><>?<-><>?-<<>?<->?>或或 对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用 培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 高二数学（必修5不等式）专题练习 班级 姓名 一、选择题 1．若a>0，b>0，则不等式－b< 1 x 1b D.x<1b －或x>1a 2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ） A 、2b a ab 122+<< B 、2b a 1ab 2 2+<< C 、12 b a ab 22<+< D 、1ab 2b a 2 2<<+ 3．二次方程22 (1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << ( ) 4．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2 x π∈ C ．2 y = D ．1y x =- 5．下列结论正确的是 （ ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大值 6．已知函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则 a 的取值范围是A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,3 ( ) 7．不等式组1 31y x y x ≥-???≤-+?? 的区域面积是 ( ) A ．12 B ．32 C ．5 2 D ．1 8．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ．32 B ．21 C ．2 D ．2 3 9、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，则2x y +的最小值是（ ） Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10 10．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式 250bx x a -+>的解集为 A 、11{|}32 x x -<< B 、11 {|}32 x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 ( ) 二、填空题 11．设函数23 ()lg()4 f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。 12．已知x ＞2，则y ＝2 1 -+x x 的最小值是 ． 13．对于任意实数x ，不等式23 208 kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是 14、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。 15．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质. (2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注： 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值； （2）若 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值. 变式1：若 变式2： 变式3：求函数 类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值 变式1：求函数 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 不等式专题 一共分为6部分 1.不等关系与不等式 2.一元二次不等式及其解法 3.二元一次不等式组与平面区域 4.线性规划与实际应用 5.线性规划与基本不等式 6.不等式综合复习 第一部分不等关系与不等式 实数的符号： 任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>； 0,00a b a b <>?>； 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >?>； ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 1、某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为 218m ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过2 180m ； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： **1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤??+????? 即* *600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤??+? ???? 此即为所求满足题意的不等式组 1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5 (80.2)0.1 x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5 (80.2)200.1x x -- ?≥ 2、某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解析：设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆． 根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t 矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 用下面的关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可， 91066836004,07,x y x y x x y x +≤???+?≥?? ≤≤∈??≤≤∈?N N ，即9 543004,07,x y x y x x y x +≤??+≥? ?≤≤∈??≤≤∈?N N 必修五不等式综合 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除， 但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 练习一、： （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21 log log 21+t t a a 和的大小 （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积 必修五-不等式知识点 汇总 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 1 1 a b c ++≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ． 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 《不等式》专题复习 知识回顾 一．不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则： ? (同向同正可乘) (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小： 作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 ] 二．解不等式 1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集： 2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 ()()()如：x x x +--<112023 ； 3、分式不等式的解法（转化为常规不等式） ()()0()() 0()()0; 0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理 4、不等式的恒成立问题： 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 。 三、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件 ②线性目标函数 ③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解： 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； \ （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 四．均值不等式 1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： ① a+b ≥ab 2； ②ab ≤2 2?? ? ??+b a , 当且仅当a=b 时取等号. 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为 定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． ) （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 3.常用不等式有： （12222211 a b a b ab a b ++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，2 22a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等 号）； 基本不等式的应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a,，则ab b a 22 2 (2)若R b a,，则2 2 2 b a ab （当且仅当b a 时取“=”）2. (1) 若* ,R b a ，则 ab b a 2 (2) 若 * ,R b a ，则a b b a 2（当且仅当 b a 时取“=”） (3)若 * ,R b a ，则2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”） 3.若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”） 若0x ，则11122-2x x x x x x 即或 (当且仅当b a 时取“=”） 4.若0ab ，则2a b b a (当且仅当b a 时取“=”）若0ab ，则 22-2a b a b a b b a b a b a 即 或 (当且仅当b a 时取“=”） 5.若R b a,，则2 ) 2 (2 2 2 b a b a （当且仅当b a 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋ 1 x 解：（1）y ＝3x 2 ＋ 1 2x 2≥23x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x · 1x ＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋ 1x = －（－x －1 x ）≤－2x · 1x =－2 ∴值域为（－∞，－ 2]∪[2，+∞） 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54 x ，求函数142 45 y x x 的最大值。 解：因45 0x ，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45 x x 不是常数，所以对42x 要进行拆、凑项， 5,5 404 x x ， 1142 5 43 45 5 4y x x x x 231 当且仅当15454x x ，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max 1y 。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。必修五-不等式知识点总结
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