第七章无穷级数教案
高等数学课程教案
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(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
高数第七章无穷级数知识点
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< §7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ； 10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 激励职能案例：三林肯电气公司的激励制度 工商81001 郁文超36 第一问解析： 一激励-保健双因素理论 所谓激励因素：包括工作本身、认可、成就和责任，这些因素涉及对工作的积极感情，又和工作本身的内容有关。这些积极感情和个人过去的成就，被人认可以及担负过的责任有关，它们的基础在于工作环境中持久的而不是短暂的成就。 所谓保健因素：包括公司政策和管理、技术监督、薪水、工作条件以及人际关系等。这些因素涉及工作的消极因素，也与工作的氛围和环境有关。也就是说，对工作和工作本身而言，这些因素是外在的，而激励因素是内在的，或者说是与工作相联系的内在因素。 公司自1958年开始一直推行职业保障政策，从那时起，无论是经济萧条还是社会不景气他们没有辞退过一名员工。从中可以看出林肯公司给员工带来的工作安全感与稳定性，从这方面大大激励员工努力工作，乐于在林肯公司工作。 二期望理论 所谓期望理论是指以三个因素反映需要与目标之间的关系的，要激励员工，就必须让员工明确：(1)工作能提供给他们真正需要的东西；(2)他们欲求的东西是和绩效联系在一起的；(3)只要努力工作就能提高他们的绩效。这种需要与目标之间的关系用公式表示即：激励力=期望值×效价这种需要与目标之间的关系用过程模式表示即：“个人努力—→个人成绩（绩效）—→组织奖励（报酬）—→个人需要” 在林肯公司在过去的56年中，平均奖金额是基本工资的95.5%，该公司中相当一部分员工的年收人超过10万美元。近几年经济发展迅速，员工年均收人为44000美元左右，远远超出制造业员工年收入17000美元的平均水平，这些丰厚的工作报酬和较好的职业保障，都是激励员工的不错方法。 三公平理论 所谓公平理论是指：人的工作积极性不仅与个人实际报酬多少有关，而且与人们对报酬的分配是否感到公平更为密切。人们总会自觉或不自觉地将自 高数第七章无穷级 数知识点 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1 n n U 与 ∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 激励职能习题 一、选择题 1、（）主张对激励进行针对性的刺激，只看员工的行为及其结果之间的关系，而不是突出激励的内容和过程。 A、激励的强化理论 B、激励的过程理论 C、期望理论 2、处于需要最高层次的是（）。 A、生理的需要 B、安全的需要 C、感情的需要 D、尊重的需要 E、自我实现的需要 3、下列不属于激励的过程理论的是（）。 A、强化理论 B、需要层次理论 C、期望理论 D、公平理论 4、提出期望理论的是（）。 A、马斯洛 B、卢因 C、弗鲁姆 D、亚当斯 5、提出公平理论的是（）。 A、马斯洛 B、卢因 C、弗鲁姆 D、亚当斯 6、某公司对其员工的工作条件进行了改善，这是为了更好地满足员工的（）。 A、生理的需要 B、安全的需要 C、感情的需要 D、尊重的需要 E、自我实现的需要 7、从期望理论中，我们得到的最重要的启示是（）。 A、目标效价的高低是激励是否有效的关键 B、期望概率的高低是激励是否有效的关键 C、存在着负效价，因引起领导者注意 D、应把目标效价和期望概率进行优化组合 8、期望理论的关键是，正确识别个人目标和判断三种联系，下列选项不属于这三种联系的是（）。 A、努力与绩效的关系 B、奖励与个人目标的联系 C、努力与个人目标的联系 D、绩效与奖励的联系 9、根据双因素理论，下列选项中（）不属于激励因素。 A、成就 B、地位 C、责任 D、承认 10、下列关于强化理论的说法正确的是（）。 A、强化理论是美国心理学家马斯洛首先提出的 B、所谓正强化就是惩罚那些不符合组织目标的行为，以使这些行为削弱直至消失 C、连续的、固定的正强化能够使每一次强化都起到较大的效果 D、实施负强化，应以连续负强化为主 11、为了激发员工内在的积极性，一项工作最好授予（）。 A、能力远远高于任务要求的人 B、能力远远低于要求的人 C、能力略高于任务要求的人 D、能力略低于任务要求的人 12、需要层次理论认为，人的行为决定于（）。 A、需求层次 B、激励程度 C、精神状态 D、主导需求 13、A、B两人都是同一个企业的职工，两人横向比较结果是Qa/I a﹤Qb/Ib，则B可能的表现是（）。 A、要求增加报酬 B、自动减少投入以达到心理上的平衡 C、离职 D、没有任何改变 14、中国企业引入奖金机制的目的是发挥奖金的激励作用，但目前，许多企业的奖金已经成为工资的一部分，奖金变成了保健因素，这说明（）。 A、双因素理论在中国不怎么适用 B、保健和激励因素的具体内容在不同国家是不一样的 C、防止激励因素向保健因素转化为管理者的重要责任 D、将奖金设计成为激励因素本身就是错误的 15、企业中，常常见到员工之间在贡献和报酬上会相互参照攀比，你认为员工最可能将哪一类人作为自己的攀比对象（）。 A、企业的高层管理人员 B、员工们的顶头上司 C、企业中其他部门的领导 D、与自己处于相近层次的人 16、关于激励的对象，叙述不正确的是（）。 A、主要对象是人 B、正确认识激励的对象，有助于体现领导的管理学职能 C、激励的对象不受影响 D、通过认识激励的对象，可以明白需要是人类行为的基础 17、敢于激励与行为之间的关系，叙述正确的是（）。 A、未得到的需要是产生激励的起点，进而导致某种行为 B、激励是组织中人的行为的动力 C、无激励的行为，是盲目而无意识的行为 D、有激励而无效果的行为，说明激励的机理出现了问题 18、要通过激励促成组织中人的行为的产生，取决于某一行动的（）。 微积分第七章无穷级 数 第七章无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本 性质和收敛的必要条件。 （2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。 （3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4）会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10）掌握函数?Skip Record If...?的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成傅氏级数，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和 的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数?Skip Record If...?收敛于和s，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为ks．(证明) 性质2：若级数?Skip Record If...?、?Skip Record If...?分别收敛于和s、σ，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为s±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数?Skip Record If...?收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件: 第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[] ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。 第七章 无穷级数(无穷离散量之和的数学模型) 无穷级数的理论在高等数学中占有重要地位。它是与数列、极限密切相关的一个概念，它几乎与微积分同时诞生，牛顿就曾把二项式级数作为研究微积分的工具；为了解决微积分诞生时混乱的逻辑基础，拉格朗日也曾试图用无穷级数重建微积分理论，但由于当时对无穷级数认识的粗糙性，均未获成功。无穷级数之所以难以捉摸是由于它与无穷（或无限）纠缠在一起。随着运动和变量进入数学，无穷这个孪生鬼怪也同时降生，当时的数学家尽量避免无限，免得像阿基里斯追不上兔子一样困惑恼人。直到19世纪中叶，才由大数学家Cauchy 揭开了无限的面纱，建立起无穷级数的严格理论。 所谓无穷级数就是无穷多个数或函数之和，它是研究无限离散量之和的数学模型，是人们认识客观事物间数量关系的一个很重要的数学工具，是数学分析的重要内容之一，是现代数学的重要方法已被广泛应用到了数学自身，以及自然科学和社会科学的各个领域。它是高等数学中研究函数性质的一个重要工具，它可以表达一个函数（或数），也可以将一些复杂的量表示成简单量的无穷和，从而得到复杂量实用的近似计算公式。我们将利用无限与有限的辩证关系，以极限为工具建立级数理论。 我们将级数分为两大类来研究，常数项级数（也简称为数项级数）和函数项级数，我们先介绍数项级数。 §1 常数项级数的概念与性质 一、数项级数的概念 1、实例 已知线段AB ，设其长为S ，取A 1为AB 的中点，A 2为A 1B 的中点，…，依次取下去，A n 为A n-1B 的中点，则n 可无限增大，记各线段长度为 ,,,,,122111 n n n a A A a A A a AA ===- 则得各部分线段的长度数列 ,,,,21n a a a ， 其中S a n n 2 1=. 将这无穷多个数依次用加号连接，得到的应是线段的总长度表达式 ++++=n a a a S 21. 这里出现了无穷多个数依次相加的式子，在物理、化学等许多学科中，常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上给出其定义，即 2、定义1 设有数列}{n u ，则称式子 ++++n u u u 21 为（常数项）无穷级数，简称为（数项）级数，其中依次叫做级数的第1项，第2项，…，u n 又叫做级数的一般项或 通项，利用通项级数可简记为∑∞ =1 n n u ，即 ++++=∑∞ = n n n u u u u 211 . (1) 例如 +++++n 21814121——等比(或几何)级数， n n u 2 1=，即有 ∑=∞=121,21,,81,41,21n n n . ++++n 21 ， n u n =， 即有 ∑=++++= n n n n 1 21 . +-+-1111———波尔察诺级数， 1)1(+ -=n n u ， 即有 ∑-=+-+-∞=+1 1)1(1111n n . 注 我们只有有限多个数相加的定义，并没有无穷多个数相加的定义，因而上述定义只是形式上的定义，例如波尔察诺级数： 习题7.1(A) 1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。 解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)； (2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。 2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D -- 并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。 解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限； C 点在第8卦限； D 点在第3卦限。 (1) A =(4,3,5)- (2) A 到x = A 到y = A 到z 5=； (3) A 到坐标面xy 5=； A 到坐标面yz 4=； A 到坐标面xz 3=。 3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。 解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即 22 222 2(4)1(7 )35(2 )z z 两边平方, 解得149z , 于是所求点为14(0,0,)9 M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。 解 由2 2 2 2000()()()x x y y z z R ，得 2 222(1())(113())(12)R 则3R ，从而球面方程为 2 2 2 2(1)(3)(2)3x y z 5、下列各题中方程组各表示什么曲线？ (1) 2248, 8; x y z z (2) 22 25, 3;x y z x (3) 22 2 4936, 1; x y z y (4) 2244, 2. x y z y 解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。 6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。 (1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=； (2) 2 2 2 2 2 2 0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。 解 (1)、(2)题的图如下： (1)题图 (2)题图 7、由上半球面 224 z x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上 的投影区域。 解 将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组 2 22 2 43() z x y z x y 在该方程组中, 消去z , 得到2 2 1x y . 这是准线为 221 x y z , 母线平行于z 轴 的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2 21x y . 习题7.1(B) 1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。 (1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；第7章 多元函数微分学
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