实数知识点及其运算

能力测试点1 实数及其运算

考纲知识解读

1．正确理解实数的有关概念；

2．掌握用科学记数法表示一个数，会求近似数与有效数字；

3．借助数轴理解相反数、绝对值、算术平方根的概念和性质；

4．掌握实数的运算法则，并会灵活应用；

5．会用多种方法比较实数的大小．

考纲能力解读

实数是初中数学的基础内容，在中考中多以选择题、填空题、计算题的形式出现．主要考查实数的有关概念和实数的运算，特别应注意的是，以实际问题为背景，结合当今社会的热点问题考查近似数、有效数字、科学记数法另外，还应注意创新的题型不断出现，例如通过观察、归纳、总结找规律的题型．

1、实数的两种分类

[注意] π是无理数，但有时近似地用3．14这个有理数来代替，2π、3

π等是无理数，而不是分数．

2．实数中的几个概念

(1)正数、负数

像5，1．5，2

110等大于0的数叫做正数． 像－5，－1．5，－2

110等在正数前面加上“－”号的数叫做负数． ?????负实数零正实数实数???正无理数正有理数???负无理数负有理数???正分数正整数???负分数负整数???????无理数有理数实数???????负分数）分数（包括正分数，，零，负整数）整数（包括正整数???????无限循环小数有限小数或

???负无理数正无理数???无限不循环小数

(2)整数、分数

正整数、零、负整数统称为整数．

正分数、负分数统称为分数．

(3)有理数

(4)数轴

①定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

②实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．正数都大于0；负数都小于0；两个负数，绝对值大的反而小．

(5)相反数

②互为相反数的几何意义：在数轴上位于原点的两侧，且与原点距离相等的两个点．

③非零实数a 的相反数是－a ，0的相反数是0，相反数总是成对出现的．

(6)绝对值

①定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作｜a ｜． ②负数的绝对值是其相反数，非负数的绝对值是其本身．

即｜a ｜=??

???<-=>0)(a a ),0(0,0a a a ）（

或｜a ｜=?

??<-≥.0a a ,0a a ）（）（ ③去绝对值符号时关键是判断绝对值符号中代数式的正负，如果是非负数，应等于其本身；如果是负数，则应是它的相反数．

(7)无理数

定义：无限不循环的小数叫做无理数．

说明：常见的无理数有以下几种形式：

①字母型：如圆周率π；

②构造型：如2．101001000l0000…(每两个l 之间多一个0)就是一个无限不循环的小数；

③根式型：如2，5，36，…都是一些开方开不尽的数；

④三角函数型：如sin35°，tan27°，cos29°等．

(8)近似数、有效数字与科学记数法

①近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数．

②有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字．

a．当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤a<10，n为整数，其值等于原数中整数部分的位数减去1；

b．当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤a

(9)非负数

①定义：若数a≥0，则称a为非负数．

②常见的三种非负数：｜a｜≥0，a2≥0，a≥0．

③非负数的性质：a．任何非负数的和仍为非负数；b．如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．

(10)倒数

①定义：乘积为1的两个实数互为倒数．

②倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数．只有零没有倒数，其他任何实数都有倒数．正数的倒数为正数，负数的倒数为负数．

(11)平方根、立方根

如果x2=a，那么x叫做a的平方根；正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作正a；0的算术平方根为0；如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作

3a．

3．常用的几个特殊整数

(1)最小的自然数是零；最小的正整数是l；最大的负整数是－1；绝对值最小的数是零，同时，零也是最小的非负整数．

(2)1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，也是唯一的偶质数．

4．有关零

(1)零既不是正数，也不是负数；零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．

(2)零的相反数为零，绝对值也为零．

5．实数与数轴

(1)有理数和数轴上的点有如下关系：每一个有理数可以用数轴上的唯一确定的点表示．

(2)数轴是用“形”来研究“数”的性质的有力工具，充分了解数轴的结构及应用特点很重要，用数轴可以进行数的大小比较，即正确用数轴上的点表示出数后，应用“数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大”进行比较．

(3)实数与数轴上的点一一对应．

6．实数的运算

(1)加法

①同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．满足运算律：a+b=b+a；a+(b+c)=(a+b)+c．

(2)减法

减去一个数等于加上这个数的相反数．

(3)乘法，

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘．

②n个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．

③n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

④满足运算律：ab=ba；(ab)c=a(bc)；a(b+c)=ab+ac．

(4)除法

①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．

②0除以任何一个不等于0的数，都得0．

(5)乘方与开方

乘方与开方互为逆运算．

(6)实数的运算顺序

加、减、乘、除、乘方、开方(这六种运算称为代数运算)六种运算，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算，这三级运算的顺序是三、二、一，如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

7．比较实数的大小

(1)比较实数大小的一般方法：①性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数．②绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小．③数轴比较法：将实数用点表示在数轴上，沿数轴正方向的数越来越大．④差值比较法：设a，b是任意实数，若a－b>0，则a>b；若a－b<0，则a

(2)比较实数大小的特殊方法：①平方法：若a>b>0，则b>a，可以把比较a，b的大小转化成比较a，b的大小问题．②倒数比较法：两个正数，倒数大的反而小．除了以上方法外，还有比较幂的大小的底数比较法、指数比较法、估算法、中间值法等．

8．平方根与立方根的区别与联系

区别：(1)在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且只有一个；(3)正数的平方根有两个且互为相反数，正数的立方根是一个正数．联系：(1)都与相应的乘方互为逆运算；(2)都可归纳为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可利用3a

=－3a 转化为正数的立方根来研究；(3)0的立方根和平方根都是它本身．9．实数的新运算

先给出实数新运算的定义及运算法则，然后付之应用．解这类问题的关键是

把新运算转换成六种基本运算．

10．实数运算中的规律探究

规律探究性问题是根据问题的条件或问题提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目中蕴涵的基本规律与特征的一类探索性问题．其解题策略是：由特例观察、归纳→猜想、揭示一般规律→实验或证明猜想．例如：已知1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52．…，根据前面各式的规律，可猜测：l+3+5+7+…+(2n+1)= (其中n为自然数)．解析：找规律题一般对相邻的两个式子竖直排列对照找出相同部分和不同部分，不同部分的变化规律就决定整体的变化规律，为了防止规律的局限性，请代入到每一个式子中进行检验，如此题等式的左边都是连续的奇数，每相邻的一个式子中增加一个奇数，右边的底数就加1，故答案为：(n+1)2．

11．一种结论及其推广

(1)结论：若｜a｜+｜b｜=0，则a=0，b=0．

(2)推广：

①若a2+b2=0，则a=0，b=0．

②a2+｜b｜=0，则a=0，b=0．

③｜a｜+b2=0，则a=0，b=0．

④若｜a+x｜+｜b+y｜=0，则a+x=0，b+y=0，即a=－x，b=－y．

12．三种重要的非负数

(1)实数a的绝对值，记作｜a｜；

(2)实数a的偶次方，记作a2n(n为正整数)；

(3)实数a(a≥0)的算术平方根，记作a．

在解题中，常用到它们的性质：①如果一个非负数不大于零，则此非负数必等于零；②如果有数个非负数的和为零，那么每个非负数一定等于零．

13、计算器的运用

(1)连加运算．

(2)连减运算．

(3)加、减、乘、除混合运算．

(4)乘方运算．

(5)开方运算．

(6)求锐角的三角函数值．

(7)求一组数的平均数、方差、标准方差．