2018 上海市复旦附中高二上期末

复旦大学附属中学2018学年第一学期

高二年级数学期末考试试卷

一、填空（每题4分，共48分）

1、准线方程为10y +=的抛物线标准方程为 .

2、已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 圆的切线方程为 .

3、若椭圆22

1369

x y +

=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为 . 4、参数方程2

cos 2sin x y θ

θ=??

=+?

（θ为参数，且R θ∈）化为普通方程是 . 5、已知椭圆()222104x y a a +

=>与双曲线22

193

x y -=有相同的焦点，则a 的值为 . 6、设1F 和2F 为双曲线22421x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1260F PF ∠=，则12F PF 的面积是 .

7、已知抛物线24y x =的焦点F 和点()1,1A ，点P 为抛物线上的动点，则PA PF +取得最小值时点

P 的坐标为 .

8、椭圆

2211612

x y +=上的点到直线2120x y --=的距离最大值为 . 9、双曲线

22

214x y b

-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1126,0PF PF PF =?=，则双曲线渐近线的夹角为 .

10、已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 与圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程 .

11、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()2

2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 . 12、已知直线1:310

l m x y m -

-+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()2

2

:114C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最小值是 .

二、选择题：（每题4分，共16分）

13.当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（ ）

A.焦点在x 轴的椭圆

B. 焦点在x 轴的双曲线

C. 焦点在y 轴的椭圆

D. 焦点在y 轴的双曲线

14、已知圆O 的方程为()2220x y r r +=>，点()(),0P a b ab ≠是圆O 内一点，以P 为中点的弦所在的直线为m ，直线n 的方程为2ax by r +=，则（ ） A.//m n ，且n 与圆O 相离 B. //m n ，且n 与圆O 相交 C. m 与n 重合，且n 与圆O 相离D. m n ⊥，且n 与圆O 相离

15、椭圆2211615

x y +=上有n 个不同的点123,,,...n

P P P P ，椭圆的右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于1

2018的等差数列，则n 的最大值为（ ）

A.2017

B.2018

C.4036

D. 4037

16、如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，以AB 为直径的圆与准线l 的公共点为M ，若60AMF ∠=，则MFO ∠的大小为（ ） A.15 B.30 C.45 D.不确定

三、解答题（共56分）

17.（满分10分，各小题5分）

已知抛物线2:4C y x =与直线l 交于,A B 两点。 （1）若直线l 的方程为24y x =-，求弦AB 的长度；

（2）O 为坐标原点，直线l 过抛物线的焦点，且AOB 面积为l 的方程.

18.（满分10分，各小题5分）

已知双曲线22

:143

x y C -=.

（1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程； （2）P 为双曲线C 右支上一动点，点A 的坐标是()4,0，求PA 的最小值.

19、（满分10分，各小题5分）

已知曲线221:4C x y +=，点N 是曲线1C 上的动点，O 是坐标原点.

（1）已知定点()3,4M -，动点P 满足OP OM ON =+，求动点P 的轨迹方程； （2）如图，设点A 为曲线1C 与x 轴的正半轴交点，将点A 绕原点逆时针旋转23

π

得到点，点N 在曲线1C 上运动，若ON mOA nOB =+,求m n +的最大值.

20、（满分13分，4+4+5=13）

已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，四点()()12341,1,0,1,,P P P P ??- ????

中恰有三点在椭圆C 上。

（1）求C 的方程；

（2）椭圆C 上是否存在不动的两点,M N 关于直线1x y +=对称？若存在，请求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由；

（3）设直线l 不经过点2P 且与

C 相交于,A B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1，求证：l 过定点. 21、（满分13分，4+4+5=13）

已知曲线()()2:2240,a x by b a b R Γ--+-=∈.

（1）若4a b ==，求经过点()1,0-且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；

（2）若4a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两个点都不在曲线Γ上；

（3）若曲线Γ与线段()01y x x =≤≤有公共点，求22a b +的最小值.

参考答案

1、24x y =

2、250x y +-=

3、12

-

4、23y x =-+，[]1,1x ∈-

5、4 6

、

2

7、14

8

、9

、y x = 10、()22

12412

x y x -=<-

11、()2,4

12

、2

13-16、DACB 17.略 18.略

19、（1）()()22

341x y ++-=；（2）2

20、（1）2214

x y +=；（2），（3）略

21、

（1）4a b ==时，曲线为：2y x =，设经过()1,0-的直线方程为1x my =-

I)若m 不存在，则该方程为0y =，当0y =时，代入抛物线方程有0x =，此时有唯一交点()0,0符合题意；

II)若m 存在，联立方程得：21

y x

x my ?=?=-?，消去x ，整理得210y my -+=；

若仅有唯一交点，则方程只有唯一解，求得2m =±，故方程为

210x y ±+=；

综上所述，满足题意的直线方程为：210x y ++=、210x y -+=，0y =． （2）4a =时，曲线为：()()

224404410x by b x y b -+-=?-+-= 若无论b 如何变化，点都不在曲线Γ上，则这样的点(),m n 只要满足：

2

44010m n -≠??-=?即可，即1

1m n ≠??=±?

；可取点()0,1A ，()3,1B --满足题意； （3）方法一：若曲线Γ与线段()01y x x =≤≤有公共点，将y x =代入曲线方程有：

()22240bx a x b -+-+-=，即该方程在[]0,1x ∈上有解．

记函数()()2

224f x bx a x b =-+-+-，即函数与x 轴，在[]0,1上至少有一个交点；

（i ）恰有一个交点，则()()010f f ?≤，即()()()()4282440b a b a --=--≤

若将(),a b 对应到直角坐标系中，其所在区域如图1所示；该范围内，距离原点最近点为()4,0和()0,4，即

()

2

2min

16a

b +=

（ii ）若有2个交点，则()()()()()

()()()()()()222

440010

224424402220120

20004

b a f f a b a b b a a a b b b f b -?-≥???≥??-+-≥?=-+-≥??

??

???≥-≤-≤??--≤-????-?≥≤≤?? 若将(),a b 对应到直角坐标系中，其所在区域如图2所示；

该范围内，距离原点的距离2OM r ≥+=，即此时(

)

(

)

2

22

min

21216a b +==+>；

综上所述，(

)

22

min

16a b

+=

方法二：若曲线Γ与线段()01y x x =≤≤有公共点，将y x =代入曲线方程有：

()22240bx a x b -+-+-=，即该方程在[]0,1x ∈上有解．

将方程改写为：()

()2

21440x a x b x ?+-?-+=，可看作是关于(),P a b 所满足的一条直线，

因此原点到直线距离，不大于PO

，即：

≥

在[]

0,1x ∈上恒成立；

()2

11

4421121

x x x x +≥?

=?+++

-+ ∵[]0,1

x ∈，则()2

11

x x ??++∈??

+，故()1

422

121

x x ???∈??

+

+

-+ ()

22

min

416a b ≥?+=．

图2