导数在生活中的优化问题举例

1.4 第一课时生活中的优化问题举例

一、课前准备

1．课时目标

（1）了解函数极值和最值的基本应用 .

（2）会用导数解决某些实际问题 .

2．基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

（1）分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域 .

（2）求函数y f x 的导数 f （x），解方程 f （x）＝ 0,求定义域内的根，确定. （3）比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值 .

（4）还原到原中作答 .

三、学习引领

1.常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等 .例如，使经营利润最大、

生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题 .导数是解决这类问题的基本方法之一 .

2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．解决优化问题的基本程序是：

读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）

（导数应用）（检验作答）

3.需要注意的几个问题

（1）目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时 ,需要注

意定义域的确定 , 并注意定义域对函数最值的影响 .

（2）如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较 ,但要注意说明极值点的唯一性 .

四、典例导析

题型一几何图形中的优化问题

例 1 请你设计一个包装盒 , 如图所示 ,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB= x cm

（1）某广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问x应取何值？

V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此2）某广告商要求包装盒容积

时包装盒的高与底面边长的比值

思路导析: 明确平面图形中切割的规则 ,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题( 1)中 ,用底面边长把包装盒侧面

积表示出来 ,观察其特点 ,用一元二次函数最值解决问题 .问题 (2)中,建立目标函数 ,依据目标函数的特征 ,通过求导 ,研究函数性质 ,求相应最值 .

解：设该盒的高为 h ( cm )，底面边长为 a ( cm )，由已知得

60 2x

a 2x,h 2(30 x),0 x 30.

2

(1)由题意包装盒侧面积S 4ah 8x(30 x) 8(x 15)21800, 所以当x 15时，S 取得最大值 .

(2)由题意知 ,V a2h 2 2(30x2x3), (0 x 30),V 6 2x(20 x) .由V 0得

x 0(舍)或x 20 .由于当x ( 0,20) 时，V 0;当x (20,30)时V 0,所以当x

20

h1

时， V 取得极大值，而且为唯一极大值 ,故也是最大值 ,此时该盒的高与底面边长的比

a2

1

值为1.

2

规律总结：几何图形中的优化问题 ,包括平面几何和空间几何体的问题 ,主要是对面

积和

体积最大或最小的优化设计 .构造函数关系式 ,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行 . 上述题中 ,两个目标函数皆未给出 , 因此建立两个函数关系式是关键之一 . 建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利

用空间图形与平面图形数量关系的联系 ,进行具体计算 . 因为实际问题往往会有更为具体的

定义域 ,所以在求函数最值时 ,要充分注意函数定义域的影响 .正确求导 ,并研究函数的性质 ,是解决该最值问题关键之二 .

变式训练 1 今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？

题型二费用最省问题

例 3 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度 ,长度单位：米） ,其中容器的中间为圆柱

形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80

立方米，且 l 2r .假设该容器的建造费用仅与其

3

表面积有关 .已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千 元，半球形部分每平方米建造费用为 c,（c 3） .设该容 器的建造费用为 y 千元 .

（Ⅰ）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 r .

思路导析 : 该几何体由一个圆柱和两个半球组成 , 而且只涉及表面积问题 ,所以将圆柱的

侧面积和两个半球的表面积 ,分别用半径表示 ,再表示建造费用 ,建立函数关系式 .

4 r 2,所以y 160 8 r 2+4 cr 2

,定义域为(0, l

).

r2

规律总结 : 由于所得函数解析式为非基本初等函数 ,所以要求其最小值 ,需要利用函数的

导数 ,先求函数的极值 ,再判断函数的最值 .因为实际问题往往会有更为具体的定义域 ,所以在 求函数最值时 ,要充分注意函数定义域的影响 .

变式训练 2 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km, 垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处 有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站 ,再由车站 D 向工厂修 一条公路 .如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么 ,D 应选在何处 ,才能使原料

供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省 ? 题型三 利润最大问题

例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）与销售价

a

2

格 x （单位：元 /千克）满足关系式 y 10（x 6）2

，其中 3 x 6，a 为常数 ,已知

x3

解 :（ Ⅰ）因为容器的体积为 80

立方米，

所以

4 r 3

r 2l 80

3 ,解得 l 80 4r 3r 2

所以圆柱的侧面积为

2

8r 3

,两端两个半球的表面积之和为 Ⅱ）因为 y '

160 16 r +8 cr = 3

8 [(c 2)r 3

20]

c

202

米时, 该容器的建造费用最小

2 rl =2 r( 80

2

160

3r

,所以令 y '

r

2

r

令 y '

r 3

销售价格为 5 元/千克时 ,每日可售出该商品 11 千克.

（I ）求 a 的值 ;

（II ）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 .

思路导析:问题（I）,由题设中的具体情形 ,代入函数解析式 ,解方程,求 a的值.问题（ II）, 用 x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式 ,对所得函数关系式求导 ,讨论极

值和最值的情况 ,最后确定利润最大的时刻 .

解: (I)因为当x 5时, y 11,代入y 10(x 6)2得, 10 11,a 2.

x 3 2

2

(II )由( I)知,该商品每日的销售量为y 10(x 6)2,所以商场每日销售该商品所x3

2

2 2

获得的利润为f(x) (x 3)[ 10(x 6)2] 2 10(x 3)(x 6)2

x3

2

2 10(x 3)(x212x 36) ,(

3 x 6).所以 ,

f (x) 10(x 6)220(x 3)(x 6) 30(x 4)(x 6).于是,当x变化时 ,f

(x),f(x)的

变化情况如下表 :

由上表可知 ,x 4是函数f（x）在（3,6）上的极大值点 ,而且为唯一极大值点 ,即是最大值点 ,

所以当x 4时,函数f （ x）取得最大值 ,最大值为 42.

答: 当销售价格为 4 元 /千克时 , 商场每日销售该商品所获得的利润最大.

规律总结: 在上述问题中 ,首先需要建立利润的数学模型 ,即写出利润关于销售价格的函数关系式 .由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值 ,需要利用函数

的导数 ,先求函数的极值 ,再判断函数的最值情形 .因为实际问题往往会有更为具体的定义域, 所以在求函数最值时 ,要充分注意函数定义域的影响 .

变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润 x（元）与年产量 t （吨）满足函数关系，x 2000 t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元（以下称 s为赔付价格） .

（ 1 ）将乙方的年利润 w （元）表示为年产量 t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（ 2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获

得最大利

润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？

五、随堂练习

1.要做一个圆锥形的漏斗 ,其母线长为 20cm,要使其体积为最大 ,则高为（）cm.

3 10 3 16 3 20 3

A. B. C. D.

3 3 3 3

2.以长为 10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（） .

A.10

B.15

C.25

D.50

3.若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为（） .

2 2 2 2

A. 2 r

B. r

C.4 r

D. r

2

4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m ，长和宽的和为 20m ，则仓库容积的最 大值为 .

5. 统计结果表明 ,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升 ）,关于行驶速度

1 3 3

x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： y x 3

x 8（0 x 120） ，已知

128000 80

甲乙两地相距 100千米 .当汽车以 （千米 /小时）速度行驶时 ,从甲地到乙

地耗油最 少?

6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比， 已知在速度为每小时 10 公里时的 燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航 行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 六、课后作业

1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V , 那么其表面积最小时 ,底面边长为 （ ）

A. 3

V B. 3

2V C. 3

4V

D.23

V

2. 制作一个圆柱形锅炉 ,容积为 V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每

b 元 ,当造价最低时 , 锅炉底面半径与锅炉高的比是（

3. 做一个无盖的圆柱形水桶， 若要使其体积是 27 ,且用料最省则圆柱的底面半径为

4. 去年初 ,某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品．若该商品零售价定为 p 元，则销

2

售量 q （件 ）与零售价 p （元 ）有如下关系 q 8300 170p p 2

．那么该商品零售价 为

元时 ,毛利润最大 ?（毛利润 = 销售收入一进货支出 ）

5. 现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别

12

为 x 和 y 时，得到的回报是 P x 3

y 3

．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大

的回报 .

6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割

成等腰梯形的形状， 下底 AB 是半椭圆的短轴， 上底 CD 的端点在椭圆上， 记

单位面积价格为 a A. 2b

2

a

B.

2b

b C. 2a

D. b 2

2a

CD 2x ，梯形面积为 S．

（1）求面积 S以x为自变量的函数式 ,并写出其定义域 ;

（ 2）求面积 S 的最大值．

1.4 第一课时生活中的优化问题答案及解析

一、 2. 基础预探

（1）数学模型；函数关系（ 2）极值点 （ 3）区间短点

三、变式练习

/km,那么铁路运费为 3a

元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运

费

5

为: y 3a

(100 x)+a x 2

400,( 0 x 100 ).对该式求导 ,得:

3a ax a(5x 3 x 2 400) 2 2 y = + = ,令 y 0,即得 25 x 2 =9( x 2

400 ),解之得 5 x 2 400 5 x 2

400

x 1 =15, x 2 =-15（不符合实际意义 ,舍去）.且 x 1 =15是函数 y 在定义域内的唯一极小值点 ,所以 x 1 =15是函数 y 的最小值点 .由此可知 ,车站 D 建于 B,C 之间并且

与 B 相距 15km 处时,运费最 省.

3. 解：（I ）因为赔付价格为 s 元/ 吨，所以乙方的实际

年利润为： 所以当 t （1000）2

时，w 取得最大值 . s

所以乙方取得最大利润的年产量 t （

1000

）2

吨 . s 23

v 与 赔 付 价 格 s 之 间 的 函 数 关 系 式 ： v

1000 2 10400

s

s

44） 实际问题

1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为 a 2x （0 x

a

2)， 3

高为 h x tan30 x 3

12 设：容积为 V ，则 V sh (a 2x)2

sin60 3

x 3 3

x ax

2

a

x .函数求导

得 :

2

3x 2 2ax a ,令V 0得 x a

4

舍去）

a

,当 0 x 时，V 0；当

6

时，

a

V 0,所以当 x a

b 时，

3

a

V

最大

a 3

4a

3 a 3

3

a

216 36 24 216 54

答：

x 为 a

时，盒子的容积最大为 6 54

2.解

设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x 2 202

,|CD|= 100 x .如果公路运费为

a 元 ax w 2000 t st(t 0)

2 1000 2 10002

因为 w 2000 t st s( t

)

2

，

ss

II ）设甲方净收入为 v 元，则 v st 0.002t 2

，将 t （1000

）2

代入上式，得到甲方纯收入

s

2 3 2 3

v 10002 8 1000310002(8000 s3) ，令v' 0得s 20,当s 20时，v'

0；

当s 20时，v' 0.所以s 20时，v取得最大值 . 所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是 20 元 .

四、随堂练习

h,则体积V 1 (400 h2)h,(0 h 20),

3

唯一 , 故为最大值 .故选 D.

答案： A. 解析 :设内接圆柱的底面半径为x,(0 x r) ，则圆柱的侧面积

x2) ，求导，判断极大值点x 2 r ,其侧面积

2

最大为2 r 2.

V x(20 x) 3 3x2+60x . V 6x 60，令V 0得x 10 ,当0 x 10 时，V 0；当x 10时，V 0, x 10时，V最大300(m3) .

5. 答案 :80. 解析 ; 由题意可知 , 以速度x ( 千米 / 小时 ) 从甲

地到乙地耗油量

为:W y 100 1 x2 800 15,W x 80200,解得x 80,且为唯一极小x 4640 x2

值点 ,所以x 80 为最小值点

6. 解:设船速度为x(x 0) 时，燃料费用为Q 元，

33

∴ Q

500

x

，∴总费用

y (

50

3

0x3 96)

3 3 3 则Q kx3，由6 k 103可得

k ，500

1 3

2 96 6 96

x ，y x 2 ，令

x 500 x2

x 500

1. 答案： D. 解析：设圆锥的高为

400

2 400

V h20,解得

3 h 20 3, 由导数的意义 ,当h 20 3

3

时 ,V 取极大值且

2. 答案 :D.解析 :设圆的内接矩形的一边长为

x ,则另一边长为100 x2,内接矩形的面积

2 2 2 2

S x 100 x2, S2x 2(100 x2)

x4100x2, (S2) 4x3200x 0 ,解得x 0(舍去 ), x 50,根据导数的意义知，

内接矩形面积的最大值为50

3.

S 4 x r 2

x

2

，S

2

16

2

x

2

(r

2

4. 答案 :300m 3解：设长为xm ，

则宽为(20 x)m ，仓库的容积为 V, 则x 1280

y 0得x 20，当x (0,20) 时，y

0 ，

此时函数单调递减，当x (20, ) 时，

y 0 ，此时函数单调递增，∴当x 20 时，y 取得最小值，∴此轮船以 20 公里 /

小

时的速度使行驶每公里的费用总和最小． 五、课后作业

3x

2

答案 : C.解析 :设底面等边三角形的边长为

x,x 0,直棱

柱的高为 h ,则V

34

x h ,所以

得 x 3

4V , S 取极小值且唯一 ,即最小 ,故选 C.

1. h 3x 2 .表面积 S 2 34x 3

43V x 2 x

3x 2

4 3V , S 3x 2x

4 32

V

0,解 x

2. 答 案 C. 解 析 ： 设 锅 炉 底 面 半 径 和 高 分 别 为 r,h ,则 V

r 2

h,h V

2 r 2 3.

y 2a r 2 2b r V 2 2a r

2 2bV

, y 4a r

2b 2

V

r r r

r b

时取极大值 , 即最大值 . 故选 C. h 2a

0 , 得 2ar V 2

b 即 r

2

27

答案： 3 .解析：设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,则 27 r 2h,h 2 .无盖

54 54 2 27 2 54 表面积 S r 2 2 r 2 r 2

, S 2 r 2 0,解得 : r 3 ,为唯一

值点 ,即最小值点 .

2

4 .答案 :30.解析:设毛利润 y ,则 y p q 20q =q(p 20) = (8300 170p p 2

)(p

3 3 2

= p 3 150p 3

11700p 166000,所以 y

3p 2 300p 11700 0 ,解得 p 30

或 p 130 (舍去) . 根据导数的意义知，当 p 30时, y 最大 .

1 2 1 2

5. 解：由于 x y 10000 ，所以 P x 3y 3 (10000 y)3 y 3

,0 y 10000 ． 考虑 P 3

(10000 y)y 2

，由 (P 3

) 20000y 3y 2

0得 y 1 0, y 2

2003

00

，

20000 3 20000 3 由于当 y 3 时， (P 3) 0；当 y 3 时， (P 3

) 0， 33

20000 3

所以 y 2 是 P 3

的极大值点，从而也是 P 的极大值点．故当投到产品开

发的资金

3

3

6． 解 : 以

AB 所在的直线为 x 轴 ,以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为

2

y

4r 2

2 x 2 2

r

设 C(x, y) 则 y 2 r 2 x 2

1(2x 2r) 2 r 2 x2 2(r x) r2 x2定义域为1)

( 2 ) 由 ( 1 ) 知S 2(r x) r2x2 2 (r x)2(r2 x2) . 设

g(x)=(r+x) 2(r2-x2) 则g(x) 2(x r)2(2x r) . 由g(x) 0

得x r当

r r r

0 x g(x) 0 当x r g(x) 0, 当x 时g(x) 取最大值 ,S 取最大值 ,

2 2 2

最大值为 3 3r．

2