第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时）
一、教学目标
1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；
2、掌握线性稳定性的分析方法；
3、掌握奇点的分类及判别条件；
4、理解结构稳定性及分支现象；
5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点
1、线性稳定性的分析方法；
.
2、奇点的判别。
三、教学难点
线性稳定性的分析方法
四、教学方法
讲授并适当运用课件辅助教学
五、教学建议
学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程
{
本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。
相空间和稳定性
~
一、动力系统
在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时
间t 的函数而且也是空间位置r
的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。
),,,(2111
n X X X f dt
dX ???=λ ),,,(2122
n X X X f dt
dX ???=λ (1.1.1)
…
),,,(21n n n
X X X f dt
dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。
对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
例如:)cos(t A x x ω=+
令y x
= ，t z ω=，上式化为 ???
??=+-==.
cos ,ωz
z A x y y x 上式则是一个三维自治动力系统。
又如：???==).
,,(),,,(t v u g v t v u f u
令t w =，则化为???
??===.
1),,,(),,,(w w v u g v w v u f u
它就是三微自治动力系统.
对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。
二、相空间
由n 个状态变量{}i X ＝(X 1，X 2，…X n )描述的系统，可以用这n 个状态变量为坐标轴支起一个n 维空间，这个n 维空间就称为系统的相空间。在t 时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t 时刻的状态。随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。它代表了系统状态的演化过程。
三、稳定性
`
把方程组(1.1.1)简写如下
),,,(21n i i
X X X f dt
dX ???=λ， i ＝l ，2，…n (1.1.2) 设方程组(1.1.2)在初始条件00)(i i X t X =下的解为)(t X i ，如果用与原来略有差别的初始条件i i i X t X η+='00)(，i η是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(t X i '。如果对于任
意给定的ε＞0，存在δ＞0，并且δη≤i ，当0t t ≥时也满足 ε<-')()(t X t X i i ，i ＝l ，2，…n
(1.1.3)
则称方程组(1.1.2)的解)(t X i 是稳定的，否则它就是不稳定的。这样定义的稳定性称为Lyapunov 稳定性。
如果)(t X i 是稳定的，并且满足极限条件 0)()(lim ='-∞
→t X t X i i t ，i ＝l ，2，…n
(1.1.4)
则称)(t X i 是惭近稳定的。
上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0t X i 和受扰动后的初始条件)(0t X i '之差限定在一定的范围内，即
δ<-')()(00t X t X i i ，未扰动解)(t X i 和扰动解)(t X i '之差也不超出一定的范围，即ε<-')()(t X t X i i ，则末扰动解)(t X i 就是稳定的；如果)(t X i '渐渐趋近于)(t X i ，最终变得和)(t X i 一致，则称)(t X i 是渐近稳定的；如果)(t X i '与)(t X i 之差不存在一个有限范围，即)(t X i '远离)(t X i ，则称)(t X i 是不稳定的。
由上述Lyapunov 稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。Lyapunov 发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov 第二方法。这种方法主要是寻找(或构造)一个Lyapunov 函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。
。
线性稳定性分析
通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判断，最好是求出它的解析解。然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析解，甚至求近似解析解都是不可能的。虽然Lyapunov 方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapunov 函数仍存在着相当的困难。那么我们能否不去对非线性方程组去求解，而
采取一种既简单又有效的方法对非线性方程组定态解的稳定性作出定性的判断。这样的方法是存在的，那就是线性稳定性分析方法。它的主要思想是，在非线性微分方程组定态解的小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动的稳定性。因为线性微分方程组是容易求解的，而且在定态解的小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，是一种常用的稳定性分析方法。
首先通过一个简单的例子来了解线性稳定性分析的思路。设有一非线性微分方程
)(12X f X dt
dX
=-= (1.2.1)
在定态X 0，00
=dt
dX ，有
01)(200=-=X X f
(1.2.2)
由此得到定态解
101=X ，102-=X
(1.2.3)
设)(t x 是定态附近的小扰动，即
、
)()(0t x X t X +=
(1.2.4) 10
< (1.2.5) 把方程(1.2.4)代入方程，有 202 021x x X X dt dx ---= (1.2.6) 考虑到定态方程(1.2.2)，并忽略小扰动x 的二次项，得 x x X f x X dt dx ω=??=-=00)(2 (1.2.7) 其中 002)( X X f -=??=ω （1.2.8） 是线性化系数。方程(1.2.7)是非线性方程的线性化方程，容易求出它的解为 t e x t x ω0)(= 、 其中)0(0x x =是初始扰动。 讨论：定态解的稳定性取决于ω的符号。（1）如果ω<0，定态解附近的扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态，说明这个定态是稳定的；（2）如果ω>0，定态附近的扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态是不稳定的。 对于定态101=X ，0220<-=-=X ω，01X 是稳定的； 对于定态102-=X ，0220>=-=X ω，02X 是不稳定的。 图 方程(1.2.2)的定态解的稳定性 我们可以很容易求得方程(1.2.1)的精确解析解(为一双曲函数) )()(k t th t X += )0(1X th k -=，1)0(±≠X (1.2.9) 对于不同的初始条件)0(X ，可以得到一系列的)(t X 曲线，它们随时间的演化行为如图所示，曲线族趋于X 01＝1，离开X 02＝-1。这证明我们采用线化方程得到的定性结论是正确的。 ： 上述例子虽然简单，但具有一般性，数学家对此作了证明，并形成线性稳定性定理。 设有非线性方程组 {}),(j i i X f dt dX λ=，n j i ,,2,1,???= (1.2.10) 并设)(t x i 是定态解{}0i X 附近的小扰动，即 )()(0t x X t X i i i += 10 < X x ，n i ,,2,1???= (1.2.11) 非线性方程组(1.2.10)在定态解{}0i X 附近的线性化方程为 ∑=??=n j j j i i x x f dt dx 10)( (1.2.12) 定理 如果线性化方程组(1.2.12)的零解(021==???=n x x x )是渐近稳定的，则非线性方程组的定态解{}0i X 也是渐近稳定的；如果零解是不稳定的，则定态解{}0i X 也是不稳定的。 线性稳定性定理保证了利用线性的方法来研究非线性方程定态解稳定性的有效性。利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性的过程称为线性稳定性分析。这种分析方法在处理实际问题中经常被用到。值得提及的是，线性稳定性定理只是对线性化方程的零解是渐近稳定的或是不稳定的情形给出了结论，而对于零解是Lyapunov 稳定的并不是浙近稳定的情形没有给出任何信息。这在下节会给予讨论。 … 奇点分类和极限环 现在我们考虑只有两个状态变量(X ，Y)的非线性动力系统，即 ?????? ?==) ,(),(21Y X f dt dY Y X f dt dX (1.3.1) 现在相空间变为分别以X 和Y 为坐标轴的二维相平面。如果方程(1.3.1)的解存在且唯一，那么它的解在相平面上就表现为一条线。轨线的斜率是 ???? ?? ?≠=≠=) 0(,),(),()0(,),(),(2 21112f Y X f Y X f dY dX f Y X f Y X f dX dY (1.3.2) 只要),(1Y X f 和),(2Y X f 不同时为零且连续可微，轨线的斜率就是唯一的，它意味着轨 线不相交。如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点的斜率就不是唯一的。换句话说，数学上的解的存在与唯一性定理要求相空间中的轨线不能相交。 如果),(1Y X f 和),(2Y X f 同时为零，即 ?? ?==0),(0 ),(002001Y X f Y X f (1.3.3) 则有 < =dX dY (1.3.4) 这表明轨线的斜率不唯一。我们把在相平面中使),(1Y X f 和),(2Y X f 同时等于零的点),(00Y X 称为奇点。在相平面上除奇点之外的所有其他点都叫做正则点。根据方程(1.3.3)我们知道，奇点就是非线性方程组的定态解。因此，我们通过研究相空间中奇点的稳定性就可以知道定态解的稳定性。只要我们弄清楚奇点附近轨线的分布及其流向，就能对奇点的稳定性作出判断。 为此我们设x(t)和y(t)是奇点),(00Y X 附近的小扰动，即 )()(0t x X t X += )()(0t y Y t Y += (1.3.5) 10< < y Y f x X f Y X f dt dx 0101001)()(),(??+??+=，y Y f x X f Y X f dt dy 0202002)()(),(??+??+= (1.3.6) 根据定态方程(1.3.3)，方程式变为 y a x a dt dx 1211+=，y a x a dt dx 1211+= (1.3.7) | 其中 01120111)(,)( Y f a X f a ??=??=，022120221)(,)(Y f a X f a ??=??= (1.3.8) 下标0表示在定态取值。方程(1.3.7)可以方便地写为矩阵形式 ?? ? ?????????=??????y x a a a a y x dt d 22211211 (1.3.9) 由方程(1.3.9)的线性结构，它允许有如下的形式解 t e x x ω0=，t e y y ω0= (1.3.10) 这样的解称为简正模。把方程(1.3.10)代入可以得到对 (00,y x )为一阶的齐次代数方程组 ?? ? ??????? ??=??????0022211211 00y x a a a a y x ω (1.3.11) 这个方程组具有非零解的条件为 02221 1211=--ω ωa a a a (1.3.12) ￥ 即 02=?+-ωωT (1.3.13) 其中 2211a a T +=，21122211a a a a -=? (1.3.14) 方程(1.3.13)称为线性化方程组的特征方程，ω称为线性化方程组的特征值。 特征方程(1.3.13)是一个一元二次方程，它允许有两个不同的特征根1ω和2ω，即 )4(2 1 22,1?-±= T T ω (1.3.15) 这时线性化方程组(1.3.9)有两组如下形式的线性无关解 t e x x 101ω=，t e y y 101ω= t e x x 202ω=，t e y y 202ω= (1.3.16) ^ 其中??????0101y x 和??? ???0202y x 分别是方程组(1.3.11)系数矩阵(ij a )的特征值1ω和2ω对应的特征向 量。这样，线性化方程组的一般解应是两个线性无关解的线性组合，即 t e x c x 1011ω=t e x c 2022ω+ t e y c y 1011ω=t e y c 2022ω+ (1.3.17) 其中1c 和2c 由初始条件确定。 从方程(1.3.15)可以看到，特征值i ω(i ＝1，2)可能为复数，而奇点(X 0，Y 0)的稳定性只取决于特征值实部i ωRe 的符号。由此可以根据方程直观地得到如下稳定性判据： (a)如果两个0Re (b)如果至少有一个0Re >αω (α＝1或2)，则奇点(X 0，Y 0)是不稳定的； (c)如果至少有一个0Re =αω (α＝1或2)，而另一个0Re <βω (β＝2或1)，则奇点(X 0，Y 0)是Lyapunov 稳定的，而不是渐近稳定的。我们称这种情况为临界稳定性。 所谓奇点就是行为异常的点。虽然这样的点在相空间的分布是极为稀少的，但它们却是人们关注的热点。通常按奇点的性质把它分为四类：结点；鞍点；焦点；中心点。现在分别对它们加以介绍。 (1)结点 》 当042≥?-T 和0>?时，对应的奇点称为结点。此时两个特征根不但都是实的，而且同号(T =+21ωω,?=?21ωω)，即 )4(21 21?-+= T T ω 和T 同号 )4(2 1 22?--=T T ω 也和T 同号 因此，可以根据T 的符号来判断结点的稳定性： T ＜0，渐近稳定结点 T ＞0，不稳定结点 例 若线性化方程(1.3.7)中的02112==a a ，02211≠==a a a ，则042=?-T ， 02>=?a ，奇点(X 0，Y 0)为结点。这时方程变为 ax dt dx = ay dt dy = (1.3.18) 它们的解为 , at e x x 0= at e y y 0= (1.3.19) 在结点附近轨线的斜率 x y dx dy ==常数 (1.3.20) 对于不同的初始条件(00,y x )，会有不同的常数，也就有不同的斜率。同时，因为T ＝a 2，所以结点的稳定性取决于a 的符号，0a 对应不稳定结点。这些可用图来表示。图显示另一种结点附近的轨线分布及其流向的状况。从这些图我们看到，稳定结点是相平面的汇，不稳定结点是相平面的源。 (a) (b) 图 渐近稳定星形结点(a) 不稳定星形结点(b) (a) (b) ~ 图 渐近稳定星形结点(a) 不稳定星形结点(b) (2)鞍点 当042≥?-T 和0 0)4(21 21>?-+= T T ω 0)4(2 1 22 无论T>0或T<0 所以鞍点总是不稳定的。 例 若方程(1.3.7)中的02112==a a ，011a ，则0)(4222112>-=?-a a T ， 02211<=?a a ，奇点(X 0，Y 0)为鞍点。这时线性化方程取形式 x a dt dx 11= y a dt dy 22= (1.3.21) # 它的形式解为 t a e x x 110= t a e y y 220= (1.3.22) 鞍点附近轨线的斜率不但与初始条件(00,y x )有关，而且还与线性化系数11a 和22a 有关，即 110 22x a y a dx dy = (1.3.23) 其中已忽略了因子exp[t a a )(1122-)，因它不影响我们要讨论的结论。根据斜率在不同象限的符号，可以得到如图所示的轨线分布形式。由于它与马鞍曲面在平面上的投影相类似，故得鞍点这个名字。 图 鞍点附近轨线的分布情形及流向 (3)焦点 当042 《 ωωω' '+'=i 1 ωωω''-'=i 2 (1.3.24) 其中 2T = 'ω， 242 1T -?=''ω (1.3.25) 分别是共轭复根的实部和虚部。焦点的稳定性取决于实部ω'的符号。 T ＜0，渐近稳定焦点 T ＞0，不稳定焦点 复根的虚部ω''是周期振荡的频率。 例 当01221>=-=b a a ，a a a ==2211时，有04422<-=?-b T ，02≠=a T 则奇点(X 0，Y 0)为焦点。这时线生化方程(1.3.7)变为 by ax dt dx -= . ay bx dt dy += (1.3.26) 令 iy x z += (1.3.27) 方程（1.3.26）变为 z bi a dt dz )(+= (1.3.28) 它的解为 t ib a e z z )(0+==)sin (cos )(00bt i bt e iy x at ++= (1.3.29) 其中利用了公式 θθθsin cos i e i += (1.3.30) 0x 和0y 是初始条件。通过令方程(1.3.29)两边的实部和虚部相等，得 ` )sin cos (00bt y bt x e x at -= )cos sin (00bt y bt x e y at += (1.3.31) 令 ?cos 0q x = ?sin 0q y = (1.3.32) 得 )cos(?+=bt qe x at )sin(?+=bt qe y at (1.3.33) 由此得到焦点附近的轨线方程 at e q y x r 22222=+= (1.3.34) & 这是一个螺线方程，q 与初始条件有关，a 的符号决定着螺线的旋转方向。如图2．5所示，0a 螺线旋离焦点，它代表一种放大振荡。 图 渐近稳定焦点(a)和不稳定焦点(b) (4)中心点 当042 ?=i 1ω ?-=i 2ω (1.3.35) 这种奇点附近的轨线代表无阻尼振荡，因此这些轨线是一些闭合曲线，奇点被这些闭合曲线围绕在中间，所以把这种奇点称为中心点。中心点附近的轨线既不无限地趋势于它也不无限地远离它，所以中心点是Lyapunov 稳定的，而不是渐近稳定的。(如图所示) 图 围绕中心点的闭轨线 ? 例 取02211==a a ，b a a =-=1221时，有0=T ，02>=?b ，则相应的奇点是中 心点。这时线性化方程(1.3.7)变为 by dt dx -= bx dt dy = (1.3.36) 令 iy x z += (1.3.37) 方程(1.3.36)变为 ibz dt dz = (1.3.38) 其解为 ibt e z z 0==)sin (cos 0bt i bt z += (1.3.39) 其中 \ 000iy x z += (1.3.40) 0x 和0y 是初始条件，如果令 ?cos 0q x = ?sin 0q y = (1.3.41) 我们会得到 )cos(?+=bt q x )sin(?+=bt q y (1.3.42) 最后得到中心点附近的轨线方程为 222q y x =+ (1.3.43) 这是一个圆方程，圆的半径q 依赖于初始条件，初始条件稍有不同，轨线就会表现为一个新的圆。中心点附近的轨线分布如图所示。因此．中心点既不是相平面中的汇也不是它的源，而是一种中介情形，所以又把它叫做临界稳定性。 】 上述四种奇点称为简单奇点。根据方程(1.3.15)，令 ?-=42T D (1.3.44) 它们被总结归纳于图。渐近稳定结点和渐近稳定焦点是相空间的汇，其周围的轨线都以它们为极限最后趋于它们，这些奇点好象是它们周围轨线的吸引中心，故把它们称为吸引子。相应地把不稳定结点和不稳定焦点称为排斥子。系统的演化一旦达到吸引子就不会再运动，所以有时把吸引子又称为不动点。吸引子只有在耗散系统中才可能出现，因为吸引子是衰减运动的极限状态，而耗散是衰减运动的原因。在耗散系统中，二维相平面中的各种轨线最后都归并到零维的吸引子上，这称为相空间收缩。相反，对于守恒系统相空间不会收缩，而保持相体积不变。同时，我们也可以看出，耗散是维持系统稳定的因素。 图 四种简单奇点的分布 上述分析都是针对奇点附近的小邻域而言的，并用线性化方程得到奇点附近的轨线分布及其演化趋势，它们给奇点的性质提供了直观的图象。然而，在远离奇点时线性近似不再适用，必须考虑完整的非线性方程，这时轨线的演化趋势不外乎如下几种情形；如果相平面只有一个吸引子，则相平面中所有轨线都流向于它；如果只有一个排斥子，则相平面中所有轨线都会从它出发流向无穷远；如果相平面中不但有吸引子而且还有排斥子，则大部分轨线会从排斥子出发流向吸引子，一小部分轨线可能自排斥子流向无穷远，最后一情形是，排斥子附近的轨线向四周流去，而远方的轨线向排斥子流来，两套流线必然在某个环形区域交锋，交锋的结果是在环形区域中出现一条闭合曲线，这条闭曲线是内外两套轨线演化的共同极限集，这条闭合曲线称为极限环。极限环是一条孤立的闭合执线，也就是在它的周围不存在无限接近于它的另一条闭合轨线，这一点是和中心点周围的闭合轨线有着本质差别。如果极限环内外的轨线都渐近地趋于它，则是渐近 稳定极限环(图(a))，否则，是不稳定极限环(图(b))。如果极限环内部(或外部)轨线渐近趋于它，而外部(或内部)轨线离开它，则称为半稳定极限环(图2．8(c))。半稳定极限环也是不稳定极限环的一种。 图 极限环 (a)渐稳定极限环；(b)不稳定极限环；(c)半稳定极限环 例 设有一非线性系统 · )](1[22y x x y dt dx +-+-= )](1[22y x y x dt dy +-+= (1.3.45) 不难看出奇点为相平面(x ，y)的原点(0，0)。方程(1.3.45)在奇点附近的线性化方程为 y x dt dx -= y x dt dy += (1.3.46) 因为02>=T ，0442<-=?-T ，所以该奇点(0，0)为一不稳定焦点，它附近的轨线为一外旋的螺线。 非线性方程(1.3.45)可以严格求解。为此，令 θcos r x = θsin r y = (1.3.47) 对方程(1.3.45)的两边分别乘x 和y ，并利用式容易把它化为极坐标中的形式 / )1(21222 r r dt dr -= 1=dt d θ (1.3.48) 利用公式 2 22211 1)1(1r r r r -+=- (1.3.49) 容易得到方程(1.3.48)的积分 t ce r 211-+= t =θ (1.3.50) 其中c 是由初始条件决定的积分常数。因此 t ce t x 21cos -+= t ce t y 21sin -+= (1.3.51) 、 由方程(1.3.50)可知，相平面中所有轨孰线的演化极限是半径 1)(=∞→t r (1.3.52) 的单位圆。如果0>c ，初始轨线在单位圆内，如果01<<-c ，初始轨线在单位圆外。在∞→t 时，内外轨线都渐渐地进入单位圆(图2．9)。这个单位圆就是一个渐近稳定的极限环，因为它代表一种持续稳定的周期振荡，所以又把它称为周期吸引子。 自然界中无外源强迫的持续稳定周期振荡现象都对应一个渐近稳定的极限环。从上面的例子我们看到．极限环不可能在线性系 图 方程(1.3.45)产生的极限环 统中产生，只可能在非线性系统中产生。因此，自然界中的持续振荡是一非线性现象。但是，并不是每个非线性系统都能产生极限环，即非线性是产生极限环的必要条件，并不是充分条件。所以，判断一个非线性系统能否产生极限环十分重要。如果能够得到非线性系统的解析解，就会很容易地作出判断。然而，对于大多数非线性系统获得解析解是不可能的，所以采用定性的方法推断极限环是否存在及其在什么位置就成为必要的了。由于非线性的复杂性，目前还没有一种普适的判断方法。这里只对数学上的一些定性结论作以介绍。 (1)如果极限环内只有一个简单奇点，这个苛点绝对不是鞍点。 (2)如果极限环内有多个简单奇点，则一定有奇数个，并且鞍点的数目比其他奇点的数目少一个。 (3)Bendixson 否定判据：对于非线性系统(2．3．1)如果y f x f ??+??2 1在相平面区域D 内不变号，则系统(2．L1)在D 内无极限环。 ， 根据Bendixson 否定判据可以直接证明线性系统不会产生极限环。因为对于线性系统 y f x f a a T ??+??= +=2 12211 (1.3.53) 它是不会变号的。 (4)如果系统(1.3.1)的轨线在相平面环形区域D 的边界上总是自外向内(图2．10)，又在D 内无奇点，则在D 内至少有一个渐近稳定的极限环。 三极管电路放大电路及其分析方法 一、教学要求 1. 重点掌握的内容 （1）放大、静态与动态、直流通路与交流通路、静态工作点、负载线、放大倍数、输入电阻与输出电阻的概念； （2）用近似计算法估算共射放大电路的静态工作点； （3）用微变等效电路法分析计算共射电路、分压式工作点稳定电路的电压放大倍数A u和A us,输入电阻R i和输出电阻R0。 2. 一般掌握的内容 （1）放大电路的频率响应的一般概念； （2）图解法确定共射放大电路的静态工作点，定性分析波形失真，观察电路参数对静态工作点的影响，估算最大不失真输出的动态范围； （3）三种不同组态（共射、共集、共基）放大电路的特点； （4）多级放大电路三种耦合方式的特点，放大倍数的计算规律。 3. 一般了解的内容 （1）共射放大电路f L、f H与电路参数间的定性关系，波特图的一般知识＜多级放大电路与共射放大电路频宽的定性分析； （2）用估算法估算场效应管放大电路静态工作点的方法。 二?内容提要 1. 共射接法的两个基本电路 共射放大电路和分压式工作点稳定电路是模拟电路中最基本的单元电路。学习这两种基本电路的分析方法是学习比较复杂的模拟电路的基础。 2. 两种基本分析方法——图解法和微变等效电路法 在“模拟电路”中，三极管是非线性元件，因此不能简单地采用“电路与磁路”课中线性电路地分析方法。图解法和微变等效电路法就是针对三极管非线性的特点而采用的分析方法。 3. 放大电路的三种组态——共射组态、共集组态和共基组态 由于放大电路输入、输出端取自三极管三个不同的电极，放大电路有三种组态——共射组态、共集组态和共基组态。由于组态的不同，其放大电路反映出的特性是不同的。在实际中，可根据要求选择相应组态的电路。 4. 两种放大元件组成的放大电路——双极型三极管放大电路和场效应管放大电路 一般来说，双极性三极管是一种电流控制元件，它通过基极电流i B的变化控制集电极电流I c的变化。而场效应管是一种电压控制元件，它通过改变栅源间的电压U GS来控制漏极电流i D的变化；其次，双极性三极管的输入电阻较小，而场效应管的输入电阻很高，静态时栅极几乎不取电流。由于它们性能和特点的不同，可根据要求选用不同元件组成的放大电路。 5. 多级放大电路的三种耪合方式一一阻容耦合、直接耦合和变压器耦合 将多级放大电辟连接起来的时候，就出现了级与级之间的耦合方式问题。通过电阻和电容将两级放大电路连接起来的方式称为阻容耦合。由于电容的作用， 1动力学分析方法 结构动力学的研究方法可分为分析方法（结构动力分析）和试验方法（结构动力试验）两大类。[7-10] 分析方法的主要任务是建模（modeling），建模的过程是对问题的去粗取精、去伪存真的过程。在结构动力学中，着重研究力学模型（物理模型）和数学模型。建模方法很多，一般可分为正问题建模方法和反问题建模方法。正问题建模方法所建立的模型称为分析模型（或机理模型）。因为在正问题中，对所研究的结构（系统）有足够的了解，这种系统成为白箱系统。我们可以把一个实际系统分为若干个元素或元件（element），对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程（如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等），再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建立的是离散模型。这是传统的建模方法，也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解（称黑箱系统——black box system）或不完全了解（称灰箱系统——grey box system）的情况，它必须对系统进行动力学实验，利用系统的输入（载荷）和输出（响应——response）数据，然后根据一定的准则建立系统的数学模型，这种方法称为试验建模方法，所建立的模型称为统计模型。 在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达式为： u I M&& (2) = - +P 其中M为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的产量；I和P是与位移和速度有关的向量，而与对时间的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统，而阻尼和耗能的影响将在I和P中体现。可以定义： + = (3) I&& C u Ku 如果其中的刚度矩阵K和阻尼矩阵C为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。可见线性动力问题的前提是假设I是与节点位移和速度是线性相关的。 将公式(2)代入(1)中，则有 基尔霍夫方程组 基尔霍夫方程组 （1）基尔霍夫第一方程组又称结点电流方程组，它指出，会于节点的各支路电流强度的代数和为零 即：∑I = 0 。 上式中可规定，凡流向节点的电流强度取负而从节点流出的电流强度取正（当然也可取相反的规定），若复杂电路共有n个节点，则共有n-1个独立方程。 基尔霍夫第一方程组是电流稳恒要求的结果，否则若流入与流出节点电流的代数和不为零，则节点附近的电荷分布必定会有变化，这样电流也不可能稳恒。 （2）基尔霍夫第二方程组又称回路电压方程组，它指出，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零 即：∑IR —∑ε= 0。 式中电流强度I的正、负，及电源电动势ε的正、负均与一段含源电路的欧姆定律中的约定一致。由此，基尔霍夫第二方程组也可表示为：∑IR = ∑ε 。 列出基尔霍夫第二方程组前，先应选定回路的绕行方向，然后按约定确定电流和电动势的正、负。 对每一个闭合回路都可列出基尔霍夫第二方程，但要注意其独立性，可行的方法是：从列第二个回路方程起，每一个方程都至少含有一条未被用过的支路，这样可保证所立的方程均为独立方程；另外为使有足够求解所需的方程数，每一个方程都至少含有一条已被用过的支路。 用基尔霍夫方程组解题的步骤： 1．任意地规定各支路电流的正方向。 2．数出节点数n，任取其中（n-1）个写出（n-1）个节点方程。 3．数出支路数p，选定m=p-n+1个独立回路，任意指定每个回路的绕行方向，列出m 个回路方程。 4．对所列的（n-1）+ （p-n+1）=p个方程联立求解。 5．根据所得电流值的正负判断各电流的实际方向。 第九章 复杂直流电路的分析与计算 一、填空题 1．所谓支路电流法就是以____ 为未知量，依据____ 列出方程式，然后解联立方程得 到____ 的数值。 2．用支路电流法解复杂直流电路时，应先列出____ 个独立节点电流方程，然后再列出 _____个回路电压方程（假设电路有n 条支路，m 各节点，且n>m ）。 3．图2—29所示电路中，可列出____个独立节点方程，____个独立回路方程。 4．图2—30所示电路中，独立节点电流方程为_____，独立网孔方程为_______、______。 5．根据支路电流法解得的电流为正值时，说明电流的参考方向与实际方向____；电流为负 值时，说明电流的参考方向与实际方向____。 6． 某支路用支路电流法求解的数值方程组如下： 1020100202050 2321321=-+=--=++I I I I I I I 则该电路的节点数为____,网孔数为___。 7．以___ 为解变量的分析方法称为网孔电流法。 8．两个网孔之间公共支路上的电阻叫____ 。 9．网孔自身所有电阻的总和称为该网孔的_______。 图2—36 图2—37 图2—38 10．图2—36所示电路中，自电阻R 11=____，R 22=_____，互电阻R 12=___。 11．上题电路，若已知网孔电流分别为I Ⅰ、I Ⅱ,则各支路电流与网孔电流的关系式为： I 1=___、I 2=____、I 3=____。 12．以____ 为解变量的分析方法称为结点电压法。 13．与某个结点相连接的各支路电导之和，称为该结点的_____ 。 14．两个结点间各支路电导之和，称为这两个结点间的____ 。 15．图2—42所示电路中，G 11=_____ 、G 22=_____ 、G 12=_____ 。 二、基本放大电路及其分析方法 一个放大器一般是由多个单级放大电路所组成，着重讨论双极型半导体三极管放大电路的三种组态，即共发射极，共集电极和共基极三种基本放大电路。从共发射极电路入手，推及其他二种电路，其中将图解分析法和微变等效电路分析法，作为分析基础来介绍。分析的步骤，首先是电路的静态工作点，然后分析其动态技术指标。对于放大器来说，主要的动态技术指标有电压放大倍数、输入阻抗和输出阻抗。 2.1.共射极基本放大电路的组成及放大作用 在实践中，放大器的用途是非常广泛的，它能够利用三极管的电流控制作用把微弱的电信号增强到所要求的数值，为了了解放大器的工作原理，先从最基本的放大电路学习： 图2.1称为共射极放大电路，要保证发射结正偏，集电极反偏Ib=（V BB-V BE）/Rb，对于硅管V BE约为0.7V左右,锗管约为0.2V左右,I B=(V BB-0.7)/Rb这个电路的偏流I B决定于V BB 和Rb的大小,V BB和Rb一经确定后,偏流I B就固定了,所以这种电路称为固定偏流电路,Rb又称为基极偏置电阻,电容Cb1和Cb2为隔直电容或耦合电容,在电路中的作用是“传送交流,隔离直流”,放大作用的实质是利用三极管的基极对集电极的控制作用来实现的. 上图是共射极放大电路的简化图,它在实际中用得比较多的一种电路组态,放大电路的主要性能指标，常用的有放大倍数、输入阻抗、输出阻抗、非线性失真、频率失真以及输出功率和效率等。对于不同的用途的电路，其指标各有侧重。 初步了解放大电路的组成及简单工作原理后，就可以对放大电路进行分析。主要方法有图解法和微变等效法。 2.2.图解分析法 2.2.1.静态工作情况分析 当放大电路没有输入信号时，电路中各处的电压，电流都是不变的直流，称为直流工作状态简称静态，在静态工作情况下，三极管各电极的直流电压和直流电流的数值，将在管子的特性曲线上确定一点，这点称为静态工作点，下面通过例题来说明怎样估算静态工作点。 解:Cb1与Cb2的隔直作用,对于静态下的直流通路,相当于开路,计算静态工作点时,只需考虑图中的Vcc、Rb、Rc及三极管所组成的直流通路就可以了，I B=（Vcc－0.7）/Rb （I C=βI B+I CEO ） I C=βI B，V CE=V CC－I C R C 如已知β，利用上式可近似估算放大电路的静态工作点。 2.2.2.用图解法确定静态工作点 在分析静态工作情况时,只需研究由V CC、R C、V BB、Rb及半导体三极管所组成的直 第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 1.1相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x ω=+ 电路问题计算的先决条件是正确识别电路，搞清楚各部分之间的连接关系。对较复杂的电路应先将原电路简化为等效电路，以便分析和计算。识别电路的方法很多，现结合具体实例介绍十种方法。 一、特征识别法 串并联电路的特征是；串联电路中电流不分叉，各点电势逐次降低，并联电路中电流分叉，各支路两端分 别是等电势，两端之间等电压。根据串并联电路的特征识别电路是简化电路的一种最基本的方法。 例1 ．试画出图1 所示的等效电路。 —b 各点电势逐次降低，两条支路的 和R4 并联后与R2 串联，再与R1 并联， 等效电路如图2 所示。 B 端流出。支路a—R1—b 和a—R2—R3(R4) a、b 两点之间电压相等，故知R3 、伸缩翻转法 无阻导线可以延长或缩 短，或将一 翻转时支路的两端保持不动； 但不 能越过元件。这样就提供了简化电路的一种方法，我们把这种方法称为伸缩翻转法。 解：设电流由 A 端流入，在a 点分叉，b 点汇合，由 在实验室接电路时常常可以这样操 作， 翻过来转过去， 支路翻到别处， 也可以 导线也可以从 解：先将连接a、c 节点的导线缩短，并把连接 R3—C —R4 支路外边去，如图4。 再把连接a、C 节点的导线缩成一点，把连接成一点，并把R5 连到节点的导线伸长线上( 图5) 。由此可看出联，接到电源上。 b、d 节点的导线伸长翻转到 b、d 节点的导线也缩 d R2、R3 与R4 并联，再与R1 和R5 串 三、电流走向法 电流是分析电路的核心。从电源正极出发 （ 无源电路可假设 电 流由一端流入另一端流出 ） 顺着电流 的走向，经各电阻绕外电路巡行一周至电源的负极， 凡是电流无分叉地依次流过的电阻均为串联， 凡是电 流有分叉地分别流过的电阻均为并联。 例 3 ．试画出图 6 所示的等效电路。 解：设想把 A 、 B 两点分别接到电源的正负极上进行分析， A 、 D 两点电势相等， B 、 C 两点电 势也相等，分别画成两条线段。电阻 R1 接在 A 、 C 两点，也即接在 A 、 B 两点； R2 接在 C 、 D 两点，也即接在 B 、 A 两点； R3 接在 D 、 B 两点，也即接在 A 、 B 两点， R4 也接在 A 、 B 两点，可见四个电阻都接在 A 、 B 两点之间均为并联 （ 图 9） 。所以， PAB =3 Ω。 解：电流从电源正极流出过 A 点分为三路 （AB 导线可缩为一点 D 点流 入电源负极。第一路经 R1 直达 D 点，第二路经 达 C 点，显然 R ） ，经外电路巡行 R2 到达 C 点，第三路经 R3 也到 2 和 R 3 接联在 点经 R4 到达 D 点，可知 联后与 R4 串联，再与 AC 两点之间为并联。二、三络电流同汇于 c R2、 R3 并 R1 并联，如图 7 所示。 四、等电势法（不讲） 在较复杂的电路中往往能找到电势相等的点， 为一点， 或画在一条线段 把所有电势相等的点归结 上。当两等势点之间有非电源元件时， 既无电源又无电流时， 取消这一支路。我们将这种简比电路的方法称为等电势法 可将之去掉不考虑； 当某条支路 法称 例 4 ．如图 8 所示，已知 R1=R 2=R 3=R4=2Ω， 两点间的总电阻 3.2 基本放大电路的分析方法 3.2.1 放大电路的静态分析 放大电路的静态分析有计算法和图解分析法两种。 （1）静态工作状态的计算分析法 根据直流通路可对放大电路的静态进行计算 (03.08) I C= I B (03.09) V CE=V CC－I C R c (03.10) I B、I C和V CE这些量代表的工作状态称为静态工作点，用Q表示。 在测试基本放大电路时，往往测量三个电极对地的电位V B、V E和V C即可确定三极管的工作状态。 （2）静态工作状态的图解分析法 放大电路静态工作状态的图解分析如图03.08所示。 图03.08 放大电路静态工作状态的图解分析 直流负载线的确定方法： 1. 由直流负载列出方程式V CE=V CC－I C R c 2. 在输出特性曲线X轴及Y轴上确定两个特殊点 V CC和V CC/R c,即可画出直流负载线。 3. 在输入回路列方程式V BE =V CC－I B R b 4. 在输入特性曲线上，作出输入负载线，两线的交点即是Q。 5. 得到Q点的参数I BQ、I CQ和V CEQ。 例3.1：测量三极管三个电极对地电位如图03.09所示，试判断三极管的工作状态。 图03.09 三极管工作状态判断 例3.2：用数字电压表测得V B=4.5V 、V E=3.8V 、V C=8V，试判断三极管的工作状态。 电路如图03.10所示 图03.10 例3.2电路图 3.2.2 放大电路的动态图解分析 (1) 交流负载线 交流负载线确定方法： 1.通过输出特性曲线上的Q点做一条直线，其斜率为1/R L'。 2.R L'= R L∥R c，是交流负载电阻。 3.交流负载线是有交流输入信号时，工作点Q的运动轨迹。 4.交流负载线与直流负载线相交，通过Q点。 图03.11 放大电路的动态工作状态的图解分析 (2) 交流工作状态的图解分析 动画 图03.12 放大电路的动态图解分析（动画3-1）通过图03.12所示动态图解分析，可得出如下结论： 1. v i→↑ v BE→↑ i B→↑ i C→↑ v CE→↓ |-v o|↑； 2. v o与v i相位相反； 3.可以测量出放大电路的电压放大倍数； 4.可以确定最大不失真输出幅度。 (3) 最大不失真输出幅度 ①波形的失真 时间序列分析读书报告与数据分析 刘愉 200921210001 时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。 一、 时间序列分析涉及的基本概念 1、 测量 对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方程等。如果用t X 或)(t X 表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成 )(1t t X f X =+或)(X F dt dX = 其中X 可以是单变量，也可以是向量，F 是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。 在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用t X 或)(t X 表示）的若干观测值（用t D 或)(t D 表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。 2、 噪声 测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。 高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画： dx M x dx x p 2222)(exp 21 )(σπσ--= （1） 其中M 和σ均为常数，分别代表均值和标准差。 3、 均值和标准差 最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。 （1）均值 如果M 是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M 的真实水平方法是：认为N 个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的est M 即可作为M 的估计。于是定义t D 与est M 的偏离为2 )(est t M D -,所以，使下面E 最小的M 的估计值即为所求： 21)(∑=-=N t est t M D E （2） 欢迎光临实用电子技术网愿你在这里有所收获！ 实用电子技术网 返回电子知识 限幅与箝位电路 一、限幅电路 图一是二极管限幅电路，电路（a）是并联单向限同上电路，电路（b）是串联单向限幅电路；电路（C)是双向限幅电路，三种电路的工作原理相同，现以电路（C）说明：分析电路原理时认为二极管的正向电阻Rf为零反向电阻Rr为无限大，当Ui>E1时，D1导通，则Uo=E1；反之，当Ui 图三、任意电平箝位电路 箝位电路可以把信号箝位于某一固定电平上，如图三（a）电路，当输入Ui=0期间，D截止，Uo=-Eo；而当输入Ui突变到Um瞬间，电容C相当短路，输出Uo由-Eo突变至Um，这时D截止，C经R及Eo充电，但充电速度很慢，使Uo随C充电稍有下降；当Ui从Um下降为零瞬间，Uo也负跳幅值Um，此时D导通，C放电很快，因此输出信号起始电平箝位于-Eoo同理，电路（b）的输出信号箝位于Eoo值得注意的是，箝位电路不仅使输出信号的起始电平箝位于某一电平，而且能使输出信号的顶部电平箝位于某一数值，电路元件估算公式如下： -------------------------------------------------式一 式中：Rf、Rr为二极管正向、反向电阻。箝位电路的电容量为： C= ---------------------------------------------------------------式二 式中：C′≤T ρ/3Rs+Rf C″≥100（Tr/R) 其中Tp为输入脉冲信号持续期，Tr为间歇期，Rs为输入信号源内阻。要选用正、反电阻相差大的二极管，如要求变化速度快及反向 恢复时间短，则选硅二极管如2CK型为宜，若要求箝位靠近零电平，则选锗二极管2AK型为合适。 第五章 简单非线性电阻电路的分析 5-1 含一个非线性元件的电阻电路的分析 一、含一个非线性元件的电阻电路都可用电源等效定理来等效 N 为含源线性网络。 二、非线性电路的一般分析方法 1、图解法 2、代数法 3、分段分析法 4、假定状态分析法 1、图解法 设非线性电阻的V AR 为 在如上图所示u 和i 的参考方向如下，线形部分的V AR 为 将 代入上式得 通常，用图解法求解u 和i 如图5-2 两曲线的交点Q 是所求解答。直线称为负载线 在求出端口电压 u Q 和 i Q 后。就 可用置换定理求出线性单口网络内部的电 ) (u f i =i R u u oc 0-=)(u f i =oc oc u u u f R u f R u u =+-=)()(00 压电流。 例5-1 电路如图5-3（a）所示，二极管特性曲线如图（d）所示，输入电压随时间变化。 （1）试求所示电路输出电压u0对输入电压u i的曲线，即u0－u i转移特性； （2）若输入电压的波形如图（e）所示，试求输出电压u0的波形。 解戴维南等效电路 由电路可知 2 i oc u u= i u u30 0 + = 若 u i 变化时（交流），戴维南等效电压源也是时变的。但Ro 是定值，所以 线性网络的负载线具有不变的斜率 -1/Ro ，在 u-i 平面上作平行移动，每一时 刻负载线在电压轴的截距总是等于等效电压源在该时刻的瞬时值，负载线与二极管特性曲线的交点也在移动，即二极管的电压、电流都随时间而变。 求u 0-u i 转移特性曲线 由图（a ）可得 当 时，0u 由 确定。 当 时,0i =， 可得转移特性曲线如图5-4所示 2、代数法 若i=f(u)中的f(u)可用初等函数表示，那么可利用节点法或回路法求解。 例5-2 如图5-5所示电路中，已知非线性电阻的V AR 为 试求电流i 。 030u u i =+0>i u i u u o 30+=0 第一章非线性动力学分析方法(6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念; 2、掌握线性稳定性得分析方法; ?3、掌握奇点得分类及判别条件; ?4、理解结构稳定性及分支现象; 5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象. 二、教学重点 1、线性稳定性得分析方法； ?２、奇点得判别。 三、教学难点 ?线性稳定性得分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 ?学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。 1、1相空间与稳定性 ?一、动力系统 在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学. 假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方 程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X ＝X i（t),则控制它们 ｉ 得方程组为常微分方程组。 ?????（１。1．1) … 其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。1．１)为自治动力系统。若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统. 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如： 令,,上式化为 上式则就是一个三维自治动力系统。 又如: 令,则化为 它就就是三微自治动力系统、 对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。 能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。 二、相空间 ,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ １ 起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。 三、稳定性 把方程组（1。1．1)简写如下 第二十章非线性动力分析 本书前面已经介绍了使用SAP2000进行线性动力分析的基本内容，线性动力分析主要任务是处理结构在多遇地震及一般动力荷载作用下的效应问题，在这阶段结构并没有进入到塑性发展阶段，因此结构的响应控制在线弹性的范围。 根据我国规范提出的结构抗震设计中“小震不坏、中震可修，大震不倒”三个设防水准，以及弹性阶段承载力设计和弹塑性阶段变形验算的两阶段设计理论，进入到大震状态（罕遇地震）是允许结构构件出现塑性发展的，并且需要程序能够进行一定深度的弹塑性分析并给出相关的效应结果。此外，目前很多实际工程中已经开始使用隔振器、阻尼器等复杂保护装置，这些装置一般需要使用非线性连接单元去模拟，而线性时程分析不能够考虑非线性连接单元的非线性属性。综上所述，特定工程需要进行相关条件下结构的非线性动力分析，也要求程序能够完成这一分析。 在SAP2000中可以进行非线性时程分析，在这一分析中可以考虑结构构件的塑性发展（塑性铰），可以考虑复杂的隔振器、阻尼器等非线性连接单元，也可以完成冲击、爆炸等复杂的动力荷载作用下结构效应分析，本章将结合这些非线性时程分析的具体问题阐述其定义方式及相关需要注意的问题。另外，需要注意的是，非线性时程分析本质上仍然是一种动力时程分析，不同之处在于它可以综合考虑结构中的非线性属性，因此部分参数选择和设置方式与线性时程分析是相同的，对于这类问题由于在线性时程分析中已经进行阐述，因此本章不会重复描述，本章的重点在于使用SAP2000进行非线性时程分析时所能够考虑的非线性属性及其意义。 20.1非线性时程分析工况的定义及相关概念 本章将分别介绍非线性时程分析的相关概念、快速非线性模态积分方法和几种常见的非线性分析类型。下面从非线性时程分析工况的定义出发，阐述非线性时程分析所涉及的几个基本概念。 20.1.1时程函数的定义 与线性时程分析相同，非线性时程分析首先需要定义时程函数曲线，定义方式与线性时程分析是相同的。如果需要进行罕遇地震作用下结构的非线性分析，需要选择地震波曲线，可以使用程序联机带有的常用地震波形式以及我国规范常用的几种场地状态下地震波曲线，可以通过峰值控制来得到罕遇地震的地震时程曲线。 除了罕遇地震作用以外，作用于结构更复杂的动力荷载一般需要提供该作用的数据形式，或工程师根据荷载特征构建荷载作用的数据形式，比如一定的冲击荷载作用或爆炸荷载作用。对于这类荷载数据形式的形成和使用方式与线性时程分析中所描述的时程曲线形成的方式相同，对于几种典型动力作用的时程曲线我们在本章后面相关专题将会再次涉及到。 20.1.2时程工况的定义 与线性时程分析相同，完成时程函数曲线定义之后，需要定义非线性时程分析工况。当选择添加新工况并在分析工况类型下拉菜单中选择Time History，可以弹出时程分析工况定义对话框。非线性分析工况定义对话框与线性时程分析对话框是相同的，见图20-1。 你问的是这个问题吗？ 下图：是二极管限幅电路，电路（a）是并联单向限同上电路，电路（b）是串联单向限幅电路；电路（C)是双向限幅电路，三种电路的工作原理相同，现以电路（C）说明：分析电路原理时认为二极管的正向电阻Rf为零反向电阻Rr为无限大，当Ui>E1时，D1导通，则Uo=E1；反之，当Ui 导通，u O s＝E；当uｉ低于E时，D截止，u O＝uｉ。它的限幅特性如图Z1610所示。显然，这是一个上限幅器。 将上、下限幅器组合在一起，就组成了如图Z1611所示的双向限幅电路，它的限幅特性如图Z1612所示。当输入一个振幅较大的正弦信号时，输出波形见图Z1613。 2．三极管限幅器 利用三极管的截止和饱和特性也可构成限幅电路（如图Z1614所示），这类电路还兼有放大作用。为了满足一些较高的技术要求，还可以用集成运放构成限幅电路。 备做一个限幅电路的整理，在学校内学的如下图： R u i D u O E t 一、实验目的 实验：设计和探究二极管限幅电路 1、了解限幅电路的构成 2、掌握限幅电路的工作原理和分析方法 3、测量限幅电路的传输特性二、实验仪器 1、双踪示波器 2、直流源 3、函数发生器 4、高频电子线路实验箱三、实验原理和装置图 1、二极管下限幅电路 在下图所示的限幅电路中，因二极管是串在输入、输出之间，故称它为串联限幅电路。图中， 若二极管具有理想的开关特性，那么，当u i 低于 E 时，D 不导通， u o ＝E ；当 u ｉ高于 E 以 后，D 导通， u o ＝ u i 。该限幅器的限幅特性如图所示，当输入振幅大于 E 的正弦波时，输 出电压波形见。可见，该电路将输出信号的下限电平限定在某一固定值 E 上，所以称这种限幅器为下限幅器。如将图中二极管极性对调，则得到将输出信号上限电平限定在某一数值上的上限幅器。 D E u i 幅限特性 2、二极管上限幅电路 在下图所示二极管上限限幅电路中，当输入信号电压低于某一事先设计好的上限电压时，输出电压将随输入电压而增减；但当输入电压达到或超过上限电压时，输出电压将保持为一个固定值，不再随输入电压而变，这样，信号幅度即在输出端受到限制。 u i u E R u i u O u O E E t t t R u i D 1 D2 u O E E t 3、 二极管双向限幅电路 将上、下限幅器组合在一起，就组成了如图所示的双向限幅电路。 u i u E E E E 四、实验内容 1、实验电路图如下图所示。 2、观察输出电压与输入电压的波形并记录，测试输出电压与输入电压的关系，即进行传输特性测试并记录。 3、对结果进行分析，并得出结论五、数据记录 A ： -3.751V -2.145V -1.140V 1.340V 2.279 5.525 7.726 B: -2.547V -2.145V -1.139V 1.340V 2.279 5.429 5.563 六、数据处理和实验结论 1. 这些数据都几乎一样，没什么太大差别。 2. 结论：二极管最基本的工作状态是导通和截止两种。 信号幅度比较小时的电路工作状态，即信号幅度没有大到让限幅电路动作的程度，这时限幅电路不工作。 信号幅度比较大时的电路工作状态，即信号幅度大到让限幅电路动作的程度，这时限幅电路工作，将信号幅度进行限制。 第三小组： 时间：2012 年 5 月 10 日星期四 t 例5：如图所示，当接通开关S后，发现电流表指针偏转，电压表指针不 动，则故障可能是（） A．L1的灯丝断了B．L2的灯丝断了 C．L1的接线短路D．L2的接线短路 初中物理电学综合问题难点突破 电学综合题历来是初中物理的难点，在近几年的中考题中屡屡出现，由于试题综合性强，设置障碍多，如果学生的学习基础不够扎实，往往会感到很难。在实际教学中，许多教师采用的是“题海战术”，无形加重了学生学习的课业负担。探索和改进电学综合问题教学，是一项很有价值的工作。 在长期的初中教学实践中，本人逐步探索了一套电学综合问题教学方案，对于学生突破电学综合问题中的障碍有一定效果。一、理清“短路”概念。 在教材中，只给出了“整体短路”的概念，“导线不经过用电器直接跟电源两极连接的电路，叫短路。”而在电学综合题中常常会出现局部短路的问题，如果导线不经过其他用电器而将某个用电器（或某部分电路）首尾相连就形成局部短路。局部短路仅造成用电器不工作，并不损坏用电器，因此是允许的。因它富于变化成为电学问题中的一个难点。 局部短路概念抽象，学生难以理解。可用实验帮助学生突 破此难点。实验原理如图1，当开关 S闭合前，两灯均亮（较暗）；闭合后， L1不亮，而L2仍发光（较亮）。 为了帮助初中生理解，可将L1比作 是电流需通过的“一座高山”而开关S 的短路通道则比作是“山里的一条隧 洞”。有了“隧洞”，电流只会“走隧洞”而不会去“爬山”。 二、识别串并联电路 电路图是电学的重要内容。许多电学题一开头就有一句“如图所示的电路中”如果把电路图辨认错了，电路中的电流强度、电压、电阻等物理量的计算也随之而错，造成“全军覆没”的局面，所以分析电路是解题的基础。初中电学一般只要求串联、并联两种基本的连接，不要求混联电路。区分串、并联电路是解电学综合题的又一个需要突破的难点。 识别串、并联有三种方法，⑴、电流法；⑵、等效电路法；⑶、去表法。 ⑴、电流法：即从电源正极出发，顺着电流的流向看电流的路径是否有分支，如果有，则所分的几个分支之间为并联，（分支前后有两个节点）如果电流的路径只有一条（无分支点），则各元件之间为串联。此方法学生容易接受。 ⑵、等效电路法：此方法实质上运用了“电位”的概念，在初中物 复杂电路的简化方法 一 .“拆除法”突破短路障碍 短路往往是因开关闭合后，使用电器（或电阻）两端被导线直接连通而造成的，初学者难以识别。图1即为常见的短路模型。一根导线直接接在用电器的两端，电阻R被短路。既然电阻R上没有电流通过，故可将电阻从电路中“拆除”，拆除后的等效电路如图2所示。 图 1 图 2 二 .“分断法”突破滑动变阻器的障碍 较复杂的电路图中，常通过移动变阻器上的滑片来改变自身接入电路中的电阻值，从而改变电路中的电流和电压，从而影响我们对电路作出明确的判断。滑动变阻器的接入电路的一般情况如图3所示。若如图4示的接法，同学们就难以判断。此时可将滑动变阻器看作是在滑片P处“断开”，把其分成AP和PB两个部分， 即等效成图5的电路，其中PB部分被短路。当P从左至右滑动时，变阻器接入电路的电阻AP部分逐渐变大；反之，AP部分逐渐变小。 图 3 图 4 图 5 三 .突破电压表的障碍 1. “滑移法”确定测量对象 所谓“滑移法”就是把电压表正、负接线柱的两根引线顺着导线滑动至某用电器（或电阻）的两端，从而确定测量对象的方法，但是滑动引线时不可绕过用电器和电源（可绕电流表）。如图6，用“滑移法”将电压表的下端滑至电阻R1左端，不难确定，电压表测量的是R1和R2两端的总电压；将电压表的上端移至R3右端，也可确定电压表测量的是R3两端电压，同时也测的是电源电压。 2. “用拆除法”确定电流路径 因为电压表的理想内阻无穷大，通过它的电流为零，可将其从电路中“拆除”，即使电压表两端断开，来判断电流路径。如图6所示，用“拆除法”不难确定，R1和R2串联，再与R3并联。 图 6 四 .“去掉法”突破电流表的障碍 由于电流表的存在，对于弄清电流路径，简化电路存在障碍。因电流表的理想内阻为零，故可采用“去掉法”排除其障碍，即将电流表从电路中“去掉”，并将连接电流表的两个接线头连接起来。如图7，去掉电流表后得到的等效电路如图8所示。这样就可以很清楚地看清电路的结构了。 第2章 电路的分析方法 本章要求： 1. 掌握支路电流法、叠加原理和戴维宁定理等电路的基本分析方法。 2. 理解实际电源的两种模型及其等效变换。 3. 了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、动态电阻的概念，以及简单非线性电阻电路的图解分析法。 重点： 1． 支路电流法； 2． 叠加原理； 3．戴维宁定理。 难点： 1． 电流源模型； 2． 结点电压公式； 3． 戴维宁定理。 2.1 电阻串并联联接的等效变换 1．电阻的串联 特点： 1)各电阻一个接一个地顺序相联； 2)各电阻中通过同一电流； 3)等效电阻等于各电阻之和； 4)串联电阻上电压的分配与电阻成正比。 两电阻串联时的分压公式： 2．电阻的并联 特点: 1)各电阻联接在两个公共的结点之间； 2)各电阻两端的电压相同； 3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和； 4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比。 U R R R U 2111+=U R R R U 2 122+= 两电阻并联时的分流公式： 2.3 电源的两种模型及其等效变换 1．电压源 电压源是由电动势 E 和内阻 R 0 串联的电源的电路模型。若 R 0 = 0，称为理想电压源。 特点： (1) 内阻R 0 = 0； (2) 输出电压是一定值，恒等于电动势（对直流电压，有 U ≡ E ），与恒压源并联的电路电压恒定； (3) 恒压源中的电流由外电路决定。 2．电流源 电流源是由电流 I S 和内阻 R 0 并联的电源的电路模型。若 R 0 = ∞，称为理想电流源。 特点： (1) 内阻R 0 = ∞ ； (2) 输出电流是一定值，恒等于电流 I S ，与恒流源串联的电路电流恒定； (3) 恒流源两端的电压 U 由外电路决定。 3．电压源与电流源的等效变换 等效变换条件： E = I S R 0 0 R E I = S 注意： ① 电压源和电流源的等效关系只对外电路而言，对电源内部则是不等效的。 ② 等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。 ③ 理想电压源与理想电流源之间无等效关系。 ④ 任何一个电动势 E 和某个电阻 R 串联的电路，都可化为一个电流为 I S 和这个电阻并联的电路。 4．电源等效变换法 （1） 分析电路结构，搞清联接关系； （2） 根据需要进行电源等效变换； （3） 元件合并化简：电压源串联合并，电流源并联合并，电阻串并联合并； I R R R I 2121+=I R R R I 2 112+= ·自然科学研究· 结构非线性动力分析方法综述 周文峰 郭 剑 (攀枝花学院土木工程学院,四川攀枝花 617000) 摘 要 时程分析法是一种计算机模拟分析方法,其优势在于能模拟出结构进入非弹性阶段的受力性能。该 方法主要包括结构分析模型、单元模型和恢复力模型三个重要方面。本文从这三个方面简单介绍了结构非线 性动力反应分析方法。 关键词 非线性;动力分析;模型 结构抗震设计方法经历了静力阶段、反应谱阶段和动力阶段。从本质上说,前二者所采用的方法均为静力法,且只能进行弹性分析。动力阶段的形成建立在计算机的普及和数值分析方法的出现基础之上,其分析方法称为时程分析法。时程分析法本质上是一种计算机模拟分析方法,能够计算出结构地震反应的全过程,该方法的突出优势在于能模拟出结构进入非弹性阶段的受力性能。 时程分析法的出现促进了结构非线性地震反应分析的发展。它主要包括结构分析模型、单元模型和恢复力模型三个重要方面,下面从这三个方面进行简单介绍。 1 结构分析模型 结构的模型化是非线性动力反应分析的第一步,结构模型的模拟应着重于其动力特性的模拟。因此体系恢复力、质量、阻尼模型的准确性是模拟精度的前提。目前的结构分析模型可分为以下几类: 1.1 层间模型 考虑到框架结构质量的分布规律,很容易形成以楼层为单元的多质点体系的思路,故将这种模型称之为层间模型。在研究框架结构动力反应时,层间模型中采用得最多的是层间剪切型模型。该模型假定框架结构层间变形以剪切变形为主,忽略其它形式变形的影响,故而比较适用于高跨比不大、层数不多的框架。为了进一步拓宽此模型的适用范围,在此模型基础上又发展了层间剪弯型模型,使之能适用于层数较多和高跨比较大的框架。 但是层间模型在实际使用中却存在比较大的困难,这主要反映在如何具体确定层间的剪切刚度及弯曲刚度的问题上,而且这二者之间又是耦合在一起的。这一问题层间模型自身是无法解决的。目前,层间模型只是对于常见的层数不多且平面布置十分简单、规则、对称并且能简化为平面结构的框架有一定的实用性,也就是说对于这类框架通常能根据经验进行适当的假设后进行简单推导得到层间单元刚度。 1.2 杆系模型 杆系模型是将整体结构离散为梁、柱单元进行分析。杆系分析模型的出现不仅解决了层间模型所面临的层间刚度无法确定的困难,而且它还解决了层间模型所固有的另外两个缺陷。其一,如果说层间模型从宏观(层单元)角度展示了结构总体动力反应规律,那么由于框架各杆进入非弹性阶段的先后次序不同所造成的整个框架动力反应规律的不同,则是层间模型所不能解释、反映的。其二,无论从抗震研究还是设计角度来看,框架结构的梁、柱构件在地震作用下的反应规律到底如何也是人们所关心的,因为结构的设计最终要落实到构件的设计。如柱端弯矩增大系数应如何取值等,这些问题采用层间模型是无法回答的,从这个角度看也必须将框架结构细化到至少是构件层次才有可能解决这些问题。 杆系分析模型分为两大类,平面杆系分析模型与空间杆系分析模型。目前,平面杆系分析模型的研究相对较为成熟,国内外已开始将注意力转向空间杆系分析模型的研究上。 2 单元模型 对于杆系分析模型,目前用于模拟单元滞回性能的模型已有很多,这些单元分析模型可采取分类的方式加以比较考察。这些模型大致可分为两大类若干小类。 2.1 集中塑性铰模型 单分量模型是集中塑性铰模型中最简单的一类,该模型将杆单元的非弹性性能用非线性弹簧反映,而不对非弹性变· 109·第23卷第4期 攀枝花学院学报 2006年8月V o l .23.N o .4 J o u r n a l o f P a n z h i h u a U n i v e r s i t y A u g .2006三极管放大电路及其分析方法
动力学分析方法
第九章-复杂直流电路的分析与计算试题及答案 (2)word版本
基本放大电路及其分析方法
第一章 非线性动力学分析方法
初中十种复杂电路分析方法实用
基本放大电路的分析方法
非线性动力学数据分析
限幅与钳位电路分析
简单非线性电阻电路的分析
第一章 非线性动力学分析方法
24第20章_非线性动力分析_李永双概论
限幅电路
二极管限幅电路实验报告(最新整理)
初中物理电路分析方法以及典型例题(超级有用)
复杂电路的简化方法23270
电路的分析方法电子教案
结构非线性动力分析方法综述_周文峰