矩阵的对角化及其应用
学院2016届
本科毕业论文(设计)
矩阵的对角化及其应用
学生：学号：
专业：数学与应用数学指导老师：
答辩时间：2016.5.22 装订时间：2016.5.25
A Graduation Thesis (Project)
Submitted to School of Science, Hubei University for
Nationalities
In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree
In the Year of 2016
Diagonalization of the Matrix and its Applications
Student Name Student No.:
Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor:
Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25
摘要
矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.
关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式
Abstract
The matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.
Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal
polynomial
目录
摘要......................................................................................................I Abstract................................................................................................II 绪言 (1)
课题背景 (1)
目的和意义 (1)
国外概况 (1)
预备知识 (2)
相关概念 (2)
矩阵的对角化 (4)
特殊矩阵的对角化 (14)
矩阵对角化的应用 (22)
总结 (24)
致谢 (25)
参考文献 (26)
独创声明 (28)
1 绪言
本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.
1.1 课题背景
在由大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.
1.2 课题研究的目的和意义
课题研究的意义：
(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；
(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；
1.3 国外概况
实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.
2 预备知识
给出本文容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解. 定义1 常以n m P ?表示数域P 上n m ?矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.
定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵
T n n P ?∈，使得AT T B 1-=或者BT T A 1-=.
根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1-=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C .
定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵
T n n P ?∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.
根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(--=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T
=和2
122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.
定义4 式为???
?
???
?
???
?m b b b 0000000
2
1 的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数
（),2,1m i ??=.
定义5 方阵A n n P ?∈，若BT T A 1-=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化.
定义6 方阵A n n P ?∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.
定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.
定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =-；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =-；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P -=-.
定义9 设方阵n n P B ?∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵.
定义10 设方阵n n P A ?∈，若A A m =，就称A 为幂幺矩阵.
定义 11 设方阵C n n P ?∈，若C C =2，就称C 为幂等矩阵.
定义 12 设方阵n n P A ?∈，P ∈λ，若存在向量，满足X Al λ=，我们就称λ是A 的特征值，X 是A 属于特征值λ的特征向量.
定义13 n n P A ?∈，定义)(λA m 为矩阵A 的最小多项式 ，)(λA m 的一个根为A 而且比其他以A 为根的多项式的次数都低，)(λA m 首项系数是1.
3 矩阵的对角化
本章介绍数域P 上n 阶方阵阵的对角化问题.
先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.
引理1 如果1μ，…，k μ是矩阵Q 的不同的特征值，而,1i α…，i ir α是属于特征值
i λ的线性无关的特征向量，2,1=i …,k ，那么,11α…,1
1r α，…,1k α，…，k
kr α也线性无关.
证明：假设++12121111ααt t …++1111r r t α…++11k k t α…k k kr kr t α+=0，P t ij ∈，令+11i i t α…+i i i i k k t α=i η，则
i i i Q ηλη=（2,1=i ...k ,）， 且 ++21ηη...k η+=0 (1)
分别用,,,2Q Q E …1,-k Q 左乘以（1）两端，再由引理4得：i i i m Q ηλη=，
（1...2,1-=k m ;t i ,...,1=),由此有
?????????=++=++=++=++---.
0......................................,
0...,
0...,0...
12121112
2221212
21121k k k k k k K k K k ηληληληληληληληληληηη 该线性方程组的系数矩阵为
??????? ??=---1121121
1111
k k k k k D λλλλλλ
，D 为德蒙行列式，又由)...2,1(k i i =λ互异有0≠D . 根据克拉默法则就有0=i η，即+11i i t α…+i i i i k k t α=0，再由i ir i αα,...,1线性无关得：
)...2,1(0...21k i t t t i i i i k ===== ，故k i kr ir r αααα...,...,,...,1111线性无关.
推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 Q n n P ?∈与对角阵相似?Q 有n 个特征向量，它们是线性无关的.
证明：Q 可以对角化?存在可逆矩阵21,(T T T =，…，)n T 使得
??????? ??=-n QT T λλλ00211 ，即?????
?
? ??=n T QT λλλ002
1
? ,,(21QT QT …),n QT =（,,21T T λλ…n T λ,).
因此Q 可以对角化?存在i T （2,1=i …n ,）P ∈使得i i i T QT λ=，也即Q 有n 个线性无关的特征向量.
根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.
推论2如过方阵n n P Q ?∈有n 个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.
证明：由Q 有n 个不同的特征值及引理1的推论有Q 有n 个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q 可以对角化. 注意：该推论为对角化的充分条件.
定理2 t μμμ,...,,21（互不相同）是B n n P ?∈的特征值，),...,2,1(t i P i =∈μ， B 可对角化?
n t B E r t
i i
)1()(1
-=-∑=μ （r 表示矩阵的秩）.
证明：0)(=-X B E i μ的基础解系的一组基向量的个数为：)(B E r n i --μ，我们可以得到关于i μ的线性无关的特征向量的个数是)(B E r n i --μ（),...,2,1t i =，再由引理1推出矩阵B 有))((1B E r n t
i i --∑=μ个线性无关的特征向量.
根据定理1就有：n 阶方阵B 可对角化?B 有n 个线性无关的特征向量 ?))((1
B E r n t
i i
--∑=μ=n ，
?
n t B E r t
i i
)1()(1
-=-∑=μ.
定理3 n n P Q ?∈与对角矩阵相似的充要条件：)...,2,1(t i P i =∈λ且i i r Q E n =--)(λ (i r 表示i λ的代数重数).
证明：设i λ的线性无关的特征向量为i ir i i βββ,...,,21，由引理1有：
t
i
tr ir r βββββ,...,,...,,...,,1
11211线性无关.
若n r r r t =+++...21，那么Q 就有n 个线性无关的特征向量?Q 可以对角化. 若Q 与对角矩阵相似，则Q 的属于不同特征值的特征向量总数一定为n . 否则根据定理1就可以推出t λλλ,...,,21线性相关，矛盾.
相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.
下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.
引理2 设n 阶方阵B A ,n n P ?∈，则有)()()(B r A r B A r +≤+.
证明：先证)()(],[B rank A rank B A rank +≤……(2). 根据矩阵秩的定义有 ≤],[B A r n n 2?阶矩阵],[B A 的线性无关的行数
≤方阵A 的线性无关的行数+方阵B 的线性无关的行数 ≤)()(B r A r +.
对方阵矩阵=+A B ???
???E E A B ],[，由(2)式有],[)(B A r A B r ≤+，所以
)()()(B r A r B A r +≤+.
引理3 对于n 阶方阵D C ,有n B r A r AB r -+≥)()()(.
证明：先证????
??≤???? ??=+D O T C r D O O C r D r C r )()(……（3），其中T 为任意n 阶方阵.
显然当D C ,中有一个为O 时结论成立；另设q D r p C r ==)(,)(，则C 有p 阶子式
01≠M ，D 有q 阶子式02≠M .
于是????
??D O T C 有q p +阶子式
0*
212
1
≠=M M M O
M , 因此)()(D r C r q p D O T C r +=+≥???
? ??.
要证n B r A r AB r -+≥)()()(，只需证明：
)
()()(B r A r n AB r +≥+
运用分块矩阵的初等变换有：
???
?
??-→???? ??-→???? ??→???? ??A O E B O A B E AB A O E AB O
O E n n
n
n
， 有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：
)()()(B r A r A O E B r n AB r n +≥????
?
?-=+. 另证：令p A r =)(，则存在可逆矩阵D C ,使得CAD =???? ?
?O O
O E p
，若令???
? ??--p n E O O O C 11-D =H ,则)(H r p n -=以及A H +=11--D C . 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此
)(B r =r (B D C 11--) =)()(HB r AB r + ≤r(AB)+r(H) p n AB r -+≤)(.
引理3的一般形式：（Syl 希尔维斯特不等式）设A ，B ，C n n P ?∈分别为
t k k j j i ???,,矩阵，则
)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥. 证明：要证)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥只需证明
)()()()(BC r AB r B r ABC r +≥+, 因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而
???? ??-=???? ?????? ??-???? ?
????? ??BC B O AB
O E E O E C O E B O O ABC E O A E ， 也即
???? ??-→???? ??-→???? ??→???? ?
?BC B O AB B BC AB O B O AB ABC B O O ABC ， 再有定理(3)就得
)()(BC rank AB rank BC B O AB
rank B O O ABC rank +≥???
? ??-=???? ??. 推论3设t B B B ,...,,21为数域P 上的n 阶方阵，则
)...()1()(...)()(2121t t B B B r n t B r B r B r +-≤+++.
定理4 设n 阶方阵Q n n P ?∈，21μμ≠，且0))((21=--Q E Q E μμ，则Q 可对角化.
证明：由21μμ≠，0))((21=--Q E Q E μμ有矩阵Q 的特征值为1μ或2μ，根据引理2，引理3得：n Q E r Q E r =-+-)()(21μμ，从而Q 的特征向量(线性无关)共有
n Q E r n Q E r n =--+--)()(21μμ个.
由定理1即得矩阵Q 可对角化.
定理4' 设n 阶方阵Q n n P ?∈,t μμμ,...,,21两两互不相等，若
0))(())((121=--?---Q E Q E Q E Q E t t μμμμ
则Q 与对角阵相似.
证明：根据0))(())((121=--?---Q E Q E Q E Q E t t μμμμ有Q 的特征值在
t μμμ,......,21中取得. 再由引理3的推论有
n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-≤-++-+-μμμ,
从而方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为
)(...)()(21Q E r n Q E r n Q E r n t --++--+--μμμ))(...)()((21Q E r Q E r Q E r tn t -++-+--=μμμ
n t tn )1(--≥n =.
又因为n Q r ≤)(，故方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为n ，由此矩阵Q 可对角化.
推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：
n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-=-++-+-μμμ.
定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.
定理5 设t μμμ,...,,21（互不相同）是n n P Q ?∈的的特征值，重数分别为t s s s ,...,,21且n s s s t =+++...21，Q 可对角化?
0)(1
=-∏=Q E t
i i
μ.
证明：先证明必要性
Q 与V =????
??
?
?
?T μμμ
2
1相似，则存在非奇异矩阵T 满足 ??????
?
?
?==-t t E E E T TVT Q μμμ
2
21
111
-T ， 其中),...2,1(t i E i =为i s 阶单位矩阵，于是
1)()(--=-T V E T Q E i i μμ
=12
211)()()(-?????
?
?
??---T E E E T t t i i i μμμμμμ ， 从而有
∏∏=-=-=-t
i i
t i i
T
V E T Q E 1
1
1
)()(μμ
??
??????
? ?
?
---=∏∏∏i t t i i
i
i i E E E T )()()(2
211μμμμ
μμ
1-T . 由于),...,2,1(0)(t j E i
j j i ==-∏μμ，因此0)(=-∏Q E i
i μ.
再证充分性：对于n 阶矩阵Q ，存在可逆矩阵T ，使得
1
2
11--??????
?
?
?==T J J J T TJT Q t
， ),...,2,1(t i J i =是Jordan 块，若=j J j j E μ),...2,1(t j =，Q 就可以对角化，而
1)()(--=-T J E T Q E i i μμ
12
211)()()(-?????
?
?
??---=T E J E J E J T t t i i i μμμ ， 12
21
1)()()()(-???
?????
?
?
?---=-∏∏∏∏T E J E J E J T Q E i t t i i
i
i i i
i μμ
μμ
. 所以，若0)(=-Q E i μ，则因T 可逆有),...,2,1(0)(t j J E i
j i i ==-∏μ，又因为当j i ≠时，
(j i μμ≠0)≠，)(j j i J E -μ可逆，所以0)(=-j j j J E μ，即),...,2,1(t j J E j j j ==μ. 引理4 n
n P
X ?∈,1?,2?…...m ?是X 的关于特征值λ的特征向量，我们有i
m
i i k ?∑=1
（m i k i ,...,2,1,=不全为0，P k i ∈）也是X 的关于λ的特征向量.
证明：已知i i X ?=?λ，则i i i i k X k ?=?λ，也即i i i i k Xk ?=?λ，因此
i m
i i i m i i k k X ?=?∑∑==1
1
λ，
又i k 不全为0，因此01
≠?∑=i m i i k ，由特征向量的定义有i m
i i k ?∑=1
是矩阵X 的属于特
征值λ得特征向量.
定理6 t μμμ,...,,21(互不相同)是n 阶矩阵Q 的所有特征值，它们的代数重数依次是t s s s ,...,,21，则方阵Q 与对角矩阵相似?),...,2,1()(t j s A r j j ==,∏≠-=j
i i j Q E A )(μ.
证明：先证必要性.
Q 可对角化?存在可逆矩阵T 使得121),...,,(-=T Tdiag Q t μμμ，从而
)(Q E A j
i i j -=∏≠μ
12
211)()()(-≠≠≠???
?????
? ?
?---=∏∏∏T E E E T j i t t i j
i i
j i i μμμμ
μμ
1
1
)(-≠????????
?
?
?-=∏T O E O T t j
i j
j i
μμ
， 其中j O 为j s 阶0矩阵，j E 为j s 阶单位矩阵（),...,2,1(t j =. 因T 可逆，且j i μμ≠，所以有
j j j j j
i i j s E r E r A r ==-=∏≠)())(()(μμ),...,2,1(t j =.
再证充分性：用反证法.
假设方阵Q 不与对角矩阵相似，由几何重数≤代数重数得：至少存在一个整数q ，使得q q s n Q E r ->-)(μ，于是当q j ≠时，由引理3有
∑∏≠≠---≥-=j
i i j
i i j n t Q E r Q E r s )2()())((μμ
∑≠--->j
i j n t s n )2()(
∑≠----=j
i i s n t n t )2()1(
j j s s n n =--=)(.
矛盾，假设不成立，故Q 与对角矩阵相似.
定理7 t μμμ,...,,21(互不相同)是n 级方阵Q n n P ?∈的所有特征根，若对任意
m +∈Z 满足)()(Q E r Q E r i m i -=-μμ,则矩阵Q 与对角矩阵相似.
证明：设t μμμ,...,,21的重数分别为t s s s ,...,,21，由Hamilton Cayley -定理(高等代数第三版，高等教育)得：
O Q E Q E Q E t s t s s =---)...()()(2121μμμ，
再有引理3的推论就有
t s t s s Q E r Q E r Q E r )(...)()(2121-++-+-μμμ
))...()(()1(11t s t s Q E Q E r n t --+-≤μμ
n t )1(-=.
对任意正整数m ，有)()(Q E r Q E r i m i -=-μμ，因此
n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-≤-++-+-μμμ.
从而有方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为
)(...)()(21Q E r n Q E r n Q E r n t --++--+--μμμ )](...)()([21Q E r Q E r Q E r tn t -+-+--=μμμ
n n t tn =--≥)1(.
又n Q r ≤)(，从而Q 的线性无关的特征向量的个数小于或等于n ，因此Q 共有n 个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q 与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.
定理8 n 阶方阵Q 与对角矩阵相似?矩阵Q 的最小多项式)(μQ m 无重根. 证明：先证必要性.
Q 和对角阵相似?存在非奇异矩阵n n P T ?∈，满足
矩阵的可对角化及其应用
附件： 分类号O15 商洛学院学士学位论文 矩阵的可对角化及其应用 作者单位数学与计算科学系 指导老师刘晓民 作者姓名陈毕 专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班 提交时间二0一一年五月
矩阵的可对角化及其应用 陈毕 （数学与计算科学系2007级1班） 指导老师刘晓民 摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业（学位）论文题目汇总 一、数学理论 1.试论导函数、原函数的一些性质。 2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3.数学中一些有用的不等式及推广。 4.函数的概念及推广。 5.构造函数证明问题的妙想。 6.对指数函数的认识。 7.泰勒公式及其在解题中的应用。 8.导数的作用。 9.Hilbert空间的一些性质。 10.Banach空间的一些性质。 11.线性空间上的距离的讨论及推广。 12.凸集与不动点定理。 13.Hilbert空间的同构。 14.最佳逼近问题。 15.线性函数的概念及推广。 16.一类椭圆型方程的解。 17.泛函分析中的不变子空间。 18.线性赋范空间上的模等价。 19.范数的概念及性质。 20.正交与正交基的概念。 21.压缩映像原理及其应用。 22.隐函数存在定理的再证明。 23.线性空间的等距同构。 24.列紧集的概念及相关推广。 25.Lebesgue控制收敛定理及应用。 26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27.重积分与累次积分的关系。 28.可积函数与连续函数的关系。 29.有界变差函数的概念及其相关概念。 30.绝对连续函数的性质。 31.Lebesgue测度的相关概念。 32.可测函数与连续函数的关系。 33.可测函数的定义及其性质。 34.分部积分公式的推广。 35.Fatou引理的重要作用。 36.不定积分的微分的计算。 37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38.Schwartz不等式及推广。 39.阶梯函数的概念及其作用。 40.Fourier级数及推广。
41.完全正交系的概念及其作用。 42.Banach空间与Hilbert空间的关系。 43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦的性质 51.用射影的观点指导中学初等几何内容 52.用近代公理分析中学几何中的公理系统 53.球上Hardy空间上的加权复合算子 54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子 55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子 56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子 57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 59.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 60.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 62.试述函数在数学中的地位和作用。 63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 64. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 65.论在数学教学中培养学生的创新精神。 66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用 67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。 68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 69.数学知识的分类及其教学策略 70.数学知识的分类测量与评价 71.关于导函数性态的讨论与研究 72.泰勒公式及其应用 73.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 74.随机变量函数的分布密度及其求法 75.用微积分理论证明不等式的方法 76.数学分析中的化归法 77.微积分与辩证法 78.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 79.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 80.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 81.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 82.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2.
04 矩阵的对角化
第四讲 矩阵的对角化 对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax b =时，将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。以前我们学习过相似变换对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？ 一、特征征值与特征向量 1. 定义：对n 阶方阵A ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使得Ax x λ=,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量。 ☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量； ☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称
det()I A λ-为A 的特征多项式。 例1 12 22122 2 1A ????=?????? ，求其特征值和特征向量。 【解】1 22 det()2 122 21 I A λλλλ----=------ 2 (1)(5)λλ=+-， 特征值为 121λλ==-，35λ=， 对于特征值1λ=-，由 ()0I A x --=， 1232222220222ξξξ?? ??????=???????????? ， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，
可取基础解系为 1101x ?? ??=?? ??-?? ，2011x ????=????-??， 所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数. 对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=， 1234222420224ξξξ--?? ??????--=????????--???? ， 123ξξξ== ， 可取基础解系为 3111x ?? ??=?????? ， 所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 33k x ，其中3k 为非零的数. 2. 矩阵的迹与行列式
井冈山大学2020年普通专升本《数学与应用数学》专业基础科目考试大纲
井冈山大学2020年专升本《高等数学》课程考试大纲 一、考试科目概述 高等数学是理工科各本科专业的一门基础课程，是学好各专业课的重要的数学工具。通过该课程的学习，学生系统地掌握函数极限和连续、一元函数微积分、常微分方程、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分以及级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶。起到培养学生理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的能力，从而能够正确地运用数学工具解决专业学习中的问题的能力，为学好各门专业课程打下扎实的数学基础。 二、考试内容
三、考试方式与试卷结构 1.考试方式：闭卷，笔试 2.试卷分数：满分150分 3.考试时间：120分钟 4.题型比例： 填空题，共7小题，每小题3分，计21分。 单项选择题，共7小题，每小题3分，计21分。计算题，共8小题，每小题10分，计80分。 综合或应用解答题2题，计20分。 证明题1题，计8分.
井冈山大学2020年专升本《线性代数》课程考试大纲 一、考试科目概述 线性代数是理工科各本科专业的一门基础课程，是学好各专业课的重要的数学工具。通过本课程的学习，使学生不仅能较好地掌握行列式、矩阵特有的分析概念，并在一定程度上掌握用行列式、矩阵解决问题的方法，而且能使他们对线性代数的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其解决实际问题中的一些简单课题。通过该课程的学习，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。 二、考试内容 章节（名称）专题（名称）知识与技能考核点 第一章行列式行列式的性质行列式的性质及应用 行列式的计算行列式的计算 行列式按一行(列)展开行列式按一行(列)展开的应用 第二章 矩阵及其运算矩阵的概念与运算性质矩阵的运算性质 矩阵的逆逆矩阵的性质、计算和应用 矩阵的分块法运用分块矩阵思想解决矩阵相关计算问题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换矩阵的初等变换的性质及应用矩阵的秩矩阵秩的性质及计算 线性方程组的解线性方程组有解的判定及计算 第四章 向量组的线性相关性向量组线性相关与线性无关向量组线性相关与线性无关的概念与判定向量组的秩向量组的秩的判定 线性方程组解的结构线性方程组通解的计算 向量空间向量空间的性质 第五章 相似矩阵及二次型向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性的概念与性质方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的计算 相似矩阵利用相似变换化矩阵为对角矩阵 对称矩阵的对角化利用对角变换化矩阵为对角矩阵 二次型及其标准形二次型的矩阵及标准形的定义 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 正定二次型正定二次型的判定
矩阵对角化及应用论文
矩阵对角化及应用 理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云 摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择. 1．矩阵对角化概念及其判定 所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵. 定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使 1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化. 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组 AX X λ= (1) 存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量． （1）式也可写成, ()0E A X λ-= (2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 =0E A λ-, (3)
即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵 的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值． 设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都 是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-； 第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值； 第三步：对于 的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数） ． 设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;
最新对角化矩阵的应用本科
对角化矩阵的应用本 科
XXX学校 毕业论文（设计） 对角化矩阵的应用 学生姓名 学院 专业 班级 学号 指导教师 2015年 4 月 25 日
毕业论文（设计）承诺书 本人郑重承诺： 1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的. 2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的. 3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果. 4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负. 学生（签名）： 2015 年4月25日
对角化矩阵的应用 摘要 矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值. 【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换
Application of diagonalization matrix Abstract Matrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value. [Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation
可对角化矩阵的应用
可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂 例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。 解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ， 且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。 例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。 解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因
为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0， 所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。 若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则 例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。 解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。 取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=， 于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似
矩阵可对角化的总结分解
矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。 ［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵 说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。 引言 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。 定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4
定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的 相关条件。 定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有
矩阵的对角化的应用
矩阵的对角化的应用 摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对 象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似 一、概念 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似 定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。 定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。 定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换
定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数 和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。 定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。 二〃矩阵对角化条件 常用的充要条件 （1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量； （2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为； （3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的； （4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法 设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为： （1）求特征值； （2）求对应的特征向量； （3）将特征向量正交标准化； （4）写出及.
矩阵可对角化的充分必要条件论文
学号 20080501050116 密级 兰州城市学院本科毕业论文 矩阵可对角化的充分必要条件 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：练利锋 指导教师：李旭东 二○一二年五月
BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : Mathematics Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Lian Lifeng Directed by : Li Xudong May 2012
郑重说明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名 : 日期 :
摘要 矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。 关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化
ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given． Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization
矩阵对角化的研究文献综述
毕业论文文献综述 数学与应用数学 矩阵对角化的研究 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） （一）写作目的 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新. （二）有关概念 首先，我们给出文中常用的符号如下[1]： (i)C 表示实数域； (ii)m n C ?表示实数域上的m n ?阶矩阵的集合； (iii)()n M C 表示n 阶复矩阵的集合； (iv)n n R ?表示n n ?实矩阵集合； (v)()n M R 表示n 阶实矩阵的集合； (vi)n E 表示n n ?阶的单位矩阵； (vii)det A 表示矩阵A 的行列式； (viii)()1122,,,nn diag a a a L 表示主对角线上为元素1122,,,nn a a a L 的对角矩阵； 定义1[2]： 对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如： ()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ???????????? L L L M M O M L
特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E . 定义2[3]： 若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵. （三）综述范围 若一个n 阶矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件，所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件，根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化，在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法. 通常，矩阵可对角化问题与特征值密切相关，除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9]. 本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳，并举例进行说明. （四）主要的问题 矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵（如对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵）的对角化问题. 二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） （一）历史背景 矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子： 323923342326x y z x y z x y z ++=??++=??++=? 为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形： =≡≡ 古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个
矩阵可对角化的充分必要条件开题报告
本科毕业论文开题报告 题目：矩阵可对角化的充分必要条件院系：数学学院 专业：数学与应用数学 班级： 081（本） 姓名：练利锋 指导教师：李旭东 申报日期： 2011年12月30日
开题报告填写要求 1．开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业论文（设计）工作前期内完成，经指导教师签署意见审查后生效。 2．开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写，按教务处统一设计的电子文档标准格式打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。 3．学生查阅资料的参考文献应在3篇及以上（不包括辞典、手册），开题报告的字数要在1000字以上。 4．有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2004年9月26日”或“2004-09-26”。
毕业论文开题报告 1．本课题的研究意义 矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，形式简单，研究起来非常方便。而研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式…….如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素进行研究。 另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。 事实上，在大学的学习中矩阵对角化理论占有非常重要的地位，因此，对它的研究意义重大。然而在高等代数学习中，大部分学生对矩阵对角化的充分必要条件的学习效果不是很理想，对什么样的矩阵可以对角化以及对角阵的求解步骤了解不深，常常出现错误，我认为主要的原因是他们对矩阵的相似对角化概念及其充分必要条件理解不透彻，本课题给出矩阵可对角化的基本概念和可对角的充分必要条件，并给出其他一些引申的充分必要条件和性质，对这些条件和性质的证明有助于学生对矩阵可对角化的条件进一步理解和强化，以及对可对角化矩阵的相似对角阵的求法和性质进一步理解掌握。从而使高等代数中的重要概念——矩阵的对角化理论比较完整的呈现在我们面前。 总之，矩阵对角化的充要条件是一个传统但又很重要的研究课题，具有广泛的应用价值。在很多有关矩阵数学问题的分析和证明中，我们都需要用到矩阵的对角化。本文给出了矩阵可对角的若干充分必要条件，希望对同学们在今后的学习和实际应运中有一定的帮助。 2．本课题的基本内容
矩阵对角化的步骤例题
矩阵对角化的步骤例题 1. 【将矩阵A=(12 先求特征值：|λE-A|=|（λ-1 -2 3）(1 λ-4 3) (-1 2 λ-5)|=（λ-2）^2（λ-6）=0所以特征值λ1=λ2=2，λ3=6求特征向量：当λ=2时：λE-A=(1 -2 3) (1 -2 3) (-1 2 -3)解得特征向量分别为：ξ1=(-3 0 1) ξ2=(2 1 0)当λ=6时，λE-A=(5 -2 3) (1 2 3) (-1 2 1)特征向量为ξ3=(1 1 -1)所以P=(-3 2 1) (0 1 1) (1 0 -1)矩阵对角化：P的逆AP=(2 0 0)(0 2 0)(0 0 6)对角矩阵为（2 0 0）(0 2 0)(0 0 6)。 2. 矩阵对角化问题,题目和答案都在这,麻烦写一遍过程,结果是怎么搞 设矩阵A的特征值为λ那么 |A-λE|= 3-λ6 6 0 2-λ0 -3 -12 -6-λ =(2-λ) [（3-λ）（-6-λ）+18] =(2-λ)（3+λ）λ=0 解得λ=0,2,-3
λ=0时，A-0E= 3 6 6 0 2 0 -3 -12 -6 r2/2,r3+r1,r1/3 ~ 1 2 2 0 1 0 0 -6 0 r1-2r2,r3+6r2 ~ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-2,0,1）^T λ=2时，A-2E= 1 6 6 0 0 0 -3 -12 -8 r3+3r1
~ 1 6 6 0 0 0 0 6 10 r1-r3,r3/6，交换r2r3 ~ 1 0 -4 0 1 5/3 0 0 0 得到特征向量（4,-5/3,1）^T λ=-3时，A+3E= 6 6 6 0 5 0 -3 -12 -3 r2/5,r1/6,r3+3r1,r3+9r2,r1-r2 ~ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-1,0,1）^T
特征值和特征向量的应用 数学毕业论文
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号： 2013230 论文（设计）题目；特征值和特征向量的应用 学部：信息工程学部专业：数学与用用数学班级： 2009级2班 学生姓名：学号：指导教师：职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对特征向量与特征值的应用的研究，来充分利用的特征向量与特征值计算的简便解决相关问题，应用于数学解题计算中和生活实际的应用中。主要是归纳研究出特征向量和特征值在不同类形的矩阵中，怎样帮助解决相关试题。同时将特征值和特征向量应用到生活中的应用，如经济应用，环境污染的增长类型，莱斯利种群的相关问题。 2、论文（设计）的主要内容 特征值和特征向量的相关概念，性质。在数学中，按照分类矩阵来应用特征值与特征向量来解题。在生活中的几个方面的应用。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 首先，明白相关的定义，如特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵等相关的概念。其次，了解他的相关性质，并应用到解题和相关的生活中。 4、主要参考文献 [1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003. [2] 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008，（91）:46—48. [3] 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报，2009,25（117）：135—138. [4] 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系[J].连云港师范高等专科学校学报，2004,（4）：75—76. [5] 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报，2009,11（3）：139—140. [6] 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（3）：20—22. [7] 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题[J].大学数学，2004,20（4）：92—95. [8] 姚幕生.高等代数[M].上海:复旦大学出版社,2002 [9]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报，2006，（5）：20—23. [10]奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用[J].枣庄师专学报，1991,（2）：26—30 [11]郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报（自然科学版），2000,17（2）：72—75. [12]同济大学数学教研室.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1993,115—137 [13]矩阵的特征值、特征向量和应用[J].临沂师专学报，1994，（5）：1—7.
2017考研数学线性代数之矩阵相似对角化解题方法
2017考研数学线性代数之矩阵相似对角 化解题方法 矩阵的相似对角化是考研的重要考点，该部分内容既可以出大题，也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化，现把该部分的知识点总结如下: 一般方阵的相似对角化理论 这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。 1、判断方阵是否可相似对角化的条件： (1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量; (2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足1.jpg (3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化; (4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。 【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。 2、求方阵的特征值： (1)具体矩阵的特征值： 这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算; (2)抽象矩阵的特征值： 抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。 实对称矩阵的相似对角化理论 其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。 这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。 最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。 1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 (1)不同特征值的特征向量一定正交 (2)k重特征值一定满足1.jpg 【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。 2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵 【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不
线性代数教学大纲(本科)
“线性代数”课程教学大纲 课程编号： 学时：72学时（含课外学时）学分：4 分 适用对象：经济、计算机、环境、蒙文信息处理等专业 先修课程：初等数学 考核要求：闭卷 使用教材及主要参考书： 戴斌祥主编，《线性代数》，北京邮电大学出版社，2009年 同济大学数学系主编，《线性代数》，高等教育出版社，2007年一、课程的性质和任务 《线性代数》是我校本科各专业一门必修专业基础科，它内容较丰富，学时较多。其任务是既要为各专业后续课程提供基本的数学工具，又要培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力。 二、教学目的与要求 线性代数是讨论有限维空间线性理论的一门学科，它的理论和问题的处理方法是许多非线性问题处理方法的基础，且广泛地应用于各学科的领域中。本课程以线性方程组解的讨论为核心内容介绍行列式、矩阵理论、向量的线性相关性、线性方程组、二次型的理论及其有关知识。通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基本概念，了解其基本理论和方法从而使学生初步掌握线性代数的基本思想和方法，培养学生运用线性代数的方法分析和解决实际问题的能力。三、学时分配 章节课程内容学时 1 n阶行列式14 2 矩阵16 3 n维向量与向量空间18 4 线性方程组12 5 矩阵的特征值与二次型12 四、教学中应注意的问题 《线性代数》是一门高度抽象数学课程，在教学过程中应以启发式讲授为主，要着力培养学生抽象思维能力，要使学生丢弃三维直观空间的习惯束缚，逐步建立n维空间的概念；还要着力培养学生的科学计算能力，使学生熟练掌握教材中所给出的各种解题的一般方法。在教学中，应注意我校学生的实际，不过分追求学科的数学性、完整
矩阵可对角化的判定条件开题报告
矩阵可对角化的判定条件开题报告 开题报告 矩阵可对角化的判定条件 选题的背景、意义 矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。 矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论
进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。 矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。 矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。 文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。 文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。 文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,