傅立叶变换与小波变换

傅立叶变换与小波变换
Fourier Transform and Wavelet Transform
------ 再谈积分变换
1. 窗式傅里叶变换
1.1 Fourier Transform 局域化特性分析 傅里叶变换（FT）在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献， 利用它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中， 然后用频 谱特性去分析和表示时域信号的特性。 FT PAIR
f (t ) ? F (u )
F (ω ) =
+∞
?∞
∫
f ( t ) exp [ ? jω t ] dt ,
+∞
ω∈R
1 f (t ) = 2π
?∞
∫
F (ω ) e x p
[ jω t ] d ω
频域过程 F (ω ) 的任一频率组成部分的值： 由时域过程 f (t ) 在 （－∞，∞）上决定的。 过程 f (t ) 在任一时刻的状态：由 F (ω ) 在整个频域（－∞，∞） 的量决定。
f (t ) 和 F (ω ) 彼此间的刻画是“全局性”的，不能反映各自局部
区域上的特征。也就是说，人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个 信息包含的每一个频率的多少， 但很难看出不同信号的发射时间和发 射的延续时间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。
1

傅立叶变换与小波变换
伊利诺依斯大学教授 Y. Meyer 曾说： “若你记录 1 小时长的信息 而在最后 5 分钟出错， 这一错误就会毁了整个傅立叶变换。 相位的错 误是灾难性的， 如果在相位上哪怕犯了一个错误， 你最后就会发现你 所干的事与最初的信号无关了。 ” 实际上，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信 号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，人们需要了解某 些局部时段上所对应的主要频率特性是什么， 也需要了解某些频率的 信息出现在哪些时段上，也就是需要了解时－频局部化要求。对于这 种时－频局部化要求，傅立叶变换是无能为力的。 Examples. A stationary signal
x ( t ) = cos ( 2 ? π ? 10 ? t ) + cos ( 2 ? π ? 25 ? t ) + cos ( 2 ? π ? 50 ? t ) + cos ( 2 ? π ? 100 ? t )
is a stationary signal, because it has frequencies of 10, 25, 50, and 100 Hz at any given time instant.
Fig. 1
a stationary signal
And the following is its FT:
2

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Fig.2
The next figure shows A signal with four different frequency components at four different time intervals, hence a non-stationary signal. The interval 0 to 300 ms has a 100 Hz sinusoid, the interval 300 to 600 ms has a 50 Hz sinusoid, the interval 600 to 800 ms has a 25 Hz sinusoid, and finally the interval 800 to 1000 ms has a 10 Hz sinusoid.
3

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Fig.3
And the following is its FT:
Fig. 4
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For the “chirp signal” (唧声信号,), the frequency components change continuously.
Fig. 5 Chirp signal
The similarity between these two spectrum (in Figs. 2and 4) should be apparent. Both of them show four spectral components at exactly the same frequencies, i.e., at 10, 25, 50, and 100 Hz. Other than the ripples, and the difference in amplitude (which can always be normalized), the two spectrums are almost identical, although the corresponding time-domain signals are not even close to each other. Both of the signals involves the same frequency components, but the first one has these frequencies at all times, the second one has these frequencies at different intervals. So, how come the spectrums of two entirely different signals look very much alike? Recall that the FT gives the spectral content of the signal, but it gives no information regarding where in time those spectral components appear . Therefore, FT is not a suitable technique for non-stationary signal, with one exception:
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The FT gives what frequency components (spectral components) exist in the signal. Nothing more, nothing less. When the time localization of the spectral components are needed, a transform giving the TIME-FREQUENCY REPRESENTATION of the signal is needed. -R. Polikar
1.2 窗式 Fourier Transform（Gabor Transform） Gabor 在 1946 年提出 Windowed Fourier Transform。 ? 基本思想：将一个信号的频率一部分一部分地分析。通过该方法， 人们至少可以说，无论发生了什么，它一定是发生在信 号的某个特定部分。 ? 窗式傅立叶变换或 Gabor 变换的定义 思路：把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，短时性 可通过在时间上加窗实现。 在傅立叶积分中，使用空间窗口函数 g (t ? u ) 与信号 f (t ) 相乘， 实现在 u 附近的开窗和平移，然后进行傅立叶变换。
2 设在线性空间有一个可测的、平方可积的函数 f (t ) ∈ L ( R ) ，对
其进行窗式傅立叶变换：
G f (ξ , u ) = ∫ f (t ) g ( t ? u ) e? jξ t dt
R
? jξ t g t ? u e ( ) 其中积分核 ：
The windowed Fourier transform
family of atoms is obtained by time translations and frequency
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modulations of the original window. This atom has a frequency center ξ and is symmetric with respect to 实际上， 分量的幅度。
u.
f (t ) g ( t ? u ) e ? jξ t 在 u 点附近度量了频率为 ξ 的正弦
?
时窗（Time Window） 时窗函数 g (t ) ： 通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶函
数；如选择在 t > t0 迅速趋于零的所谓“钟型”函数，信号 f (t ) 在乘以 平滑移动的窗函数 g ( t ? u ) 后，有效地抑止了 t 号，所以，对
= u 的邻域以外的信
f (t ) g ( t ? u ) 进行傅立叶变换所得的结果，反映了
t = u 时刻附近的局域频谱信息，从而达到了时域局域化的目的。
f(t)g(t) f(t)
g(t)
Fig. 6
g(t-u)
t
对窗函数 g (t ) ， 可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中 心和时窗半径。
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时窗中心
t * = ∫ t g ( t ) dt
2 R
R
∫
g ( t ) dt
2
时窗半径
? 2 2 Δt = ? ∫ ( t ? t * ) g ( t ) dt ?R
g ( t ) dt = 1 ，那么
2
∫ g (t )
R
2
? dt ? ?
1/ 2
设
R
∫
*
t = ∫ t g ( t ) dt ，
2 R
? ? 2 2 Δt = ? ∫ ( t ? t * ) g ( t ) dt ? ?R ?
1/ 2
* * 得窗口为 ? ?t ? Δt , t + Δt ? ? ，窗口宽度为 2Δt 的时窗函数 g (t ) 。
可按定义推导得出窗函数 g (t ? τ ) 的 时窗中心表达式： 时窗半径：
* t* ? ? g ( t ? τ )? ?=t ? ? g ( t )? ? +τ
Δt ? ? g ( t ? τ )? ? = Δt 。
Window）
?
频窗（Frequency
? (ω ) 为频窗函数。 时窗函数 g (t ) 的傅立叶变换 G (ω ) = g
频窗中心
ω * = ∫ ω G (ω ) dω
2 R
∫ G (ω ) dω
2 R
频窗半径
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? 2 2 Δω = ? ∫ (ω ? ω * ) G (ω ) dω ?R
R
∫ G (ω )
2
? dω ? ?
1
2
当频窗平移η 后，频窗为 G (ω ? η ) 相应的 频窗中心 频窗半径
* ω* ? ?G ( ω ? η ) ? ? = ω G (ω ) + η
Δω ? ?G ( ω ? η ) ? ? = Δω
?
时-频窗（Time-Frequency Window）
Fig. 6
Fig. 7
时-频窗可以用来从几何上直观地描述时频局部化。在时间－频 率坐标系中，时-频窗的构成是时窗 g (t ) 和频窗 G (ω ) 共同作用的结 果。 ，
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1.3 窗口傅立叶变换的反演公式 如果 g (t ) 是时窗函数，要求 t 和 Δt 均为有限值，即要求
2 ∫ t g ( t ) dt < +∞ 2
*
R
或者为了判断简单，只需
g (t ) < 1 t
3/ 2
, t → +∞ ，
（1）
类似，如果 G (ω ) 是频窗，则只需满足
G (ω ) < 1 ω
3/ 2
, t → +∞ ，
（2）
也就是说，若要一个函数 g (t ) 作为时窗，其谱函数 G (ω ) 作为频窗， 则 g (t ) 和 G (ω ) 同时具有较强的衰减性，应同时满足以上两式。
例 取时窗函数
g (t ) = δ ( t ) ,
∞ ?∞，t＝0 δ ( t )＝ ? , and ∫ δ ( t ) dt = 1 ， ?0，elsewhere ?∞
是否能同时使傅立叶变换达到时频局部化？
g (t ) = δ ( t ) 显然满足
g (t ) < 1 t
3/ 2
, t → +∞ ，
故，可以此函数达到时域局部化。 δ
( t ) 函数的频谱恒为
1，不满足
（2） ，故 G (ω ) 不能作为频窗起到频阈局部化的作用。
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只有存在反演公式时的积分变换才有意义。窗口傅立叶变换的 逆变换式：
f (t ) =
where
G 2π A ∫ ∫
RR
1
f
(u, ω )e jωt g ( t ? u ) dω du ，
2 A= ∫? ? g ( t ? u )? ? du = ∫ g ( t ) dt 2 R R
理解： 信号 f (t ) 用“基” e 时频点
jω t
g ( t ? u ) 展开，而 G f (ω , u ) 是在
( u, ω ) 邻域内对信号 f (t ) 的贡献。
由窗口傅立叶变换对函数（信号）进行的分析，相当于用一个形 状、大小和放大倍数相同的“放大镜”在时－频相平面上移动去观察 某固定长度时间内的频率特性。这里的问题是：尽管窗式傅立叶变换 能解决变换函数的局域化问题， 但是， 其窗口的大小和形状是固定的， 即窗口没有自适应性。这意味着什么？ 而在实际问题中，对于高频谱的信息，由于波形相对要窄，时间 间隔要相对的小，以求给出比较好的精度，进而更好地确定峰值和断 点， 或者说需要用窄的时域窗来反映信息的高频成分； 而对于低频谱 的信息，时由于波形相对是宽的，时间段要相对的宽才能给出完整的 信号信息， 或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。而用 Gabor 变换，如果你选择一扇宽窗子，低频成分可以看得清楚，在高 频部分确定时间时就很糟糕；若你选一扇窄窗子，在高频可以很好确 定时间，但在低频的频率就可能装不进去。
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这样，真正合适的做法是“放大镜”的长宽是可以变化的，在 时－频相平面上分布可如 Fig. 8 所示。
ω
ω1
ω2
t1
t2
t
Fig. 8
正是为了实现这样的目的，人们引进了小波变换。
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2. 一维连续小波变换
小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，能够有效地从信号 中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能，可对函数或信号进行多尺 度的细化分析，进而解决傅里叶变换不能解决的很多问题。
2.1 One-D CWT (Continuous Wavelet Transform) 连续小波变换是由 Grossmann 和 Morlet 引入的。 g 小波ψ (t ) 的定义 小波（Wavelet (A small wave; a ripple)，Bootlet，Hamlet）就是小 的波形，所谓小，就是它具有衰减性，是存在于一个较小区域的波。
Fig.9
Waves and Wavelets.
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Fig.10 Basic Functions for Fourier Windowed Fourier and Wavelet Transforms[5]. 若 ψ (t ) 是一个可测的、平方可积的函数，即具有有限能量，
ψ (t ) ∈ L2 ( R) ， （这里 L2 ( R) 为ψ (t ) 的矢量空间，R 为实数集） ， 假如
其 Fourier Spectrum
+∞
Ψ (ω ) = [ψ (t ) ] = ∫ ψ (t )e? jωt dt
∧ ?∞
satisfies
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+∞
Cψ =
?∞
∫
Ψ (ω )
2
ω
dω < ∞
then， ψ (t ) is called as a Mother Wavelet (小波母函数)。 根据小波的定义，小波函数ψ (t ) 应具有振荡性和迅速衰减的特 性： 1） 小波的可容许条件（ Admissibility condition, or Admissibility criterion, ） 。 小波的定义域应是紧支撑的（Compact Support，cf:
Compact Car,
Compact Disk （CM） ） ，在很小的一个区域之外函数为零，即函数具有速
+∞
降特性。 这是从 Cψ =
?∞
∫
Ψ (ω )
2
ω
dω < ∞ 看出来的， Cψ 为有限值，意味
着ψ (t ) 具有连续可积且快速下降的性质，这就是小波称为这“小”的 来源。 2） 小波的直流分量为零（也就函数平均值为 0）
Ψ (0) = ∫ ψ (t )dt = 0 ，
?∞ +∞
这可以从可容许性条件 Cψ =
+∞
?∞
∫
Ψ (ω )
2
ω
dω < ∞ 来看，因当 ω
= 0, Cψ 应该
有限，这是因 ω 在分母上，故要求 Ψ (0) = 0 。 函数直流分量为零，意味着小波ψ (t ) 在 t 轴上取值有正有负，才 能保证积分为 0。所以ψ (t ) 应具有正负交替的波动性质。 实际上，有所谓“消失矩（Vanishing Moments）条件” ，要求ψ (t ) 的前 n 阶原点矩为零：
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+∞
?∞
p t ∫ ψ (t )dt = 0
p = 0 ～ n ?1
说明ψ (t ) 同任意 n ? 1 阶多项式正交，称为小波具有 n 阶消失矩。在 频域内表示就是 Ψ (ω ) 在 ω 件） ：
= 0 处有高阶零点 （一阶零点就是容许条
Ψ (ω ) = ( ?iω ) Ψ 0 (ω ) , Ψ 0 (ω = 0 ) ≠ 0 。
n
若小波ψ (t ) 满足消失矩条件，可使尽可能多的小波系数为零， 或者说产生尽可能少的非零小波系数， 这是数据压缩和信号消噪所需 要的。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。
g 连续小波变换 若 f (t ) 是一个可测的、平方可积的函数，即具有有限能量，
f (t ) ∈ L2 ( R) ， L2 ( R) 为 f (t ) 的矢量空间，R 为实数集。则连续小波
变换定义为信号
f (t ) 和小波基函数的内积：
+∞
Wf (a, b) = f (t),ψ a,b ( t ) = = ∫ f (t )
?∞ +∞
?∞
∫ f (t)ψ ( t ) dt
a,b
1 ? t ?b ? ψ? ? dt a ? a ?
f (t ) ∈ L2 ( R)
a > 0,
小波变换式中ψ a ,b ( t ) 是复共轭函数。数学上，内积表征两个函 数“相似”的程度，故从上式说明 f (t ) 与ψ a ,b 相似的程度，上式中积
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分核
ψ a ,b =
1 ? t ?b? ψ? ? a ? a ?
是引入的窗口函数， 或称小波或基函数 （Wavelets， or Basic Functions） 。 它实际是由小波母函数 ψ (t ) 进行伸缩和平移而形成的一组函数系列
{ψ
a ,b
(t )} ，由于两个参数 a, b 可以连续改变，故称（1）式为连续小
波变换。 ? 尺度参数（或尺度因子） a > 0 ： 实数，反映一个特定小波函数的尺度（宽度） ，假如 a > 1, 有 伸 展 作 用 , 表 示 用 伸 展 了 的 ψ (t ) 波 形 去 观 察 整 个
ψ (t )
f (t ) ；
0 < a < 1 ，ψ (t ) 具有压缩作用，表示以压缩了的ψ (t ) 去观察 f (t )
局部。 ? 定位参数（或定位因子） b : 实数，指定一个特定小波函数沿 t 轴的平移位置。改变 b ，则 会影响围绕 b 点的分析结果。通常一个基本小波是以原点为中心，所 以小波基函数就以 b 点为中心。
W f (a, b) 通常称为小波变换系数。
总之，小波变换是是一种积分变换，与 Fourier 变换以 e 指数 函数作基类似，是对信号
f (t ) 进行以小波作基的连续函数变换。由
所以函数一经小波 于小波基具有尺度因子 a 和定位因子 b 两个参数， 变换，意味着将一个时间函数投影到二维的时间－尺度平面上去，这 样有利于提取信号函数的某些本质特征。
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2.2
CWT 的性质
g 线性（叠加性质） 一个函数的小波变换等价于该函数各分量的连续小波变换之和。 证：设 W f1 ( a, b) 为 f1 (t ) 的小波变换； W f (a, b) 为 f 2 (t ) 的小波变
2
换，则有
f (t ) = αf1 (t ) + βf 2 (t )
1 W f ( a, b) = a
∞ ?∞
? α β ψ f ( t ) + f ( t ) [ ] 1 2 ? ∫
∞
t ?b ? ? dt a ? ?
∞
1 1 ? t ?b ? α ψ f t dt = ( ) + ? ∫ 1 ? a ?∞ a ? a ? = αW f1 (a, b) + βW f2 (a, b)
?∞
∫ β f2 (t )ψ ?
? t ?b ? ? dt ? a ?
证毕。
g 平移和伸缩的共变性 连续小波变换在任何平移之下是共变或协变（covariant）的。 位置平移协变（平移性质） ： 假如 f (t ) ? W (a, b) ， 这时
f (t ? b0 ) ? W (a, b ? b0 ) 。
波形伸缩协变 (尺度法则)： 假如 f (t ) ? W (a, b) ， 这时
f (a0t ) ?
1 W (a0 a, a0 b) 。 a0
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证：
考虑 f (a0t ) 的小波变换：
1 W f ( a0t ) (a, b) = a
作变量替换
+∞
?∞
∫
? t ?b ? f (a0t )ψ ? ? dt ， a ? ?
a0t = x ， t =
+∞
dx x dt = a 0 ， 代入上式有 a0 ，
1 W f ( a0t ) (a, b) = a 1 = a0 =
?∞
∫
? x ? ? a ? b ? dx ? f ( x)ψ ? 0 a ? ? a0 ? ? ? ?
+∞ ?∞
1 a0 a
∫
? x ? a0b ? f ( x)ψ ? ? dx a a ? 0 ?
1 W f (t ) (a0 a, a0b) a0
证毕。
g 微分运算
+∞ ? ? m f (t ) ? ?m m ? ? Wψ a ,b ? m ? = (?1) ∫ f (t ) ?t mψ a ,b (t )dt ? ? ?t ?∞
g 乘法定理
2 设 f (t ), g (t ) ∈ L ( R ) ，则
+∞ +∞
∫
0
1 f (t ) g (t )dt , ∫ a 2 W f (a, b)W g (a, b)dbda = Cψ ∫ ?∞ R
（ 1）
where
+∞
Cψ =
∫
0
Ψ (ω )
2
ω
19
dω 。

傅立叶变换与小波变换
证： 由傅立叶变换的乘积定理知：
+∞
W f ( a , b) =
?∞ +∞
∫
1 f (t )ψ a ,b ( t ) dt = 2π
+∞
?∞ +∞
∫ F (ω ) Ψ
a ,b
(ω )dω ,
（2） （3）
1 Wg (a, b) = ∫ g (t )ψ a ,b ( t ) dt = 2π ?∞
Where
+∞
?∞
∫ G (ω ) Ψ
a ,b
(ω )dω ,
Ψ a ,b (ω ) = ∫ ψ a ,b (t )e? jωt dt
?∞
1 = a
+∞
?∞
∫ψ ?
? t ? b ? ? jωt ? jω b ? e dt = a Ψ ( aω )e ? a ?
代入以上（2） 、 （3）式得：
W f ( a , b) = Wg (a, b) =
再由傅立叶变换知道：
a 2π a 2π
+∞
?∞ +∞
∫ F (ω ) Ψ ( aω )e
jω b
dω ,
?∞
∫ G (ω ) Ψ ( aω )e
^
jω b
dω ,
W f ( a, b) = W g ( a, b ) =
? F (ω ) Ψ ( aω ) ? ? 2π ? ?G (ω ) Ψ ( aω ) ? ? 2π ? a
a
^
（4）
将（4）代入下列式：
20