几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换

几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换

夏巨伟

(浙江大学空间结构研究中心)

摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术；

1 傅里叶变换（Fourier Transform ）

2/201

22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞

--∞∞--∞?=??=??????????→????=?=???

∑??∑离散化(离散取样)

周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ）

2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier

Transform)/）

从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=?

∈??，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由

于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连

续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，

D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。

22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt

h t df g t G f e d T ππτττττ

+∞

--∞

+∞+∞

-∞

=-=-???

：：

图：STFT 示意图

2.2 STFT 算例

cos(210) 0s t 5s cos(225) 5s t 10s (t)=cos(250) 10s t 15s cos(2100) 15s t 20s

t t x t t ππππ≤≤??≤≤??

≤≤??≤≤?

图：四个余弦分量的STFT

2.3 窗口傅里叶变换（Gabor ）到小波变换（Wavelet Transform ）

图：小波变换

定义满足条件：

()()()()2

=?=00?0t dt t dt f df f

ψψψψ+∞

-∞+∞

<+∞-∞

+∞-∞

?<+∞??????→

?假定：

的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L 2（—∞，+∞）)为——基本小波或小波母函

数。

Haar 小波函数

db3小波函数

db4小波函数

db5小波函数

mexh 小波函数图：几种常用的小波函数

令

()ab t b t a ψ-??

???

，a 、b 为实数，且a ≠0，称ψab 为由母函数生成的有赖于参数a,b 的连续小波函数。设f(t)∈L 2（—∞，+∞），定义

其小波变换为：

(

)(),,f ab t b W a b f f t dt a ψψ+∞

-∞

-??==

???

与Fourier 类似，小波变化也具有反演公式：

()()()

,f ab dadb

f t W a b t C a ψ

ψ+∞+∞

-∞

，以及Parseval 等式：

()(

)

()

()2

2,,,,1,.f g f dadb

W a b W a b C f g a

dadb

W a b f t dt C a

ψψ

+∞+∞

-∞

-∞+∞

+∞+∞-∞

-∞

-∞==??

? 小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点，但其在频率域上的分辨率

却相应降低。这是小波变换的弱点，使它只能部分地克服Fourier

变换的局限性。小波包变

换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。

图：FT变换、STFT变换及Wavelet Analysis比较

图：Wavelet应用1——探测数据突变点

图：Wavelet应用1——探测数据突变点（树状显示）

图：Wavelet应用2——探测数据整体变化趋势

图：Wavelet应用2——探测数据中的频率成分

图：Wavelet应用3——压缩数据

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

哈工大小波分析上机实验报告

小波分析上机实验报告院系：电气工程及自动化学院学科：仪器科学与技术

实验一小波分析在信号压缩中的应用一、试验目的（1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解；（2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。二、相关知识复习用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成：（1）进行信号的小波分解；（2）将高频系数进行阈值量化处理。对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化；（3）对量化后的系数进行小波重构。三、实验要求（1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。（2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。四、实验结果及程序（1）load leleccum %将信号装入Matlab工作环境 %设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点 s = leleccum(2600:3100); ls = length(s); %用db3对信号进行3级小波分解 [c,l] = wavedec(s, 3, 'db3'); %选用全局阈值进行信号压缩 thr = 35; [xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1); subplot(2,1,1);plot(s); title('原是信号s'); subplot(2,1,2);plot(xd); title('压缩后的信号xd');

基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示

基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：其中u=0,1,2,...,M-1和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u和v用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u和v用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman原图像及其频谱分布图： cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下： PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)

MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时： N=1 PSNR=12.2353所取频谱系数对应图单独取第9个系数时： N=1 PSNR=6.3108第9个频谱系数对应图

N=2 PSNR= 13.1553所取频谱系数对应图 N=10 PSNR=15.4961 所取频谱系数对应图 N=50 PSNR=17.1111 所取频谱系数对应图

小波实验报告一维Haar小波2次分解

一、题目：一维Haar 小波2次分解二、目的：编程实现信号的分解与重构三、算法及其实现：离散小波变换离散小波变换是对信号的时－频局部化分析，其定义为：/2200()(,)()(),()()j j Wf j k a f t a t k dt f t L R φ+∞---∞=-∈? 本实验实现对信号的分解与重构：（１）信号分解：用小波工具箱中的dwt 函数来实现离散小波变换，函数dwt 将信号分解为两部分，分别称为逼近系数和细节系数（也称为低频系数和高频系数）,实验中分别记为cA1,cD1，它们的长度均为原始信号的一半，但dwt 只能实现原始信号的单级分解。在本实验中使用小波函数db1来实现单尺度小波分解，即： [cA1,cD1]＝dwt(s,’db1’)，其中s 是原信号;再通过[cA2,cD2]＝dwt(cA1,’db1’)进行第二次分解，长度又为cA2的一半。（２）信号重构：用小波工具箱中的upcoef 来实现，upcoef 是进行一维小波分解系数的直接重构,即： A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); D1 = upcoef('a',cD1,'db1')。四、实现工具：Matlab 五、程序代码： %装载leleccum 信号 load leleccum; s = leleccum(1:3920); %用小波函数db1对信号进行单尺度小波分解 [cA1,cD1]=dwt(s,'db1'); subplot(3,2,1); plot(s); title('leleccum 原始信号'); %单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号 A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); %单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号 D1 = upcoef('a',cD1,'db1'); subplot(3,2,3); plot(A1); title('单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号'); subplot(3,2,5); plot(D1); title('单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号'); [cA1,cD1]=dwt(cA1,’db1'); subplot(3,2,2); plot(s); title('leleccum 第一次分解后的cA1信号'); %第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号 A2= upcoef('a',cA2,'db1',2); %第二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号 D2 = upcoef('a',cD2,'db1',2); subplot(3,2,4); plot(A2);

详解傅里叶变换与小波变换

详解傅里叶变换与小波变化希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代

数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

调研报告

毕业设计(论文)调研报告学生姓名张春专业班级电子信息08-2 所在院系电气信息学院指导教师许丽群职称讲师所在单位大连交通大学完成日期2012 年 4 月30 日

调研报告一、课题来源与意义语音信号处理在现代通信、多媒体技术以及智能系统等领域中应用非常广泛,是近年来发展非常迅速的一种技术。实际应用中,由于噪声的存在会使语音处理系统的性能恶化,造成语音信号的失真,混淆,给语音信号的传递带来困难。因此，设法去除语音中的噪声，改进语音质量，提高语音信号的信噪比就成为语音去噪研究中的一个重要方向。在传统的傅氏变换的信号处理方法中，信号和噪声的频带重叠部分要尽可能小；在频域可通过时不变滤波方法将信号和噪声区分开，而当它们的频域重叠时，传统的单纯时域或频域处理往往无法达到很好的效果。小波分析是近十几年来新兴发展起来的一种时频局域化分析方法，它克服了傅里叶变换固定分辨率的弱点, 既可以分析信号的概貌, 又可以分析信号的细节，特别适用于非平稳时变信号，例如语音信号、声纳信号等。小波变换是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，它具有多分辩率分析（Multiresolution Analysis）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辩率和较低的时间分辩率，在高频部分具有较高的时间分辩率和较低的频率分辩率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以小波变换用于语音信号的去噪是近些年来比较热门的方法。二、国内外发展状况小波理论的兴起，得益于其对信号的时域和频域局域分析能力及其对一维有界函数的最优逼近性能，也得益于多分辨率分析概念，以及快速小波变换的实现方法。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。第一个正交小波基是由Haar在1910年提出的，它就是人们熟知的Haar正交基，Haar 正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。它具有最优的时（空）域分辨率，但是Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。1981年，Stromberg对Haar系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1984年，Morlet在分析地震波数据的局部性质时，发现用傅立叶变换难以达到要求，因此引入小波的概念应用于信号分析中，并用一种无限支集的非正交小波分析地震数据，这是第一次真正意义上提出了小波的概念。随后，Grossman和Morlet一起提出了确定小波函数伸缩平移系的展开理论。1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰

用matlab小波分析的实例

1 绪论 1.1概述小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。 1.2 傅立叶变换与小波变换的比较小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅立叶分析

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是

小波分析-经典解读

时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。一、小波分析基本原理 1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f (t)a )b ,a (W R 2 /1-f ? -=ψ （3）式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数； )a b x ( -ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，

哈工大小波实验报告

小波理论实验报告院（系）专业学生学号日期 2015年12月

实验报告一一、实验目的 1. 运用傅立叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。 2. 加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。 3. 运用卷积公式对基本信号做滤波处理并分析，以加深理解。 4. 熟悉Matlab 中相关函数的用法。二、实验原理 1.运用傅立叶正、反变换的基本公式： ( )?()() ()(),1 1?()(),22i x i t i t i t i t f f x e dx f t e dt f t e f t f e d f t e ωωωωωωωωπ π ∞∞---∞ -∞ ∞ --∞ ==== =?? ? 及其性质，对所要处理信号做相应的傅里叶变换和逆变换。 2.运用卷积的定义式： 1212()()()()+∞ -∞ *=-? f t f t f f t d τττ 对所求信号做滤波处理。三、实验步骤与内容 1.实验题目： Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为 ,0 ()0, 0若若α-?≥=?

几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换

几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术； 1 傅里叶变换（Fourier Transform ） 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ） 2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/）从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈??，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点， D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ +∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ：：

小波分析报告(去噪)

小波分析浅析 —— 李继刚众所周知，以π2为周期的复杂的波都可以用以π2为周期的函数)(t f （模拟信号）来描述，它可以由形如)sin(n n nt A θ+的若干谐波叠加而成，因此，完全有理由认为)(t f 有如下的表现形式： ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ =+= += += ) sin cos ()cos sin cos sin ()sin()(n n n n n n n n n n n nt b nt a nt A nt A nt A t f θθθ 为了确定上式中的系数n n b a ,，可以利用Fourier 变换，可以得到函数)(t f 的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ?? ====++=??∑--+∞ =π πππππ.,2,1,sin )(1,,1,0,cos )(1),sin cos (2)(1 0 n ntdt t f b n ntdt t f a nt b nt a a t f n n n n n 如果函数以T 为周期，则通过对t 作T w x T t ππ2,2= ?=变换，可以得到函数的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ??=?==?=?+?+=??∑--+∞ =π πππ .,2,1,sin )(2,,1,0,cos )(2),sin cos (2)(1 0 n wtdt n t f T b n wtdt n t f T a wt n b wt n a a t f n n n n n 从时域角度来理解Fourier 级数，将}sin ,{cos wt n wt n ??看作是具有频率w n ?的谐波，则时域表现的函数)(t f 可分解为无穷个谐波之和。从频域角度来理解Fourier 级数，因为)(t f 的频域范围是[)+∞∈,0w ，所以，可将w 轴用间距w ?作离散分化，离散点w n ?处对应着频率为w n ?的谐波}sin ,{cos wt n wt n ??，这样就可将时域函数)(t f 与谐波组成1-1对应关系，即 +∞???0}sin ,cos {)(wt n b wt n a t f n n

课程作业-杭电研究生-小波变换—时频分析

一、高斯调幅的线性调频脉冲信号sig 在取窗函数好h=1时的时频联合分布 clear close all clc %产生非平稳信号 sig=real(amgauss(128).*fmlin(128)); %%时域波形 figure(1) plot(sig,'LineWidth',2); xlabel('时间 t'); ylabel('幅值 A'); %设置窗函数 h=1; %计算短时傅立叶变换 [tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h); %时频表示 figure(2) contour(t,f(1:128),abs(tfr)); xlabel('时间 t'); ylabel('频率 f')；二、同一信号在同一窗函数但不同窗长度时的短时傅立叶变换和Gabor 变换的时频分布图 clear close all clc %产生非平稳信号 %%暂态信号1 sig1=real(amgauss(128,45).*fmconst(128,0.25,45)); %%暂态信号2 sig2=real(amgauss(128,85).*fmconst(128,0.25,85)); sig=sig1+sig2; %时域波形 figure(1) plot(sig,'LineWidth',2); xlabel('时间 t'); ylabel('幅值 A'); %设置窗函数1 h1=window(@hamming,65); %计算短时傅立叶变换 sig=hilbert(sig); [tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h1); %短时傅立叶变换时频表示 figure(2); contour(t,2*f(1:128),abs(tfr)); xlabel('时间 t'); ylabel('频率 f'); %gabor 变换的时频表示 [tfr,dgr,gam]=tfrgabor(sig,64,32,h1); figure(3); tfrgabor(sig,64,32,h1); xlabel('Time [s]'); ylabel('Frequency [Hz]'); %设置窗函数2 h2=window(@hamming,17); %计算短时傅立叶变换 [tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h2); %短时傅立叶变换时频表示 figure(4)

小波变换学习心得

小波变换学习心得第一章什么是小波变换 1从傅里叶变换到小波变换 1.1 短时傅里叶变换为了克服傅里叶变换中时域和频域不能兼容的缺点，短时傅里叶变换把一个时间信号变为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。短时傅里叶变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗大小相同，然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。 1.2 小波变换小波变换提出了变换的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，图1.3 给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换的对比示意图。由图1.3看出，小波变换用的不是时间-频率域。而是时间-尺度域，尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。 1.2 连续小波变换小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图1.4是一个Daubechies小波（db10）与正弦波的比较。正弦波：随时间无限振动的光滑波形，小波变换：尖锐变化而且是无规则的波形。因此小波能更好的刻画信号的局部特性。在数学上，傅里叶变换的公式为

()()j t F f t e dt ωω+∞ --∞ =? 连续小波变换（Continue Wavelet Transform ）的数学表达式 ()(),,a b a b CWT f t t dt ψ+∞ -∞ =? ()12 ,a b t b t a a ψψ--?? = ??? 式中，()t ψ为小波；a 为尺度因子；b 为平移参数。图1.6是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”，图1.7给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。

小波分析入门_本人总结_

给我们一个信号时，我们从时域中观察这个信号时，我们得到的信息是信号的持续的时间，随着时间的变化，信号的幅度起起伏伏。如果我们更进一步，就是起伏速度较快的部分对应着信号中高频部分。变换缓慢的部分对应着代表信号中的频率低频部分。我们也可以估算信号中直流分量的大小。当然这都是我们直观的理解。这种单纯的从时域中的信号的波形得到的信息是不全面的。有的时候我们想要知道我们的信号中含有那些频率成分，相应频率的强度，相位。这就是从从频域的角度来看待我们的信号。这就需要一个数学变换的工具，将我们的信号变换到频域。这个强大的数学工具就是傅里叶变换，变换后我们希望我们还可以回到时域中，也就是我们的变换是可可逆的，事实上，傅里叶变换就有这个信息不损失的性质。如今傅里叶变换已经成为一个体系。一切来自于数学中的分解思想，在这里我们选择一组正交基。对我们信号函数的分解就像是对空间中某一一向量分解到三个坐标系一样，只不过函数的坐标是傅里叶系数而已。这样，我们经过傅里叶变换就可以知道我们的信号中含有的频率成分。但是这里有一个隐含的假设，或者说是傅里叶变换的致命弱点，那就是他潜在的假设了我们的信号是平稳信号。何为平稳信号？所谓的平稳信号就是信号的各种频率成分在信号的全部持续时间中都存在。举个例子，假如我们对一个持续时间在[0,100s]的平稳信号做傅里叶变换，得出信号中有59HZ，那么就说明，对该平稳信号，59HZ从0开始，在这100s中的任何一个时刻都存在。可是，当我们的信号不是平稳信号时，例如59HZ产生50s 处，强度和上一个信号的完全相同，其他频率也完全相同，如果我们对这一个信号做傅里叶变换，由于傅里叶变换的积分域是从负无穷到正无穷，所以不幸的是，我们得到了和上一信号完全一样的结果，我们无法再从频域回到时域了。也就是FT并没有告诉我们非平稳信号的各种频率分别出现在那个时间段上。事实上，在现实生活中，非平稳信号和平稳信号交织在一起的。例如心电图(ECG)、脑电图(EEG)和肌电图(EMG)。所以知道哪些频率出现在何种时间段的需求是那么的紧迫。换句话说，就是我们想要同时知道信号的时间信息和频率信息。解决方案就是FT的改进版：STFT（短时傅里叶变换）。小波变换：小波（wavelet）的意思是:a small wave。FT中，我们选用的是exp（jwt）函数作为我们变换空间的一组标准正交基，exp（jwt）函数在时间轴上一直存在，从-∞到+∞上均存在的信号，不会衰减，而我们在小波变换中选用的小波不仅持续时间是有限的，即只在某一个时间段内存在，而且小波的频率也是有限的，即超过一定的频率之外，该频率的强度（幅度）会逐渐衰减到0。小波变换较之于傅里叶变换的优点可以归结为如下方面：1）使得信号的存储较之于傅里叶变换后再去存储更加的有效，也就是更易于压缩，进而传输图像。2）方便了对信号的分析，因为能够更好地去近似现实中的信号（non stationary signal）。3）当信号函数中有不连续的点的时候，如果用FT得到信号的近似，会有吉布斯现象（虽然在功率上会很好的近似，但是在不连续点附近却有一个固定的误差，无法进一步减小），比之于FT的这个缺点，我们的小波变换能够更好的对数据中的不连续点进行近似。

小波分析算法资料整理总结

一、小波分析基本原理：信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介（仅谈大体印象，还待继续研读）：１、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序）源码类型：fortran程序功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。