短时傅里叶变换和小波变换

短时傅里叶变换和小波变换

吴桐

（西南交通大学峨眉校区机械工程系铁道车辆一班学号20116432）摘要：短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或 short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

关键词：傅里叶变换；实质；缺陷；小波变换

0引言

傅立叶变换是信号分析技术的基础，它在分析平稳信号时起着至关重要的作用。傅立叶变换是一种全局的变换，只能获得信号的整个频谱，并不能反映某一局部时间内信号的频谱特性。在许多科学领域的实验和工程测量中，普遍存在着非平稳信号。针对传统的傅立叶变换无法表达信号的时频局域性质，人们提出了一系列新的信号分析理论，其中以短时傅立叶和小波变换应用最为广泛。

1傅里叶变换的实质与缺陷

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别。所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。

基于傅里叶(Fourier)变换的信号频域表示,揭示了时间函数和频谱函数之间的内在联系，在传统的平稳信号分析和处理中发挥了极其重要的作用，很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本的经典工具来使用。但是傅里叶变换存在着严重的缺点：用傅里叶变换的方法提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信息，这是一种整体变换，缺少时域定位功能，因此必须对其加以改进。

信号的瞬时频率，表示了信号的谱峰在时间-频率平面上的位置及其随时间的变化情况，一般平稳信号的瞬时频率为常数，而非平稳信号的瞬时频率是时间t的函数。从傅里叶变换

变换的表达式可以看出，S(X)是单变量X 的函数，信号的傅里叶变换不随时间的变化而变化，因此，傅里叶变换仅仅适用于平稳信号。但是，在实际工作中，我们分析和处理的往往是时变的或非平稳的信号，它们的频率随时间变化而变化，其相关函数、功率谱等也是时变信号，用傅里叶变换进行分析，得到的信号频谱反映的是整体信号中包含的某一频率分量的平均值。所以傅里叶变换不能反映信号瞬时频率随时间的变化情况，仅仅适用于分析平稳信号。对频率随时间变化的非平稳信号，傅里叶变换只能给出其总体效果，不能完整地把握信号在某一时刻的本质特征。

2小波变换

傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义：

正变换公式

?()()i t f f t e dt ωω∞--∞=?? （1）

逆变换公式

?∞

∞-?=dt e f t f t i ωωπ)(?21)( （2）

分析：

1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。

2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在

某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之

间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。

3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。

4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数)(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下：

(,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞

--∞=-? （3）

其中，窗口函数()g t 一般取为光滑的低通函数，保证)(τ-t g 只在τ的附近有值，在其余处迅速衰减掉。这样，短时傅立叶变换就在τ点附近局部地测量了频率分量ω的幅度值，

得到信号在τ=t 时刻附近的频率信息。D ．Gabor 采用Gauss 函数作为窗口函数，其相应的傅立叶变换仍旧是Gauss 函数，从而保证短时傅立叶变换在时域与频域内均有局域化功能。

短时傅立叶变换存在固有的局限：即其时间——频率窗口是固定不变的，一旦窗函数()g t 选定，其时频分辨率也就确定了。也就是说，它对所有的频率都使用同样的窗口。我们若想提高时间分辨率，就要把窗口缩得很窄，但这样势必会降低频率分辨率。Heisenberg 测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率上均有任意高的分辨率，因为时间和频率的最高分辨率受下式的制约：

1

4t ωπ???≥ （4）

上式中t ?和ω?分别表示时间域和频率域的窗口宽度。

这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。

上述的分析表明，由于使用了固定的窗口，而实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性，对于高频谱的信息，时间间隔要相对地小以给出较高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息。换句话说，重要的是要有一个灵活可变的时间——频率窗，能够在高“中心频率”时自动变窄，而在低中心频率时自动变宽。而小波便是为此而设计的。

小波变换定义为

*,(,)()()a b Wf a b f t t dt

ψ=? （5）

变换的核函数为 ,1()()a b t b t a a

ψψ-=,0a >b R ∈； （6） 其中，ψ()t 被称为一个基本小波或母小波，它一般是时域上以0＝t 为中心的带通函数，在时域和频域都必须是局部化（紧支撑）的，且其平均值为零，即

()0t dt ψ=? （7）

3小波变换的应用

对于变化平缓的信息（对应低频信息），在大范围（尺度）上观察，对于变化很快的信息（对应高频信息），在小范围（尺度）上观察。称为多尺度或多分辨率思想。

若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观察到目标的细节部分。这种由粗及精对事物的分析就称为多分辨率分析。介绍多分辨率分析及尺度空间和小波空间的概念。 任何一个事物S 都对应着多个描述空间，每个描述空间都由自身的特征描述基构成，若这些特征基可以描述出S 中不同事物，则称特征基在S 中是完备的。若这些特征基两两之间不相关，则称其为正交。当然完备并不要求正交，正交的好处在于每个特征基上描述的信息和其他特征基不相关。从而消除了信息的冗余（部分重复）表示。

描述空间也称描述域。不同特征基有不同描述和运算规则。

将事物在A 描述空间上的特征转为在B 空间（也称变换域）的特征，可更符合于我们的观察或认知。

例如：传统的傅里叶变换即是引入无穷余玄基和正玄基来无穷逼近L2空间中（平方可积空间）的函数。因余玄基和正玄基的许多优秀性质而被广泛应用。

例如：在图像压缩中，我们就是利用了图像数据的特性，将其转化为符合其特性描述的空间上，从而更好的描述了图像而达到压缩的目的。

因此解决不同问题可选择不同的变换方式。

自然图像的数据特性就是其中相邻的象素点的颜色（或象素值）在一个大的概率上相关，否则我们将要看到一片颜色（或灰度）乱变的点。

图像频域的描述空间概念：对于大范围内平缓变化的信息，我们称其为低频信息，对于小范围内变化很快的信息，我们称其为高频信息，并将这些信息对应频域上的数值。低频和高频信息可任意设置。

离散傅里叶变换以变化平缓的波来描述低频信息，以变化快速的波来描述高频信息。因自然图像相关性，故低频信息描述了整体的信息，而高频信息描述了局部细节。

傅里叶变换存在一些不足。例如，要想取得较好的低频信息，我们需要相对较长的变换窗口，而要想取得较好的高频信息，我们又需要较短的窗口, 这样就引起一对矛盾。

为了解决傅里叶变换的不足，就需要用长窗口来提取低频信息，用短窗口来提取高频信息。小波变换应运而生。

以图像来说明建立空间特征基和小波变换的关系

设有一幅图像由64个点组成，从不同分辨率考察。

最近时， 把1个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V0

走远一些，把4个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V1

再走远一些，把16个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V2

再走进一些，把64个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V3

可知凡是在

V j 空间内可以描述的图像，1-j V 空间内皆可描述,并且描述的更细致，故V j 包含于

1-j V 空间 。 记j j j W V V ⊕=-1,即V j 和W j 构成1-j V 空间。（若j j W V ⊥ ，则W j 为V j 的正交补空间，实际应用中不要求一定正交）

记

j P 为图像在V j 空间的描述 则

11j j j D P P ++=- 就表示了图像在这两个描述空间的细节差异，因为11j j j V V W ++=⊕，故1j D +为图像在1j W +空间上的描述。即1j W +空间表述了细节差异。如果1+⊥j j W W ,即为不同分辨率下的细节差异不相关，从而消除冗余。在

j W 空间中能找到一组正交标准基，其基本函数必是高（带）通的，就称其为小波函数。

继续分解3321j j j j j V V W W W ++++=⊕⊕⊕

即最清晰分辨率下的图像可以由不同分辨率下的细节差异和最高尺度（最低分辨率）下

的图像合成而得。

如何构造Wi ？

11

j j j V V W ++=⊕中 V j 就是尺度空间，即我们观察事物所采用的尺度，也就是分辨率。尺度越大，分辨率越小，尺度越小，分辨率越大。 j W 就是细节空间，即不同尺度空间观察事物的差异。

一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细节信息。

即： 一幅图像=系数 * 尺度空间基 + 系数 * 细节空间基

正如傅里叶变换是将一个函数用无穷项正玄或余玄基逼近，小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。富里叶变换是以 j t e ω为核进行积分，小波变换以小波基为核进行积分。 参考文献

1.郑令，赵亮，伉大俪，基于短时傅立叶和小波变换的时频分析，1006－4877（2009）09－0089－03

2.张才智，孙力，小波变换算法设计及应用，《计算机工程与设计》，第29卷，第11期