小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同

一、基的概念

两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi

标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。

二、离散化的处理

傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

三、快速算法。

如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换（FFT）。这里我不想解释过多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂基之类，我想说的就是一种时频对应关系。也就是算法的来源。我们首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。这里要注意，实际我们在玩DSP。因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅里叶变换，是一家子。快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。当然，如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX。这里的A是循环矩阵。但不幸的是A仍然是满阵。小波的快速算法。MALLAT算法，是一个令人振奋的东西。它实质给了多分辨率分析（多尺

度分析）一个变得一发而不可收的理由。它实质上，讲了这样一个意思。也就是。我在一个较高的尺度（细节）上作离散二进稳定的小波变换，得到了一个结果（小波系数），我若是想得到比它尺度低的小波系数（概貌），我不用再计算内积，只是把较高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是，所有这些证明的推导是在整个实轴上进行的。即把信号看成无限长的。但这仍不是我们想要的。还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积，才可以使用此算法。因此，我们开始简化，并扩展此理论。第一，我们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。

（这是可以的，因为小波很瘦时，和取样函数无异）。第二，我们把原来的卷积，换为圆周卷积。这和DSP何尝不一样呢？它的物理意义，就是把信号作周期延拖（边界处理的一种），使之在整个实轴上扩展。这种算法令我为之一贯坚持的是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。正变换Y=AX；反变换X=A’Y；一般对于标准正交基，A’是A的共轭转置，对于双正交A’是A的对偶矩阵。但不管如何，我们可以大胆的写，AA’=A’A=I。这里I是单位矩阵。

那怎样操作才是最快的呢？我们来分析A的特点，首先A是正交阵，其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2为循环的。为什么，因为你做了2抽取。所以我们可以，实现小波变换用快速傅里叶变换。这时如果A是满阵的，则复杂度由O(N.^2）下降到O(NlogN)。但还有一点，我们忘了A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的，也就是这个矩阵是个近似对角阵。所以，快速傅里叶是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。因此，小波变换是O(N)复杂度的。这是它的优势。但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩阵存储和稀疏矩阵乘法。第二个方法，因子化。因子化，是一个杰出的贡献。它在原有的O(N)的复杂度基础上，对于长滤波器，又把复杂度降低一半。但量级仍然是O(N)。

四、时频分析

对于平稳信号，傅里叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时间段的特点。在频率上，是点频的。而对于非平稳信号，它就无能为力了。而小波恰好对此派上用场。小波是反映信号，某个时间段的特点的。在频域上，是某个频率段的表现。但小波，作为频谱分析确实存在很多问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。大家可以看冉启文的《小波变换与分数傅里叶变换》书，这里我不再赘述。还有，我们老是说小波是近似频域二分的，这在DSP上是怎样的，最近我也在思考。

五、压缩、消噪、特征提取

傅里叶变换的压缩，已经广泛应用了。它的简化版本就是DCT变换。而小波包的提出，也就使DCT有些相形见拙。首先，它提出代价函数，一般就是熵准则。其次，一个自适应树分解。再次，基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。小波包是从频域上实现的。从时域上，我们也可采用类似的分裂和并算法，来实现信号最优的表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。记住，压缩是小波最大的优势。

消噪，一般的傅里叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。两者各有优缺点。而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组成。我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波，或用什么小波。这点上，小波的优势并不是很明显。

特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问题也是很多。首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLET算法，或者改用叫多孔算法的东西来做。这点，我没任何体会，希望大家多讨论吧。

这里，我不能谈应用很多的细节。但我们必须明确：

1.你要对小波概念有着明确的理解。对诸如多分辨率，时频窗口与分析，框架，消失矩，模极大值，LIPSCHITZ 指数等有着清醒地认识。

2.你必须考虑小波在此问题上的可行性，这点尤为重要，小波不是万能的。

3.你必须考虑什么样的小波是合适的。

4.你必须给出一个评价的标准。（熵准则，模极小则等）

5.你必须确定一种算法，是用小波还是小波包或是类小波。（MALLET，直接求内积，多孔，模极大值重构）。

6.最后，你要把你做的效果还其他人的作比较，看看有没有优势。

7.自己编写几乎所有程序，不依靠TOOLBOX里任何的函数。（一些常用的除外）。

这样相信你会获益不少。

我个人的理解：

小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：

1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小

波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j和V-j所构成的空间上去的。

2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分

析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。

3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+(ω2t)+(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。事实上，F(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。

4、在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中w的值越小。

5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。在小

波变换中，变换系数Wf（a,b）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时

间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。

6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf与中心频率f无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf则正比于中心频率f。

fourier变换是在全时域上的变换即从负无穷时间到正无穷时间，它具有最高的频率分辨率但是没有时间分辨率。

窗口fourier变化对时域加窗，因而能够同时具有时间分辨率和频率分辨率，但是由于加窗的影响，它的频率分辨率有损失，而时间分辨率取决于窗的大小。

小波变换是科恩类变换，其基本思想是将函数在核函数上展开，核函数具有时间与频率分辨率，因而小波变换也具有时间和频率分辨率。但是小波变换的频率并不是真正意义上的频率，只有具有相当于频率的一种比率。

（1）监督分类：

先取有代表性的训练区作为样本，通过选择特征参数（如像元亮度均值，方法等），确定判别函数，据此进行分类。

过程：

1、选择训练区（代表性，完整性，多个样区）

2、提取统计信息（进行多元统计分析，训练样本的有效评价，样本纯化）

3、选择合适的监督分类算法（平行算法，最小距离法，最大似然法（至今应用最广），波谱角分类法）

4、计算机自动分类

5、分类精度评价（非位置精度，位置精度--混淆矩阵）

优点：

1、可充分利用分类地区的先验知识，预先确定分类的类别；

2、可控制训练样本的选择，并可通过反复检验训练样本，以提高分类精度，避免分类中的严重错误

3、避免了非监督分类中对光谱集群组的重新归类。

缺点：

1、人为主观因素较强；

2、训练样本的选取和评估需花费较多的人力时间；

3、只能识别训练样本中所定义的类别，从而影响分类结果。

（2）非监督分类（又称聚类分析或点群分析）：

在没有先验类别作为样本的条件下，根据像元间相似度大小进行计算自动判别归类，无须人为干预，分类后需确定地面类别。

优点：

1、无需对分类区有较多的了解，仅需一定的知识来解释分类出现的集群组；

2、人为误差减少，需输入的初始参数较少；

3、可形成范围很小但有独特光谱特征的集群，所分的类别比监督分类的类别更均质；

4、独特的覆盖量小的类别均能够被识别

缺点：

1、对其结果需进行大量分析及后处理，才能得到可靠分类结果；

2、存在同物异谱及异物同谱现象，使集群组与类别的匹配难度大；

3、不同图像间的光谱集群组无法保持其连续性，难以对比。

传统的模板匹配算法的基本搜索策略是遍历性的，为了找到最优匹配点，传统方法均必须在搜索区域内的每一个像素点上进行区域相关匹配计算，图像相关匹配的数据量和计算量很大，匹配速度较慢．序贯相似性检测算法（SSDA）是针对传统模板匹配算法提出的一种高效的图像匹配算法．具体算法是先初步搜索，再精搜索，搜索的范围一步一步减小。SSDA通过人为设定一个固定阈值，及早地终止在不匹配位置上的计算，以此减小计算量，达到提高运算速度的目的。其步骤如下：(1)选取一个误差准则，作为终止不匹配点计算的标准，通常可选取绝对误差

(2)设定一个不变阈值

(3)在子图象中随机选取一点，计算它与模板中相应点的绝对误差值，将每一随机点对的误差累加起来，若累加到第r次时误差超过设定阈值，则停止累加，记下此时的累加次数r

(4)对于整幅图像计算误差e，可得到一个由r值构成的曲面，曲面最大值处对应的位置即为模板最佳匹配位置。这是因为该点需要多次累加误差才能超过阈值，因此相对于其它点，它最有可能是匹配位置。