中职数学平面向量教案

复习引入：

新授： 1. 向量的概念

把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c

,...等．

如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．

向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c

|,...．

特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．

为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表

示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．

由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．

例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？

课内练习1

1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？

c

a

图7-2(1)

b D C

图7-2(2)

B

A

B 1

C 1

2. 向量的比较

(1)向量相等

任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a b)．在例1中的相等向量有且仅有AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，

更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b 的模，而不能说向量a大于向量b．

若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．

(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；

(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？

(2)相反向量

对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：

AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从

C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、四次位移．

(3)平行向量

若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．

规定零向量平行于任意向量.

根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．

课内练习2

1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？

2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？

3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在

物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物

体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理

的解释．第3题图

F1

复习引入：

新授：

(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．

向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．

与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．

在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始 点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．

解 (1)按平行四边形法则，把的始

点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2))

(2)移b 的始点到a 的终点，从a 的

始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9- 12，求f =a +b +c +d ．

解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从

图9-9(1)

a

图9-9(2)

a

图9-10(3)

a

b

b

c

图9-10(2)

a

b

图9-10(1)

a

b

d

c a

b

c

d

f

被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a +b , a +b +c ． 课内练习3

1. 请举一个向量相加的实际问题．

2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？

3. a +(-a )=0，因此|a |+|-a |=0，这个结论正确吗？一般地，c =a +b ，因此|c |=|a |+|b |，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？

4. 矩形ABCD 如图，试求

AB +BC ,BC +AB ,BA +BC ,BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD 如第4题，求

(AB +BC )+CD ,AB +(BC +CD ),AB +BC +DC ,BA +BC +DA ． 得到的和向量之间有哪些关系？

数量加法运算满足交换律(a +b =b +a )、结合律(a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c ))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律

a +

b =b +a ， a +b +

c =(a +b )+c =a +(b +c )， (2)向量的减法运算

如同数量a ,b 相减a -b ，是被加数a 与加数b 的相反数-b 相加一样，所谓向量a ,b 相减a -b ，实际上是向量a 与向量b 的相反向量-b 相加，即a +(-b )．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-

13(1)中是已知向量a ,b ；图9-13(2) 显示了a +(-b

)；图9-13(2)显示了

a -

b 的直接运算法则，法则的文字

表述是：a -b 的结果是一个向量c ，

把a ,b 的始点移到同一点，从b 的终点连向a 的终点的向量就是c (三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．

第4题图

A B

C D

图9-13(1)

a

b

图9-13(2)

-b

a

-b a

c

图9-13(3)

记作c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．

例7 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？

例8 在ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求

(1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC．

课内练习4

1. 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？

2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求

(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．

因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如

a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．

(3)向量的数乘运算

在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC, b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：一个实数乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模||倍，即

|b|=|||a|；

b的方向当>0时与a的方向相同，当<0时与a的方向相反．记作

b=a或b=a，

把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．

根据向量数乘运算的这种规定，立即可知

-a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a．

把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：

(+)a=a+a， (a+b)=a+b，

其中,是任意实数，a,b是任意向量．

根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数，使b=a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数，使b=a（a≠0）．例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．

解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)

=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．

例9 ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)．

课内练习5

1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．

2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模．

3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．

4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？

复习引入：

新授：

1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量

设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy }．方向为x 轴正向的单位向量i 、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向

量(见图9-16)．

(2)平面向量的直角坐标

在坐标平面上给定了向量 a ，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A 的坐标为(x ,y )．把(x ,y )叫做向量a 的坐标，记作

a =OA =(x ,y )．

若向量a 的坐标为(x ,y )，则其模可以用坐标表示为 |a |=22y x + (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i =(1,0), j =(0,1)． 以原点O 为始点、点A 在x ,y 轴上的投影为终点，是两个分别平行于i , j 的向量，根据向量加法定义，有

a =x i +y j ， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ，直接在a 上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出

AB =i -2j =(1,-2)．

课内练习1

1. 写出图9-18中向量OP ,EF ,CD 的坐标，并求它们的模．

2. 向量关系的坐标表示

向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道

O a j A y i

x

图7-17

x i y j x i

y j

x y

O

B

D

P

C A

E F

O

j

y

i x

图7-16