双曲线专题复习

《圆锥曲线》---------双曲线

主要知识点

1、 双曲线的定义:

(1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题：

2

注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？

3

注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法

（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系

①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22

221(0,0)x y a b b a

-=>>），

则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程

①与双曲线22

221x y a b

-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；

②若双曲线的渐近线方程是b

y x a

=±

，则双曲线的方程可表示为_____________________；

③与双曲线22

221x y a b

-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；

④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；

⑤与椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为

______________________________________________________________________________。

5．双曲线离心率的有关问题 （1）c

e a

=

，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e =

。

（3）双曲线离心率及其范围的求法。

①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。

②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求

值域或解不等式来完成；b ．

通过判别式?；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。

6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算

（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？

（2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题：

考点一：双曲线的定义

例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2

+y 2

=2外切，与圆C 2：(x -4)2

+y 2

=2内切，求动圆圆心M 的

轨迹方程.

变式训练：由双曲线4

92

2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2

的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.

巩固训练：(1). F 1、F 2是双曲线162

x －20

2y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的

距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.

(2).过双曲线x 2-y 2

=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .

(3).一动圆与两定圆12

2

=+y x 和01282

2

=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 A.椭圆 B. 双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线

考点二：双曲线的方程

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线16

92

2y x -

=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；

（2）与双曲线4

162

2y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）.

变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y =0, （1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.

巩固训练：(1)求与椭圆

22

1255

x y +=共焦点且过点的双曲线的方程；

(2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；

(3)已知双曲线的离心率e =(5,3)M - ，求双曲线的方程；

(4)与双曲线14

2

2

=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程;

(5)已知双曲线12222=-b

y a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33

±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.

(6).已知方程

22

121

x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.

考点三：双曲线的几何性质

例3 双曲线C ：

2

22

2b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上

存在一点P ，使·=0，求此双曲线离心率的取值范围.

变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.

巩固训练：（1）已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°

的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：

A.1

B. 2

C.3

D.4

(2)已知双曲线2221(2x y a a -

=>的两条渐近线的夹角为3

π

，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.23

3

(3)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线

垂直，那么此双曲线的离心率为_________.

(4)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为F (4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂

线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为: A. 8 B. 16 C. 20 D. 24

考点四：双曲线的离心率

例1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过F 1作垂直于X

轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。

变式训练：

1、若△AF 2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。

2、若△AF 2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。

3、若△AF 2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。 巩固训练：

1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过F 2作倾斜角为?

60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。

2、已知F 1、F 2分别是双曲线 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过F 2作垂直于渐近

线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。

3、直线1-=kx y 与双曲线42

2

=-y x 没有公共点，则k 的取值范围为_______,有两个公共点，则k 的取值范围为_______,有一个公共点，则k 的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则k 的取值范围为_______。

考点五：双曲线中的焦点三角形

例、设F 1和F 2为双曲线

2

2

x y 1169

-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600求△F 1PF 2的面积

变式训练：设F 1和F 2为双曲线

2

2

x y 1169

-=的两个焦点，P 是双曲线上一点， 已知∣PF 1∣∣PF 2∣=32,求∠F 1PF 2的余弦值与三角形F 1PF 2面积

巩固训练：

1. 双曲线

22

1169

x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是____________

2、已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是 ．

3、 设F 1和F 2为双曲线2

2x

y 14

-=的两个焦点，P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=900, 则三角形F 1PF 2面积是

4、设F 1和F 2为双曲线

2

2

x y 1169

-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600则P 点到F 1和F 2两点的距离之和为___________

5、已知双曲线C 2

2

22x y 1a b

-=（a>0,b>0）的两个焦点为F 1(-2,0) ,F 2(2,0),点P （3双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）记O 在坐标原点，过Q （0，2）的直线L 与双曲

线C 相交于不同的两点E,F ，若△OEF 的面积，求直线L 的方程

考点六：直线和双曲线的位置关系

例4. 已知曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率e =直线l 过A (a ，0)、B (0,)b -两

点，原点O 到l 。(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?OM ，求直线m 的方程。

变式训练：直线12:1:2

2

=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.

巩固训练：1、已知双曲线2

2

22x y -=的左、右两个焦点为1F , 2F ，动点P 满足|P 1F |+| P 2F |=4.①求动点P 的轨迹E 的方程；②设过2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，问：终段O 2F 上是否存在一点D ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.

2、已知双曲线C ：λ

-12

x -λ2y =1（0＜λ＜1）的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右

支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON =0，其中点O 为坐标原点.

3、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是5x -2y =0. (1)求双曲线C 的方程;

(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2

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,求k 的取值范围.