实变函数
实变函数
系（部）：数学与信息科学学院
班级：数学与应用数学
学号： 123456789
学生姓名：李桂英
2015年12月
浅谈学习实变函数的心得
【摘要】：想想已经学习了一学期的实变函数，实变函数与其他数学数学最大的不同就是学习其思想，这是老师从第一节课就一直给我们传输的，本论文我将就在学习实变函数的扩展思想作为主要论述目标。在学习实变函数时总会遇到一些德摩根公式，在以前我们已经学习过真假命题及集合，且知道德摩根公式在其中的应用，在实变函数中集合由单个集合扩展到一组集合，其德摩根公式又该怎样的表现形式呢？
1、实变函数的不同
已经上了三年的大学生活，学了三年的数学，微分几何、高等代数、几何微分等等，但是从没有一门课程让我觉得学起来很没有成就感，我知道上大学与以前的学习方式不同，上课前预习，下课后及时复习就可以将其学的很好，没必要向之前上高中一样需要一直练题，但是我从没有课前预习的习惯，但我会在老师上完课之后及时的复习，及时做练习题巩固，三年下来我学习的还算游刃有余，每解出一道题就像高中时期一样特别的有成就感，特别高兴。但是学了实变函数之后我之前的感觉全没有了，因为实变函数与其他数学的不同，实变函数的重点不在解题而在于学习其思想，这就与其他数学科目不同。虽然偶尔也有需要解决的但大部分均是证明。在学习实变函数之前老师就介绍实变函数，我们知道实变函数的最基本内容已成为分析数学各分支的普遍基础，实变函数主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。在学习实变函数中我经常学到的就是扩展思想，这也是我听老师讲课时说到的最多的词语，在实变函数中第一章集合中，由原来单个集合扩展到一族集合的德摩根公式就运用到了这一思想，下面我将详细介绍。
2、德摩根公式
2.1德摩根生平
德摩根，英国数学家，其父亲是英国驻扎在印度的军队的上校，德摩根7个月时被带回英国，中学时就强烈爱好数学。1823年至1827年间入读剑桥大学，1828年担任伦敦大学学院数学教授，1865年，他积极帮忙筹备伦敦数学会，1865年担任第一任会长，亦有奖章以他的名字命名。德摩根主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面做出重要的贡献。他的工作对当时19世纪的数学具有相当的影响力。他不注重名利，曾经拒绝了爱丁堡大学授予他的荣誉学位，还被托马
斯赫斯特说成是“干巴巴的学究—虽然很有能力。”而且德摩根在1835年所写的《代数学基础，为微分作准备，适用于中学的高年级》一书在1859年由中国数学家李善兰和英国人烈亚力翻译成中文定名为《代数学》，这是中国第一本数学书籍。
2.2德摩根公式的发展历程
2.2.1德摩根公式的表现形式
德摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：
非（P 且Q ）=非P 或非Q
非（P 或Q ）=非P 且非Q
形式逻辑中此定律表达形式：
在集合论中表示为： C C C B A B A =)(
C C C B A B A =)(
扩展到无限集合表示形式为：
∧∈∧∈=
ααααC C A A )(
∧
∈∧∈=
ααααC C A A )( 2.2.2德摩根公式的证明
因为本文我志在表述德摩根公式在实变函数中的应用，所以在此只证明集合的德摩根公式。在证明集合的德摩根公式之前我先说一下余集的概念，余集就是补集，集合A 的余集就是在全集中去掉A 中的元素所剩下的元素组成的集合，比如，全集U={1，2，3，4，5}，子集A={1，2，3}，那么A 在U 中的余集就是{4，5}，记作U ＼A=C A 。所以单个集合的德摩根公式证明如下：
事实上，设x ∈(A B )C ,则x )( B A ?, 即x ,A ?x B ?,即x ∈c A ,x ∈c B ,所以x ∈
C c B A ,反之x ∈ C c B A ，
则x ∈c A ,x ∈c B ,所以x A ?,x B ?,即x )( B A ?,从而
x ∈(A B )C ,综合可得(A B )C = C c B A
第二个证明如下： 事实上，设x ∈(A B )C ,即x ?(A B ),即x A ?,x B ?,所以x ∈c A ,x ∈c B ,即x ∈( C B A c ),反之x ∈( C B A c ),x ∈c A ,x ∈c B ,所以x A ?,x B ?,即x ?(A B )，
所以x ∈(A B )C ,综合可得(A B )C =( C B A c )。
利用扩展思想，同理证明一族集合的德摩根公式如下： 事实上，设x ∈C A )( ∧∈αα,则x ∧∈?
ααA ,因此对任意ααA x ?∧∈,，即对任意
c A x α
α∈∧∈,，从而 ∧∈∈ααc A x ，反之，设 ∧∈∈ααc A x ，则对任意c A x αα∈∧∈,，
即对任意ααA x ?∧∈,，则x
∧∈?ααA ，从而x ∈C A )( ∧
∈αα，综合可得 ∧
∈∧∈=
ααααC C A A )( 一族集合第二个公式证明如下：
事实上，设x ∈C A )( ∧∈αα,则x ∧
∈?
ααA ,因此对任意ααA x ?∧∈,，即对任意c A x αα∈∧∈,，所以x ∈ ∧
∈ααc A ,反之，设x ∈ ∧∈ααc A ，即对任意c A x αα∈∧∈,,所以对任意的ααA x ?∧∈,，从而x ∧∈?ααA ，即x ∈C A )( ∧
∈αα，综合可得 ∧
∈∧∈=
ααααC C A A )( 证明完毕
3、 学习心得
从上面的德摩根公式证明可以看出，一族集合的证明是按照单个集合的证明出发的，他们的证明方法一样，只不过是从单个扩展到多个而已。数学题一般都是这样，一旦掌握了一个定理或公式，就可以运用到多个相似的习题中去，数学定义亦是如此，运用扩展思想可以由一个定义推出另一个定义，这在实变函数中非常常见。数学题是如此，生活中的一些事情的处理方式更是如此，生活中我们有时总面临选择和处理事情的决断，但是却总是想不到解决事情的方法，其实如果我们静下心来仔细回想，相似的事情或情况有时是可以用相似的处理方法和选择来解决的。从实变函数中我了解了学习的方法帮助我们理解扩展我们的思路，使我
们更加容易理解和记忆。而且我也明白了有的方法并不是万能的须根据具体情况具体分析，像实变函数与微分几何、数学分析、高等代数等不同，微分几何、数学分析等计算用的多，证明少，只要掌握住方法在老师讲完之后就算不理解但记住了公式多加练习巩固知识点就可以学好，但实变函数不同，它里面的证明较多，计算较少，需要你理解其真正的含义，如果不理解题将无法做出，就算在老师讲完后去复习也很难理解，而我却用学习数学分析的方法去学习实变函数，确实是没有达到很好的效果。这就告诉我们在学习一门课程时选择的学习方法需谨慎，要先理解其课程的真正意义和内容再去选择学习方法，不然就会和我一样走很多弯路却始终找不到出口。
【参考文献】：
[1]陈建功.实变数论.北京：科学出版社，1978
[2] 江泽坚等.实变函数论.2版.北京：高等教育出版社，1994
[3] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础.3版.北京：高等教育出版社，2010
[4] 人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心著.数学.北京：人民教育出版社，2014
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)
实变函数(复试)
实变函数1 预备知识 1.1 记号与基本点集理论 1.1.1.1 点集与函数 1.1.1.2 集合的有关记号：并、交、差、余 1.1.1.3 de Morgan律 1.1.1.4 集合的乘积 1.1.1.5 函数定义 1.1.1.6 函数的复合与四则运算 1.1.1.7 特征函数 1.1.1.8 等价关系 1.1.2 直线上可数集与不可数集 1.2.1.1 有限集 1.2.1.2 △可数集 1.2.1.3 △不可数集 1.2.1.4 有理数集合的可数性 1.1.3 IR中的拓扑性质 1.1.3.1 开集 1.1.3.2 △开集构成定理 1.1.3.3 闭集 1.1.3.4 连续函数 1.2 Rirmann积分的局限性 1.2.1 Riemann可积性简介 2 测度 2.1 零测集 2.1.1 定义 2.1.2 零测集的可数并为零测集 2.1.3 Cantor集 2.2 外测度 2.2.1 定义 2.2.2 零测集的外测度为0 2.2.3 空集的外测度 2.2.4 若B A?，则) A (* m m≤ (*B ) 2.2.5 区间的外测度 2.2.6 次可数可加性 2.2.7 平移不变性 2.3 Lebesgue可测集与Lebesgue测度 2.3.1 测试与可测集定义
2.3.2 零测集与区间可测 2.3.3 可测集的性质 2.3.4 σ域 2.4 Lebesgue测度的性质 2.4.1 单调性 2.4.2 开集的测试 2.4.3 渐张(缩)集列极限集的测度 2.4.4 有限可加性 2.5 Borel集 2.5.1 σ域的性质 2.5.2 Borel集的定义 2.5.3 Borel集类与Lebesgue可测集类的关系 3 可测函数 3.1 扩充实直线 3.1.1 ] R = , -∞ [∞ 3.2 定义 3.2.1 几乎处处 3.2.2 函数几乎处处相等的概念 3.2.3 可测函数定义 3.4 性质 3.4.1 可测函数的四则运算及复合 3.4.2 f+、f-、|f|及上下限函数的可测性 3.4.3 鲁津定理 4 积分 4.1 积分定义 4.1.1 简单函数的积分 4.1.2 非负可测函数的积分 4.1.3 非负函数积分的性质，单调性，可加性，线性 4.1.4 积分为0的条件 4.2 单调收敛定义 4.2.1 Fatou引理 4.2.2 Levi引理 4.3 可积函数 4.3.1 定义 4.3.2 积分的性质 4.3.3 L构成——线性空间 4.3.4 绝对不等式 4.3.5 由积分定义测试
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数集合标准答案
第一章 集合 一、內容小结 1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入 了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。 2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定 理。 3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点 1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式 上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。条件为A,B 不交。 2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C 必可数。 3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法 4. 肯定方面与否定方面。B X B X ?∈与, 5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其 中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。 6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯 坦定理）来进行相应的证明。 7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算 得到可数、第四节定理6. 8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。∞E R n , 三、习题解答 1. 证明：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 证明 则若设,).(A x C B A x ∈∈I Y B A x Y ∈,得).()(C A B A x Y I Y ∈ 若 则同样有设,C B x I ∈B A x Y ∈且C A x Y ∈，得 ).()(C A B A x Y I Y ∈因此 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y ? 设)()(C A B A x Y I Y ∈则若,.A x ∈当然有)()(C A B A x Y I Y ∈，若,.A x ?由B A x Y ∈且C A x Y ∈，可知B x ∈若.且c x ∈.，所以,C B x I ∈同样有).(C B A x I Y ∈因此?)()(C A B A Y I Y )(C B A I Y ， 所以)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 2. 证明
复旦大学数学系专业必修课介绍
【实变函数】：主要讲Lebesgue测度和积分，比较难的一门课 最重要定理：Lebesgue控制收敛定理、Fubini定理 教材:自己印的讲义，不过可以参考夏道行的《实变函数论与泛函分析》上册，这本书内容太多，所以我们学的只是它的真子集= =。。 实变函数还是很重要的，最重要的是给你一种测度和积分的观念，让你知道积分是定义在测度上面的，有个测度就可以定义一种积分；此外对后续的概率论的课程也很重要 【复变函数】：主要讲复平面上的全纯函数，比实变简单= =。。 最重要定理：Cauchy积分公式，以及全纯函数的3个等价定义，至于是哪3个大家学的时候总结吧，书上没有明确写出来 教材：《复变函数论》张锦豪、邱维元著 我旦本科的复变讲得还是比较简单的，调和函数不讲，解析延拓也不讲，以至于上数理方程课的时候老师抱怨“你们复变老师怎么什么都不讲？”= =。。 【拓扑】：主要讲点集拓扑和基本群、覆盖空间 最重要定理：万有覆盖定理；请务必把这个定理的证明完整背下来，期末考试已经连续考了两年了= =。。
教材：自己印的讲义，以前的老教材，已经不出版了 拓扑还是很重要的，相当于现代数学的语言，如果以后想继续做数学一定要搞清楚 【数学模型】：水课，不像是数学课，不讲~~ 总结：大二的专业必修课分布是非常密集的，也很累，不过大家一定要坚持下去，到了大三下，基本就没什么特别耗精力的课了，大四就基本没什么课了 大三： 【泛函分析】：主要讲无限维线性空间以及其上的有界线性泛函和线性算子，和高代的区别就是一个有限维，一个是无限维；不过无限维的情况可比有限维复杂多了，也有意思多了 最重要定理：开映射定理、闭图像定理、共鸣定理；这几个定理是相互等价的 教材：自己印的，不过我们学的也是夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册的真子集 泛函是非常重要的数学基础课程，也有一定难度，要花时间，最好寒假预习一下 【概率论】：主要就是讲概率论的；不过概率实际上是一个全有限测度，这也是为什么我说实变要好好学的原因之一，因为从精神上来讲，概率的全部结果，都可以用实分析的方法导出
实变函数第一章答案
习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成
教学大纲_实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编号：120233B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □√学科基础课 总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0 学分：3 适用对象：经济统计学 先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论
证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。 二、教学基本要求 （一）教学内容及要求 《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。 其中要求同学们： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。 5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 （二）教学方法和教学手段 在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。 （三）实践教学环节 本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。 （四）学习要求 学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。 （五）考核方式 本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成
(完整版)实变函数试题库1及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ?? 是可数集，则* m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） A ()\ B A A =?I B ()\A B A =?I C ()\A B B A =U D ()\B A A B =U 2．若n R E ?是开集，则（ ） A E E '? B 0E E = C E E = D E E '= 3．设(){} n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞ ≤?? C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞ ≤?? 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E = 中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ?? 是无限集，则（ ）
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数与泛函分析基础第三版
书籍目录： 第一篇实变函数 第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合 第一章习题 第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集 第二章习题 第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题 第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛 第四章习题 第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题 第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分
第六章习题 第二篇泛函分析 第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题 第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数 第八章习题 第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子 第九章习题 第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理 第十章习题 第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程 第十一章习题 附录一内测度，L测度的另一定义 附录二半序集和佐恩引理 附录三实变函数增补例题
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介 本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。 这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。 《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。 目录 第一篇实变函数 第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算
3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合 第一章习题 第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集 第二章习题 第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 第三章习题 第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛
第四章习题 第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理 第五章习题 第六章微分与不定积分 1 维它利定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯积分 7 L-S测度与积分 第六章习题 第二篇泛函分析 第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
实变函数复习资料,带答案
《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例
实变函数重点题集
3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=? 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =[]0,1,o E =?,E =[]0,1. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =?+?，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使11|()()|n i i i f x f x -=??-????∑成一有界数集,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。错误 2、若0=mE ，则E 一定是可数集.错误例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。错误 二、2. 下列说法不正确的是(C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言(B )是正确的。 （A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( C )是错误的。 （A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 1、设11[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A lim _________。 2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o P =________。 3、设{}i S 是一列可测集，则11 ______i i i i m S mS ∞∞==??? ???∑ 4、鲁津定理：______________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。 答案：()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
第一章集合 早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。 康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。 实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。 §1 集合的表示 集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法： 在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。 顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。 例1 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。 例2 全体自然数 例3 0和1之间的实数全体 0,1上的所有实函数全体 例4 [] 例5 A,B,C三个字母构成的集合 例6 平面上的向量全体 全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。 1.集合的表示
一个具体集合A 可以通过例举其元素,,a b c L 来定义，可记{},,A a b c =L 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p 来定义，并记为 A={x ：x 满足条件p} 如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为{}:(0,1)x x ∈ 设A 是一个集合，x 是A 的元素，我们称x 属于A ，记作x A ∈，x 不是A 的元素，记作x A ?。 为方便表达起见，?表示不含任何元素的空集，例如 {x ：sin x >1}=? 习惯上，N 表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. 设()f x 是定义在E 上的函数，记()f E ={ ()f x ：x ∈E}，称之为f 的值域。若D 是R 中的集合，则 1()f D -={x :x ∈E ,},称之为D 的原像，在不至 混淆时，{x ：x ∈E ，()f x 满足条件p}可简写成{x :()f x 满足条件p }. 2.集合的包含关系 若集合A 和B 满足关系：对任意x ∈A,可以得到x ∈B ，则成A 是B 的子集，记为A ?B 或B ?A ，若A B 但A 并不与B 相同，则称A 是B 的真子集. 例7. 若()f x 在R 上定义，且在[a,b]上有上界M ，即任意对 x ∈[a,b]有()f x ≤M.用集合语言表示为：[a,b] ?{x ：()f x ≤M}. 用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例. 例8. 若()f x 在R 上连续，任意取定0x ∈R,对任意ε>0,存在δ>0.使得对任 意0 0(,)x x x δδ∈-+有0|()()|f x f x -<ε,即 0000((,))((),())f x x f x f x δδεε-+?-+. 3.集合相等 若集合A 和B 满足关系：A ?B 且B ?A,则称A 和B 相等，记为A=B.
完整word版,实变函数练习及答案
实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合，（ ）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（ ） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）
实变函数与泛函分析课程教学大纲
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
实变函数标准答案 第三版 第二章 点集
第二章 点集 1、证明：' 0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ?（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0o P E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ?（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ??. ()()()'00100010101001001'0010 000:min ,,,,..o P E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈?=-????∈?∈?∈?∈∈∈?∈? 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一 （P ）也有异于P 的点，故 若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,. o d P P d P P E P E δδδδδδ?∈??=-????∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而 4、设3E 是函数 1 sin ,0,0,0 x y x x ?≠?=??=?当 当 的图形上的点所作成的集合，在2 R 内讨论' 333o E E 的E 与. (){}'33=0y 11. o E y E φ?-≤≤=解：E ， 8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。 (){} ()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}. {, |}. ' ',o o o o o c o x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>?∈=><=≥=<=≥∈=≥?' 任取则由在处连续及极限的保号性知， 存在当时有即即为的内点，从而 证明为开：集； 类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集. 9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。