信号与系统习题解答1

信号与系统习题解答1

1.1 用代数式表达下列复数：已知形式为θj re ，要求表达形式为

jy x +，采用公式：θcos r x =，θsin r y =。

解： 2121-=πj e 2

121-=-πj e

j e j =2

π j e j -=-2π

j e

j

=2

5π

j e

j

+=124

π

j e

j

+=124

9π

j e

j -=-124

9π j e

j

-=-124

π

1.2 用极式表达下列复数：已知形式为jy x +，要求表达形式为θj re ，

解：055j e = π

j e 22=- 2

33π

j

e

j -=-

()22

42

221π

π

j

j e e j --=???

? ??=- ()4

4

2

221π

π

π

j

j

j

e

e

e

j j =?=--

24

4

2211π

ππj

j

j

e e

e j

j ==-+-

12

3

4

223

122π

π

π

j

j j

e e e

j j -==++

1.54 （a ）证明表达式 ?????≠--==∑-=1

1111

0αα

α

ααN N n n

N

证： 因为 1=α 时，1=n

α （n 为任意值时）

所以，1=α 时，

N N n n =∑-=10

α

因为 ()(

)N

N ααααα-=++++--1 (111)

2

所以，当1≠α时，(

)α

α

ααα--=

++++-11 (11)

2

N

N

原式得证。 (b) 证明：1<α时，

α

α-=∑∞

=110

n n 证：因为

1<α时，0lim ==∞

→N N α

所以：αααα-=

--=∞→∞

=∑1111lim 0

N

N n n

（c ）证明：1<α时，()2

1αα

α-=∑∞

=n n

n 证：令()αααf n n

=-=∑∞

=11

为α的连续函数

对上式进行微分运算可得：

()()2

1

11αααα-==∑∞=-n n n d df 同时乘以α就可以得到：

()()2

1αααααα-==∑∞=n n

n d df （d ）当1<α时，计算

?=∑∞

=k

n n

α

解： 因为

∑∑∑∞

=-=∞

=+=k

n n

k n n n n ααα1

00

所以：αααααααα-=----=-=∑∑∑-=∞

=∞

=111111

0k

k k n n

n n

k n n

1.55 计算下列和式，采用代数式表达。

采用公式：n n

j

j e

=2

π

，

()()

n n n j n j j j e e n -+=???

? ??+=-21212cos 22π

π

π

解：（a ）

j j

j j e

n n

j +=-=--=∑=11211109

02

π

（b ）

()

()j e

e

m m j

n n j +-==

∑∑=--=19

22

7

2

2

π

π

（c ）52542

11121210202j j

e e n

n j n n

j n +=-=???? ??=??? ??∑∑∞

=∞

=π

π

（d ）

1015141525

4

21212

0222j j e e m m j n n

j n --=??? ??-???? ??+=???

? ??=??? ??+∞

=∞

=∑∑π

π

1.3 对下列每一个信号求∞P 和∞E ： b)

()()

4/22π+=t j e

t x

()12=t x ∞=∞E 1=∞P

c) ())cos(3t t x = ()()2

2

c o s

t t x = ∞=∞E ()()()2

1

2cos 11cos 22/02/02=+==??∞ππππdt t dt t P e)

[]??

? ??+=822ππn j e

n x

[]12

=n x ∞=∞E 1=∞P

f) []??? ??=n n x 4cos 3

π []2

24c o s ??

?

??=n n x π ∞=∞E 21210211210211814cos 812

7

0=??? ??+++++++=??

?

??=∑=∞n n P π

1.8 将下列信号的实部表示为

()φω+-t Ae at

cos 的形式。 a)

()()

πcos 221=-=t x

(){}()πc o s 2Re 1=t x

πφω====002a A

b)

()()ππ

23cos 24

2+=t e

t x j

(){}()t t x 3c o s 4c o s 2Re 2??

?

??=π

0301====φωa A

c) ()()π+=-t e t x t

3sin 3 (){}??? ?

?

+=-23c o s Re 1πt e t x t

2311π

φω=

===a A

d)

()()t j t t j e je je t x 100210024-+-==

(){}??? ?

?

+=-=--2100cos )100sin(Re 224πt e

t e

t x t

t

2

10021π

φω=

===a A

1.21 连续时间信号()t x 如图所示，画出下列信号波形。

1.22离散时间信号[]n x如图所示，画出下列信号波形。

1.23确定并画出图示信号的偶部和奇部。解：

1.24 确定并画出图示信号的偶部和奇部。

1.13 已知()()()22--+=t t t x δδ，求()()?∞-=t

d x t y ττ的∞E 。

解：因为()()?∞-=t

d t u ττδ

所以：()()()()()2222--+=--+=

??∞-∞-t u t u d d t y t

t

ττδττδ

()t y 如图所示；根据定义，能量()dt t y E 2

?

∞∞

-∞= ，对于本题，该

积分就表现为图形面积，所以4=∞E 。

1.14 已知周期信号()???<<-≤≤=2

121

01t t t x ，周期T=2。并且已知

()()∑∞

-∞

=-=k k t t g 2δ，()()2211t t g A t t g A dt dx

-+-=，求1A ，2A ，

1t 和 2t 的值。

解： 根据题设条件可得

()()∑∞

-∞

=-=

k k t x t x 20

()()()1330--=t u t u t x

则

()()(){}()()1332123

--=----=∑∞

-∞

=t g t g k t k t dt

t dx k δδ

对比可得：31=A ，32-=A , 01=t , 12=t

1.15 系统S 由S1和S2串联构成，已知各子系统输入输出关系为：

S1: [][][]142111-+=n x n x n y S2:[][][]32

1

2222-+-=n x n x n y

(a) 求系统S 的输入输出关系；

解：[][][][][][]42352232

1

211-+-+-=-+-=n x n x n x n y n y n y

（b ） 若S1和S2次序交换，是否影响S 的输入输出关系？ 解：[][][][][][]42352214222-+-+-=-+=n x n x n x n y n y n y

不受影响。

1.16 某系统输入输出关系为 [][][]2-=n x n x n y ， 请判断下列系统性质。

解：（a ）记忆性： 因为[]n y 与[]2-n x 有关，所以为记忆系统。 （b ）若输入为[]n A δ，求[]n y ：[][][]022

=-=n n A

n y δδ

（c ）系统可逆性：由于输入[]n δ和[]a n -δ会产生相同的输出，所以为不可逆系统。

1.17 某系统输入输出关系为()()()t x t y sin =，判断系统性质。 解：（a ）因果性： 因为()()0x y =-π，所以不是因果系统。 （b ）线性性：设()()()t x t y sin 11= ()()()t x t y s i n 22=，

显见：()()()()()()t bx t ax t by t ay sin sin 2121+=+ 所以该系统满足线性关系，为线性系统。

1.27 判断下列系统的性质：记忆性、时变性、线性性、因果性、稳定性。

解：（a ）()()()t x t x t y -+-=22 记忆、时变、线性、非因果、稳定

（b ）()()()t x t t y 3cos = 无记忆、时变、线性、因果、稳定 （c ）()()?∞

-=

t

d x t y 2ττ 记忆、时变、线性、非因果、不稳定

（d ）()()()?

??≥-+<=0200t t x t x t t y 记忆、时变、线性、因果、稳

定

（e ）()()()()()?

??

≥-+<=0200t x t x t x t x t y 记忆、时不变、非线性、因

果、稳定

（f ）()()3/t x t y = 记忆、时变、线性、非因果、稳定

（g ）()()t x dt

d

t y = 记忆、时不变、线性、因果、不稳定

1.28 判断下列系统的性质：记忆性、时变性、线性性、因果性、稳定性。

解：（a ）[][]n x n y -= 记忆、时变、线性、非因果、稳定 （b ）[][][]822---=n x n x n y 记忆、时不变、线性、因果、稳定

（c ）[][]n nx n y = 无记忆、时变、线性、因果、不稳定 （d ）[][]{}1-=n x Ev n y 记忆、时变、线性、非因果、稳定

（e ）

[][]

[]??

???-≤+=≥=11001n n x n n n x n y 记忆、时变、线性、非因果、稳

定

（f ）

[][][]??

???-≤=≥=1001n n x n n n x n y 无记忆、时变、线性、因果、稳定

（g ）[][]14+=n x n y 记忆、时变、线性、非因果、稳定

1.31 已知某LTI 系统对()t x 1的响应为()t y 1，如图所示。求该系统对输入()t x 2和()t x 3的响应()t y 2和()t y 3。（插图P1.31） 解：由图中可以看出，将()t x 2和()t x 3与()t x 1对比可以得到： ()()()2112--=t x t x t x ()()()t x t x t x 1131++= 根据系统的线性性和时不变性可得：

()()()2112--=t y t y t y ()()()t y t y t y 1131++= 输出波形如图所示。