澄海区2008-2009学年度高三文科数学第一学期期末考试试卷

澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试

高三文科数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答第一部分(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

3．考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：

柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．

锥体的体积公式Sh

V 3

1=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．

第一部分（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑． 1．已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ?，则实数a 的取值范围是

A ．),3[+∞

B ．),3(+∞

C ．]1,(--∞

D ． )1,(--∞ 2．函数4

sin

1)(2

x x f +=的最小正周期是

A ．

2

π

B ．π

C ．π2

D ．π4

3．函数x

x y 142+=的单调递增区间是

A ．),0(+∞

B ．),2

1

(+∞ C ．)1,(--∞ D ．)2

1

,(--∞

4．若ABC ?的内角A 满足3

22sin =

A ，则=+A A cos sin

A ．

3

15 B ．3

15-

C ．3

5 D ．3

5-

5．已知|a |=3，|b |=5，且12=?b a ，则向量a 在向量b 上的投影为

A ．

5

12 B ．3 C ．4 D ．5

6．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于( )

A.15

B.21

C.19

D.17

7．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0

A ．4或5

B ．5或6

C ．6或7

D ．7或8

8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是

A ．),3

1

(+∞ B ．]3

1

,(-∞ C ．),3

1

[+∞ D ．)3

1

,(-∞

9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；

②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．

其中正确命题的序号是

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④

10．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数

()x

x f y 3

log

-=的零点个数是

A ．多于4个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

第二部分（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，则3

523S S S S --的值为 ．

12．右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．

13．已知点),(y x P 在不等式组??

?

??≥-+≤-≤-0220

102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的最大值

是 ；最小值是 ．

（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）曲线???==θ

θsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最

大值是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如下图4，⊙'

O 和⊙O 相交于A

和

B ， P Q 切⊙O 于P ，交⊙'

O 于Q 和M ，交A B 的延长

线

于N ，M N ＝3,N Q ＝15

，则 P N ＝__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分13分)

在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π=．

（Ⅰ）若A B C △a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A B C △的面积． 17．(本小题满分13分)

已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b n n n ∈-=?． （Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；

（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和． 18．(本小题满分14分)

已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．

19．(本小题满分14分)

如图（1），A B C ?是等腰直角三角形，4A C B C ==，E 、F 分别为A C 、A B 的中点，将A E F ?沿E F 折起， 使A '在平面B C E F 上的射影O 恰为E C 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：E F A C '⊥；

（Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积．

20．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

11=

a 且)2(021≥=?+-n S S a n n n ．

(Ⅰ)求证}

1{

n

S 是等差数列，并求出n a 的表达式；

(Ⅱ) 若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证122322<+++n b b b ． 21．(本小题满分12分)

已知实数a ≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=2

2)(． (Ⅰ)若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值； (Ⅱ)若对]1,2[-∈?x ，不等式9

16)(<

x f 恒成立，求实数a 的取值范围．

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高三文科数学参考答案

一、选择题

CDBAA DCCAB 二、填空题

11、

2

1或2； 12、

3

34； 13、2，1-；

14、2； 15

、三、解答题

16、(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2

2

4a b ab +-=， ----------2分

又因为A B C △

所以

1sin 2

a b C =

4ab =． ----------4分

联立方程组2

2

44a b a b a b ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =． ----------6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，

即sin cos 2sin cos B A A A = ----------7分 当cos 0A =时，2

A π=

，6

B π=

，3

a =

，3

b =

当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， ----------9分

联立方程组22

42a b a b b a ?+-=?=?，

，

解得3

a =

3b =． ----------12分

所以A B C △

的面积1sin 2

3

S a b C ==

． ----------13分

17、(本小题满分13分) 解：（1）∵021=-+n n a a ∴

)

1(21≥=+n a a n

n -----------2分

又31=a

∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列 -----------4分 ∴*)(2

31

N n a n n ∈?=- -----------6分

（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=?

∴n

n n a b 1)1(?

-=

=1

2

31)1(-??

-n n -----------8分

∴n n b b b S +???++=21

1

2

31)

1(2

3131-??

-+???+?+

-

=n n

-----------10分

=

2

11)21(131+

??

?

???---

n

=-

??

????--n )21(192

=

??

????--1)21(92n -----------13分

18、(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）∵不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(

∴1=x 和3=x 是方程)0(0)2(2<=+++a c x b ax 的两根 -----------1分

∴??????

?=-=+342

a

c a

b -----------2分

∴a c a b 3,24=--= -----------3分

又方程06)(=+a x f 有两个相等的实根

∴0)6(42=+-=?a c a b -----------4分 ∴094)12(42=?-+a a a ∴0)1)(15(=-+a a ∴51-

=a 或1=a （舍） -----------5分

∴53,56,5

1-=-=-

=c b a -----------6分 ∴5

35

65

1)(2

-

-

-

=x x x f -----------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a x a ax x f 3)12(2)(2++-= a a

a a

a x a 3)

12()12(2

++-

+-

=

a

a a

142

---= -----------9分

∵0

∴)(x f 的最大值为

a

a a

142

--- -----------11分

∵)(x f 的最大值为正数

∴?

?

?

??>---<01

402a a a a

∴???>++<0

140

2

a a a 解得3

2-

-

32<<+

-a -----------13分

∴所求实数a 的取值范围是)0,32()32,(+

----∞ -----------14分

19、(本小题满分14分)

（Ⅰ）证法一：在ABC ?中，E F 是等腰直角A B C ?的中位线，

E F A C ∴⊥ -----------2分

在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥，

E F ∴⊥平面A E C '， -----------5分

又?'C A 平面A E C ',

E F A C '∴⊥ -----------7分

证法二：同证法一E F E C ⊥ -----------2分

A O E F '∴⊥

E F ∴⊥平面A E C '， -----------5分

又?'C A 平面A E C ',

E F A C '∴⊥ -----------7分

（Ⅱ）在直角梯形E F B C 中，

4,2==BC EC ,

42

1=?=

∴?EC BC S FBC -----------9分

又A O ' 垂直平分E C ，

32

2

=-'=

'∴EO

E

A O A -----------11分

∴FBC A BC A F V V -''-=

O A S FBC '?=?31

3

43

1?

?=

3

34=

-----------13分

∴三棱锥BC A F '-的体积为3

34 -----------14分

20、(本小题满分14分)

（I ）证明：∵n n a a a S +???++=21

∴当n ≥2时，a n = S n – S n – 1 -----------1分 又021=+-n n n S S a

∴)2(0211≥=+---n S S S S n n n n ， -----------3分

若S n = 0，则a n = 0，

∴a 1 = 0与a 1 =

2

1矛盾！

∴S n ≠0，S n – 1≠0． ∴0

2111=+-

-n n S S 即

2

111

=-

-n n

S S -----------5分

又

2

111

2

=-S S ．

∴{

n

S 1}是首项为2，公差为2的等差数列 -----------6分

解：由（I ）知数列{n

S 1}是等差数列．

∴

n

n S n

22)1(21=?-+=即n S n 21=

-----------7分

∴当)

1(21)

1(21

21,21--

=--

=-=≥-n n n n

S S a n n n n 时 -----------8分

又当2

1,111=

==a S n 时

∴???

??

?

?≥--==)2()1(21

)1(2

1

n n n n a n

-----------9分

（III ）证明：由（II ）知)

2(1)

1(21)1(2≥=

-?

-=n n

n n n b n -----------10分

∴2

2

2

2232213

12

1n

b b b n +

++=

+++

n

n )1(13

212

11 -+

+?+

?<

-----------12分

)11

1

(

)3

12

1(

)2

11(n n --++-

+-= 1

11<-

=n -----------14分

21、(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(232+-=-= )

2)(32(3483)( 2--

=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分

令f x '()=0得0

)2)(3

2(3=--x x a

∴x =

23

或x =2 -----------4分

() f x a x x x R ()()=-∈22

有极大值32，又f ()20= ∴f x ()在3

2=

x 时取得极大值 -----------5分

27

3227

32

)32(===∴a a f ， -----------6分 （Ⅱ）由)

2)(3

2()( --

=x x a x f 知：

当0>a 时，函数f x ()在]3

2,2[-上是增函数，在]1,3

2

[上是减函数

此时，a

f y 27

32)3

2(max =

= -----------7分

又对]1,2[-∈?x ，不等式9

16)(

∴

91627

32<

a 得2

3<

a

∴2

30<

当0

2,2[-上是减函数，在]1,3

2[上是增函数 又a f 32)2(-=-，a f =)1(，

此时，a f y 32)2(max -=-= -----------11分 又对]1,2[-∈?x ，不等式9

16)(

∴9

1632<-a 得18

1-

>a

∴0

18

1<<-

a -----------11分

故所求实数的取值范围是)23,

0()0,18

1( -

-----------12分