2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期24.2、解一元二次方程、例说配方法的应用素材
冀教版-数学-九年级上册-24.2.1 解一元二次方程---配方法 课件
学习目标 1、理解掌握一元二次方程的解法； 2、了解什么是配方法？ 3、会用配方法解一元二次方程.
自学指导 1、阅读：教材 2、思考：
（1）了解什么是配方法？
（2）会用配方法解一元二次方程.
合作探究
x2－4x＋1＝0
变形为 （x－2）2=3
变
形
为
这种方程怎
配方时， 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
例1 用配方法解下列方程： （1）x2-10x-11=0
解：移项，得x2-10x=11 配方，得x2-10x+52=11+52 即（x-5）2=36 两边开平方，得x-5=±6. 所以x1=11, x2=-1.
（2）x2+2x-1=0
解：移项，得x2+2x=1 配方，得x2+2x+12=1+12 即（x+1）2=2 两边开平方，得x+1=± 2 . 所以x1=-1+ 2 ， x2=-1- 2
x1 a,x2 a
谈谈你的收获！
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式， 然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方 法叫做配方法. 注意:配方时，等式两边同时加上的是一次项系 数一半的平方.
样解？
• • • •2 a 的形式．（ａ为非负常数）
怎样解方程x2+6x+4=0？
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一 元二次方程的方法叫做配方法.
填空 （1）x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 （2）x2-4x＋ 4 =(x- 2 )2 （3）x2- _6_x＋ 9 =(x- 3 )2
例2 用配方法解方程：2x2+3=6x.
九年级数学上册 24.2 解一元二次方程教材说明素材 (新版)冀教版
24.2解一元二次方程
解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。
为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。
1。
【冀教版九年级数学上册教案】24.2解 一元二次方程(1)
24.2 解一元二次方程（1）教学目标【知识与能力】1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.【过程与方法】1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.【情感态度价值观】1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念及一般形式.【教学难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.课前准备多媒体课件教学过程一、新课引入：导入一:【课件展示】一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思考,教师引导回答下列问题:(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为dm2;(2)题目中的等量关系为;因此,根据题意可列方程;化简可得. 【师生活动】学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨.追问:如何解这个方程?5和-5是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗?(棱长不能为负数,所以正方体的棱长为5 dm)【课件展示】解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2 dm2.根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25,根据平方根的意义,得x=±5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).答:其中一个盒子的棱长为5 dm.导入二:1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?2.计算:9的平方根是,的平方根是.3.若x2=36,则x的值是.4.什么是完全平方公式?【师生活动】共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式.[设计意图]由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.二、新知构建：试着做做【课件展示】1.根据平方根的意义,解下列方程:(1)x2=4;(2)(x+1)2=4.【师生活动】学生独立思考回答,教师规范书写.解:(1)根据平方根的意义得x=±2,∴x1=2,x2=-2.(2)根据平方根的意义得x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.【思考】方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?(方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n,其中n≥0)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.【课件展示】2.解下列方程:(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0.教师引导分析,思考下列问题并回答:(1)方程(2)与方程(1)的区别是什么?(方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式)(2)把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?(移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加1可以化成与(1)的左边相同)(3)能不能配方后解方程?(配方后用直接开平方法可以求解)【师生活动】学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解题过程,教师点评.解:(1)原方程可化为(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.(2)原方程可化为x2+2x+1=4,即(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.追加提问:通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思考,教师提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.(“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的)[设计意图]通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习(1)和(2)两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.做一做【课件展示】先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n≥0)的形式,再求出方程的根.(1)x2+2x=48;(2)x2-4x=12;(3)x2-6x+5=0;(4)x2+x-=0.思路一【课件展示】根据完全平方公式填空:(1)x2+2x+()2=(x+)2;(2)x2-4x+()2=(x- )2;(3)x2-6x+()2=()2;(4)x2+x+()2=()2.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.【思考】1.当二次项系数为1时,配方时常数项和一次项系数之间有什么关系?(当完全平方式的二次项为1时,常数项是一次项系数一半的平方)2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式?3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49,即(x+1)2=49,∴x+1=±7,∴x+1=7或x+1=-7,∴x1=6,x2=-8.(2)原方程可化为x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,∴x-2=±4,∴x-2=4或x-2=-4,∴x1=6,x2=-2.(3)原方程可化为x2-6x+9=4,即(x-3)2=4,∴x-3=±2,∴x-3=2或x-3=-2,∴x1=5,x2=1.(4)原方程可化为x2+x+=1,即=1,∴x+=±1,∴x+=1或x+=-1,∴x1=,x2=-.[设计意图]通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫.思路二【思考】1.观察方程(1)和(2),你能否将方程左边配成完全平方形式?2.方程(1)(2)左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立?3.方程(3)(4)怎样转化成方程(1)(2)的形式?4.你能将方程(3)(4)的左边化成完全平方形式吗?5.请你尝试求出以上方程的解.【师生活动】学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评.解决过程同思路一.[设计意图]通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.归纳总结:【课件展示】通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.【思考】你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.【课件展示】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.[设计意图]通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.例题讲解【课件展示】用配方法解下列方程:(1)x2-10x-11=0;(2)x2+2x-1=0;【师生活动】学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生.解:(1)移项,得x2-10x=11.配方,得x2-10x+52=11+52,即(x-5)2=36.两边开平方,得x-5=±6.所以x1=11,x2=-1.(2)移项,得x2+2x=1.配方,得x2+2x+12=1+12,即(x+1)2=2,两边开平方,得x+1=±.所以x1=-1+,x2=-1-.[设计意图]通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识.做一做:【课件展示】对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢?教师引导分析:(1)该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?(观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方)(2)观察该方程和上边方程有什么区别?(二次项系数不为1)(3)如何把二次项系数化为1?(根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得)(4)根据上边的分析,尝试完成解方程.【师生活动】小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.解:移项,得2x2+4x=-1,二次项系数化为1,得x2+2x=-,配方,得x2+2x+1=-+1,(x+1)2=,∴x+1=±,∴x1=-1+,x2=-1-.思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?[设计意图]几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.【课件展示】用配方法解方程:2x2+3=6x.【师生活动】学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-3x=-.配方,得x2-3x+-,即-.两边开平方,得x-=±.所以x1=,x2=-.[知识拓展]1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(ax+b)2=c中,当c<0时,方程没有实数根.4.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).5.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.三、课堂小结：1.依据平方根的概念可解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程.2.通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.2.解一元二次方程的基本思路:降次——把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方,使原方程变为两个一元一次方程,3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数a);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).。
【最新冀教版精选】冀教初中数学九上《24.2 解一元二次方程》word教案 (1).doc
解一元二次方程 教学设计教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排4课时教学过程设计第一课时一、复习引入：1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a 应具备什么条件？2．042=-x 是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？（是。
二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4）3．解下列方程：（1）x 2=4 （2）（x+3）2=9学生依次回答上述问题。
师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x 的值的方法，实际上就是求x 2=a （a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。
（2）对于形如“（x+a）2=b （b≥0）”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x 2=b （b≥0）型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。
（3）在对方程（x+3）2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。
“降次”也是一种数学方法二、试着做做1．如果（x+2）2=9，那么x=_______________。
2．如果（x－3）2=7，那么x=_______________。
3．完全平方公式是什么？4．如果x2+2x+1=4，那么x=_______________。
九年级数学上册《24.2 解一元二次方程》教案2 (新版)冀教版
《24.2 解一元二次方程》一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
【知识与能力目标】1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程。
【过程与方法目标】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系。
【情感态度价值观目标】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点。
【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用。
【教学难点】一元二次方程求根公式的推导。
教学过程一、问题思考：韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一，当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战，法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出22解，答案公布，震惊世界。
像这种高次方程，有没有一个通法，也就是说：对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题。
二、预习交流（独学）1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？总结：用配方法解一元二次方程的步骤：a.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
b.移项整理得 x2+px=-qc.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
【最新冀教版精选】冀教初中数学九上《24.2 解一元二次方程》word教案 (5).doc
§28.2 解一元二次方程[教学目标]使学生掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方；使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。
[教学重点] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
[教学难点 ] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方。
[教学关键]会用配方法解数字系数的一元二次方程。
[教学形式] 讲练结合法。
[教学用时] 45′×1[教学过程 ][复习提问]1、在（x+2）2=9中，x+2与9的关系是什么？（x+2是9的平方根。
）（x-3）2=7中，x-3与7的关系是什么？（x-3是7的平方根。
）2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。
（x2-6 x+9=7，x2-6 x+2=0。
）[讲解新课]现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。
我们知道，方程：x2-6 x+2=0是由方程：（x-3）2=7变形得到的，因此，要解方程：x2-6 x+2=0应当如何变形？这里要求学生做尝试回答：要解方程：x2-6x+2=0，最好将其变形（x-3）2=7。
这是因为，我们会用直接开平方法解方程：（x-3）2=7了。
下面重点研究如何将方程：x2-6 x+2=0，变形为：（x-3）2=7。
这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意启发学生找出一般性规律。
将方程：x2-6 x+2=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2-2·x·3=－2。
由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上9，即：x2-2·x·3+9=－2+9，（x-3）2=7。
解这个方程，得：x1=3+ x2=3－随后提出：通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
很明显，掌握这种方法的关键是“配方”。
【冀教版九年级数学上册教案】24.2解一元二次方程(3)
24.2 解一元二次方程（3）教课目的【知识与能力】1.认识因式分解法解一元二次方程的观点.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能依据一元二次方程的特色 , 灵巧采用解一元二次方程的方法.【过程与方法】1.经历研究用因式分解法解一元二次方程的过程 , 发展合情推理的能力 , 领会转变、降次的思想方法 .2.经过灵巧选择解方程的方法 , 领会解决问题策略的灵巧性和多样性.【感情态度价值观】1. 经过研究因式分解法解一元二次方程 , 鼓舞学生踊跃主动地研究知识的形成过程 , 激发学生的求知欲 , 体验成功的愉悦 .2.经过研究因式分解法解方程 , 培育学生与别人合作的能力 .3.经过选择合适的方法解方程 , 培育学生踊跃参加、主动研究、敢于发布看法的精神.教课重难点【教课要点】会用因式分解法解一元二次方程.【教课难点】能依据一元二次方程的特色, 选择合适的解一元二次方程的方法.课前准备多媒体课件教课过程一、新课导入：导入一 :复习发问 :1.什么是因式分解?因式分解的方法有几种?【师生活动】教师发问 , 学生回答 , 教师评论.2.将以下各式分解因式:(1)5 x2- 4x;(2) x2- 4x+4;(3) x2- 4;(4)(2 x- 1) 2-x2.【师生活动】学生独立达成, 小组内沟通答案, 对出现的错误组长帮忙解决, 老师评论易错点.导入二 :【课件展现】一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住, 修整蔬菜园的花费是30 元/平方米 ,而购置篱笆资料的花费是15 元/米 , 这两项支出正好相等, 求此正方形蔬菜园的边长.【师生活动】学生独立达成后小组沟通答案, 教师巡视过程中帮助有困难的学生, 指引学生思虑如何解方程?解: 设这个正方形蔬菜园的边长为x米, 依据题意可得 30x2=15×4x, 化简可得 x2- 2x=0.配方法或公式法能够解这个方程.,[ 设计企图 ]经过复习因式分解等相关知识, 有益于学生娴熟正确地将多项式进行因式分解从而降低学习本节课的难度; 以实质问题导入新课, 让学生领会数学在实质问题中的应用, 感受数学与生活之间的联系, 激发学生学习兴趣.二、新知建立：[ 过渡语 ]除配方法和公式法之外, 可否找到更简单的方法解这个方程?察看与思虑 :2关于导入二中的方程x - 2x=0,除了能够用配方法或公式法求解, 还能够如何求解呢?察看和剖析小亮的解法 , 你以为有没有道理 ?【课件展现】小亮的思虑及解法 :解一元二次方程的要点是将它转变为一元一次方程, 所以可将方程的左侧分解因式.于是得 x( x- 2)=0 .所以 x=0或 x- 2=0.2- 2x=012方程 x的两个根为 x =0, x =2.【师生活动】学生察看小亮的解法后小组合作沟通, 共同研究解法的正确性 , 教师进行点评.思路二教师指引学生思虑回答以下问题:(1)等式左侧的各项有没有共同因式?能不可以分解因式 ?(2) 假如=0, 那么.AB(3)试试将方程左侧分解因式 , 能不可以达到降次的目的 ?【师生活动】学生在教师的指引下思虑回答以下问题, 教师实时增补 , 学生勇敢试试解该方程,小组合作沟通答案, 并板书过程 , 教师对出现的问题有针对性地解决.解: 原方程可化为x( x- 2)=0 .即 x=0或 x- 2=0.所以 x1=0, x2=2.[ 设计企图 ]经过察看小亮的解法或许在教师指引下察看方程的特色, 经过分解因式达到降次的目的 , 从而求出方程的解 , 让学生亲身经历知识的形成过程, 培育学生察看问题、剖析问题及解决问题的能力 .概括总结 :【思虑】1.上述解方程的方法第一步是如何变形的?2.上述解法中如何达到降次的目的?3.什么样的方程适适用这类方法求解?【师生活动】小组议论沟通 , 教师对学生展现实时指引和评论, 师生共同得出结论.【课件展现】把一元二次方程的一边化为0, 另一边分解成两个一次因式的乘积, 从而转变为两个一元一次方程, 这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法.追问 : 你能总结因式分解法解方程的步骤是什么吗?【师生活动】学生思虑回答, 教师增补 , 概括后课件展现.【课件展现】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为 0;(2)将方程的左侧进行因式分解 ;(3)令每一个因式为 0, 转变为两个一元一次方程 ;(4)解一元一次方程 , 得原方程的解.[ 设计企图 ]以问题的形式指引学生思虑, 加深对因式分解法解方程的理解和掌握, 让学生体验知识的形成过程 , 充足发挥学生在讲堂上的主体作用, 同时培育学生察看能力及概括总结能力 .做一做【课件展现】用因式分解法解以下方程:(1)2 x2- 5x=0;(2)4 x2- 15x=0;(3) x2- (2 x+1) 2=0.【师生活动】学生独立达成后小组内沟通答案, 学生代表板书解答过程, 教师评论并规范书写过程 .[ 设计企图 ]经过练习进一步娴熟掌握用因式分解法解方程的步骤,提升学生的计算能力,教师规范解答过程, 培育学生谨慎的学习精神.例题解说(教材 43页例 5) 用因式分解法解以下方程:(1)3(x- 1)2=2( x- 1);(2)(x+5)2=49.教师指引剖析 :(1) 方程两边都含有因式( x- 1), 所以移项后方程左侧提公因式法分解因式, 转化为两个一元一次方程求解;(2) 移项后方程左侧是两项的平方差, 利用平方差公式分解因式,转变为两个一元一次方程求解.【学生活动】学生在教师指引后 , 独立达成 ,而后小组沟通答案, 教师帮助有困难的学生,并对学生展现进行评论.2解:(1)原方程可化为3( x- 1) - 2( x- 1)=0,得 x- 1=0或3x- 5=0.x1=1, x2= .(2)原方程可化为 ( x+5) 2- 72=0,( x+12)( x- 2)=0 .得 x+12=0或 x- 2=0.x1=- 12, x2=2.大家说说 :解一元二次方程的方法有哪几种?依据你的学习领会, 说说解方程时如何选择合适的解法.【师生活动】用合适的方法解以下方程:(1)x2+2x- 4=0;(2)3 x2- 4x- 1=0;(3)4 x2- 20x+25=7;(4)(3x- 1)(x- 2)=(4x+1)(x- 2) .【师生活动】学生独立达成, 小组内沟通解法的不一样 , 找寻出合适的解方程的方法, 板书解答过程 , 教师评论.〔分析〕(1) 二次项系数为1, 一次项系数为偶数, 能够用配方法解方程;(2) 方程系数没特点, 用公式法解方程 ;(3) 先将方程化简 , 用公式法解方程 ;(4) 移项后提公因式 , 用因式分解法解方程 . [ 知识拓展]1.当方程的左侧能分解因式, 方程的右侧为0 时 , 经常用因式分解法解一元二次方程, 因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法, 要会灵巧运用.2.解一元二次方程时, 四种解法的使用次序是: 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 ,2一般先考虑用因式分解法, 假如是特别形式( x+a) =b( b≥ 0), 用直接开平方法, 最一般的方法是公式法 , 配方法在题目没有特别要求时一般不用.三、讲堂小结：本节课我们学习了因式分解法解一元二次方程, 请你想想 :1.因式分解法解方程的定义.2.什么形式的方程适适用因式分解法解?3.因式分解法解方程的一般步骤.4.如何选择合适的方法解一元二次方程?。
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了有理数的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。
这部分内容主要是让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等。
这些解法不仅是解决一元二次方程的关键，也是进一步学习高中数学的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法，他们可能还停留在机械记忆和简单应用的层面，对于解法的原理和适用范围可能还不够清楚。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解一元二次方程解法的原理，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，并能灵活运用。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的数学思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：一元二次方程解法的原理和适用范围。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导等教学方法，让学生在探究中学习，提高他们的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等教学手段，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引导学生思考如何解决一元二次方程。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解法步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解法，互相学习和借鉴。
4.教师引导：教师通过提问、解答疑问等方式，引导学生深入理解一元二次方程的解法。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的解法进行解答，巩固知识。
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例说配方法的应用
作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明．一、用于因式分解
例1分解因式：
（1）x4+4；
（2）a2－4ab+3b2－2bc－c2
解：（1）原式＝x4+4x2+4－4x2
＝（x2+2）2－（2x）2
＝（x2+2x+2）（x2－2x+2）．
（2）原式＝（a2－4ab+4b2）－（b2+2bc+c2）
＝（a－2b）2－（b+c）2
＝（a－b+c）（a－3b－c）．
二、用于求值
例2已知x2+y2+4x－6y+13＝0，x，y为实数，则x y＝_______．
解：由已知等式配方，得（x+2）2+（y－3）2＝0．
因x，y为实数，故x＝－2，y＝3．
故x y＝（－2）3＝－8．
三、用于化简根式
四、用于解方程（组）
例4解方程（x2+2）（y2+4）（z2+8）＝64xyz（x，y，z均为正实数）．解：原方程变形，得
x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64－64xyz＝0．
各自配方，得（xyz－8）2+2（4x－yz）2+4（2y－xz）2+8（z－xy）2＝0．
解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组．
当x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：
∴ x＝1，y＝1，z＝1．
五、用于求最值
解：所求式变形配方，得
∴当x＝1时，y有最小值1．
六、用于证明恒等式
例7四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求证：a＝b＝c＝d．证明：已知等式变形，得
a4－2a2b2+b4+c4－2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2－4abcd＝0．
配方，得（a2－b2）2+（c2－d2）2+2（ab－cd）2＝0．
∴ a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．
七、用于证明不等式
例8若a，b，c为实数，求证：a2+b2+c2－ab－bc－ac≥0．
证明：∴2（a2+b2+c2－ab－bc－ac）
＝（a2－2ab+b2）+（b2－2bc+c2）+（a2－2ac+c2）
＝（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2≥0，
∴ a2+b2+c2－ab－bc－ac≥0．
八、用于判定几何图形的形状
例9已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2－ab－bc－ca＝0，试判定△ABC的形状．解：仿上例，已知等式可化为（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2＝0．
∴ a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0．即 a＝b＝c．
故△ABC是等边三角形．。