【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 高考大题标准练(七) Word版含解析

高考大题标准练(七)
满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：
________
1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .
(1)求sin ∠B sin ∠C
；
(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解：(1)利用正弦定理转化得：sin ∠B
sin ∠C ＝DC BD ＝12.
(2)由诱导公式可得sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋1
2
sin ∠B .由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，
所以tan ∠B ＝
3
3
，∠B ＝30°. 2．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋
1
3
b 3＋…＋1
n
b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：
当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.
当n ≥2时，1
n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，
所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，
因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.
故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝1
7
t i y i ＝40.17,
i ＝1
7(y i －
y )2＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r ＝
∑i ＝1n
(t i －t )(y i －y )
i ＝1
n (t i －
t )
2
i ＝1
n (y i －
y )
2
，
回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y )
i ＝1
n (t i －
t )2
，
a ^＝y －
b ^t .
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝1
7
(t i －t
)2＝28,
∑i ＝1
7
(y i －y )2＝0.55，
∑i ＝17
(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝1
7
t i y i －t ∑i ＝1
7
y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，
r ≈
2.89
2×2.646×0.55
≈0.99.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．
(2)由y ＝9.32
7
≈1.331及(1)得
b ^＝
∑i ＝17
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
7
(t i －t )2
＝2.8928
≈0.103， a ^＝y －b ^
t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^
＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 4．(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝
1，BC ＝2，AC ＝3.
(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；
(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
证明：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．
因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCK ， 因此，BF ⊥AC .
又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .
所以BF ⊥平面ACFD . (2)解：因为BF ⊥平面ACK ，
所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．
在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝21
7
，
所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为21
7
.
5．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．
(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
解：由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，
Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.
所以AR ∥FQ .
(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，
则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.
由题设可得2×1
2|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，
由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y
x －1(x ≠1)．
而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．
当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合．
所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)·ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，
f ′(x )＝ln x ＋1
x
－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.
故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)
x ＋1>0.
设g (x )＝ln x －a (x －1)
x ＋1
，
则g ′(x )＝1x －2a
(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2
，g (1)＝0.
①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；
②当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－
(a －1)2－1，x 2＝a －1＋
(a －1)2－1.
由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此
g (x )<0.
综上，a 的取值范围是(－∞，2]．。