指数函数习题课
高中数学第三章习题课指数函数及其性质的应用课后习题北师大版必修第一册
第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用A级必备知识基础练1.函数f(x)=(14)x−(12)x+1在区间[-2,2]上的最小值为( )A.1 4B.34C.1316D.132.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2的定义域为( )A.[0,3]B.[-1,2]C.[0,1)∪(1,3]D.[-1,1)∪(1,2]3.(多选题)若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是( )A.2B.12C.3 D.134.方程4x+2x+1-3=0的解是 .5.若函数y=√a x-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .6.函数y=(13)√x-2的定义域是 ,值域是 .7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f(12)=2,则不等式f(2x)>2的解集为.8.已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),其中a>0,且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.B级关键能力提升练9.设函数f(x)={(12)x-7,x<0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )√x,x≥0,A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3)D.(1,+∞)10.若函数f(x)={(12)x,x<1,a+(14)x,x≥1的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为( )A.[14,+∞)B.[14,12]C.[12,1]D.(14,1]11.(2021浙江高一期末)已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是 .12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 .13.解下列关于x的不等式:(1)123x-1≤2;(2)a x 2-3x +1<a x+6(a>0,且a ≠1).14.已知函数f (x )=1-2x 1+2x .(1)判断f (x )的奇偶性并证明;(2)当x ∈(1,+∞)时,求函数f (x )的值域.15.已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R),(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.C级学科素养创新练16.已知函数f(x)=(12x-1+12)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)证明:f(x)>0.第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用1.B 令t=(12)x,t∈[14,4],∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=12∈[14,4],∴g(t)min=g(12)=34.故选B.2.D 函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2中{0≤x+1≤3,2x-2≠0,解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.3.AB 当a>1时,指数函数y=a x为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=a,最小值y min=1a.所以a+1a =52,解得a=2,或a=12(舍去);当0<a<1时,指数函数y=a x为减函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=1a,y min=a,所以a+1 a =52,解得a=2(舍去),或a=12.综上所述,a=2或者a=12.4.x=0 原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.5.(0,1) 由a x-1≥0,知a x≥1.又x≤0,所以0<a<1.6.{x|x≥2} {y|0<y≤1} 由x-2≥0得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}.当x≥2时,√x-2≥0.又0<13<1,所以y=(13)√x-2的值域为{y|0<y≤1}.7.(-1,+∞) ∵f(x)是偶函数,且f(12)=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,且2x>0得2x>12,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).8.解(1)因为函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),所以a2-1=a=12.(2)由(1)得f(x)=(12)x-1(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].9.A 当a<0时,f(a)<1,即(12)a-7<1⇔(12)a<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,f(a)<1,即√a<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.故选A.10.B 当x<1时,f(x)=(12)x∈(12,+∞),当x≥1时,f(x)=a+(14)x∈(a,a+14].∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴{a+14≥12,a≤12,即a∈[14,12].故选B.11.(-∞,2] 令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,化简得k≤t+1t.因为t+1t≥2√t·1t=2,当且仅当t=1时,等号成立,所以k≤2.12.2-x-4 {x|x<0或x>4} 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f (x-2)>0可化为{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x +2-4>0,解得x>4或x<0.13.解(1)不等式123x-1≤2,即为21-3x ≤2,故1-3x ≤1,解得x ≥0,∴不等式的解集为{x|x ≥0}.(2)当a>1时,有x 2-3x+1<x+6,解得-1<x<5;当0<a<1时,有x 2-3x+1>x+6,解得x<-1或x>5.所以,当a>1时,不等式的解集为{x|-1<x<5};当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.14.解(1)函数f (x )是奇函数,证明如下:∵对任意x ∈R ,2x +1>1恒成立,且f (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -2-x ·2x 2x +2-x ·2x =2x -12x +1=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)令2x =t ,则f (x )可化为g (t )=1-tt +1=-1+2t +1,∵x ∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3.∴0<2t +1<23,∴-1<g (t )<-13,∴f (x )的值域是(-1,-13).15.(1)证明f (x )的定义域为R ,任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a-12x 1+1-a+12x 2+1=2x 1-2x 2(1+2x 1)(1+2x 2).∵x 1<x 2,∴2x 1−2x 2<0,(1+2x 1)(1+2x 2)>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴不论a 为何实数,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数.(2)解∵f (x )为奇函数,且x ∈R ,∴f (0)=0,即a-120+1=0,解得a=12.(3)解由(2)知,f (x )=12−12x +1,由(1)知,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数,故f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1).∵f (1)=12−13=16,∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.16.(1)解由题意得2x -1≠0,即x ≠0,∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)解f (x )=2x +12(2x -1)·x 3,∴f (-x )=2-x +12(2-x -1)·(-x )3=-1+2x2(1-2x )·x 3=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)证明当x>0时,2x >1,x 3>0,∴2x -1>0,∴12x -1+12>0.∴f (x )>0.由偶函数的图象关于y 轴对称,知当x<0时,f (x )>0也成立.故对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f (x )>0.。
指数函数基础练习.docx
练习题一,选择题1.下列函数是指数函数的是（）A.y = -2xB. y = 2x+,C. y = 2_xD. y=l x2.函数y =@—2尸在R上为增函数，则a的取值范围是（）A. a>0 且a7^1B. a>3C. a<3D. 2<a<33.函数y=厂2+1@〉0, a^l)的图象必经过点( )A. (0,1)B. (1,1)C. (2,0)D. (2,2)4.f(x)=|jl|x|, xGR,那么班0是()A.奇函数且在（0, + <-）上是增函数B.偶函数且在（0, + 8）上是增函数C.奇函数且在（0, + 8）上是减函数D.偶函数且在（0,5.方程广「命的解为（）A. 2B. -2C. -1D. 16.方程4^=令的解为()A. 2B. -2C. -1D. 17.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。
经过3个小时，这种细菌由1个nJ繁殖成（）A.511 个B.512 个C.1O23 个D1024 个8.在统一平面直角坐标系中，函数/（兀）8. 设a,b,c,d 都是不等于1的正数，y = a\y = h\y = c\y = d x 在同一•处标系中的图像如图所示，则a,b,c,d 的10. y= 0.3戶的值域是( )4. (-oo,0) B.[l,+x) C.(0,l] 0.(- oo,l]11. 当xe[-l,l]时函数/(x) = 3v -2的值域是()A. --,1 B\-1,1] C. 1,- D.[0,l3 3 2 2 1 1 | £ 512. 化简(/沪)(—3决质)十(丄，沪)的结果 ( ) A . 6a B • -a C . -9a D . 9a 2设指数函数/(x) = a x (a > 0卫主1),则下列等式中不正确的是(0,1] B • (04) C • (0,+o>)13. 14. f(nx) = [f(x)]n (n e Q) f(xyy=[f(x)]n {f(y)Y (n G N") 函数 y = (x-5)°4-(x-2p{x \ x 5,x 工 2} B . {x\x > 2}{x\x>5} D . {x\2< x < 5^x > 5}15. 函数/(x) = 2-,A 1的值域是16. 若指数函数y = (a + \)x 在(—oo, + 00)上是减函数，那么(A 、 0 < a < IB 、 -l<a <0C 、D 、 a <-11&函数/(x) = 2V , g(x) = x + 2,便.f(x) = g(x)成立的x 的值的集合() A 、是0 B 、有且只有一个元索C 、有两个元素D 、有无数个元素19.下列关系式中正确的是（ ）9 （ 1 \3 （ 1 \3 （ \ \3 A.-<2_L5 < 丄 B.- < - 3 \2 J（2 丿 \ 2> (1 < 1 \3 (1、 1 r 1 \i c. 2-1-5 < 1 —< A D.2 15 < - < 1 （2丿a二,填空题1. 两数y=pa"—1的定义域是（ — 8, 0],则实数a 的取值范围为 _________2. 函数 f （x ）=（*）_l, xe [ — 1, 2]的值域为 _______ ・3. 函数/（兀）=G 沏+1（。
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
高中数学必修1课件 指数函数及性质习题课
（2）定义域为x∈R.
∵|x|≥0,∴y= 2 故y= ( ) X 的值域为{y|y≥1}. 3 （3）定义域为R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1. 2
故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.
（4）令
2x ≥0,得 x 1
x -1 ≥0,解得x<-1或x≥1. x 1
(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.
(6)是二次函数,不是指数函数.
(7)底数x不是常数,不是指数函数.
【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函 数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的 形式,要注意定义的要求.
已知指数函数y=(m2+m+1)· （
1 x ） ,则m= 5
0或-1 .
2
2 , x 1 1 x1 ( ) , x 1 2 x
由图象可知函数有三个重要性质：
（1）对称性：对称轴为x=1; （2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调 递增； （3）函数的值域：［1,+∞). 【评析】作较复杂函数的图象（本题称分段函数），要 把各部分变换而得到一个整体，为了表示某部分是某个 函数图象的一部分，常画出一些虚线进行衬托，虚线部 分不是函数图象上的点，应注意区别.
解：
1 ∵y=(m2+m+1)· （ ）x为指数函数, 5
∴m2+m+1=1,即m2+m=0,
∴m=0或-1.
学点二 函数的定义域 值域 求下列函数的定义域、值域: （1）y=2
人教A版高中数学必修一第二章2.1.2指数函数的图像及性质 1.2-第2课时
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
因为 t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 所以 y＝23t(t≤1)，所以 y≥23. 所以这个函数的值域为y|y≥23， 所以原函数的值域为y|y≥23.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
函数 y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理方法 (1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定， 一是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
3．函数 y＝121－x的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，1)
解析：选 A．定义域为 R.设 u＝1－x，则 y＝12u.
因为 u＝1－x 在 R 上为减函数，
又因为 y＝12u在(－∞，＋∞)上为减函数，
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(2)重视数学语言的规范和准确 对于函数的单调性、奇偶性的表述要注意语言的规范性、准确 性．如本例中证明函数 f(x)在 R 上是单调增函数，必须严格按 照增函数的定义证明，同时要特别注意与 0 的比较．
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1．下列判断正确的是( A．2.52.5＞2.53 C．π2＜π 2
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
比较幂值大小的三种类型及处理方法源自栏目 导引第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1.试比较下列各组数的大小： (1)20.3，12－0.4，80.2； (2)1.30.3，0.82，－343.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
指数函数与对数函数的关系 综合应用 (共28张PPT)
数学人教B版 必修第二册
(2)若关于 x 的方程 f(x)＝0 有解，求 a 的取值范围． 【解析】 (2)设 2x＝m>0，关于 x 的方程 2a(2x)2－2x－1＝0 有 解，等价于方程 2am2－m－1＝0 在(0，＋∞)上有解， 记 g(m)＝2am2－m－1， 当 a＝0 时，解为 m＝－1<0，不成立． 当 a<0 时，开口向下，对称轴 m＝41a<0，过点(0，－1)，不成 立． 当 a>0 时，开口向上，对称轴 m＝41a>0，过点(0，－1)，g(m) ＝0 必有一个根为正，综上得 a>0. 故 a 的取值范围为(0，＋∞)．
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指数函数、对数函数的综合应用 (习题课)
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课时学案
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例 1 已知函数 f(x)＝2x－1 1＋12·x3. (1)求 f(x)的定义域； 【解析】 (1)由 2x－1≠0，得 x≠0. ∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
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例 6 定义域为(0，＋∞)的函数 f(x)满足对任意的实数 x，y 都有 f(xy)＝yf(x)．
(1)求 f(1)的值； 【解析】 (1)令 x＝1，y＝2，可知 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0.
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(2)若 f12>0，解不等式 f(ax)>0(其中字母 a 为常数)． 【解析】 (2)设 0<x1<x2，∴存在 s，t 使得 x1＝12s，x2＝12t， 且 s>t.又 f12>0，∴f(x1)－f(x2)＝f12s－f12t＝sf12－tf12＝(s－t)f12 >0，∴f(x1)>f(x2)． 故 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，∴0<ax<1.
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高中数学基本初等函数习题课
课题：基本初等函数习题课课 型：复习课教学要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.教学重点：指数函数的图象和性质.教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.教学过程：一、复习准备：1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.2. 求下列函数的定义域：1218-=x y ；x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211；2log (1)(0,1)a y x a a =->≠且3. 比较下列各组中两个值的大小：6log 7log 76与；8.0log log 23与π；5.37.201.101.1与二、典型例题：例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x-⨯=⨯即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯ 所以25454,2x axa b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a +=-例2、函数y 的定义域为.例3、函数2321()2xx y -+=的单调区间为.例4、已知函数)10(11log )(≠>-+=a a xx x f a 且.判断)(x f 的奇偶性并予以证明.例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）三、 巩固练习：3log (45)y x =--的定义域为.，值域为.2. 函数2322+--=x xy 的单调区间为.3. 若点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，b =_______4. 函数12+=-x ay (0>a ，且1≠a )的图象必经过点.5. 计算()[]=++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2175.034303101.016254064.0.6. 求下列函数的值域：x y -=215 ; x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=131; 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy ; x y 21-=四、小结本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力五、课后作业：教材P82 复习参考题A 组1——8题课后记：。
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1.函数y=ax在[0，1]上的最大值 2 与最小值的和为3，则a=___
x（a＞0且a≠1） 2.函数f（x）=a
对于任意的实数x、y都有（ C ） （A）f(xy)=f(x)f(y) （B）f(xy)=f(x)+f(y) (C）f(x+y)=f(x)f(y) （D）f(x+y)=f(x)+f(y)
{y | 0 < y ≤ 9}
2 +1 (8)判断函数 y = x 的奇偶性. 判断函数 的奇偶性 2 −1
x
(9) 如何平移函数 y = 2 的图象， 的图象，
x
的图象. 得到函数 = 4 × 2 − 1 的图象
x
练 1.要得到 y = 2 1.要得到
1的图象,只需将函数 y = ( ) 的 的图象,只需将函数 4 1 个单位. 2 个单位
3.函数 y =
2
x −1
− 8 的定义域为（ 的定义域为（
B）
[3， [4， （A）[3，+ ∞ ) （B）[4，+ ∞ ) ）（3 ）（D）（4 （C）（3，+∞）（D）（4，+∞）
4.若集合 A={y|y=2 ,x∈R}， ,x∈R}， ,x∈R},则 B={y|y=x ,x∈R},则（ A ） （A）A B （B）A B B=φ （C）A=B （D）A∩B=φ
2.函数 y =| 2 x − 1 | 的图象与直线 y=a 有一个公共点 函数 有一个公共点,
或 则 a 的取值范围是 0或 a ≥1
(10)解不等式 a 解不等式
x 2 −2 x −2
<a
5 x+6
2
x
5.函数
1 x +1 的图象是（ y= ( ) 的图象是（ 2
A
）
6.函数 y = (
4 5
)
x −1
的单调减区间是（ 的单调减区间是（
D ）
（A） (− ∞,1]
[1， （B） (− ∞,1] ∪[1，+∞ )
（－∞ [1， （C） （－∞，+∞） （D）[1，+∞ )
1 x2 +4x+2 (7) 函数 y = ( ) 的值域为 的值域为 3