【精品】第08讲解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

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2008年高考解析几何部分专题解析及2009年高考备考建议

高考数学试题专题分析-----解析几何九江市三中张通炜指导教师林健航《解析几何》是一门用代数方法来研究图形的几何性质的学科，体现了数形结合的重要数学思想。

近年来“解析几何”一直是数学高考的主体内容，直线、圆与圆锥曲线的命题格局基本稳定为"两小、一大"，23分左右，即一道选择一道填空题，外加一道解答题，那么这部分能否得高分对数学成绩是否理想在一定程度上起着决定性的影响.一、知识结构和考纲要求本部分内容分为两大部分：直线与圆、圆锥曲线。

教材是从直线的倾斜角和斜率入手，以坐标法为基本方法，系统地研究了直线的各种方程和位置关系，为圆和圆锥曲线的学习做好了基本的知识准备。

在“直线”这一章，考纲要求如下：（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直（4）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，了解斜截与与一次函数的关系（5）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．“圆”这部分内容除了要掌握圆的标准方程和一般方程，还要掌握有关圆的一些性质定理，了解直线和圆、圆和圆的位置关系；掌握圆的切线方程和弦长的求法。

“圆锥曲线”是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，也是高考命题的热点之一。

课本中首先通过实例说明研究圆锥曲线的意义，系统地研究了椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和几何意义。

这部分内容考纲要求如下：（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．（3）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质．（4）了解曲线与方程的对应关系．（5）理解数形结合的思想.（6）了解圆锥曲线的简单应用．二、试题结构及重难点分析在近年高考中，“解析几何”考查的题型一般都是“两小一大”即“两道选择题和一道解答题”或“一道选择题、一道填空题和一道解答题”。

高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解读几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos PAF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解读】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解读】试卷分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解读式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解读几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解读】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解读】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解读】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．D ．2【答案】A【解读】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O Dxy BP gCE12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解：（1）设()()11222A x,y,B x,y,l:x my=+由222x myy x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my,y y--==-又()22212121212==故=224y yy yx,x,x x=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解读】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为|||M N MN y y =- （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解读】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2pD ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线两点，求四边形MPNQ【解读】：⑴圆A 整理为(x BE AC Q ∥，则C =∠EBD D ∴=∠∠，则EB ⑵221:143x yC +=；设:l x 联立1l C 与椭圆：24x x =⎧⎪⎨⎪⎩圆心A 到PQ 距离d ==F所以||PQ==，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A（B）32（C（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解读】试卷分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试卷解读：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解读几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）21y x =-．试卷解读：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解读几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（A)((B)( (C)((D)( 答案：A解读：由条件知F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，－3＜0.①又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的规范方程为答案：+y2＝解读：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的规范方程是+y2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。

2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)02

2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编（精编版）02初等数论部分1、（2005一试6）记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A ．43273767575+++B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++【答案】C2、（2006一试6）数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为（） A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】B3、(2008一试5) 方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（）。

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4 【答案】B4、（2004一试10）．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= 【答案】14(p +1)2【解析】设k 2－pk=n ，则(k －p2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．5、(2005一试12) 如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 5 .∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即.200565=a 从而.3255,65==n n又,210)5(,84)4(61069====CP C P 而∑==51.330)(k k P∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即.520005=n a 6、（2006一试11）方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++=的实数解的个数为 . 【答案】17、（2010一试8）方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是. 【答案】336675易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.8、（2011一试8）已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．【答案】15 【解析】=n a C65400320020023n n n--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9、（2015一试8）对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】28511..dcba B dcba B A abcd A B ∈∈故反之，每个唯一对应于中的元素这建立了与之间的一一对应，因此有010()()||||||||||||.N P N Q A B A A B A -=-=+-=00||:0,0,19b,A abc A b ∈⋅⋅⋅下面计算对任一四位数可取，，，对其中每个99b a b c <≤<≤由及知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019|=(9)26|85.b k b k ==⨯⨯-===∑∑A ()()285.N P N Q -=因此，10、（2016一试8）设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 . 【答案】40【解析】由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数.记mnq =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠. 先考虑m n >的情况.此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数. 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数.这表明，对任意给定的1>=mnq ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n . 由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a . 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .11、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 【答案】7512、（2003二试2）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数，设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．13、（2004二试3）对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．设对于n ≤k ，④成立，当n=k +1时，由于 M (m ，k +1)=M (m ，k －5)∪{m +k －5，m +k －4，…，m +k }．在{m +k －5，m +k －4，…，m +k }中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M (m ，k －5)中取出f (n )个数就必有3个两两互质的数．于是当n ≥4时，f (n +6)≤f (n )+4=f (n )+f (6)－1．故f (k +1)≤f (k －5)+f (6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1，比较②，知对于n=k +1，命题成立． ∴对于任意n ∈N *，n ≥4，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．又可分段写出结果：f (n )= 4k +1，(n=6k ， k ∈N*)，4k +2，(n=6k +1，k ∈N*)，4k +3，(n=6k +2，k ∈N*)，4k +4，(n=6k +3，k ∈N*)，4k +4，(n=6k +4，k ∈N*)，4k +5，(n=6k +5，k ∈N*)．14、（2005二试3）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.示例如下：j则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1121n T n T T T n T T n j T a f ni ni kj +-+++-++==∑∑∑===……②由此，∑∑==+--=1512561)]()12()[16()(k k k T k T k k f ……③记,15,,2,1),2()12( =+-=k k T k T a k 易得k a 的取值情况如下：因此，∑∑===-=151161783)16()(k kk ak k f n……④15、（2006一试14）将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1）当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2）进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由. 【解析】（1）首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。

高中数学竞赛专题讲座解析几何

高中数学竞赛专题讲座解析几何高中数学竞赛专题讲座-解析几何高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分x2y2？？1在任意点P，使椭圆C（H为垂直底脚）的右引导线的垂直线pH为1。

（训练试题）穿过椭圆C:，将pH延伸到点Q，使| HQ |=32λ| pH |（λ≥1） .当P点在椭圆C上移动时，q点轨迹的偏心范围为a．(0,（）3] 3b。

（33，]32c.[3,1）3D.（3,1）2HP？1？Pq1？解：设P（x1，Y1），q（x，y）。

由于右侧的准直方程为x=3，h点的坐标为（3，y） HQ=λPH，所以3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得q点轨迹为??1，所以离心率?223y1?ye=3.2.223?? 1.23? [，1）。

因此，选择c.233？2（2022年的南昌）。

如果抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x-4y=12上，抛物线方程是（d）a．y??12x2b.y？12倍22c．y??16x2d.y？16x23．（2021年江苏）已知抛物线y?2px，o是坐标原点，f是焦点，p是抛物线上的点，使得△pof是直角三角形，那么这样的点P股（b）a．0个b．2个c、 4 d.6x2y24．（2006天津）已知一条直线l与双曲线2?2?1（b?a?0）的两支分别相交于p、q两点，o为原点，当阿博普？OQ，双曲线中心到直线L的距离d等于（a）aba．b．2222b?ab?a5．(2021全国)方程abb2？a2b2？a2c.d。

ababx2sin2?sin3?y2cos2?cos3?1表示的曲线是（）a．焦点在x轴上的椭圆b．焦点在x轴上的双曲线c、聚焦于Y轴D的椭圆。

聚焦于Y轴的双曲解：？2.3.0 2? 2.3.2.cos（？2）？cos（3？），222?? sin2？sin3。

又0?2,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,222? 32? 3.罪？？(?) 2242? 3.2.3.罪恶（？）？方程式02424表示的曲线是椭圆(sin2sin3)(cos2cos3)22sin2.2.323.0罪？0 2222? 33? 3.244? (?) 风格0.即sin2?sin3?cos2?cos3.?曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选c。

第08讲+解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

20xx年全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编[整理]人教版.doc

2020 年全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编一、选择题1（． 00，3）已知点 A 为双曲线 x 2y 2 1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右支上， ABC是等边三角形，则ABC 的面积是（ A ）3 （B ） 3 3 （C ）3 3（D ）6 3325 x 42．（ 00， 5）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y的距离中的最小3 5值是（ A ）34 （B ）34 （ C ）1 117085 20（ D ）303．（ 02， 2）若实数 x, y 满足 (x + 5) 2 +(y –12)2=142，则 x 2+y 2的最小值为(A) 2(B) 1(C) 3(D) 24．（02，4）直线xy 1 椭圆 x 2y 2 1 相交于 A ，B 两点，该圆上点 P ，使得⊿ PAB43 16 9面积等于 3，这样的点 P 共有(A)1 个 (B)2 个(C)3个 (D)4 个5．（ 03， 2）设 a ， b ∈ R ，ab ≠ 0，那么直线 ax － y ＋ b ＝0 和曲线 bx 2＋ay 2＝ ab 的图形是y y yyxx x xA B C D6．（ 03， 3）过抛物线 y 2＝ 8(x ＋ 2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于16 8 16 3A ．B ．C ．D ．8 3 3337．（ 05， 5）方程 x 2y 22 sin 3cos2 1 表示的曲线是sin cos 3A. 焦点在 x 轴上的椭圆B. 焦点在 x 轴上的双曲线C. 焦点在 y 轴上的椭圆D. 焦点在 y 轴上的双曲线二、填空题x 2 y 2 1(a b0) 中，记左焦点为 F ，右顶点为 A ，短轴上方8．（ 00， 10）在椭圆2b2a的端点为 B 。

若该椭圆的离心率是51，则 ABF =。

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是（ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(8)解析几何(含答案)

b
0 ），则 2a
4, a
a2 b2 2
3 ，可
知 a 2,b 1 ， EF 2 3 ,所以 PE PF 4 ，又 PE PF 2 ，
所以 PE 2 PF 2 PE PF 2 2 PE PF 12 EF 2 ，即 EPF 为直角，进而
PEF 得面积为 1 PE PF 1。 2
AF 3 , BF 2 ，求 AB 的所有可能的值。
★解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ），并记
c a2 b2 ．由对称性，可设 F 为的右焦点．知 F 到椭圆的左顶点的距离为 a c ，到椭圆的右顶点的距离为 a c ，到上下顶点的距离均为 a ， ⑴A,B 分别为左、右顶点．此时 a c 3, a c 2 ，故 AB 2a 5 ；
圆
:
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）的左、右顶点与上、下顶点．设 P,Q 是椭圆上且位于第一
象限的两点，满足 OQ // AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭圆交于点 R .
证明：线段 OQ, OR, BC 能构成一个直角三角形。
★证明:设点 P 的坐标为 x0 , y0 ，由于 OQ // AP ，则 AP OP OA ，
综上 AB 的所有可能的值为 5, 7, 17 。
2018A 4、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的左右焦点分别是
F1, F2 ，椭圆 C 的弦 ST 与 UV 分别平行于 x 轴和 y 轴，且相交于点 P ，已知线段 PU , PS, PV , PT 的长分别为1,2,3,6 ，则 PF1F2 的面积为

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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤．2、（2009一试5）椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ②①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22222a b a b +．3、（2010一试3）双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】98004、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．【答案】)2,1(-或)6,9(-即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．5、（2012一试4）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是. 【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.6、（2013一试2）在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅=. 【答案】2.【解析】点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+，即()21218016y y +=，故128y y =-. 212121112224OFA OFB S S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7、（2013一试7）若实数,x y满足x -x 的取值范围是. 【答案】{}[]04,20.如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，,0a b ≥的部分，即点O 与弧ACB 的并集.因此{}02,25⎡⎤⎣⎦，从而{}[]2204,20x a b =+∈.学%科网8、（2014一试6）设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF=，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.【解析】11||4,||3,PF QF ==记椭圆T 的长轴，短轴的长度分别为2a,2b,焦距为212||||2,F F c ==2c,则PF 且由椭圆的定义知，12122||||||||2 4.a QF QF PF c =+=+=+PF 2121||||||||2 1.QF PF QF c =+-=+于是PF11||2||5H PF F H QH ==设为线段的中点，则，，21.F H PF ⊥且有由勾股定理知，2222222121||-||||||||QF QH F H F F F H ==-222221)5(2)2,5,7c c c a +-=-==即（解得b T =因此椭圆的短轴与长轴的比值为7b a =9、（2016一试7）双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 . 【答案】17- 【解析】10、（2017一试3）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为.【答案】2【解析】易知(3,0),F(0,1).P 3cos ),[0,],2A πθθθ∈设的坐标是（则113313cos sin )).222=arctan 102OAPF OAF OFP S S S OAPF θθθθθϕϕθ∆∆=+=⋅+⋅⋅=+=+=其中当面积的最大值为11、（2009一试9）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+-> ①由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ②因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．12、（2010一试10）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值. 【解析】解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32-AB =]4))[(91(212212y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离202029)0()25(y y CM h +=-+-==.2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+= 3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= .当且仅当2202249y y -=+，即0y =A B 或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314.2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC--+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t 3)314(23≤, 所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t ,A B 或A B -时等号成立.所以，ABC ∆面积的最大值是7314.13、（2011一试11）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．。