2016年秋季学期新人教A版高中必修五2.4 等比数列(二)

§2.4 等比数列(二)
课时目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．
2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，
当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .
2．在等比数列{a n }k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n
}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1
，|q 1|.
一、选择题
1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
答案 C
解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，
∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.
∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，
∴m －1＝10，∴m ＝11. 2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－2
答案 B
解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.
又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.
3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n
＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
答案 C
解析 设等比数列公比为q .
由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2
， 则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q
＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )
A ．52
B ．7
C ．6
D ．4 2
答案 A
解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2
＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.
∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013
， 又∵数列{a n }各项为正数，
∴a 5＝5016
. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012
＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )
A.43
B.34C ．2 D ．343
答案 A
解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313
. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，
∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)
＝log 3a 45＝log 3343＝43
. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7
等于( ) A.56B.65C.23D.32
答案 D
解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1， 由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.
∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5. 解得q ＝26
，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32. 二、填空题
7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.
答案 4
解析 由题意知，q 4＝a 5a 1
＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6
解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.
∵a 1，a 3，a 4成等比数列，
∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，
解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，
则a 1＝1，a 8＝2.
插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.
10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2
的值是________．
答案 12
解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，
则a 2－a 1＝d ＝13
[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，
∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±
2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.
∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12
. 三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，
则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧ x ＝754，y ＝454.
故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94
. 12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．
证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n . 要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·
c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，
c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)
＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．
由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·
c 3，故{c n }不是等比数列． 能力提升
13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4
答案 D
解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②
a ＋3
b ＋
c ＝10， ③
①代入③求得b ＝2.
从而⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝4，a 2＝2c
⇒a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝2或a ＝－4.
当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，
∴a ＝－4.
14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：
①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a
依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．
解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13
当⎩⎨⎧
a 1＝13a 6＝323时q ＝2 ∴a n ＝13·2n －1 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49
成等差数列， ∴a n ＝13
·2n －1 当⎩
⎨⎧ a 1＝323a 6＝13
时q ＝12，a n ＝13·26－n 23a 2＋a 4＋49
≠2a 23， ∴不符合题意，
∴通项公式a n ＝13
·2n －1.
1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存
在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。