高三数学基础复习课件——直线和双曲线的位置关系
双曲线及其性质-高考数学复习课件
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
高考数学复习考点题型与知识专题讲解10---直线和双曲线的位置关系
( ) 12．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考）已知双曲线 C 的离心率为 3 ，且过 3,0
点，过双曲线
C
的右焦点
ห้องสมุดไป่ตู้
F2
，做倾斜角为
π 3
的直线交双曲线于
A，B
两点，O
为坐标原
点， F1 为左焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求 AOB 的面积.
7/7
直线 OP 的斜率为 k2 ，则 k1k2 =
A．
1 2
B． − 1 2
[玩转跟踪]
C． 2
D． −2
1．（2020·青海西宁）已知倾斜角为
π 4
的直线与双曲线
C：
x2 a2
−
y2 b2
=1（a
>
0，b
> 0）
相交于 A，B 两点， M (4, 2) 是弦 AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． 6
高考数学复习考点题型与知识专题讲解 第 10 讲 直线和双曲线的位置关系
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例 1 （2020·福建高二期末（理））若直线 y = kx + 2 与双曲线 x2 − y2 = 6 的右支交于不
同的两点，则 k 的取值范围是 ( )
A． −
15 , 3
15
3
C． −
为（ ）
A． − 1 5
B． − 4 5
C． 1 5
D． 4 5
6．（2020·银川三沙源上游学校高三二模（理））已知直线 l : x − y + 2 = 0 与双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=1(a
> 0 ，b > 0 )交于 A ，B 两点，点 P (1, 4) 是弦 AB 的中点，则双曲线 C 的离
高考数学专题直线与双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=， 或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y kk y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（） (A) 4条(B) 3条(C) 2条(D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（）（A ）相交（B ）只有一个交点（C ）相离（D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是(A)49(B)29(C) 9(D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1．过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有() A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条解：过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B. 2、若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1解：直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近 线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1.3、过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定直线与双曲线是在平面几何中经常遇到的图形，它们的位置关系和判定在数学学科中是一个重要的概念。
在本文中，我们将详细讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的定义。
直线是平面上的一条无限延伸的线段，其特点是任意两点可以确定一条直线。
双曲线是平面上的一种二次曲线，其数学表示为一个方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1的曲线。
双曲线有两个分支，并且是无限延伸的。
现在我们开始讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
一、直线与双曲线的位置关系在平面几何中，直线与双曲线可以有以下几种位置关系：1.直线与双曲线相交：当直线与双曲线有交点时，它们的位置关系为相交。
这时可以有以下几种情况：直线与双曲线相交于两个点，此时直线穿过双曲线的两个分支；直线与双曲线相交于一个点，此时直线穿过双曲线的一个分支；直线与双曲线相切，此时直线与双曲线相切于某一点；2.直线与双曲线相离：当直线与双曲线没有交点时，它们的位置关系为相离。
在这种情况下，直线与双曲线之间没有交集，它们分别存在于平面上的不同位置；3.直线包含在双曲线内部：当直线包含在双曲线的两个分支之间时，它们的位置关系为包含。
此时可以看作直线被双曲线所包围，直线完全位于双曲线的内部；4.直线与双曲线重合：当直线和双曲线完全重合时，它们的位置关系为重合。
此时直线与双曲线完全相同，即它们的方程相同，所以是同一条曲线。
二、直线与双曲线的判定在平面几何中，我们常常需要判定给定的直线和双曲线的位置关系，这是一个重要的数学问题。
下面讨论一下如何判定给定直线和双曲线的位置关系：1.直线与双曲线相交的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否与双曲线H相交，可以通过解直线方程和双曲线方程得到交点的坐标，然后判断交点是否在双曲线上即可。
如果交点在双曲线上，那么说明直线与双曲线相交；如果交点不在双曲线上，那么说明直线与双曲线相离。
高考数学微专题4直线与圆锥曲线4.2直线与双曲线的位置关系 课件
12345
内容索引
x1x2＝k2－1 3，所以 AB 的中点 P 的坐标 xP＝x1＋2 x2＝k22－k 3，yP＝kxP－2＝
k2－6 3，则 Pk22－k 3，k2－6 3.由圆的性质可知，圆心与弦中点连线的斜率垂
直于弦所在的直线，所以 kPG＝kk22－2－6k33－－0t ＝－1k，整理可得 t＝k28－k 3(*)，则
内容索引
【解析】 (1) 因为点 A(2,1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 所以双曲线 C：x22－y2＝1. 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m， 联立x22－y2＝1， 消去 y 并整理，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
内容索引
由 Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0，得 m2＋1－2k2>0， 所以 x1＋x2＝－2k42m－k1，x1x2＝22mk22－＋12， 所以由 kAP＋kAQ＝0，得yx22－－12＋yx11－－12＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即 2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以 2k×22mk22－＋12＋(m－1－2k)－2k42m－k1－4(m－1)＝0，
内容索引
同理可得 xQ＝10＋34
2，yQ＝－4
2－5 3.
所以直线 PQ：x＋y－53＝0，PQ＝136，
点 A 到直线 PQ 的距离 d＝|2＋12－35|＝232，
故△PAQ
的面积为12×136×2 3 2＝169
直线与双曲线的位置关系 课件
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双 曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的 长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方 程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件PPT
解
设l的方程y为k： x3
：
由 xy2 ky42x314k2x26kx130
1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
化简整理 (1k2)x22k x50
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x2注1 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
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y
l1 l3
x -1
直线和椭圆的位置关系：
相交 → 两个公共点 → △ ＞ 0 相切 → 一个公共点 → △ = 0
相离 → 没有公共点 → △ ＜ 0
直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 ：
相交 → 有两个公共点， 有两个公共点，△＞0
有一个公共点（ 有一个公共点（直线与 渐进线平行或二次方程 的二次项系数为零） 的二次项系数为零） 相切 → 相离 → 有一个公共点， 有一个公共点，△ = 0 没有公共点， 没有公共点，△ ＜ 0
解题回顾： 解题回顾：
根据直线与已知双曲线公共点的个数，求 根据直线与已知双曲线公共点的个数， 直线斜率k的取值范围问题的方法： 直线斜率k的取值范围问题的方法： 1、有两个或没有公共点时，根据双曲线 、有两个或没有公共点时， 或没有公共点时 联立 后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。 的分布来判断。 有一个公共点时， 有一个公共点时，考虑一元二次方程的二 公共点时 次项系数为零和判别式等于零两种情况。 次项系数为零和判别式等于零两种情况。 2、 、 利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。 情况确定k的取值范围。
1 如果两交点分别在两支上,那么 ② 如果两交点分别在两支上 那么| AB|=|| AF | − | BF1 || 见图二) (见图二)
y A F1 B 图1 x F1 A
y
x B 图2
小结： 小结： 1、直线与双曲线的位置关系 ： 、直线与双曲线的位置关系
相交 → 有两个公共点， 有两个公共点，△＞0 有一个公共点（ 有一个公共点（直线与 渐进线平行或二次方程 的二次项系数为零） 的二次项系数为零） 有一个公共点， 相切 → 有一个公共点，△ = 0 没有公共点， 相离 → 没有公共点，△ ＜ 0
解题回顾: 解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 (1)通过联立方程组, 通过联立方程组 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验, (2)利用点差法求斜率,但要注意检验, 利用点差法求斜率 解题要领:设而不求, 解题要领:设而不求,两式相减
(
)
方程只有一解 当 1−k 2 = 0 即 k = ±1 时，方程只有一解 当 1−k 2 ≠ 0 时，应满足 ∆ = 4k 2 + 20(1− k 2 ) = 0 解得 k = ± 故 k 的值为
5 2 ± 1， ± 5 2
y = kx −1 与双曲线 x 2 − y 2 = 4 2如果直线 如果直线 如果
仅有一个公共点， 仅有一个公共点，求 k 的取值范围． 的取值范围．
l2 1
y = kx −1 与双曲线 x2 − y2 = 4 满足 如果直线 以下条件， 的取值范围。 以下条件，请分别求出 k 的取值范围。
①有两个公共点
5 5 k ∈ − , 且k ≠ ±1 2 2 5 5 k ∈ −∞, − ∪ , +∞ 2 2
x2 y 2 + =1 4 2
16 7
y = kx −1 与双曲线 x 2 − y 2 = 4 1如果直线 如果直线 如果
仅有一个公共点， 仅有一个公共点，求 k 的取值范围． 的取值范围．
y = kx −1 1-k 2 x 2 + 2 kx − 5 = 0 解： 由 2 2 得 x − y = 4
解题回顾: 解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法: 求直线与双曲线弦长方法:
2 （1） 利用公式 | AB |= 1 + k x1 − x2 = 1 + ）
和根与系数关系求弦长
1 y1 − y2 2 k
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 ）若直线过焦点则可考虑利用第二定义, 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形: 乘积,在应用时要注意区分两种情形: 如果两点在同一支上,那么 ① 如果两点在同一支上 那么| AB |=| AF | + | BF |(见图一) 1 1 见图一)
直线与圆锥曲线的位置关系
4 1过点 (2，) 的直线与 y = 8 x 只有一个公共点这样的直线---------条 2
2
y − kx − 1 = 0 与椭 2已知直线 x y + =1 圆 恒有公共 5 m 点则m应满足
2 2
[1,5) U (5,+∞ )
AB是过椭圆 的左焦点 ， π 倾角为 的直线与椭圆交于AB ， 3 AB 则 =
2、注意二次曲线、二次方程、二次函 、注意二次曲线、二次方程、 数三者之间的内在联系， 数三者之间的内在联系，直线与双 曲线的位置关系通常是转化为二次 方程，运用判别式、 方程，运用判别式、根与系数关系 二次方程实根分布原理来解决。 二次方程实根分布原理来解决。
y2 例2、已知双曲线的方程为 x 2 − = 1，试问过 2
点A（1，1）能否作直线 l 使它与双曲线 （ ， ） 是线段 1 2的中点？ P 两点， 交于P ，2 两点，且 点A是线段 PP 的中点？ 1 这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及 如果存在， 弦长| 1 弦长 PP2|，如果不存在，请说明理由。 如果不存在，请说明理由。
y2 例2、已知双曲线的方程为 x 2 − = 1，试问过 2
点A（2，1）能否作直线 l 使它与双曲线 （ ， ） 是线段 1 2的中点？ P 两点， 交于P ，2 两点，且 点A是线段 PP 的中点？ 1 这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及 如果存在， 弦长| 1 弦长 PP2|，如果不存在，请说明理由。 如果不存在，请说明理由。
5 k ∈ 1， 2
②没有公共点
③与右支有两个公共点
④与左、右两支各有一个公共点 k ∈ ( −11) 与左、 ，
①有两个公共点
②没有公共点
③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点 与左、
k2 = −
l2 k 4 = −1 l 4
5 2
y
k1 =
l1 k = 1 l3 3
5 2
x -1
①有两个公共点
②没有公共点
③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点 与左、
l2 l4
y
l1 l3
x -1
①有两个公共点
②没有公共点
③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点 与左、
l2 l4
y
l1 l3
x -1
①有两个公共点
②没有公共点
③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点 与左、