广东省惠州市2013届高三上学期第二次调研测试试题(数学理)
2013届惠二调(文)数试题及答案
惠州市2013届高三第二次调研考试试题数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知复数(1)z i i =+ (i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a == 则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2-D ．3 4.已知向量()()2,1,1,a b k ==-，若()//2a a b - ，则k 等于（ ）A ．12-B ．12C ．12-D ．125.集合ππ|ππ,42k k k Z αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭， 中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）A.B.C. D.6.如图所示的算法流程图中, 若2()2,()x f x g x x ==则(3)h 的值等于（ ） A .8B .9C .1-D .17.已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12//l l 的一个充分条件是（ ） A ．α//1l 且α//2l B ．α⊥1l 且α⊥2l C ．α//1l 且α⊄2lD ．α//1l 且α⊂2l8.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A .－2B .2C .－4D .49.已知点(1,2),(5,6)A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于（ ） A ．2-或1 B ．2或1C ．2-或1-D ．2或1- 10. 已知函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）A．(2 B．[2 C ．[1,3] D ．(1,3) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ． 12.给出命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α； ③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
广东省惠州市高三数学上学期第二次调研试卷理(含解析)
广东省惠州市2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅2．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2 B．C．4 D．4．（5分）设向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．与垂直D．5．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜6．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．28．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x）＞x的解集为．10．（5分）求在点（1，0）处的切线方程．11．（5分）（x2﹣）5展开式中的常数项为．12．（5分）锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB=b，则角A等于．13．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为．三、解答题（共2小题，满分5分）14．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为（4，），则|CP|=．15．如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=70°，则∠ACB=．（用角度表示）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．17．（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．21．（14分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在x0∈（2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．广东省惠州市2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．解答：解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2 B．C．4 D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长．解答：解：2x2﹣y2=8即为∴a2=4∴a=2故实轴长为4故选C点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．4．（5分）设向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．与垂直D．考点：向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：∵，∴=1，=，故不正确，即A错误∵•=≠，故B错误；∵﹣=（，﹣），∴（﹣）•=0，∴与垂直，故C正确；∵，易得不成立，故D错误．故选C点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．5．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图的知识，结合中位数、众数和平均数的概念，求出结果即可．解答：解：由频率分布直方图知，30名学生的得分情况依次为：2个人得（3分），3个人得（4分），10个人得（5分），6个人得（6分），3个人得（7分），2个人得（8分），2个人得（9分），2个人得（10分）；∴中位数为第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即m e=5.5；5出现的次数最多，故众数为m0=5；平均数为≈5.97；∴m0＜m e＜．故选：D．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、众数以及平均数的计算问题，是基础题．6．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的性质．专题：简易逻辑；立体几何．分析：通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可．解答：解：由题意可知α⊥β，b⊥m⇒a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图，显然平面α与平面β不垂直．所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力与作图能力．7．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．考点：分段函数的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：利用分段函数，通过x与0的大小，转化为不等式组，求解即可．解答：解：由f（x）＞x，可得或，解得x＞5或﹣5＜x＜0，所以原不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）．点评：本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力．10．（5分）求在点（1，0）处的切线方程y=x﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：运用求导公式计算x=1时的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程．解答：解：，y'（1）=1又当x=1时y=0∴切线方程为y=x﹣1故答案为：y=x﹣1．点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，正确把握导数的求法，是解题的关键．属于基础题．11．（5分）（x2﹣）5展开式中的常数项为40．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项．解答：解：（x2﹣）5展开式中的通项公式为 T r+1=•x10﹣2r•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r=0，r=2，故展开式的常数项为4•=40，故答案为 40．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（5分）锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB=b，则角A等于．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，把2asinB=b化为2sinAsinB=sinB，求出sinA，即得A的值．解答：解：在△ABC中，由正弦定理，∵2asinB=b，∴2sinAsinB=sinB；又∵sinB≠0，∴sinA=；又∵△ABC为锐角三角形，∴A=．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程的问题，意在考查学生的转化能力与三角变换能力，是基础题．13．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．考点：等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．解答：解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．三、解答题（共2小题，满分5分）14．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为（4，），则|CP|=2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出点P的直角坐标，可得|CP|的值．解答：解：由ρ=4cosθ可得圆的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故圆心C（2，0），点P的直角坐标为（2，2），所以|CP|=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．15．如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=70°，则∠ACB=55°．（用角度表示）考点：弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：先求出∠AOB=110°，再利用∠ACB=∠AOB，即可得出结论．解答：解：如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB．故∠AOB=110°，∴∠ACB=∠AOB=55°．故答案为：55°．点评：本题考查弦切角，考查圆心角与圆周角的关系，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈，∴2x﹣∈，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．考点：频率分布直方图；组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：（1）重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；（2）Y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克，则有两件合格，有三件不合格，利用组合数计算出概率即可．解答：解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为Y 0 1 2P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1﹣=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，属于基础题．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题．分析：（1）证明PA⊥BD，只需证明BD⊥平面PAD，即需证明BD⊥AD，BD⊥PD；（2）建立空间直角坐标系，表示出点与向量，求出设平面PAB的法向量=，平面PBC的法向量=（0，﹣1，），利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．解答：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD=2，由余弦定理得=从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD∵AD∩PD=D∴BD⊥平面PAD∵PA⊂平面PAD∴PA⊥BD （6分）（2）解：如图，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），，，P（0，0，1）．∴，，设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即因此可取=设平面PBC的法向量为=（x′，y′，z′），则，即可取=（0，﹣1，），∴故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．（12分）点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，正确运用向量求面面角．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用条件变形，再写一式，两式相减，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）分类，放缩，再裂项求和，即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：∵，n∈N*．∴①∴当n≥2时，②由①﹣②，得 2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），∵2a n=2S n﹣2S n﹣1，∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），∴，∴数列是以首项为，公差为1的等差数列．∴，∴．当n=1时，上式显然成立．∴；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，①当n=1时，，∴原不等式成立．②当n=2时，，∴原不等式亦成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），∴∴===，∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．20．（14分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．解答：解：（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2．…（2分）又因为c=1，所以b2=3，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为y=k（x+1）…（5分）将其代入，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．故点G的横坐标为．所以G（，）．…（8分）因为DG⊥AB，所以×k=﹣1，解得x D=，即D（，0）…（10分）∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE1相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|…（11分）所以，…（12分）整理得 8k2+9=0．…（13分）因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2．…（14分）点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在x0∈（2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（I）求导数fˊ（x）；在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II）由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．利用函数f（x）在（0，2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III）先由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在上的最小值为f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立关于a的不等关系即可证得结论．解答：解：（I），令．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣f（x）增极大值减所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II）证明：当．由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．由于f（x）在（0，2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（2，x'），使g（x0）=0，即存在．（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在上的最小值为f（a）．又由β﹣α≥1，α，β∈，知1≤α≤2≤β≤3．故从而．点评：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．。
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．1.命题“”的否命题是( )．A. B.C. D.2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文对应密文．当接受方收到密文时，则解密得到的明文为（）．A．4，6，1，7 B．7，6，1，4 C．6，4，1，7 D．1，6，4，73.已知向量，，若，则实数的值等于（）．A. B. C. D.4.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）．A．B．C．D．5.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数已知该小组的平均成绩为环，那么成绩为环的人数是（）．．．．．6. 下列函数为奇函数的是（）．．．．．7. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（）．A．①②B．①③C．①④D．②④8.如果执行下面的程序框图，那么输出的（）．Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26529.将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）．A．B．C．D．10.已知全集R，集合,若a>b>0，则有( )．A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．11．化简：．12. 已知是定义在R上的函数，且对任意，都有：，又则．13.若实数满足条件，则目标函数的最大值为_____ ．14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆上的动点到直线的距离的最大值是．15. (几何证明选讲选做题)如右图所示，是圆的直径，，，，则．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16.（本小题12分）在△ABC中，是角所对的边，且满足．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)设，求的最小值.17．(本小题14分)已知：正方体，，E为棱的中点．(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．18．（本小题12分）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是．(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率；(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；（Ⅲ)如果他来的概率为，请问他有可能是乘何种交通工具来的？19.（本小题14分）设函数的图象关于原点对称，的图象在点处的切线的斜率为，且当时有极值．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的所有极值．20. (本小题14分)已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．(Ⅰ)求直线的方程(Ⅱ)求圆的方程．21．（本小题14分）已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 求证：数列是等比数列；(Ⅲ) 记，求的前n项和．广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（文科）参考答案答案1.解析：命题“”的否命题是：“”，故选C．2.解析：由已知，得：，故选．3.解析：若，则，解得．故选．4.解析：由题意得，又．故选．5.解析：设成绩为环的人数是，由平均数的概念，得：．故选．6.解析：是偶函数；是指数函数；是对数函数．故选．7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选．8.解析：程序的运行结果是，选．9.解析：的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍．答案：．10.解析：特殊值法：令，有．故选．题号11 12 13 14 15答案11.解析：．12.解析：令，则，令，则，同理得即当时，的值以为周期，所以．13.解析：由图象知：当函数的图象过点时，取得最大值为2．14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆上的动点到直线的距离的最大值就是圆心到直线的距离再加上半径．故填．15. (几何证明选讲选做题)解析：连结，则在和中：，且，所以，故．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．解：(Ⅰ)∵，∴，………………3分又∵，∴．……………………………………………5分（Ⅱ）……………………………………………6分，………………………8分∵，∴．……………10分∴当时，取得最小值为．…………12分17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．解：(Ⅰ)证明：连结，则// ，…………1分∵是正方形，∴．∵面，∴．又，∴面．………………4分∵面，∴，∴．…………………………………………5分（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．∵是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴．………7分∵是的中点，∴，又，∴．∴四边形是平行四边形，// ，∵，，∴平面面．…………………………………9分又平面，∴面．………………10分（3）．……………………………11分．……………………………14分18．析：主要考察事件的运算、古典概型．解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件，则，，，，且事件之间是互斥的．(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为………4分(Ⅱ)他乘轮船来的概率是，所以他不乘轮船来的概率为．………………8分（Ⅲ)由于，所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的．…………………12分19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．解：(Ⅰ)由函数的图象关于原点对称，得，………………1分∴，∴．…………2分∴，∴．……………………………4分∴，即．……………………6分∴． (7)0 + 0↘极小↗极大↘∴．………………………14分20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，…………………………2分∴直线的方程为，即．……………………………5分（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．……………………………2分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．则圆心到直线的距离，即：，解得，……4分∴直线的方程为．……………………………………………5分（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．∴圆的方程为．…………………………7分∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：．…………………………………………9分整理得：，解得或．……………………………10分∵，∴．…………………………………………………………13分∴圆：．……………………………………14分21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，∴．…………………………………………4分（Ⅱ）当时，，由，得．…………………5分当时，，，∴，即．…………………………7分∴．……………………………………………………………8分∴是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………9分（Ⅲ）由（2）可知：．……………………………10分∴．…………………………………11分∴．…14分。
广东省惠州市高三上学期第二次调研测试数学(文)试题.pdf
惠州市2013届高三第二次调研考试试题 数 学（文科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知复数 (为虚数单位），则在复平面上对应的点位于（ ） A． B．C． D． 2.集合，若，则实数的值为（ ） A．或 B． C．或 D． 的前项和为，且 则公差等于（ ） A．1 B． C． D．3 ，若，则等于（ ） A． B． C． D． 5.集合， 中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 6.如图所示的算法流程图中, 若则的值等于（ ）A.8B.9C.D. 7.已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是A．且B．且 C．且D．且 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 A.－2B2C.－4D4 9.已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D． 11.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面； ③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
2013年惠州市高三一模试题理科数学
惠州市2013届高三第一次模拟考试数学试题(理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知{}2 |450 A x x x =--=，{}2 | 1 B x x ==，则A B = （ ）A ．{} 1B ．{} 1 , 1 , 5 -C ． {} 1 -D ．{} 1 , 1 , 5 -- 2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( )A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D.24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A. 363(2)π+B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+5.已知向量(1,1)a =- ，(3,)b m = ，//()a a b +，则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．36.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ．3B ．53 C ．5 D ．737.已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ， 则0x 所在区间为（ ）A.3122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B. 1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( )A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62()x x-展开式中，常数项是 .开始2,1S k ==2013k <否1k k =+是输出S结束11S S =-11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .12.已知集合A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B = ．若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c cb ⊥⎧⇒⊥⎨⎩其中所有正确命题的序号是 . 13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题） 若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为.15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．17．(满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
广东省惠州市高三上学期第二次调研数学(理)试题 含答案
惠州市2014届高三第二次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式： 球的体积公式：343V R π=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位）的虚部为（ ）.A 1.B 1- .C 1± .D 02．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =I （ ） .A (1,2) .B [1,2].C [1,2).D (1,2]3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3,a a a ==,则9S =（ ）.A 72- .B 54- .C 54 .D 724. 按右面的程序框图运行后,输出的S 应为（ ） .A 26 .B 35 .C 40 .D 575.“1a =”是“直线1l :210ax y +-=与2l :(1)40x a y +++=平行”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是 （ ）.A 16π .B 14π .C 12π .D 8π7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）.A 7 .B 9 .C 10 .D 158．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++L 且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（）.A π .B 2π .C 3π .D 4π二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==u u u r u u u r则BC =u u u r .10. 若tan()2πα-=，则sin 2α= .11. 已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为 .12. 若6()a x -展开式的常数项是60，则常数a 的值为 .13．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩则(2)g -的值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学(理科)试题
惠州市2013届高三第二次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数(1)z i i =+ (i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合{}{}4,5,3,93M m N =-=-，，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1- 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，14a =，则公差d 等于（ ）A ．1 B.53C.2-D. 3 4. 已知向量()()cos ,2,sin ,1a a b a =-= ，且//a b ，则tan 4a π-()等于（ ）A ．3B ．3-C ．31D ． 31-5. “22a b>”是“22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件 D. 必要不充分条件6．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A．－2 B．2 C．－4 D．47．某工厂从2004年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y与时间t的函数图像可能是（）8．已知函数2()1,()43xf x eg x x x=-=-+-，若有()()f ag b=，则b的取值范围为（）A．(22B．2⎡⎣C．()1,3D．[]1,3二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．函数()f x=的定义域为．10.322xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．11．已知正方体1111ABCD A B C D-中，E、F分别为1BB、1CC的中点，那么异面直线AE与1D F所成角的余弦值为________．12.如图所示的算法流程图中, 若2()2,()xf xg x x==则(3)h的值等于 .13．已知变量x y，满足约束条件2203x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，若目标函数z y ax=-仅在点()5,3处取得最小值, 则实数a的取值范围为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
广东省惠州市2013届高三上学期第二次调研测试数学(文)试题
惠州市2013届高三第二次调研考试试题数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知复数(1)z i i =+ (i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a == 则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2-D ．3 4.已知向量()()2,1,1,a b k ==-，若()//2a a b - ，则k 等于（ ）A ．12-B ．12C ．12-D ．125.集合ππ|ππ,42k k k Z αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭， 中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）A.B.C. D.6.如图所示的算法流程图中, 若2()2,()x f x g x x ==则(3)h 的值等于（ ） A .8B .9C .1-D .17.已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12//l l 的一个充分条件是（ ） A ．α//1l 且α//2l B ．α⊥1l 且α⊥2l C ．α//1l 且α⊄2lD ．α//1l 且α⊂2l8.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A .－2B .2C .－4D .49.已知点(1,2),(5,6)A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于（ ） A ．2-或1 B ．2或1C ．2-或1-D ．2或1- 10. 已知函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）A．(2 B．[2 C ．[1,3] D ．(1,3) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ． 12.给出命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α； ③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
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惠州市2013届高三第一次调研考试数学 (理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟） 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.参考公式：如果在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率记为(|)P B A ,那么()()(|)P AB P A P B A =.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}2,4B =，则A B = （ ） A.{}2,4 B.{}1,3 C.{}1,2,3,4 D.∅ 2．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题 3．4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．484．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形5．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m +=的离心率为（ ） 630.A 7.B 7630.或C 765.或D6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）．A ．3B ．11C ．38D ．123 7．已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a =（ ）A 、2.2B 、2.9C 、2.8D 、2.68．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(]()1,12,-+∞ B ．(](]2,11,2-- C ．()(],21,2-∞- D ．[]2,1-- 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9.复数Ｚ＝2(1)1i i +-（i 是虚数单位）则复数Ｚ的虚部等于 ．10.若向量()1,1a =，()1,2b =- ，则a 与b 夹角余弦值等于_____________． 11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e = ．12.计算：1-=⎰．13．18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F 、V 、E 之间的关系等式：．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴垂直，则直线l 的极坐标．．．方程为 ． 15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式 ； （2）若 1(,),()3233f πππαα∈-+=，求 5sin(2)3πα+ 的值．17. （本小题满分12分）某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动. （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ； （2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.18. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD=DE=2AB ，且F 是CD 的中点．（1）求证：AF//平面BCE ；·ABCDO（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小。
19．（本小题满分14分）等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，12b =，且227s b +=，432s b -=．（1）求n a 与n b ； （2）设212n n n a c a -=， n T =123n c c c c ⋅⋅⋅⋅⋅求证：n T ≥ ()n N +∈.20.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(1)求椭圆的方程：(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 。
已知点A 的坐标为(-a ，0)，点Q (0，0y )在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB=4。
求0y 的值。
21．（本小题满分14分）已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈．（1）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式； （2）当1a =时，若2(1)1,1(1)3f f -≤-≤-≤≤，试求(2)f 的取值范围；（3）对[]1,1x ∀∈-，都有()1f x '≤，试求实数a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式．惠州市2013届高三第一次调研考试 数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1．【解析】由交集的定义选A.2．【解析】或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D 3．【解析】111444442221444(2)()22r rr rrrrr rr r T C x x C xC x-+----+===，令14322r r -=⇒= 3x 的系数为4224224C -=．故选C ． 4.【解析】在ABC ∆中，若2cos a b C =，则sin 2sin cos A B C =即sin()2sin cos B C B C += sin()0B C B C ∴-=∴= ．故选C ．5．【解析】因4,,9m 成等比，则2366m m =∴=±当6m =+时圆锥曲线为椭圆2216x y +=；当6m =-时圆锥曲线为双曲线2216x y -=故选C6．【解析】第一步：212310a =+=<，第二步：2321110a =+=>，输出11．故选B7．【解析】2 4.5x y ==，，线性回归直线过样本中心点(2 4.5) 4.50.952 2.6a a ⇒=⨯+⇒=，．故选D ．8．【解析】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或()2,1A ，，画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,2B ，()1,1C --，()1,2D --． 从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c=与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10．1e 12．2π13．2=-+E F V 14．2cos =θρ 15．59．【解析】2(1)2(1)112i i i i i ++==-+-．虚部为1．10．【解析】cos 10a b a b a b<>==，11.【解析】因函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 所有1111[()]ln (1)f f f f e e e e -⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆：221(0)x y y +=≥的面积。
2π. 13.【解析】2=-+E F V 三、解答题：16. （本小题满分12分）解：（1） 图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2,π2=∴T , 则12==Tπω.)sin()(ϕ+=∴x x f . ………2分 )(x f 是偶函数, )(2Z k k ∈+=∴ππϕ, 又πϕ≤≤0，2πϕ=∴．则 x x f cos )(=． ………5分（2）由已知得)2,3(,31)3cos(ππαπα-∈=+ ，)65,0(3ππα∈+∴． 则 322)3sin(=+πα． ………8分 ∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα…12分17.（本小题满分12分）解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：3211244242333666131(0);(1);(2)555C C C C C P P P C C C ξξξ=========--------３分 ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=----------------５分 （2）设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则343641()205C P C C === ∴所求概率为14()1()155P C P C =-=-=-------------８分 （3）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，215433661011();()2025C C P A P B A C C =====()143615C P BA C == ------------10分 ()2(|)()5P BA P B A P A ==（或直接得142542(|)105C P B A C === ------------1２分 18. （本小题满分14分）解：（1）解：取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP=.21DE 又AB//DE ，且AB=.21DE ∴AB//FP ，且AB=FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF//BP 。