2010年中考数学二轮拔高专题复习—阅读理解题
中考数学试题分类汇编-阅读理解型.doc
感谢倾听2010 年中考数学试题分类汇编阅读理解型15．（ 2010 年浙江省东阳县）阅读资料，找寻共同存在的规律：有一个运算程序a⊕ b = n ，能够使：（ a+c）⊕ b= n+c ， a⊕（ b+c） =n－ 2c，假如 1⊕ 1=2，那么 2010⊕ 2010 =．【重点词】阅读理解【答案】 -200722．（ 2010 年山东省青岛市）某市政府鼎力扶助大学生创业．李明在政府的扶助下投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯．销售过程中发现，每个月销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x500 ．（ 1）设李明每个月获取收益为w（元），当销售单价定为多少元时，每个月可获取最大利润？（ 2）假如李明想要每个月获取2000 元的收益，那么销售单价应定为多少元？（ 3）依据物价部门规定，这类护眼台灯的销售单价不得高于32 元，假如李明想要每个月获取的收益不低于 2000 元，那么他每个月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【重点词】函数的应用【答案】解：（1）由题意，得：w = ( x－ 20) ·y=( x－ 20) · ( 10x 500)10 x2 700x 10000b35 .x2a答：当销售单价定为35 元时，每个月可获取最大收益．·······3 分（2）由题意，得：10x2 700 x 10000 2000解这个方程得： x1= 30， x2= 40．答：李明想要每个月获取2000 元的收益，销售单价应定为30 元或 40 元.6 分（ 3）法一：∵ a 10 ，法二：∵ a 10 ，∴抛物线张口向下 . ∴抛物线张口向下 .∴当 30≤x≤ 40 时，w≥ 2000．∴当 30≤ x≤ 40 时， w≥ 2000．∵ x≤32，∵ x≤ 32，∴当 30≤x≤ 32 时，w≥ 2000．∴ 30≤ x≤ 32 时， w≥ 2000．设成本为 P（元），由题意，得：∵ y 10x 500 ，k10 0 ，P 20( 10 x 500) ∴ y 随 x 的增大而减小 .∵ k 200x 10000 ∴当 x = 32 时， y 最小＝ 180.200 ，∵ 当进价一准时，销售量越小，∴ P 随 x 的增大而减小.成本越小，∴当 x = 32 时， P 最小＝3600.∴ 20 180 3600 （元） .答：想要每个月获取的收益不低于2000 元，每个月的成本最少为3600 元．1．（ 2010 年浙江省东阳市）阅读资料，找寻共同存在的规律：有一个运算程序a⊕ b = n ，感谢倾听假如 1⊕ 1=2，那么 2010⊕ 2010 =▲ ．重点词：阅读理解答案： -20071、（ 2010 年宁波市）《几何本来》的出生，标记着几何学已成为一个有着严实理论系统和科学方法的学科，它确立了现代数学的基础，它是以下哪位数学家的著作（ ）A 、欧几里得B 、杨辉C 、费马D 、刘徽【重点词】数学阅读知识 【答案】 A( 201 0 年 浙 江 省 绍 兴 市 ) 在平面直角坐标系中 , 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形 . 比如，图中的一次函数的图象与 y x, y 轴分别交于点 A, B, 则△ OAB 为此函数的坐标三角形 .（ 1）求函数 y ＝ 3Bx ＋ 3 的坐标三角形的三条边长；4（ 2）若函数 y ＝ 3 16,OAxx ＋b （ b 为常数）的坐标三角形周长为4第 21题图 求此三角形面积 .【答案】解：(1) ∵ 直线 y ＝3 x ＋ 3 与 x 轴的交点坐标为 （ 4, 0），与 y 轴交点坐标为 （ 0, 3），43∴函数 y ＝的坐标三角形的三条边长分别为3, 4, 5.x ＋ 33 44b, 0）， 与 y 轴交点坐标为 （0, b ），(2) 直线 y ＝x ＋ b 与 x 轴的交点坐标为 （43当 b>0 时, b4 b5b 16 ，得 b =4，此时 , 坐标三角形面积为 32 ；3 33当 b<0 时，b 4 b 5b 16 ，得 b =－ 4，此时 , 坐标三角形面积为32 .3 33综上 , 当函数 y ＝3 x ＋b 的坐标三角形周长为 16 时, 面积为 32 ．432 0 10 年 益 阳 市 ） 我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环周围的宽度相等．．．．.一条直线 l 与方形环的边线有四个交点M 、 M'、N'、 N ．小明在研究线段 MM ' 与 N'N 的数目关系时，从点 M ' 、 N ' 向对边作垂线段 M 'E 、 N'F ，利用三角形全等、相像及锐角三角函数等有关知识解决了问题．请你参照小明的思路解答以下问题：⑴当直线 l 与方形环的对边订交时（如图8 1），直线 l 分别交 AD 、 A D 、 B C 、BC 于 M 、 M ' 、 N' 、 N ，小明发现 MM '与 N' N 相等，请你帮他说明原因； ⑵当直线 l 与方形环的邻边订交时 （如图 8 2 ），l 分别交 AD 、 A D 、D'C 、DC 于 M 、 M ' 、 N ' 、 N ， l 与 DC 的夹角为 ，你以为 MM ' 与 N' N 还相等吗？若相等，说明原因；若不相等，求出MM '的值（用含的三角函数表示） .N ' ND C DF N l(C D ' C 'D ' N 'C 'N lEN 'M 'M ' FEMA'B'A' B'MAB AB图 8 1图 8 2【重点词】正方形性质、相像三角形、三角函数值【答案】 ⑴解 :在方形环中，∵ M E AD,N' F BC,AD ∥ BC∴ M EN'F, M EMN'FN 90 , EMMN 'NF∴△ MM 'E ≌△ NN'F∴ MM N'N⑵解法一：∵NFN MEM 90 , FNN EM M∴NFN ∽ MEM∴ M MM EN ' NNF∵ M E N F∴MM'N F tan（或 sin）N ' N NFcos①当 45 时， tan =1, 则 MMNN②当45 时， MM NN则M Mtan （或sin） NNcos解法二：在方形环中，D 90又∵ M EAD,N'F CD∴M E ∥DC,N'FM E∴MM E N'NF在 Rt NN F 与 Rt M M E 中，sinN ' F, cosM ENNM Mtansin N ' F M M M M cosNNM ENN即M M tan （或sin）NNcos①当 45 时， MM NN ②当45 时， MMNN则M Mtan （或sinNN cos感谢倾听）。
中考数学二轮专题复习：阅读理解题
中考数学二轮专题复习：阅读理解题【简要分析】阅读理解题的篇幅一般都较长，试卷结构大致分两部分：一部分是阅读材料，别一部分是根据阅读材料需解决的有关问题．阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的．考查目标除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力．【典型考题例析】例1：若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x m ++++=两实数根的平方和是2，求m 的值．解：设方程的两个实数根为1x ，2x ，那么 12121,4x x m x x m +=+=+g ．∴21222121212()2(1)2(4)72x x x x x x m m m +=+-=+-+=-=g，即29.3m m ==解得． 答：m 的值是3．请把上述解答过程的错误或不完整之处写出来，并给出正确解答．分析与解答 这类试卷取材于同学们平时作业中常见的错例，具有考查基础知识的工能，解题的关键在于找出错误，正确分析错因．上述解答过程中的错误或不完整之处有：①121x x m +=+，②3m =③没有用判别式判定方程有无实数根．正确解答为：设议程的两实数根为1x ，2x ，那么 1212(1),4x x m x x m +=-+=+g ．∴21222121212()2[(1)]2(4)72x x x x x x m m m +=+-=-+-+=-=g，即29.3m m ==±解得． 当3m =时，△=16280-<，方程无实数根，3m =舍去，当3m =-时，△=440-=，∴3m =-．例2：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这图形的一个转角．例如：下班正方形绕着它的对角线的交点旋转090后能与自身重合（如图2-4-9），所以正方形是一个旋转对称图形，它有一个转角为090．（1）判断下列命题的真假（在相应的特号内填上“真”、“假”）：①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为1800②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为1800（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个转角是1200的是．（写出所有正确结论的序号）①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为720，并且分别满足下列条件；①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．分析与解答 解答本题的关键是读懂材料中的“旋转对称图形”和“旋转角”两个概念，（1）①假，②真（2）①、③．（3）①答案不唯一，例如：正五边形、正十边形等；②答案不唯一，例如正六边形、正十二边形等．例3：阅读：我们知道，在数轴上，1x=表示一个点．而在平面直角坐标系中，1x=表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程210x y-+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x=+的图象，它也是一条直线，如图2-4-10可以得出：直线1x=与直线21y x=+的交点P的坐标（1，3）就是方程组13 xy=⎧⎨=⎩在直角坐标系中，1x≤表示一个平面区域，即直线1x=以及它左侧的部分，如图2-4-11；21y x≤+也表示一个平面区域，即直线21y x=+以及它下方的部分，如图2-4-12．回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，（1）用作图象的方法求出方程组222xy x=-⎧⎨=-+⎩的解．（2）用阴影表示222xy xy≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，所围成的区域．图2-4-12图2-4-11图2-4-10yxOy=2x+1yxO13y=2x+11P(1,3)O xy（2005年陕西省中考题）分析与解答通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法．（1）如图2-4-13，在坐标中分别作出直线2x=-和直线22y x=-+，这两条直线的交点P（-2，6），则26xy=-⎧⎨=⎩是方程组222xy x=-⎧⎨=-+⎩的解．（2）不等式组222xy xy≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，在坐标系中的区域为2-4-13中的阴影部分．【提高训练】1． 先阅读下列材料，然后解答题后的问题．材料：从A 、B 、C 三人中选择取二人当代表，有A 和B 、A 和C 、B 和C 三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作2332321C ⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作(1)(2)(1)(1)(2)321nm m m m m n C n n n ---+=--⨯⨯L L ．问题：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有种． 2． 阅读下列一段话，并解决后面的问题．观察下面一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（1）等比数列5，-15，45，……的第4项是．（2）如果一列数1a ，2a ，3a ，4a ，……是等比数列，且公比为q ，那么根据规定，有32441233,,,,a a a aq q q q a a a a ====L L 所以223213214311,(),(),a a q a a q a q q q a a q a q q a q =======L L n a =（用1a 和q 的代数式表示）（3）一大体上等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．3． 先阅读下材料，然后按要求解答有关问题．已知关于x 的一元二次方程2(12)0x k x k +-+=有两个实数根1x 和2x ，且1212()30x x x x ++=g ，求实数k 的值． 小虹同学对上面的问题是这样解的：解：由根与系数的关系有：2121221,x x k x x k +=-=g ．∵1212()30x x x x ++=g ，∴22130k k -+=，即23210.k k +-= 解方程，得1211,3k k =-=，∴k 的值为1-或13．老师看了小虹的这个解答后，写了如下评语：“你的解题方向是正确的，但过程欠严密，请再思考一下，相信你一定会求出正确结果．”请你帮助小虹同学订正此题，好吗？4． 如果将点P 绕定点M 旋转1800后与点Q 重合那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心．此时P 与点O 关于点M 是线段PQ 的中点．如图2-4-14，在直角坐标系中，△ABO 的顶点A 、B 、O 的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0），点列1P ，2P ，3P ，……中的相信两点都关于△ABO 的一个顶点对称；点1P 与点2P 关于点A 对称，点2P 与点3P 关于点B 对称，点3P 与4P 关于O 对称，点4P 与点5P 关于点A 对称，点5P 与点6P 关于点B 对称点6P 与点7P 关于点O ，对称中心分别是A 、B 、O 、A 、B 、O 、……且这些对称中心依次循环，已知点1P 坐标是（1，1），试求出点2P ，7P ，100P 坐标．5． 阅读以下短文，然后解决问题．如果一个三角形和一个矩形满期足下列条件：三角形的三边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图2-4-15所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好三角形”．显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好三角形”只有一个．图2-4-17图2-4-16图2-4-15FECCCBBB AAA（1）仿照以上叙述，说明了什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图2-4-16中画出△ABC 所有的“友好矩形”．（3）若△ABC 是锐角三角形，且BC AC AB >>，在图2-4-17中画出△ABC 年有的“友好矩形”．【参考答案】 1．15．2．（1）135- （2）11n a q - （3）145,40a a ==． 3．由方程有两个实数根知△=221(12)4140,4k k k k --=-≥≤即． 由根与系数的关系有2121221,x x k x x k +=-=,而1212()30x x x x ++=,∴22130k k -+=,即23210k k +-=． 解得1211,3k k =-=．又∵14k ≤，∴13k =舍去．∴k 的值为1-． 4．2P 的坐标为（1，-1）， 7P 的坐标为（1，1） 100P 的坐标为（1，-3）5．（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”（2）共有2个友好矩形，如图（1）的四边形BCAD 、ABEF （3）共有3个友好矩形，如图（2）的BCDE 、CAFG 及ABHK ．本资料来源于《七彩教育网》图(2)图(1)K HG F ED C BAF ED CBA。
阅读理解型问题-2010年中考数学二轮考点复习专题13
专题十三 阅读理解型问题——方法模拟型按住ctrl 键 点击查看更多中考数学资源【考点透视】阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.阅读理解题的类型有：（1）考查观察、分析、数据处理等能力的图像、表格类问题；（2）考查解题思维过程、指出解题根据、思想方法类问题：考查归纳、猜想、探索和发现能力的知识、方法介绍和运用类问题；（4）考查阅读后的理解、应用和知识迁移类能力问题；（5）考查阅读后归纳小结能力的总结材料中的知识和方法类阅读问题.解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.【典型例题】例1.先阅读下列第（1）题的解答过程（1） 已知βα和是方程0722=-+x x 的两个实数根，求ββα4322++的值. 解法1：∵α、β是方程0722=-+x x 的两个实数根，∴0722=-+αα，0722=-+ββ，且2=+βα ∴αα272-=，ββ272-=∴()()322284273274322=+-=+-+-=++βαββαββα解法2：由求根公式得当221+-=α，221--=β∴()()()3222142213221432222=--+--++-=++ββα当221--=α，221+-=β时 同理可得324322=++ββα. 解法3：由已知得2-=+βα,7-=αβ. ∴()18222=+-+βαβα,令A =++ββα4322，B =++ααβ4322 ∴A+B ()()()64241844422=-⨯+⨯=+++=βαβα (1)∴()()()()()0424222=-+-+=-+-=-αβαβαβαβαβB A ……（2） 由（1）+（2）得2A=64 ，∴A=32.请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻求一种方法解答下面的问题：已知1x ,2x 是方程092=--x x 两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值.分析：仔细阅读（1）中三种解法，并将（1）、（2）中的条件与问题进行比较，找到其相同与不同的地方，从（1）中选取简便、合适的解法，类似解决（2）中的问题. 解：∵1x 、2x 是方程092=--x x 的两个实数根，∴09121=--x x ，09222=--x x ,且121=+x x . ∴9121+=x x ，9222+=x x ，9109112131+=+=x x x x . ∴16663637910663722122231=-++++=-++x x x x x x .说明：本例中的三种解法，第一种解法，主要应用根的定义及根与系数之间的关系；第二种解法是解出二根再代入求值；第三种解法是利用配方法构造对称式解题.例2.已知矩形ABCD 的面积为16，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A 的坐标为（x,y ）,其中x>0，y>0.(1) 写出y 与x 之间的函数关系式，求出自变量x 的取值范围；(2) 用x 、y 表示矩形ABCD 的外接圆的面积S ，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵k a k a a k a 22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+(k 为常数，且k>0，0≠a ),02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a k a ；∴k a ka 222≥+∴当0=-a k a 时，即k a ±=时，222ak a +取得最小值.问题：当点A 在何位置时，矩形ABCD 的外接圆面积最小？并求出S 的最小值.分析：难点在于求22x y +的最小值，关键在于把22x y +化成222ak a +的形式,再利用（2）中的方法求解.解：（1）可知xy=9,∴9,0y x x=>. (3) S=π()22x y +,∴2222918x y x x ⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭,当且仅当90x x-=时，即x=3时，18S π=∴()93,3,3y A x==∴. 说明：解决此类问题的关键在于理解题目中提供的方法.例3.阅读下面的例题：解方程022=--x x解：（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，解得：21=x ,12-=x （不合题意，舍去）（2） 当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得11=x （不合题意，舍去）12-=x . 所以原方程的根是21=x ,22-=x .请参照例题解方程0112=---x x ,则此方程的根是 .解：当10x -≥时，即1x ≥,原方程化为20x x -=,解得：10x =（不合题意，舍去），21x =. 当10x -<时，即1x <,原方程化为220x x +-=,解得：12x =-,21x =（不合题意，舍去）.∴原方程的根是122,1x x =-=. 例4.先阅读理解下列例题，再接要求完成作业.例题：解一元二次不等式0262>--x x解：把262--x x 分解因式得：()()1223262+-=--x x x x又0262>--x x ，所以()()01223>+-x x ,由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有（1）⎩⎨⎧>+>-012023x x 或（2）⎩⎨⎧<++<-012023x x解不等式组（1）得32>x ,解不等式组得21-<x . 所以()()01223>+-x x 的解集为32>x 或21-<x .因此一元二次不等式0262>--x x 的解集为32>x 或21-<x .作业题：1.求分式不等式03215<-+x x 的解集 2.通过阅读例题和做作业题1，你学会了什么知识和方法？分析：通过有理数的乘法法则，把一元二次不等式转化为已学过的一元一次不等式组来解决，类似根据有理数的除法法则，把分式不等式转化为不等式组来解决.解：（1）由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有（1ˊ）⎩⎨⎧<->+032015x x 或 (2ˊ)⎩⎨⎧>-<+032015x x解不等式组（1ˊ）得2351<<-x ；解不等式组（2ˊ）得不等式组（2）无解.因此，分式不等式03215<-+x x 的解集为2351<<-x . （3） 通过阅读例题和做作业题1，学会了解一元二次不等式、分式不等式的一种方法.说明：此题主要考查学生学会类比转化的思想方法.例5.从A 、B 、C 三人中选取2人当代表，有A 和B ，A 和C ，B 和C 三种不同的选法，抽象 成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作122323⨯⨯=C =3.一般地，从m 个元素中选取n 个元素的组合，记作()()()()()1221121⨯--+---=n n n n m m m m C nm .根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有 种. 解：取m=6，n=4，得151234345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ,故答案为15种.说明：这是一道取材于高中代数部分的“组合”问题，先读懂材料，然后在下一步的“问题”中应用.例6.阅读下列材料：∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯31121311，⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯513121531 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯715121751……⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯1911712119171∴199191171217151215131213112119171751531311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯+⨯+⨯+⨯解答问题： （1）在和式+⨯+⨯531311中，第五项为 ，第n 项为 ，上述求和的思想方法是：通过逆用 法则，将和式中各分数转化为两个实数之差，使得除首、末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的. （2）解方程()()()()()245108142121=++++++++x x x x x x.分析：本题的第一个问题实质上已对阅读材料提供的信息进行分析、归纳和总结.通过裂项的方法，对方程的左边进行化简. 解：（1）第五项为1191⨯ ，第n 项为()()12121+-n n ；逆用分数减法法则除首末两项外，中间各项可以相互抵消的算式. （2）24510181412121121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++-+++-x x x x x x∴1251011=+-x x化简得()024102=-+x x ,所以得()()0212=-+x x .因为012≠+x ,所以02=-x ,所以4=x .说明：本题对考生的要求不仅仅局限于观察、归纳、猜想，且对应用提出了要求，体现了在“应用”中学习的意义. 例7.阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练，如图4—1，实线表示父亲离家的路程y （米）与时间x （分钟）的函数图像；虚线表示儿子离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图像.由图像可知，他们在出发10分钟时第一次相遇，此时离家400米；晨练了30分钟，他们同时到家.”根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图4—2）或用其他方法解答问题： 一巡逻艇和一货轮同时从A 港口前往相距100千米的B 港口，巡逻艇和货轮的速度分别为每小时100千米和每小时20千米，巡逻艇不停地往返于A 、B 两港口巡逻艇（巡逻艇调头的时间忽略不计）（1） 货轮从A 港口出发以后直到B 港口与巡逻艇一共相遇了几次？ （2） 出发多少时间巡逻艇与货轮第二次相遇？此时离A 港口多少千米？分析：观察图4—1可知两函数图像的交点数就是两人相遇的次数.因此只要画出图像即可解决.解：（1）由题意可画图像如图4—2，所以货轮从A 港口出发以后直到B 港口与巡逻艇一共相遇4次.(2)设OC 所在直线为 y mx =. ∵过点C(5,100)∴m=20 ∴y=20x设EF 所在直线为y kx b =+∵过点E （3，100），F(4,0) ∴310040k b k b +=⎧⎨+=⎩∴100400y x =-+∴20100400y x y x =⎧⎨=-+⎩解得1032003x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩答：出发103小时巡逻艇与货轮第三次相遇，这时离港口2003千米. 说明：首先要读懂阅读材料，弄清解决此题的方法.然后把这一方法迁移过来用于解决下面的问题.习题51. 某位老师在讲实数时，画了一个图，即以数轴的单位长线段为边作了一个正方形，然后以O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴于一点A 点，这样的图用来说明 .2.观察下列分母有理化的计算：1===，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：()____12002200120021341231121=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++3.通过阅读所得的启示来证明问题（阅读题中的结论可以直接应用） 阅读：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ，求证：AE 与⊙O 相切于点A. 证明:作直径AF ，连结FC ，则∠ACF=90°，即∠AFC+∠CAF=90°∵∠B=∠AFC∴∠B+∠CAF=90°又∵∠CAE=∠B ∴AE 与⊙O 相切于点A.问题：如图，已知△ABC 内接于⊙O ，P 是CB 延长线上一点，连结AP ，且2PA PB PC =⋅, 求证：PA 是⊙O 的切线.4.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.样的想法：12-=x 这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数12-=i ,那么方程12-=x 可以变为22i x =,则i x ±=,从而i x ±=是方程12-=x 的两个根.小明还发现i具有如下性质：i i =1,12-=i ,()i i i i i -=-=⋅=123,()()112224=-==i i ,i i i i =⋅=45,()()112326=-==i i ,i i i i -=⋅=67,()1248==i i ,……请你观察上述等式，根据发现的规律填空：______14=+n i ,____24=+n i ,_____34=+n i .（n 为自然数）5.阅读：解方程组{)2(.10)1(,0232222=+=+-y x y xy x解：由（1）得()()()第一步y 或x y x y x y x ⎭⎬⎫=-=-∴=--02,002因此，原方程组化为两个方程F 图4—4组.()第二步y x y x y x y x 得原方程的解为分别别解这两个方程y x y x y x y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=+=-222;2,2255;5,5..1002;100443322112222填空：第一步中，运用 方法将方程（1）化为两个二元一次方程，达到了目的.由第一步到第二步，将原方程组化为两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，体现了 的数学思想方法。
2010中考数学试题分类汇编--阅读理解
2010中考数学试题分类汇编--阅读理解（2010珠海）１。
我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 （只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为：5104212021)101(0122=++=⨯+⨯+⨯= 1121212021)1011(01232=⨯+⨯+⨯+⨯=按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 9（2010年镇江市）28．（2010江苏 镇江）深化理解（本小题满分9分）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为,><x即：当n 为非负整数时，如果.,2121n x n x n >=<+<≤-则 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…试解决下列问题：（1）填空：①><π= （π为圆周率）； ②如果x x 则实数,312>=-<的取值范围为 ； （2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；（3）求满足x x x 的所有非负实数34>=<的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数1412+<≤+-=n x n x x x y 在的自变量范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为k n k a 的所有整数满足>=<;的个数记为b .求证：.2n b a == 答案：（1）①3；（1分）②9447<≤x ； （2分） （2）①证明：[法一]设n n x n n x ,2121,+<≤->=<则为非负整数； （3分） m n m n m x m n +++<+≤-+且又,21)(21)(为非负整数，.><+=+>=+∴<x m m n m x （4分）[法二]设b x k b k x ,,的整数部分为+=为其小数部分.)3(..,,)(,,5.001分为其小数部分的整数部分为时当><+>=+∴<+>=+∴<++++=+∴>=<<≤x m m x km x m b x m k m b k m x m k x b)4(.:.,1.,,)(,1,5.02分综上所述为其小数部分的整数部分为则时当><+>=+<><+>=+∴<++>=+∴<++++=++>=<≥x m m x x m x m k m m x b x m k m b k m x m k x b ②举反例：0.60.7112,0.60.7 1.31,<>+<>=+=<+>=<>=而><+>>=<+∴<>+>≠<<+>∴<y x y x ,7.06.07.06.0不一定成立.（5分）（3）[法一]作x y x y 34,=>=<的图象，如图28 （6分） （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）),2,23(),1,43(),0,0(34点点图象交于点的图象与x y x y =>=< .23,43,0=∴x （7分）[法二],,34,34,0为整数设为整数k k x x x =≥)7(.23,43,0,2,1,0,20)6(,0,214321,43.43分分则=∴=∴≤≤≥+<≤-∴>=∴<=x k k k k k k k k k x（4）n x x x y ,)21(4122-=+-=函数 为整数，当x y n x n 随时,1+<≤的增大而增大，2222)21()21(,)211()21(+<≤--+<≤-∴n y n n y n 即， ①,2,2,,3,2,1,,4141222222y n n n n n n n n n n y y n n y n n 个共为整数+-+-+-+-=∴++<≤+-∴ .2n a =∴ ② （8分）,,0n k k >=<>则,)21()21(,212122+<≤-∴+<≤-n k n n k n ③ 比较①，②，③得：.2n b a == （9分）23. （2010年金华） (本题10分）已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 点重合），以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在反比例函数y = 2x-的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限. （1）如图所示，若反比例函数解析式为y = 2x -，P 点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1，并写出点M 1的坐标；（温馨提示：作图时，别忘 了用黑色字迹的钢笔或签字 笔描黑喔！）M 1的坐标是 ▲(第23题（2） 请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式y ﹦kx ＋b 进行探究可得 k ﹦ ▲ ， 若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ﹦ ▲ ；（3） 依据(2)的规律，如果点P 的坐标为（6，0），请你求出点M 1和点M 的坐标．解：（1）如图；M 1 的坐标为（－1，2） ……2分 （2）1-=k ，m b = …………………4分（各2分） （3）由（2）知，直线M 1 M 的解析式为6+-=x y 则M (x ，y )满足2)6(-=+-⋅x x 解得1131+=x ，1132-=x ∴ 1131-=y ，1132+=y∴M 1，M 的坐标分别为（113-，113+），（13+，113-）．……………4分（2010年眉山）6．下列命题中，真命题是 A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直答案：C北京22. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，AB =6cm 。
中考数学复习专题二 阅读理解题
专题二阅读理解题专题讲解阅读理解题是近年中考常见题型，它由两部分组成，一是阅读材料，二是考察内容，它要求学生根据阅读获得的信息回答问题，提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和运用过程，或一个新数学公式的推导和运用，或提供新闻背景材料等，考察内容既有基础，又有自学能力和探索能力等综合素质等。
解答这类问题的关键是理解阅读材料的实质，把握方法规律，然后甲乙解决。
阅读理解题是近几年考试热点，出现形式多样。
【典型例题】考点1 新知学习型问题新知学习型阅读理解题，是指题目中首先出现一个新知识（通常是新概念新公式），通过阅读题目提供的材料，从中获得新知识，通过对新知识的理解来解决题目提出的问题，其主要目的是考察学生的自学能力，对新知识的理解运用能力，便于学生养成良好学习习惯。
例1 高斯函数[x],也称为取整函数,即[x]表示不超过x的最大整数。
例如：[2.3]=2,[−1.5]=−2.则下列结论：①[−2.1]+[1]=−2；②[x]+[−x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2⩽x<3；④当−1⩽x<1时,[x+1]+[−x+1]的值为0、1、2.其中正确的结论有___(写出所有正确结论的序号).考点2 探索归纳型问题这时一类将阅读与探索猜想结合在一起的新型考题，其特点是要求学生从给出的特殊条件中，通过阅读，理解，分析，归纳出一般规律。
例3 如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”.【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′.【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为，；（4）图n中，“叠弦三角形”等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为（用含n的式子表示）例4.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）垂美四边形两组对边的平方和相等．写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．考点3方法模仿型问题方法模仿阅读理解题，是指材料先给出一道题的解答方法，要求模仿这一方法来解决问题。
中考数学二轮专题复习5五 阅读理解(含答案)
中考数学专题复习五 阅读理解题一、总体概述阅读理解是近年来中考试题中出现的新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。
这类题通常由两部分组成：一是阅读材料，二是考察内容。
解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决。
二、典型例题例1 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( D )A. (-1，B. (-1-1)-1)例2 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文12439a b c +++，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（ B ） Ａ．4，5，6 Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，6例3. 读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）.分析: 本题就是先给读者提供全新的的阅读材料，介绍了求和符号“∑”的意义，这是学生没有碰到过的新知识，只有通过阅读理解它的意义，才能正确解答下面有关问题。
2010中考数学专题复习——阅读理解信息题
中考专题复习——阅读理解题一、选择题1.(2008 湖北恩施) 甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.”乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸（） DA.甲B. 乙C.丙D.丁2．（2008浙江金华）三军受命，我解放军各部队奋力抗战地震救灾一线。
现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为24km，如图是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是（）DA、1B、2C、3D、43.（2008山西太原）在某次人才交流会上，应聘人数和招聘人数分别居前5位的行业列表如下：如果用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，那么根据表中数据，对上述行业的就业情况判断正确的是（）DA. 计算机行业好于其它行业B.贸易行业好于化工行业C. 机械行业好于营销行业D.建筑行业好于物流行业4.（2008湖北武汉） 2008年某市应届初中毕业生人数约10.8万．比去年减少约0.2万，其中报名参加高级中等学校招生考试（简称中考）的人数约10.5万，比去年增加0.3万，下列结论：①与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生人数下降了0.2；100%10.8②与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数增加了0.3100%10.5⨯； ③与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数占应届初中毕业生人数的百分比提高了10.510.2100%10.811⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭．其中正确的个数是（ ）．BＡ.0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．35.（2008江苏盐城）如图，A B C D ，，，为O 的四等分点，动点P从圆心O 出发，沿O C D O --- 路线作匀速运动，设运动时间为t （s ）．()APB y =∠，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）C6.（2008浙江湖州）解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区救灾，前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往，若部队离开驻地的时间为t （小时），离开驻地的距离为S （千米），则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A B CAB C DOP By49Dy49At y 049C t y49D二、填空题1、（2008年吉林省长春市）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a+=-，x 1.2x =ac 根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为____2.(2008湖南株洲)根据如上图所示的程序计算，若输入的x 的值为1，则输出的y 值为 .三、简答题1. （2008年山东省滨州市）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.BDCA（2）结论应用：①如图2，点M 、N 在反比例函数y=)0(>k xk 的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F.试应用（1）中得到的结论证明：MN ∥EF.y xONMF E②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与E 是否平行.2. (2008 河北)在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．（1）在方案一中，1d =a 示）；（ ）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图??所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d =??????????????????km （用含a 的式子表示）．探索归纳（ ）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）请你参考右边方框中的方法指导， 就a （当1a >时）的所有取值情况进 行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？P图1 图2 图33.(2008 湖南 益阳)△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa 的解答记分.Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：①在AB边上任取一点G ’，如图作正方形进行比较：2m n 2-=0n >，当2m n - ABCD EFG 图 (1) ABCD EFG 图 (3) G ′F ′E ′ D ′ ABCD E FG 图 (2)G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.4.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连结BQ、CP则BQ＝CP。
中考数学二轮精品复习 阅读理解型问题
阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （2013•六盘水）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ；tan（α±β）=tan tan1tan tanαβαβ±m。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°=tan（45°-30°）=tan45-tan30 1tan45tan30︒︒+︒︒g= 13===2-根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为 1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，=1.414）思路分析：（1）把15°化为45°-30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．解：（1）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=12224-⨯=-=（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．∵tan75°=tan（45°+30°）==tan45tan30 1tan45tan30︒+︒-︒︒g=1126+===2+。
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2010年中考数学二轮复习——阅读理解题Ⅰ、综合问题精讲：阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2 和 2 ，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2 F=______；（2）当中心O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线 l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）解：（1）O1D=2，O2 F=1；（2）O1 O2 =3；（2）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d 与半径R 和r 的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．【例2】（内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝？观察下面三个特殊的等式：()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝2054331=⨯⨯⨯ 读完这段材料，请你思考后回答：⑴ =⨯++⨯+⨯1011003221 ；⑵ ()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n ；⑶ ()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n ；（只需写出结果，不必写中间的过程）解：⑴343400(或10210110031⨯⨯⨯) ⑵()()2131++n n n ⑶()()()32141+++n n n n每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是()()2131++n n n ，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为()()()32141+++n n n n 了。
【例3】（安徽课改，8分）下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC 的角A 等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）（1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：（i ）当A ∠是顶角时，设底角是α．30+α+α=180 ∴， α=75 ．∴其余两角是75°和75°．（ii ）当∠A 是底角时，设顶角是β，3030180++β= ∴， 120β= ．∴其余两角分别是0°和120°．（2）（感受中答有：“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的给2分，回答出“积极发言”、“参与讨论”等与数学问题联系不紧密的语句给1分．）点拨：此题应树立分类讨论思想，考虑问题要全面．【例4】（贵阳模拟，8分）阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）解：（1）设平均每年降低的百分率为。
据题意，得 16（1－x ）2=10.24，（1－x ）2 =0．64,（1－x ）= ±0.8，x 1=1.8（不合题意，舍去），x 2=0.2．即平均每年降低的百分率是20％.（2）50-10.2450×100%=7 9.52％. 所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．点拨：此题属于利用方程解决实际问题，但和原来的实际应用问题的情境不同，需在理解材料的基础上进行．【例5】（山西）已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q+的值. 解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0又∵pq ≠1,∴1p q ≠∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征 所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p q q++=∴=根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n 求：11m n+的值.解：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴11m n≠ 得21520m m+-= 根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征 ∴11m n 与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根 ∴115m n+=-Ⅲ、综合巩固练习（80分 80分钟）1．（l0分）阅读以下材料并填空：平面上有n 个点（n ≥2）且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线下①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成动条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……②归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数SJ发现如下表所示：③推理：平面上有n 个点，两点确定一条直线，取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有（n －1）种取法，所以一共可连成n（n －1）条直线．但AB 与BA 是同一条直线，故应除以2，即S n =(1)2n n - ④结论：S n =(1)2n n - 试探究以下问题：平面上有n 个点（n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？⑴ 分析：当仅有3个点时，可作_______个三角形；当有4个点时，可作_______个三角形；当有5个点时，可作_______个三角形……⑵ 归纳：考察点的个数n 和可作出的三角形的个数Sn 发现：⑶ 推理：⑷ 结论：2．（10分）如图2－7－3所示，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为儿为，底角和顶角分别为以尽要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子a b -来表示“正度”，a b -的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子αβ-来表示“正度”，αβ-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：⑴ 他们的方案哪个较为合理，为什么？⑵ 对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）⑶ 请再给出一种衡量“正度”的表达式．3．（10分）如图2－7－4所示，甲、乙两辆大型货车于下午2：00同时从A地出发驶往P 市，甲车沿一条公路向北偏东60o方向行驶，直达P市，其速度为30千米/时；乙车先沿一条公路向正东方向行驶半小时后到达B地，卸下部分货物，再沿一条通向东北方向的公路驶往P市，其速度始终为40千米/时．⑴设出发后经过t小时，甲车与P市的距离为s千米,求s与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．⑵已知在P市新建的移动通讯接收发射塔，其信号覆盖面积只可达P市周围方圆30千米的区域（包括边缘地带人除此之外，该地区无其他发射塔．故甲、乙两车司机只能靠P市发射塔进行手机通话联系，问甲、乙两车司机从什么时刻开始可取得联系（精确到分钟）4、（10分）阅读下面材料：在计算3+5+ 7+ 9 + 11+13 +15+17+19+21时，我们发现，从第一个数开始，以后 的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式(1)2n n S na d -=+⨯来计算它们的和（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个差的定值）,那么3+5+ 7+ 9 + 11+13 +15+17+19+21=10(101)103.2-⨯+×2=120. 用上面的知识解决下列问题：为了保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林，从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害，树木成活率，人为因素等的影响，都有相当数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据，假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失形成新的坡荒地．问到哪一年，可以将全县的所有坡荒地全部种上树木？5．(10分)如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫作位似三角形．它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．⑴ 选择；如图2－7－5⑴所示，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点．则△P ′Q ′R ′与△PQR 是位似三角形．此时，△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比、位似中心分别为（ ）A ．2，点PB ．12 ，点PC ．2，点OD ．12，点O ⑵ 如图2－7－5⑵所示，用下面的方法可以画面AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题：画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上； ②连接OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′，作E ′D ′∥ED ，交OB 于点D ′；③连接C ′D ′，则ΔC ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形， 求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．。