2010年高考数学模拟卷(理科)含答案
四川2010年高考数学(理)模拟试题及答案(一)
四川2010级数学（理科）高考模拟试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）组成，共2页；答题卷即第Ⅱ卷（非选择题）共6页.满分150分.考试结束后将答题卡和答题卷一并交回. 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，， 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1.设集合A=R ，集合B=+R ，下列对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的是A.xy x =→ B.2)1(1-=→x y xC.x y x -=→2D.)1(log 22x y x +=→ 2.ABC ∆中，90C ∠=︒，(,1)AB k = ，(2,3)AC =，则k 的值是A.5B.－5C.32D.32-3.复数z a bi =+（,a b R ∈）是方程234z i =--的一个根，则z 等于A.12i +B.12i -+C.12i --D.2i +4.函数()sin cos f x x x =+，则函数()y f x '=的图象的一条对称轴为A.4x π=B.2x π=C.x π=D.34x π=5.已知{}n a 为等比数列，公比为q （q R ∈），其前n 项的和为n S ，且396,,S S S 成等差数列，则3q 等于A.1B.－12C.－1或12D.1或－126.奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式为2()f x x x =-，则不等式()0f x >的解集A.(1,0)(1,)-+∞B.(,1)(0,1)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞D.(1,0)(0,1)-7.若(16)n x +展开式中n x 的系数为n a ，3(75)nx +展开式中各项系数的和为n b ，则2lim 34nnn n n a b a b →∞-+ 的值为A.－1B.1C.－12D.128.三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC两两互相垂直，且2,PA PB PC ===则空间一点O 到点P 、A 、B 、C 等距离的值是9.已知23,x ≤≤212x y x -≤≤，则yx 的最小值为A.12 B.1 C.32 D.210.已知01x <<，,a b 为常数且0ab <，则221a b y x x =+-的最小值是 A.2()a b + B.2()a b -C.22a b + D.22a b -11.双曲线22221x y b a -=（0,0a b >>）的一个焦点为1F ，顶点为1A 、2A ，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ,12A A 为直径的两圆一定A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能12.已知函数32()f x ax bx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与30x y -=垂直，又()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是A.3m ≤-B.0m ≥C.3m <-或0m >D. 3m ≤-或0m ≥高2010级数学（理科）高考模拟试题 答 题 卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上.2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.二．填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上 .13.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。
2010年高考数学(理)模拟试题及答案(八)
2009—2010学年度下学期高三理科数学综合测试（3）[新课标版]注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C k n p k （1-p ）n-k（k ＝0，1，2，…，n ）． 如果事件A ．B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）． 如果事件A ．B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}02|{},1log |{22≤-=≤=x x x N x x M ，则“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 2．已知复数11z i=+，则z ·i 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “非空集合M 不是P 的子集”的充要条件是（ ）A ．P x M x ∉∈∀,B ．M x P x ∈∈∀,C ．P x M x ∈∈∃11,又P x M x ∉∈∃22,D ．P x M x ∉∈∃00,4．函数,(,0)(0,)sin xy x xππ=∈- 的图象可能是下列图象中的 （ ）5．已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边长为a ,b,则集合},|),{(b y a x y x P ===所表示的平面图形的面积是（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．4π-26．定义在R 上的函数f （x ）满足2log (1)(0)()(1)(2)(0)x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则f （2010）的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．27．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是 （ ）A ．49πB ．π49 C ．94π D ．π94 8．已知直线l m ,,平面βα,,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m ∥l ; ③若m ⊥l ，则α∥β； ④若m ∥l ，则α⊥β 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=，且A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 （ ）A ．100B ．101C ．200D ．20110．设x 1、x 2∈R,常数a >0,定义运算“*”,x 1*x 2=（x l +x 2）2-（x 1-x 2）2,若≥0，则动点(,*)P x x a 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分11．已知)1(log )(>=a x x f a 的导函数是)(x f ',记),()1(),(a f a f B a f A -+='=)1(+'=a f C 则（ ）A ．A>B>CB ．A>C>BC ．B>A>CD ．C>B>A12．身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 （ ） A ．48种 B ．72种 C ．78种 D ．84种第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及解析
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨1p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa211．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）]+a1﹣1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．。
2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)含答案
第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。
2010年高考数学模拟卷(理科)含答案
2010年高考数学模拟卷(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
(1) 设非空集合A , B 满足A ⊆B , 则(A) ∃x 0∈A , 使得x 0∉B (B)∀x ∈A , 有x ∈B (C) ∃x 0∈B , 使得x 0∉A (D)∀x ∈B , 有x ∈A (2) 在二项式(x －21x)6的展开式中, 常数项是 (A) －10 (B) －15 (C) 10 (D) 15 (3) 已知a , b 是实数, 则“a = b ”是“a 3 = b 3 ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 若复数z 与其共轭复数z 满足: |z |=2, z +z =2, 则(A) z 2－2z ＋2＝0 (B) z 2－2z －2＝0 (C) 2z 2－2z ＋1＝0 (D) 2z 2－2z －1＝0 (5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7(6) 设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b , 0)(=+⋅b a a ,则a 与b 的夹角是(A) ο30 (B) ο60(C) ο90 (D) ο120(7) 在Rt △ABC 中, ∠A ＝ο90, ∠B ＝ο60, AB =1. 若圆O 的圆心在直角边AC 上, 且与AB和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是 (A)32 (B) 21(C)33 (D) 23 (8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此多面体的体积是(A) 21cm 3(B) 32cm 3 (C) 65cm 3 (D)87cm 3 (9) 过双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P . 若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是 (A)2(B)3(C) 2 (D)5(10) 在直角坐标系中, 如果两点A (a , b ), B (－a , －b )在函数)(x f y =的图象上, 那么称[A , B ]为函数f (x )的一组关于原点的中心对称点 ([A , B ]与[B , A ]看作一组). 函数侧视图俯视图(第8题)⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0),1(log ,0,2cos )(4x x x x x g π关于原点的中心对称点的组数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
2010届高考数学理科模拟试卷十二
x侧视图正视图俯视图第4题2 22010届高考数学（理科）模拟试卷（十二）班级_________姓名_______________座号______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若{2,3,4},{|,,,}A B x x n m m n A m n ===⋅∈≠，则集合B 的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( )A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．若ABC ∆中，若ABC AB ∆>则,sin cos 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定 4. 一个多面体的三视图如右图所示，则 该项多面体的表面积为( )A ．738++B ．34+C ．73+D ．734++5. 设一元二次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0192014208y x y x y x 所表示的平面区域为M ，使函数x a y =的图象过区域M 的a 取值范围是( )A ．]10,2[B ．]9,10[C ．（2，9）D ．[2，9]6. 以椭圆191622=+y x 的顶点为顶点，离心率 2=e 的双曲线方程( )A ．1481622=-y x B ．127922=-x yC ．1481622=-y x 或127922=-x y D ．以上都不对 第5题ABCDi=12 s=1 DOs = s * i i = i －1LOOP UNTIL 条 件 PRINT sEND（第12题）程序7． 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为( )A ．9B ．12C ．16D ．178. 如右图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，4,6==AC BC ，向量CB AC ,的夹角为120º，则CB CD ⋅等于( )A ．31218+B ．24C ． 12D ．31218-9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC的中点。
2010年高考理科数学摸拟试题15带详解
2010年高考理科数学摸拟试题15本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.不等式|3x －12|≤9的整数解的个数是 A.7 B.6 C.5 D.42.已知：sin α－cos α=sin αcos α，则sin2α的值为A.2－1B.1－2C.2－22D.22－23.直线L 与平面α成45°角，若直线L 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则L 与m 所成的角是A.30°B.45°C.60°D.90°4.由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=(x +1)4+b 1(x +1)3+b 2(x +1)2+b 3(x +1)1+b 4定义f (a 1，a 2，a 3，a 4)=(b 1，b 2，b 3，b 4)，则f (4，3，2，1)等于A.(1，2，3，4)B.(0，3，4，0)C.(－1，0，2，－2)D.(0，－3，4，－1)5.已知圆(x －3)2+(y +4)2=r 2上至多有两点到直线4x －3y －4=0的距离为1，则半径r 的取值范围是A.(0，4]B.(0，5)C.(0，5]D.［5，+∞)6.已知y =f (2x +1)是偶函数，则函数y =f (2x )的图象的对称轴是 A.x =1B.x =2C.x =－21 D.x =21 7.若数列{a n }的前8项的值互异，且a n +8=a n 对任意的n ∈N 都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为A.{a 2k +1}B.{a 3k +1}C.{a 4k +1}D.{a 6k +1} 8.在直角坐标系中，到点(1，1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是 A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线9.若地球半径为6370 km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面站，它们在北纬30°圈上的距离为336370πkm ，则这两地间的经度差是 A.6π B.3π C.65π D.32π10.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通.现在发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有A.63种B.64种C.6种D.36种11.设函数f (x )=sin6πx ，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2003)的值等于 A.21B.23 C.231+ D.012.设f (x )(x ∈R )为偶函数，且f (x －23)=f (x +21)恒成立，x ∈［2，3］时，f (x )=x ，则x ∈［－2，0］时，f (x )等于A.|x +4|B.|2－x |C.3－|x +1|D.2+|x +1| 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则f (2)等于___________.14.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．15. 袋中有3个5分硬币，3个2分硬币和4个1分硬币，从中任取3个，总数超过8分的概率是_________.16.已知92log 42⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-x x a 的展开式中x 3的系数为169，则实数a 的值为_________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设e 1，e 2是两个垂直的单位向量，且a =－(2e 1+e 2)，b =e 1－λe 2. (1)若a ∥b ，求λ的值； (2)若a ⊥b ，求λ的值. 18.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC =AB =BC =BD =2，AE =1，F 为CD 中点．(1)求证：EF ⊥面BCD ；(2)求多面体ABCDE 的体积；(3)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． 19.(本小题满分12分)已知递增等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2、a 4的等差中项. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若b n =a n log 21a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，求S n +n ·2n +1＞30成立的n 的最小值.20.(本小题满分12分)因居民住房拆迁的需要，准备在某小区建造总面积为40000 m 2完全相同的住房若干栋.已知面积为M 的一栋房子，其造价是由地面部分造价和基础部分造价组成，地面部分的造价与M M 成正比，基础部分的造价与M 成正比.据统计，一栋面积为1600 m 2的住房造价是176.8万元，其中地面部分的费用是基础部分的36%，试确定:建造多少栋房子，可使总费用最少？并求出总费用.21.(本小题满分12分)已知动点P 与双曲线3222y x -=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos F 1PF 2的最小值为－91． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知D (0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM =λDN ，求实数λ的取值范围． 22.(本小题满分14分)定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1)． (1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数； (3)在(2)的条件下解不等式：f (x +21)+f (x-11)＞0．参 考 答 案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.解析：∵1≤x ≤7. 答案：A2.解析：两边平方. 答案：D3.解析：利用公式cos θ=cos45°cos45°=21. 答案：C4.解析：令x =－1，得b 4=－1，选D. 答案：D5.B6.解析：∵y =f (2x +1)=f (1－2x )，∴对称轴为x =21. 答案：D7.解析：∵2k +1，4k +1，6k +1均为奇数，∴选B. 答案：B8.解析：∵点(1，1)在直线x +2y =3上. 答案：A 9..D 10.A 11.解析：∵f (x )的周期为12，∴f (1)+f (2)+ f (3)+…+f (2004)=0，又∵f (2004)=0，f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2003)=0. 答案：D12.解析：根据y =f (x )以2为周期，画出函数图象可得出结论. 答案：C二、填空题(每小题4分，共16分) 13.18或11 14.神州行 15.12031 16.161 三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)∵a ∥b ，∴a =m b ，即－2e 1－e 2=m e 1－m λe 2. ∴⎩⎨⎧-=-=-.1,2λm m 解得：m =－2，λ=－21.6分(2)∵a ⊥b ，∴a ·b =0，(－2e 1－e 2)·(e 1－λe 2)=0即－2(e 1)2+2λe 1·e 2－e 2·e 1+λ(e 2)2=0，－2+λ=0，∴λ=2. 12分18.(1)证明：取BC 中点G ，连FG ，AG ． ∵AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，∴BD ⊥面ABC ，又AG ⊂面ABC ，∴BD ⊥AG ，又AC =AB ，G 是BC 中点， ∴AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD ，∵F 是CD 的中点且BD =2， ∴FG ∥BD 且FG =21BD =1，∴FG ∥AE . 2分又AE =1，∴AE =FG ，故四边形AEFG 是平行四边形，从而EF ∥AG ， ∴EF ⊥面BCD ．4分(2)解：设AB 中点为H ，则由AC =AB =BC =2，可得CH ⊥AB 且CH =3，又∵BD ∥AE ，∴BD 与AE 共面，又AE ⊥面ABC ，故平面ABDE ⊥平面ABC ， ∴CH ⊥平面ABDE ，即CH 为四棱锥C －ABDE 的高． 故V C －ABDE =31S ABDE ·CH =31×21[(1+2)×2］×3=3． 8分(3)解：过C 作CK ⊥DE 于K ，连接KH ，由三垂线定理的逆定理得KH ⊥DE ， ∴∠HKC 为二面角C —DE —B 的平面角. 9分易知EC =5，DE =5，CD =22，由S △DCE =21×(22)×3=21×5×CK ， 可得CK =5230，在Rt △CHK 中， sin HKC =CKCH =410，故cos HKC =46. ∴面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值为46． 12分19.解：(1)设此等比数列为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++).2(2,282131131211q a q a q a q a q a q a 3分 ∴a 1=2，q =2，∴a n =2·2n -1=2n .6分(2)b n =a n log 21a n =2n log 212n =－n ·2n ，∴S n =－(n －1)·2n +1－2. 若S n +n ·2n +1＞30，即2n +1＞32，n ＞4，n 的最小值是5.12分20.解：设建造n 栋房子，可使总费用最少.则M =n40000. 设面积为M 的一栋房子的造价为y =k 1M M +k 2M ，∴⎩⎨⎧⨯=⨯+⨯⨯=%.3640401600,404016008.1762121k k k k4分∴k 2=413.则总造价W =ny =M40000·y =40000(M k M M 1+M M k 2)=40000(M k 1+Mk 2) ≥2×4000021k k ，8分当且仅当M =12k k 时取最小值，即n 40000=36160000. ∴n =9时，W 取最小值.又k 1k 2=(k 2)2×16000036，∴W min =2×40000×413×4006=3900.∴当建造9栋房子时，总费用最少为3900万元.12分21.解：(1)由题意c 2=5，设|PF 1|+|PF 2|=2a (a ＞5)，由余弦定理得cos F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+=||||102212PF PF a ⋅-－1．又|PF 1|·|PF 2|≤(2||||21PF PF +)2=a 2，3分当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值，此时cos F 1PF 2取最小值22102a a -－1，令22102a a -－1=－91，解得a 2=9. ∵c =5，∴b 2=4，故所求P 的轨迹方程为4922y x +=1. 6分(2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM =λDN ，可得 (x ，y －3)=λ(s ，t －3)，故x =λs ，y =3+λ(t －3)，8分∵M 、N 在动点P 的轨迹上，故4922t s +=1且9) (2s λ+4)33(2λλ-+t =1. 消去s ，可得4)33(222t t λλλ--+=1－λ2，解得t =λλ6513-. 又|t |≤2，∴|λλ6513-|≤2，解得51≤λ≤5.故实数λ的取值范围是［51，5］. 12分 22.(1)证明：令x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)，故f (0)＝0.2分令y ＝－x ，则f (x )+f (－x )=f (21xxx --)=f (0)=0. ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．4分(2)证明：设x 1＜x 2∈(－1，1)，则 f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --).∵x 1＜x 2∈(－1，1)，∴x 2－x 1＞0，－1＜x 1x 2＜1. 因此21211x x x x --＜0，∴f (21211x x x x --)＞0，即f (x 1)＞f (x 2).∴函数f (x )在(－1，1)上是减函数．9分(3)解：不等式f (x +21)+f (x -11)＞0，化为f (x +21)＞f (11-x ). ∵函数f (x )在(－1，1)上是减函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<-<-<+<-.1121,1111,1211x x x x11分解得：－23＜x ＜－1. ∴原不等式的解集为{x |－23＜x ＜－1}．14分。
2010年高考数学(理)模拟试题及答案(三)
2009—2010学年度下学期高三理科数学综合测试（3）[原人教版]注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．若2log 1a ii ++是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．2C ． 1D ．22．已知函数y=f(x)的图像与函数132(1)x y x -=+≥的图像关于y=x 对称，则函数y=f(x)解析式为（ ）A ．3log (2)1(3)y x x =-+>B ．3log (2)1(1)y x x =++≥C ．3log (2)1(3)y x x =-+≥D ．3log (2)1(3)y x x =++≥3．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ． 45C ．40D ．354．已知,2,32)4tan(παππα<<-=+且则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于 （ ）A ．13132 B ．10133-C ．13132-D ．10133 5．设γβα,,为两两不重合的平面。
n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列4个命题O ABC D A 1B 1C 1D 1· （1）若βαγββα//,,则⊥⊥（2）若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ （3）若βαβα//,,//l l 则⊂ （4）若.//,//,,,n m l n m l 则γαγγββα=⋂=⋂=⋂ 其中真命题的是（ ）A ．（1）（3）B ． （2）（4）C ．（1）（2）D ． （3）（4）6．在Rt △ABC 中，∠A=2π，BC=4，若点G 是△ABC 的重心，则()GA GB GC ∙+ =（ ）A ．49-B ．49C ．169- D ．1697．据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴十个城市。
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2010年高考数学模拟卷(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
(1) 设非空集合A , B 满足A ⊆B , 则(A) ∃x 0∈A , 使得x 0∉B (B)∀x ∈A , 有x ∈B (C) ∃x 0∈B , 使得x 0∉A (D)∀x ∈B , 有x ∈A (2) 在二项式(x －21x)6的展开式中, 常数项是 (A) －10 (B) －15 (C) 10 (D) 15 (3) 已知a , b 是实数, 则“a = b ”是“a 3 = b 3 ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 若复数z 与其共轭复数z 满足: |z |=2, z +z =2, 则(A) z 2－2z ＋2＝0 (B) z 2－2z －2＝0 (C) 2z 2－2z ＋1＝0 (D) 2z 2－2z －1＝0 (5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7(6) 设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b , 0)(=+⋅b a a ,则a 与b 的夹角是(A) ο30 (B) ο60(C) ο90 (D) ο120(7) 在Rt △ABC 中, ∠A ＝ο90, ∠B ＝ο60, AB =1. 若圆O 的圆心在直角边AC 上, 且与AB和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是 (A)32 (B) 21(C)33 (D) 23 (8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此多面体的体积是(A) 21cm 3(B) 32cm 3 (C) 65cm 3 (D)87cm 3 (9) 过双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P . 若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是 (A)2(B)3(C) 2 (D)5(10) 在直角坐标系中, 如果两点A (a , b ), B (－a , －b )在函数)(x f y =的图象上, 那么称[A , B ]为函数f (x )的一组关于原点的中心对称点 ([A , B ]与[B , A ]看作一组). 函数侧视图俯视图(第8题)⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0),1(log ,0,2cos )(4x x x x x g π关于原点的中心对称点的组数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
(11) 若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥-,083,03,02y x y x y x 则3x －y 的最小值是________.(12) 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足: a n ＋1＝a 1 S n ＋1(n ∈N *), 则a 1=________. (13) 已知a 0≠0.① 设方程a 0x ＋a 1＝0的1个根是x 1, 则x 1＝－1a a ； ② 设方程a 0x 2＋a 1x ＋a 2＝0的2个根是x 1, x 2, 则x 1 x 2＝2a a ； ③ 设方程a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝0的3个根是x 1, x 2, x 3, 则x 1 x 2 x 3＝－3a a ； ④ 设方程a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝0的4个根是x 1, x 2, x 3, x 4, 则x 1 x 2 x 3 x 4＝04a a ；……由以上结论, 推测出一般的结论:设方程a 0x n ＋a 1x n -1＋a 2x n -2＋…＋a n -1x ＋a n ＝0的n 个根是x 1, x 2, …, x n , 则x 1 x 2…x n ＝________.(14) 设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1: 422=+y x 交于A , B 两点, 若圆C 2的圆心在线段AB上, 且圆C 2与圆C 1相切, 切点在圆C 1的劣弧⌒AB 上, 则圆C 2的半径的最大值是________.(15) 如图, 某城市的电视发射塔CD 建在市郊的小山上, 小山的高BC 为35米, 在地面上有一点A , 测得A , C 间的距离为91米, 从A 观测电视发射塔CD 的视角(∠CAD )为︒45, 则这座电视 发射塔的高度CD 为________米.(16) 将5人分成3组, 每组至多2人, 则不同的分组方式种数是________.(17) 若函数⎩⎨⎧>++≤+-=1),2(log 2,1,)24()(322x x a x a x a x f 在区间),0(+∞上单调递增, 则实数a 的取值范围是________.三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。
解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
(18) (本题满分14分) 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且满足A a C bB c cos 4cos cos =+.(Ⅰ) 求A cos 的值;(Ⅱ) 若△ABC 的面积是15, 求AC AB ⋅的值.(19) (本题满分14分) 在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.ABC D(第15题)(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;(Ⅱ) 记ξ为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则ξ). 求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.=130, 且(20) (本题满分15分) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝οAC = CB = 4, 将此平面沿直线EF 折成ο60的二面角α－EF －β, BP ⊥平面α, 点P 为垂足.(Ⅰ) 求△ACP 的面积;(Ⅱ) 求异面直线AB 与EF 所成角的正切值.(21) (本题满分15分) 已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为(第20题)BA FCαCB P A βE EF(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 在抛物线C 上是否存在点P , 使得过点P 的直线交C 于另一点Q , 满足PF ⊥QF , 且PQ 与C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.(22) (本题满分14分)已知函数a x a x a x a x f 4)125()49()21()(23+-+-+-=(R ∈a ).(Ⅰ) 当a = 0时, 求函数)(x f 的单调递增区间;(Ⅱ) 若函数)(x f 在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a 的取值范围.数学测试卷(理科)答案及评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。
三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分(第13题除外)。
五、未在规定区域内答题, 每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分, 满分50分。
(1) B (2) D (3) C (4) A (5) D (6) D (7) C(8) C(9) A(10) B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分, 满分28分。
(11) 1(12) 1(13) (－1)n0a a n ( (－1)n与0a a n每对一个得2分)(14) 1 (15) 169 (16) 15 (17) [1,2)三、解答题: 本大题共5小题, 满分72分。
(18) 本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 解: 利用正弦定理CcB b A a sin sin sin ==, 得 sin C cos B +sin B cos C = 4sin A cos A , sin(B +C ) = 4sin A cos A ,即 sin A = 4cos A sin A , 所以cos A =41. ……………………(7分) (Ⅱ) 解: 由(I), 得sin A =415,由题意,得21=∆ABC S bc sin A ＝15, 所以bc = 8,因此=⋅AC AB 2 . …………………(14分)(19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。
满分14分。
(Ⅰ) 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B , 则P (B )＝25125A 335= . …………………(5分)(Ⅱ) 解: 随机变量ξ的取值为0, 1, 2. ξ的分布列是…………………(11分) 所以ξ的数学期望E ξ＝0×12527+1×12574+2×12524=125122 . …………………(14分) (20) 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。
满分15分。
方法一:(Ⅰ) 解: 如图, 在平面α内, 过点P 作PM ⊥EF , 点M 为垂足, 连结BM , 则∠BMP为二面角α－EF －β的平面角. 以点P 为坐标原点, 以直线PM 为x 轴, 射线PB 为z 轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz .在Rt △BMC 中,由∠BCM ＝ο30, CB = 4, 得CM =32, BM =2.在Rt △BMP 中, 由∠BMP ＝ο60, BM =2, 得 MP = 1, BP =3.故P (0,0,0), B (0, 0,3), C (－1,－32, 0), M (－1,0,0). 由∠ACM ＝ο150, 得A (1,－43, 0).所以CP = (1,32,0), CA = (2,－32,0),则 ＝⋅－10, cos ∠ACP = －1325, sin ∠ACP =13233. 因此S △ACP ＝33. …………………(7分) (Ⅱ) 解:BA ＝(1,－43,－3), MC ＝(0,－23,0), =⋅MC BA 24, cos<MC BA ,>=1332, 所以AB 与EF 所成角的正切值为63. …………………(15分) 方法二:(Ⅰ) 解: 如图, 在平面α内, 过点P 作PM ⊥EF , 点M 为垂足,连结BM , 则∠BMP 为二面角α－EF －β的平面角.在Rt △BMC 中,αCB P AE M QF由∠BCM ＝ο30, CB = 4, 得 CM =32, BM =2.在Rt △BMP 中, 由∠BMP ＝ο60, BM =2, 得MP =1.在Rt △CMP 中, 由CM =32, MP =1, 得CP =13, cos ∠PCM ＝1332, sin ∠PCM =131.故 sin ∠ACP = sin(ο150－∠PCM )＝13233. 所以S △ACP ＝33. …………………(7分) (Ⅱ) 解: 如图, 过点A 作AQ ∥EF , 交MP 于点Q ,则∠BAQ 是AB 与EF 所成的角, 且AQ ⊥平面BMQ .在△BMQ 中,由∠BMQ ＝ο60, BM ＝MQ ＝2, 得BQ = 2.在Rt △BAQ 中,由AQ ＝AC ο30cos ⋅＋CM ＝43, BQ = 2, 得tan ∠BAQ =63=AQ BQ . 因此AB 与EF 所成角的正切值为63. …………………(15分) (21) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。