数学教学中数学本质的揭示
揭示数学本质是数学教学的灵魂——从“任意角的三角函数”的教学案例谈起
（ 师 动 画演 示 图 ４ 教 ，验 证 生 所
） 我们 之所 以要 定义 一个数 学概 念 ，无非 是 出于两个 原 因 ： 说的数学事实．
一
师 ：由于有 “ 比值不变 ”这 样
０ Ａ 曰 Ｃ
是数学概念的本质属性 ；二是它有用 ，正因为它有用 ，我们才 的规 律 ，我 们才定 义 了锐角 三角 函 我们 已经把角推广到了任 有必要去 定义它 （ 了使 用方便 ） 那 么 ，任 意角的三角 函数概 数的概念． 为 ．
念的本质是什么呢 ？我们不难发 现 ，当角 固定后 （ 也就是 角 意角 ，能否定 义任意角 的三角函数？ 生 ：可 以把任意角的三角函数转化 到直角三 角形 中去定义 ． 的始边和终边可视 为 固定） ，若 以它的顶点 。为原点 ，以角 ￥ １ ＵＬ 的始边为 轴 ，建 立平面直 角坐 标系 ，则无论 我们在角 的终 无论角 的终边落在 ［ ，都能构 造一个直角三角形 ，可 以仿 照锐角三角函数 的定义方法 ，定义任意角 的三角 函数． 边上如何取一点 Ｐ ） （，Ｙ ，总有 比值 上 、 、卫 （ 中 ｒ Ｐ＝ 其 ＝Ｏ （ 根据 学生的描 述 ，教师 画图演示． ）
生 ：我是在平面直角坐标 系下定义任意角的正弦的．
（ 在 黑板上 画图 ３说明． 生 ）
Ｉ
里 ……高 中数学课程应该返璞归真 ，努力揭示数学概 念 、法则 、
结论 的发展过程 和本 质． ”这一理 念要求教师在 教学 中要揭示数 学本质．本人认为 ：揭示数学本质是数学教学 的灵 魂． 而在实 际 教学 中 ，许 多教师 由于对所教授 知识 的数学本 质感悟 不深 、理
地 领悟概念 的本质 ，教学抓不住 “ 本质 ”就会变得无 的放矢．
揭示数学本质_发展思维能力_---关于数学教学设计的思考
二、去数学、非数学—情境与问题
• • • • 什么是问题情境？ 问题情境有哪些类型？ 怎样设计问题情境？ 怎样设计问题？
解决问题
初中：创设问题情境,激发学习兴趣
好奇是兴趣的开始,是学习的开始,是创造的开始
• 与生活实际背景相联,从生活到数学 • 与带挑战性问题相联,从问题到数学 • 与学生实践活动相联,从活动到数学 • 与游戏\欣赏\审美相联,从审美到数学 高中：创设问题情境，引导提出问题
案例分析
• 案例1 • 案例2 • 案例2
六、训练多难题多—反思与升华
• 为什么要引导学生反思？ • 要学生反思什么？ • 怎样引导学生反思？
解决问题
活动与反思 • 数学概念：生成、联系、网络、凝缩 • 数学定理：发现、猜想、验证、运用 • 数学技能：活动、经验、积累、技能 • 数学思想：体验、感悟、反思、升华 • 解决问题：通法、通则、策略
四、直接到达结论—建构与理论
• 为什么要提出学生自我建构？ • 怎样帮助学生建构数建构数学的过程： •胚胎和生长点 •经历过程（从直觉到逻辑、再发现） •感受意义（反思领悟） •形成表象（建构的成果）例：函数、单调性、垂直 •自我表征（初步的概括） •生长中的数学，朴素的数学，未包装的数学 •数学建构活动中的核心环节 最终：建立数学． 数学理论的呈现 •定义、定理叙述、模型描述、算法程序等； •抽象，形式化的表 述
教师的价值判断： • 学生活动要符合数学文化的规范； • 学生活动要体现学生的个性；（多样性） • 学生活动应该有利于思维活动的展开（例子） • 学生活动要照顾到不同发展层次的学生； • 以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终 目标； • 合理和有用；成功与失败，失败的价值．
案例分析
七年级数学下册《透过现象看本质》教案、教学设计
4.设想四：采用多元化评价方式，全面评估学生的学习成果，关注学生的成长过程。
教学策略：将形成性评价与终结性评价相结合，关注学生在课堂上的表现、作业完成情况以及小组活动中的贡献。同时，鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的反思能力。
二、学情分析
在七年级下册数学教学过程中，学生对数学知识已有一定的基础，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。但在此基础上，学生对本章节“透过现象看本质”的学习仍存在以下特点与需求：
1.学生在分析问题时，往往容易停留在表面，难以深入挖掘事物的内在联系。因此，需要教师引导和培养学生运用数学方法，从多角度、多维度去观察和分析问题。
3.熟练运用数据分析、逻辑推理和证明等方法，对数学问题进行深入探究，提高解决问题的能力。
4.能够运用所学知识解决七年级下册数学课本中的相关问题，如数列、比例、概率等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下方法培养自己的能力：
1.探究与合作：学生通过小组合作、讨论的方式，共同分析问题、总结规律，从而培养团队协作能力和沟通能力。
1.培养学生严谨、细致的学习态度，认识到数学在揭示事物本质方面的重要作用。
2.培养学生对数学的热爱和兴趣，激发学生主动探究数学问题的热情。
3.培养学生具备批判性思维，敢于质疑、善于思考，形成独立见解。
4.引导学生认识到团队合作的重要性，学会倾听、尊重他人意见，形成良好的人际关系。
5.培养学生具有科学精神，关注社会现象，学会用数学的视角观察世界，为未来的学习和生活打下坚实基础。
5.学生在面对复杂问题时，可能产生畏惧心理。教师应关注学生的心理变化，鼓励他们勇于尝试、克服困难，培养他们面对挑战的信心。
数学概念教学必须揭示其本质属性
’
图 ６
图 ７
连 结 ＡＤ， 别 取 ＡＢ， Ｃ， Ｄ ， 分 Ｂ Ｃ ＤＥ， ＥＦ，
ＦＡ， ＡＤ 的 中 点 Ｇ， ， Ｍ ， ， ０， Ｈ Ｐ， Ｎ Ｒ， 得
公 共 边 ＡＤ 及 ＡＤ 边 上 的两 条 高 即测 量 ３次
就 可 求 得 六 边形 ＡＢＣ ＤＥＦ 的 面 积 ．
一 ２（ 口 Ⅳ ＋ Ｓ＝ Ⅳ ０ ． ． Ｇｍ Ｓ Ｍ Ｒ）
太 棒 了 ， 里 采 用 了 “ ” 补 ” 结 合 的 这 割 “ 相 方 法 ， 将 以前 学 过 的某 些 图 形 的 性 质 应 用 并 起 来 ． 正 是 我 所 期 待 的解 答 。 带 头 为 他 鼓 这 我
的 推 导 过 程 ， 结 果 是 以 正 切 的形 式 给 出的 ： 其
ｔ ａｎ 一 ．
何 来 确 定 ？（ ） 怎样 的 手 段 来 确 定 ？要 回答 ２用
这 两 个 问 题 ， 们 还得 从 问 题 的 起源 谈 起 ． 我 直 线 与 直 线 所 成 的 角 的 概 念 ， 在 研 究 是 两 条 直 线 垂 直 的基 础 上 的 延 续 ， 进 一 步 研 是 究 两 条 直 线 间 的位 置 关 系 ． 先 ， 果 我 们 把 首 如 两 条 相 交 直 线 （ 其 中之 一 ） 平 移 ， 末 它 或 作 那
的 思 想 中 的 反 映 ， 们 在 进 行 数 学 概 念 教 学 我 的 时 候 ， 应 该 把 重 点 放 在 概 念 本 质 的 教 学 就
匕 ．
１ 注 重 对 教 学 过 程 的 研 究
讲清数学道理 揭示数学本质——提高高三数学复习效率的教学策略
本文就高三复习阶段如何讲道理 、 揭本质例举
几 个典 型 问题 ， 以期 抛砖 引玉．
１ 新 授 课讲不 清 的道 理 ， 到复 习课 来讲
用斜二测画法画几何体 的直观图， 操作步骤十 分简单 ： 画轴后 ， 使平行 于 轴或 轴 的线段 长不
变， 平 行 于 Ｙ轴 的线 段 长 减 半． 但 按 上 述 方法 画 的
・— ・—・ －－
一
时， 投 影线 的方 向也就 是空 间 向量ＭＢ 的方 向． 以 Ｃ 为 原 点 、投 影 面
先 仿 照此类 错误 解法 ， 举例“ 对 于 函数Ｙ＝ ＋ １ （ ＞ ０ ） ， 因为 当 ＞ ０时 ， ＋１ ≥２ ， 当且 仪 当 ＝ １时等号 成 立 ， 所 以当 ＝１时 … Ｙ ＝ ２ ”， 这 个 结论
第１ 期
李金兴 ： 讲清数学道理
揭 示数 学本质
・５・
给 读者 自行 证 明 ） ： （ ２ ｎ ＋ｎ 一 ） ＝（ 自然数 ｎ成立 ． ＋ ； ） 对一 切 ｎ ≥２的
例 ４ 求证 ： 对任意 的正整数 ， （ １ ＋ ） 必可
表示成、 ／ ５＋Ｊ ｓ 一 １ 的形式 ， 其中 ｓ ∈ Ｎ ．
时 等号 成立 ， 所 以 Ｙ＝ ＋三 的最 小 值 为 ２ ” ， 并
且 在 改变情 景 后经 常一犯 再犯． 教 师可 按 下列 步骤
引导学 生 反思 ：
２ ． １ 从反 例 来辨 别
长度 的一 半． 为表述方 便 ， 将底 边 Ｂ Ｃ 暂 用 线 段
ＭＣ 表示 ， 则 线 段 ＭＣ 的影 子 为 Ｂ Ｃ （ 如图２ ） ． 此
０１＝ １＋ ２＝２， ０ ２＝ ＋ ＝６，
为证 明（ １＋ ） ＝ ＋
如何把握数学本质进行教学
如何把握数学本质进行教学如何把握数学本质进行教学数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺为大家收集的如何把握数学本质进行教学，希望对大家有所帮助。
如何把握数学本质进行教学篇1一、概念的教学要基于学生已有的认知基础皮亚杰的建构主义理论认为，学生要在已有的知识经验基础上建构新知识。
而数学概念的抽象性更要求基于学生已有的认知基础上进行教学，关注学生的学习过程，所以教师要善于引导学生从原有经验、原有的认识中逐步抽象概括出数学的形式化定义。
如教学“倍的认识”一课，揭示“倍”概念的方式很多，但新知识与学生认知的最近发展区越接近，学生就会越容易理解。
因此，这节课教师可以采用同化的方式引导学生获取“倍”的概念，即利用学生已有认知结构中对“几个几”的理解来同化“几的几倍”。
教师应鼓励学生用自己的眼睛去观察，用自己的语言去表达，用自己的思考去解读“倍”的相关量的共性，使他们真正领悟每份数、份数与“几的几倍”的关系，这样学生对“倍”的概念会建立得更好，理解会更深刻。
另外，教师在引导学生理解和掌握数学概念的过程中，还可以借助丰富的数学史资料，展示概念的形成过程，让学生体验数学家们对数学知识、数学原理不畏艰难的探索过程。
例如，自然数概念形成的漫长过程、不同民族对自然数和表示方法的创造、祖冲之对圆周率的探索过程等。
二、在数学活动中引导学生深刻理解概念的本质所谓对数学概念的理解是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，这些需要教师循序渐进地引导学生理解。
如对一年级学生教学自然数的概念时要通过“数数”活动，而有些教师认为学生在幼儿园已有“数数”的经验了，忽视对“数数”的教学。
其实，学前儿童的“数数”还大多停留在念歌谣的层面上，对数缺乏深刻的认识。
没有“数”的过程，学生对数的理解是不深刻的。
因此，教师要先设计“数数”这一数学活动，充分挖掘“数数”的教育价值，让学生多形式地数数。
直观地揭示数学概念的本质及现实意义
□ 操作设想
反思认识
(1)函数概念的教学是否需要两个时间点? 函数概念的教学是否需要两个时间点? 函数概念文字表述是否可以分两步走? (2)函数概念文字表述是否可以分两步走? 是否可以减少函数过于形式化的试题? (3)是否可以减少函数过于形式化的试题?
□
认识 提炼
相信 学术形态 结果 形式化 知识
□
剪绳实验
问题解决
图形 被剪次数x 被剪次数 0 1 2 段数y 段数
(1)把下列 表格的缺失部 分补充完整
(2)写出段 数y关于被剪 次数x的函数 解 析 式
3 …… …… x …… y=?
□
剪绳实验
图形 层数x 层数x1
问题解决
被剪次数x 段数y 被剪次数x2 段数y
( 1 ) 把下列表 格 补 充 完 整 ( 2 ) 试写出段 数y关于层数x1 和被剪次数x 和被剪次数 x2的 函 数 解 析 式
□
认识 提炼
Байду номын сангаас
教育形态
抽象性 —— 直观性 基础性 —— 本质
过程体验 多元认识 现实反思
发展性 —— 现实性
□
一次函数概念
问题拓展
教材定义
(中间形态)
淡化图象列表表示法 分离概念与现实问题 忽略模型的变化特征 缺乏认识常数的意义
□
一次函数概念
问题拓展
认识过程 呈现实际问题——观察变量关系 观察变量关系——洞察关系 (1)呈现实际问题 观察变量关系 洞察关系 相似性——描述相似性 描述相似性——自变量增加(减少)1, 自变量增加( 相似性 描述相似性 自变量增加 减少) 函数值变化值是个固定值——固定值 现实意义 ( 单 固定值现实意义 函数值变化值是个固定值 固定值 现实意义( 速度, 月利率, 每平方米种玉米的数量, 价 , 速度 , 月利率 , 每平方米种玉米的数量 , 每分 钟话费……)——一种均匀变化 ) 钟话费 一种均匀变化 (2)均匀变化,一条直线,(一次函数〈数角 均匀变化,一条直线,(一次函数〈 ,(一次函数 线性函数〈 均匀) 度〉——线性函数〈形角度〉,线性 线性函数 形角度〉 线性——均匀)—— 均匀 判别现实世界中线性变化——利用线性变化预测结果 判别现实世界中线性变化 利用线性变化预测结果
揭示数学概念本质促进学生主动建构——以“乘法分配律”一课的教学为例
这 样 立 足 概 念本 质 由 浅 入 深 加 以 追 问 ， 学 生 能 够 凭 借 自 使
网 （） １ 数形感知： 长方形植树地： ， 出示 — 这块地的周长
是多少？教师 引导学生列 出两种算式 。
（ ） 活感知 ： 们 班有男生 ３ ２生 我 ２人 ， 生 ２ 女 ０人 ， 果 每 人 如 植树 ３棵 ， 一共 可 以 植树 多 少 棵 ？ 学 生 用 两种 方 法 列 式解 答 。 让 （ ） 例 感 知 ： 还 能 举 出 像 上 述 这 样 的 两 个 算 式 的 例 子 ３正 你
多 少 人 参 加 植 树 活 动 ” ， 师要 求学 生 列 式 ， 后 引 导 学 生 观 后 教 然
师 ：３ ＋ ０ ｘ （２ ２ ）３与 ３ ｘ ＋ ０ ３这 两个 式子为什 么得数相 等 ２３ ２￣ 呢？谁 能结合植树 情境 ， 说说先算什 么， 再算什 么？ 生 左边 先算 出全班植 树 多少人 ， ： 再算 出全班植 树棵 树 。
实上 ， 法分配律的本质是乘法意义的拓展 乘 和 应 用 。那 么 ， 师 应 如 何 揭 示 这 一 “ 魂 ”促 进 学 生 主 动 建 教 灵 ，
构？
考 ， 致学生 所形成 的数学 表象模糊 ， 维 导 思 缺 乏深 刻 性 。 为 此 ， 们 应 由表 及 里 ， “ ” “ ” 从 乘 法 分 我 变 粗 为 细 ， 配 律 的 本 质 意义 人 手 ，引 导 学 生 对 算 式 的 内 涵 加 以 深 入 研 究 、
教 苑 时空 ・ 教例剖析
蜀
—
勰
—
厨
偶
垒 勋 固 绚
以“ 乘法分配律” 一课 的教 学为例
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数学教学中数学本质的揭示
摘要：中学数学课堂教学一般比较重视数学技能的训练，“精讲多练”已成为数学课堂教学的主要形式。
对学生而言，这种做法的必然结果是：强化了技能操作却忽视了对数学基本原理和数学思想方法的理解掌握。
忽视了对数学本质的理解，对数学的认识只停留在一个较低的水平。
中学数学教学应该呈现数学的本质，感悟数学的精神，应该跳出题海，回归本源。
关键词：数学教学；本质；揭示
现在的教学目标，除知识技能目标之外，还要注意知识的发生过程，提出了过程性目标，这是完全正确的。
但是，比呈现数学过程更高的要求是体现数学本质：对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟以及对数学美的鉴赏等。
一些粗浅、拖沓的“过程”往往不能反映出数学的真正价值，反而白白浪费了时间。
新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到八个字：“上通数学，下达课堂”。
所谓上通数学，就是必须理解数学知识的内涵，揭示数学的本质。
但是在如今的公开课的展示及其评价中，教师多半聚焦在教育理念的体现、教学方式的选择、课堂气氛的营造、学生举手发言的热烈等方面。
至于数学内容的表达、数学本质的揭示、数学价值的呈现，则往往有所缺失。
其实，内容决定形式，学生是否能够掌握数学内容，是评价课堂教学是否成功的主要标志。
因此，教师在备课时，需要思考如何挖掘教材内容的数学本质。
一、透过现象看本质
数学本质往往隐藏在数学形式表达的后面，需要由教师的数学修养加以揭示。
例如，在数学中平面直角坐标系的本质是什么？浅层的理解是用一对数确定点的位置，于是初中数学教学中的大量案例，都把坐标系的价值理解为“位置”的确定，许多教案的内容也都要求在教室里开展“第几排第几座”的游戏。
事实上，这种低级的生活化活动，根本不能增加对坐标系的理解。
用一对数确定位置，是地理课的任务，连语文课也都会处理几排几座这样的问题，所以这样的活动没有鲜明的学科特点，更没有触及数学概念的本质，我认为平面坐标系的本质则在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即“数形结合”的思想。
引入坐标系的第一节课，拿位置确定作为铺垫可以，更重要的是要引导学生观察和思考：两个坐标一样的点是什么图形？两个坐标都是正数的点构成什么区域？横坐标是零的点是什么图形？这样就有数学味道了，也更深层次的触及了数学的本质。
二、数学操作活动要体现本质
新的数学课程标准中将基本数学活动经验纳入了数学教学的目标之中，这使得学生在数学学习中不仅获得了客观性的知识，还形成了属于学生自己的主观性知识，有助于学生对数学的真正理解，在许多教学设计中，也都注意到了数学活
动经验的积累，这是很正确的。
但是，数学操作不能只停留在表面的热闹，而要加以引导，通过数学活动，体现操作背后存在的数学本质。
“量一量”是一种常用的数学活动。
例如要求量出三角形内角和为180度，学生通过自己动手，自己操作，加深了对三角形内角和的认识，体会了自主探究的乐趣，但是必须注意，数学它是一门严谨的学科，这种用“量”得出来的数学结论，只是一种“物理学”的“证实”行为。
“量”必须要通向数学本质，在数学价值上进行思考，量三角形的内角和，在小学阶段可以到此为此，在中学恰恰要说明“量”有误差，由此做结论还不够，需要进一步的逻辑论证得到任意一个三角形的内角和都是一个定值，即“变中有不变”这一思想，这才是数学的本质。
好的度量活动，需要深层次的数学价值作为指导。
例如学生讲画在黑板上的大手和自己的手之间的大小比例找出来，并按这样的比例为巨人设计书的大小、桌椅的尺寸。
这里有大量的度量活动，但是都紧紧围绕着“比值”不变的相似特性进行度量，那就量的有数学价值，有数学本质。
三、在数学知识间的联系中揭示本质
数学知识之间是有机联系的，具有严密性和系统性的特点。
教师应逐步引导学生将平时积累的知识，通过一定的标准分类，使之条理化、系统化，是所学的知识形成连续性，延续学生的思维过程，并在对知识内在联系分析、比较的基础上，将学生的知识进行串联，形成知识的系统性，实现举一反三，触类旁通，真正把握数学的本质。
例如平面坐标系中的“点”、平面向量和复数的三位一体关系：点A（a，b）与→OA=（a，b）与z=a+bi三者互相一一对应，本质上都是一组有序数对，只是在不同的意义下，这组有序数对的性质得到了扩展和完善。
首先，点不能参与运算，而平面向量有加减，并互为逆运算，然而向量的数量积，其运算结果不再是向量。
此外向量也没有除法。
至于复数，则有加减乘除，仍就保持“数”的特性。
诸如以上的许多数学知识，往往分散在许多章节，彼此的关联，往往并不写在教材上，所以教学中很容易忽略。
教师不讲，学生不学，那数学中的本质内容就在不经意间流失了，因此如何架设数学之间的联结，揭示数学本质，应该成为教师在数学教学中需要思考的问题。
总之，教师在数学教学中不能只聚焦在教育理念的体现和教学方法的选择上，更要高屋建瓴地揭示出数学的本质，这样的课堂才有数学的味道！
参考文献：
[1]张奠宙，宋乃庆主编. 数学教育概论（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.1
[2]史宁中主编.义务教育数学课程标准解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.2
[3]王尚志，张思明主编.普通高中数学课程分析与实施策略[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010.7。