大数定律与中心极限定理课件
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大数定律及中心极限定律课件
风险控制
基于大数定律和中心极限定律，金融 机构可以建立风险控制模型，对风险 进行实时监控和预警。当风险超过一 定阈值时，可以及时采取措施进行干 预，以降低风险损失。
在保险精算中的应用
保费计算
保险精算师利用大数定律和中心极限定 律对风险进行评估，并计算相应的保费 。这些原理可以帮助保险精算师更准确 地预测未来的风险，从而制定公道的保 费策略。
大数定律与中心极限定律的区分
01
研究对象不同
大数定律主要研究的是随机变量的算术平均值的极限行为，而中心极限
定律主要研究的是随机变量的累积散布函数（CDF）的极限行为。
02 03
结论不同
大数定律的结论是，当实验次数趋于无穷时，随机变量的算术平均值将 趋近于其期望值；而中心极限定律的结论是，当实验次数趋于无穷时， 随机变量的累积散布函数将趋近于正态散布。
社会调查
中心极限定律在社会调查中也有应用，通过对大量样本的统计分析，可以近似估计总体 的特征和趋势。
在心理学中的应用
行为决策
大数定律可以用于行为决策的研究，通过对 大量实验数据的分析，揭示人类行为背后的 规律和机制。
心理测量
中心极限定律在心理测量中也有应用，通过 对大量被试者的测量结果进行分析，可以评 估个体的心理特征和行为偏向。
大数定律及中心极限定律课件
目录
• 大数定律概述 • 中心极限定律概述 • 大数定律与中心极限定律的联系与区分 • 大数定律与中心极限定律在统计学中的应
用 • 大数定律与中心极限定律在金融领域的应
用 • 大数定律与中心极限定律在其他领域的应
用
01大数定律概述大数律的定义定义大数定律是指在大量重复实验中 ，事件出现的频率趋于稳定，并 收敛于其概率。
基于大数定律和中心极限定律，金融 机构可以建立风险控制模型，对风险 进行实时监控和预警。当风险超过一 定阈值时，可以及时采取措施进行干 预，以降低风险损失。
在保险精算中的应用
保费计算
保险精算师利用大数定律和中心极限定 律对风险进行评估，并计算相应的保费 。这些原理可以帮助保险精算师更准确 地预测未来的风险，从而制定公道的保 费策略。
大数定律与中心极限定律的区分
01
研究对象不同
大数定律主要研究的是随机变量的算术平均值的极限行为，而中心极限
定律主要研究的是随机变量的累积散布函数（CDF）的极限行为。
02 03
结论不同
大数定律的结论是，当实验次数趋于无穷时，随机变量的算术平均值将 趋近于其期望值；而中心极限定律的结论是，当实验次数趋于无穷时， 随机变量的累积散布函数将趋近于正态散布。
社会调查
中心极限定律在社会调查中也有应用，通过对大量样本的统计分析，可以近似估计总体 的特征和趋势。
在心理学中的应用
行为决策
大数定律可以用于行为决策的研究，通过对 大量实验数据的分析，揭示人类行为背后的 规律和机制。
心理测量
中心极限定律在心理测量中也有应用，通过 对大量被试者的测量结果进行分析，可以评 估个体的心理特征和行为偏向。
大数定律及中心极限定律课件
目录
• 大数定律概述 • 中心极限定律概述 • 大数定律与中心极限定律的联系与区分 • 大数定律与中心极限定律在统计学中的应
用 • 大数定律与中心极限定律在金融领域的应
用 • 大数定律与中心极限定律在其他领域的应
用
01大数定律概述大数律的定义定义大数定律是指在大量重复实验中 ，事件出现的频率趋于稳定，并 收敛于其概率。
大数定律与中心极限定理通用课件
01
中心极限定理
定义
中心极限定理：在大量独立同散布的 随机变量下，这些随机变量的平均值 的散布趋近于正态散布，即使这些随 机变量的散布本身并不一定是正态散 布。
中心极限定理是概率论和统计学中的 一个基本概念，它在许多领域都有广 泛的应用，如金融、生物、社会科学 等。
适用范围
中心极限定理适用于大量独立同散布的随机变量，这些随机变量的散布可以是任何散布，不一定是正 态散布。
实际应用案例
股票市场分析
总结词
股票市场分析
详细描述
大数定律和中心极限定理在股票市场分析中有着广泛的应用。股票价格的波动受到多种 因素的影响，包括市场情绪、公司事迹、宏观经济状况等。通过运用大数定律和中心极 限定理，投资者可以对股票价格进行概率分析和预测，从而做出更加理性的投资决策。
保险精算
总结词：保险精算
深化理论分析
虽然大数定律和中心极限定理已有较为完善的理论体系，但在某些特定场景下，其理论分析仍需进一步深化和完善。 例如，对于非独立同散布样本的情况，这两个定理的适用性和证明方法仍需进一步探讨和研究。
与其他理论的结合
大数定律和中心极限定理可以与其他概率论和统计学中的理论相结合，形成更为完善的理论体系。例如 ，可以与贝叶斯统计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等理论相结合，用于解决更为复杂和实际的问题。
本课件采用了理论分析和实证研究相 结合的方法，对大数定律和中心极限 定理进行了深入探讨。通过分析大量 的实证数据，我们发现这两个定理在 许多实际场景中都得到了验证和应用 ，为相关领域的研究和实践提供了重 要的理论支持和实践指点。
未来研究方向
拓展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，大数定律和中心极限定理的应用领域将不断拓展。例如，在人工智能和大数据领域， 这两个定理可以用于设计和优化算法，提高数据分析和预测的准确性和效率。
大数定律和中心极限定理课件
决策制定
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
理学大数定律及中心极限定理PPT课件
k 1
其中 X 1 ,, X n 相互独立且都服从于两点分布，且
EX k p，DX k pq
n
X k n
由定理1有结论成立。
lim P{ k1
n
n
x}
1
x t2
e 2 dt
2
第14页/共29页 目 录 前一页 后一页 退 出
第五章 大数定律及中心极限定理
推论：
lim
P{
n
np
n
npq
P{X r} 0.999
目 录 前一页 后一页 退 出 第16页/共29页
第五章 大数定律及中心极限定理
而 P{X r}
P{a n b}
( b np ) ( a np )
npq
npq
( r 200 0.6 ) ( 200 0.6 )
200 0.6 0.4
200 0.6 0.4
设不超过的界限为，则应有：
P
X 6000
-
1 6
0.99
由德莫佛-拉普拉斯定理 目 录 前一页 后一页 退 出 第20页/共29页
第五章 大数定律及中心极限定理
P
X 6000
-
1 6
n 6000, p 1 / 6.
lim
P{
n
np
x}
( x)
n
npq
P
X 6000 1/ 6
6000
EX k , DX k 存在，令：
n
n
Yn ( Xk EXk ) /
k 1
k 1
n
DXk ,
k 1
若对任意 x R1 有
1 x t2
lim
n
P{Yn
大数定律和中心极限定理.ppt
n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为
P
1 n
n i 1
Xi
P
n i1
Xi
n
n
n
P i1 X i n
3n
2
3n 1
n
3
(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX
k
1k0000
0.006k
0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p
x
x
1
t2
e2
dt
Φ
x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p
n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则
第五章大数定律及中心极限定理概率论课件(共31张PPT)
例3在加法运 ,对算每时个加数都取 四到 舍百 五 ,分 其各加数的舍认 入为 误服 [差 0从 .5可 102,0.5102] 上的均匀分布立 且的 相随 互机 ,独 现变有 1量 0个 0 加数 相加 ,试以 99.7%的概率断定其的 误范 差 . 围 所在
解Xi:第 i个 加 数 的 i1 舍 ,2, ,1 入 00 误 差
100
X :100个加数的舍入误差之和X X i
i 1
EX i 0,
DXi
104 , 12
EX 0, DX 1102, 12
设误差范围 [为 ,] P(X)0.99 , 7
第三十页，共31页。
P(X)P( D XX(203)1)
2 (20 3)10.997
(203)0.99,852032.9,7
大数定律以数学的形式表达并证明了，在一定 条件下，大量重复出现的随机(suí jī)现象的统计规律性.
第十页，共31页。
定 理 (Bern大 ou数 ll)i定 设 n律 为 n重 Bernou
试 验 中 A的 事发 件生 的 P(A)次 p(数 0p， 1),
则 对 任 0意 ,有的 nl i m P nnp 1
i1
P (X 20 ) 1 5 P ( 0 X 0 20 ) 500
120520020000000 01(3.5)4 0.000
第二十八页，共31页。
例 2某保险公司经多年计的资统料表明在索，赔户中， 被盗户2占 0%，在随意抽10查 家 0的 索赔户中 求被盗户户数 不少 1户 4于且不 3户 0超的 过概
第七页，共31页。
极限定理— 研究(yánjiū)“大量〞的随机现象(随机事 件)
并用极限的形式表现的一大类定理.
动物医学-概率论《大数定律与中心极限定理》课件
是否有 X1 X2 Xn nX1 ?
课后练习1
一条生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量 是随机的，假设每箱重量的平均值为50千克， 标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车 承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多 可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977。（附：(2) 0.977）
Y X1 X 2 X100 X i i 1
X 123456
111111 P 666666
E( X i )
1 (1 2 3 4 5 6) 6
7 2
E
(
X
2 i
)
1 (12 22 32 42 52 62 ) 6
91 6
D(Xi )
E
(
X
2 i
)
(EXi )2
91 (7 )2 62
§4.3 大数定律与中心极限定理 一、大数定律
1.Chebyshev(切比雪夫）inequality
设R.V .X , E( X ) , D( X ) 2 ( 0)
则 0,
即 或
P{ X }
(
)2
P{ X EX }
DX
2
P{ X } 1 ( )2
证：设X ~ p(x)
设1
,
2
,,
相
9
互
独
立
，E
(
i
)
1,
D(i ) 1,(i 1,2,,9). 则 0，有
(A) P
9
i
1
1
2
i1
(B)
P
1 9
9 i 1
i
1
1
2
(C) P
9
i
9
1
课后练习1
一条生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量 是随机的，假设每箱重量的平均值为50千克， 标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车 承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多 可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977。（附：(2) 0.977）
Y X1 X 2 X100 X i i 1
X 123456
111111 P 666666
E( X i )
1 (1 2 3 4 5 6) 6
7 2
E
(
X
2 i
)
1 (12 22 32 42 52 62 ) 6
91 6
D(Xi )
E
(
X
2 i
)
(EXi )2
91 (7 )2 62
§4.3 大数定律与中心极限定理 一、大数定律
1.Chebyshev(切比雪夫）inequality
设R.V .X , E( X ) , D( X ) 2 ( 0)
则 0,
即 或
P{ X }
(
)2
P{ X EX }
DX
2
P{ X } 1 ( )2
证：设X ~ p(x)
设1
,
2
,,
相
9
互
独
立
，E
(
i
)
1,
D(i ) 1,(i 1,2,,9). 则 0，有
(A) P
9
i
1
1
2
i1
(B)
P
1 9
9 i 1
i
1
1
2
(C) P
9
i
9
1
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
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n
X
Xn P X
对任何 0, 恒有
lim
n
P
Xn X
0
对任何 0, 恒有
lim
n
P
Xn
X
1
二、大数定律
定理3.8 （伯努利大数定律）
设在n重贝努利试验中，事件A发生的次数为X
则事件A在n次试验中发生的频率为 X
X与 X 都是随机变量.
n
的随机变量序列, 存在 En ，Dn 2，则对任何
0，有
lim
n
P
1 n
n i 1
i
1,
即1
n
n i 1
i
P
说明: 在定理的条件下, 当n充分大时, 独立、同
分布的 随机变量 1,2,...,n 的平均值 概率意义下, 会充分接近其数学期望.
(2)服从同样的分布;
(3)期望和方差都存在;
(4)方差不等于0.
则当n充分大时, 都可以利用 标准正态分布
来计算随机变量
ξ n 或 1 n
i i 1
ni i 1
的有关概率.
例 用机器包装味精, 每袋味精的净重为随机变量,
期望值为100克,标准差为10克, 一箱内装有200袋
味精, 求一箱味精净重大于20500克的概率.
设随机变量序列 ξ1,ξ2 ,...,ξn ,... 满足： (1)相互独立;
(2)服从同样的分布;
(3)期望和方差都存在： Eξi μ, Dξi σ2
(4)方差 σ2 0
(i 1,2,...,n,...)
n
则对一切 x,
有
Hale Waihona Puke lim Pn ξi
i 1
nμ
x 0(x)
DX i 102 σ 2 X1 X2 ... X 200
P
200 i1
Xi
20500
200
1P
200 i 1
Xi
20500
1
P
i 1
Xi 200μ
20500200 μ
200 σ
200 σ
X i 200 μ
1
P
200
i1
20500
Xi 20500
200μ
200 σ
200 σ
解 设箱内第 i 袋味精 的净重为X克i
X1, X2 ,..., X200 独立,同分布;
(i 1, 2,..., 200)
EXi 100 μ
ξi
i 1
μ
σ
n
x 0( x)
P
n
i 1
ξ
i
x
P
n i 1
ξinμ
nσ
x nμ
nσ
0
x nμ nσ
无论 ξ1,ξ2,...,ξn,... 服从什么分布, 只要它们
(1) 相互独立;
Xi
1202
DX i
0.12 2
12
1200
1P
i 1
X i1200 μ
12021200 μ
1200 σ
1200 σ
解 设第i个零件 的重量为X公i 斤 (i 1,2,...,1200)
X1, X2 ,..., X1200 独立,同分布; EXi 1 μ
1
0
20500 200 200σ
μ
1
0
500 10 200
1
0
5 2
1 0 3.54 1 0.99980 0.0002
例 用机床加工大小相同的零件, 标准重1公斤,
由于随机误差, 每个零件的重量在 0.95, 1.05 上
n
随着试验次数的增加，事件A发生的频率 X
逐渐稳定在 常数 p附近. 即 X P p
n
即limP n
X p 0
n
n
X XX
n nn
即 limP n
X p
n
1
(•)
p p p
辛钦大数定律： 设 1,2,...,n ,...为独立,同分布
§3.5 大数定律与中心极限定理
一、依概率收敛
定义3.12 设 X , X1, X2,..., Xn,... 是一列随机变量, 如果对任何 0, 恒有
lim
n
P
Xn
X
0
则称随机变量序列 X1, X2,..., Xn,... 依概率收敛到X
记作 X n P
X
或
P
lim
n
X
n σ
当随机变量序列ξ1,ξ2,...,ξn,... 满足定理的条件时,
由极限
n
lim
P
ξi
i 1
nμ
n
nσ
x 0(x)
当n充分大时,有
n
P i1 ξi nμ n σ
x 0( x)
P
1 n
n
1
n
n i 1
i
在
故大量随机变量的平均值
随机变量.
1
n
n i 1
i
几乎不再是
(•)
三、 中心极限定理
“大量独立、同分布的随机变量 ξ1,ξ2,...,ξn
的和
n
ξi
i 1
或平均值
1 n
n i 1
ξi
以正态分布 为极限
分布.”
定理3.11 (独立同分布 中心极限定理)
均匀分布, 求制造1200个零件, 总重量大于1202 公斤的概率.
解 设第i个零件 的重量为 Xi 公斤.(i 1,2,...,1200)
X1, X2 ,..., X1200 独立,同分布; EXi 1 μ
P
1200 i1
Xi
1202
1
P
1200 i1
P
1200 i1
Xi
1202
1
P
1200 i1
Xi
1202
DX i
0.12 2
12
1200
1 P
i 1
Xi 1200μ
12021200 μ
解 设箱内第 i袋味精 的净重为 Xi 克.
X1, X2 ,..., X200 独立,同分布;
(i 1,2,...,200)
EXi 100 μ
DX i 102 2 X1 X2 ... X 200
P
200 i1
Xi
200
1
P
i 1
20500