概率与统计中心极限定理
概率与统计：中心极限定理
案例分析—积分的蒙特卡罗计算
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点 及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问 题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的概 率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学 期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术 平均值，根据大数定律得到问题的解；
x n p{ X i x} ( ) n i 1
n
例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 300的概率是多少？ 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)(p105) 设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
概率与统计
中心极限定理
5.2. 中心极限定理 一.依分布收敛*
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 lim F ( x ) F( x ),
则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
n n
Xn X.
w 现 令Yn X k , 若Yn的 标 准 化 r .v .Yn* ~ N (0, 1), k 1 n
检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒 时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间. 假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时 内检验员能够至少检查1900件的概率. 解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则
10 此件不需复查 Xi E ( X i ) 15, D( X i ) 25 20 此件需复查
概率与统计中的正态分布和中心极限定理
概率与统计中的正态分布和中心极限定理正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），在概率与统计学中是一种经常出现的分布。
它具有钟形曲线的特征，广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、经济学等。
正态分布的形状是由均值（μ）和标准差（σ）所决定的。
本文将介绍正态分布的特点以及它在概率与统计中的重要作用，进而探讨与之相关的中心极限定理。
一、正态分布的特点正态分布具有以下几个重要的特点：1. 对称性：正态分布是关于均值对称的，即以均值为中心，两边的尾部概率相等。
这意味着在正态分布中，均值、中位数和众数均相等。
2. 峰值：正态分布的曲线呈现出一个明显的峰值，同时两边的尾部逐渐减少。
这意味着大部分的数据会集中在均值附近，而远离均值的数据发生的概率较小。
3. 参数决定：正态分布的形态由均值和标准差所决定。
均值决定了曲线的位置，而标准差决定了曲线的宽度。
标准差越大，曲线越宽。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用示例：1. 自然科学：在物理学、生物学等自然科学研究中，许多实验数据都服从正态分布。
例如，物体的测量误差、实验数据的偏差等都可以用正态分布进行描述和分析。
2. 社会科学：在社会调查、民意测验等社会科学研究中，许多指标的分布也符合正态分布。
例如，身高、体重、智力水平、收入水平等都可以用正态分布来描述。
3. 经济学：在经济学中，许多经济指标的分布也近似于正态分布。
例如，收入分布、失业率等经济指标都可以采用正态分布进行统计分析。
三、中心极限定理中心极限定理是概率论与统计学中的一条重要定理，它描述了当样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布的规律。
中心极限定理有以下几个关键概念：1. 独立性：样本观测值之间相互独立，意味着一个观测值的取值不受其他观测值的影响。
2. 同分布性：样本观测值来自同一个总体，并且具有相同的概率分布。
概率与数理统计 5.3 中心极限定理.ppt
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
a / r 120 (17.32) 48 0
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )
1 p
p1/ 3
3,
D(Xi )
1
p
p
2
p1/ 3
6
100
X1, X 2,, X100 相互独立, X X k
k 1
E( X ) 300, D( X ) 600
根据第二章知识若 X ~ N(, 2) 则X的标准化 随机变量
Y ( X EX ) / DX ( X ) / ~ N (0,1)
若X1, X2, …Xn为独立同分布的随机变量，
n
X i ~ N (, 2 ) ，则 X i ~ N (n, n 2 ) i 1
其标准化随机变量
X n X n1 Yn (n 1)
其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天 的价格为100，求18天后该商品的价格 在 96 与 104 之间的概率.
解 设 X 0 表示今天该商品的价格, X 18为18
天后该商品的价格, 则
18
X18 X17 Y18 X16 Y17 Y18 X 0 Yi
0! 1!
3°用正态分布近似计算
PX 2 1 PX 2 1 PX 1
1 (1 np ) npq
概率论与数理统计 中心极限定理
每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的
绝对值不超过 10 kg 的概率。
作业： 第115页，习题5-2，A组：2.
则
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) 或
i 1
即对任意的 x，有
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
Hale Waihona Puke nlimP
i 1
n
X i n n
x ( x)
例 5.2.1 为了测定一台机床的质量，把它分解成 75 个部件来称量。
第五章 中心极限定理
中心极限定理解决的问题：
n
大量的随机变量的和 X i 的近似分布是什么？ i 1
结论
n
一定条件下， X i 近似服从正态分布。 i 1
一 独立同分布中心极限定理（列维-林德贝格）
设随机变量序列 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且数学
期望和方差存在：E(Xi ) , D(Xi ) 2 (i 1,2, , n)
概率论与数理统计：中心极限定理
中心极限定理无论随机变量12,,,,n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。
定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1ni i X =∑的标准化变量nin Xn Y μ-=∑的分布函数()n F x 对于任意X 满足2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪=≤==⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为20σ>的独立同分布的随机变量的和1ni i X =∑的标准化随机变量,不论12,,,,n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有~(0,1)nin Xn Y N μ-=∑近似,从而,当n 充分大时21~(,)nii XN n n μσ=∑近似.定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,令11nn i i X X n ==∑,则当n 充分大时~(0,1)N 近似,即2~(,/)n X N n μσ近似.例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率.解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则1001,i i Y X ==∑12100,,,X X X 相互独立,由()100,i E X=10,σ= 100n =知()100()10 000,i E X E X =⨯=()100()10 000,i D X D X =⨯=由独立同分布中心极限定理,~(10000,10000)Y N 近似,{}{10 200}110 200P Y P Y >=-≤10 00010 20010 0001100100Y P --⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭1(2)10.977 20.022 8.Φ≈-=-=定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立,它们具有数学期望和方差2(),()0,1,2,k k k kE X D X k μσ==>=，记.122∑==nk k nB σ若存在正数δ,使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE B δδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x ,满足2/211lim ()lim d ().n nk k x t k k n n n n X F x P x t x B μΦ-==→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪=≤==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑⎰ 定理5.7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量(1,2,)~(,)(01),n n b n p p η=<<则对任意x ,有22lim d ().t x n P x t x Φ--∞→∞⎧⎫⎪≤==⎬⎪⎭⎰证明 由于n η可视为n 个相互独立、服从同一参数p 的(01)-分布的随机变量12,,,n X X X 的和,即有1nn i i X η==∑,其中(),()(1),i i E X p D X p p ==-1,2,i =,故由独立同分布中心极限定理可得22lim lim d ().n i n n t xX np P x P x t x Φ→∞→∞-⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎪⎪≤=≤⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎭==∑⎰, 定理5.7表明:若随机变量n η服从二项分布，即~(,)n b n p η，则当n 充分大时,有~(0,1)npN η-近似,从而,当n 充分大时~(,(1))n N np np p η-近似例5.4 假如某保险公司开设人寿保险业务，该保险有1万人购买（每人一份），每人每年付100元保险费,若被保险人在年度内死亡, 保险公司赔付其家属1万元.设一年内一个人死亡的概率为0.005试问:在此项业务中保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润不少于10万的概率是多少？解 设X 表示一年内被保险人的死亡人数，则,~(10000,0.005)X b ,于是()100000.00550,()100000.0050.99549.75E X D X =⨯==⨯⨯=由棣莫佛—拉普拉斯定理,~(50,49.75)X N 近似.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于10 000100100⨯=万元,即死亡人数大于100人的概率所以保险公司亏本的概率为(){100}1{100}117.050P X P X P Φ>=-≤=-≈-= 这说明,保险公司亏本的概率几乎是零.如果保险公司每年的利润不少于10万元,即赔偿人数不超过90人，则保险公司每年利润不少于10万的概率为(){90} 5.671P X ≤≈Φ≈Φ=.可见,保险公司每年利润不少于10万元的概率几乎是100%.。
概率论与数理统计：中心极限定理
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
中心极限定理
中心极限定理
这是概率与统计的一个基本定理，阐明当样本数量较大时，不管总体分布的形状如何，分布（来自具有有限方差的总体的随机样本的均值）将近似服从正态分布。
许多常用统计过程都要求数据近似为正态，但中心极限定理使您能够将这些有用的过程应用于呈强烈非正态的总体。
样本数量必须为多大取决于原始分布的形状。
如果总体分布是对称的，则样本数量为 5 即可获得较好的近似；如果总体分布非常不对称，则需要较大的样本数量– 50 或更多–。
例如，假设一个总体服从均匀分布。
左侧的均匀概率分布图表明总体是对称的，但呈强烈非正态。
但是，根据中心极限定理，此总体的样本均值的分布 (n=5) 则近似为正态，如第二个直方图所示。
此样本均值直方图包含一个叠加的正态曲线，揭示了其正态性。
均匀总体的分布来自均匀总体的 1000 个样本均值的分布 (n=5)
以下图形揭示了中心极限定理在服从指数分布的总体上的体现。
此分布既不对称也非正态，如左侧的概率分布图所示。
但是，根据中心极限定理，来自此总体的1000 个大小为 50 的样本的样本均值的分布则近似为正态，如第二个直方图所示。
此样本均值直方图包含一个叠加的正态曲线，揭示了其正态性。
指数总体的分布来自指数总体的 1000 个样本均值的分布 (n=50)。
概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用
概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性，并通过数学模型来描述和分析这些现象。
在概率与统计的理论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有广泛的意义和重要性。
一、大数定律的应用大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了大样本下随机现象的平均值趋于期望值的稳定性。
具体而言，大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
在实际应用中，大数定律被广泛运用于统计学、经济学、生物学等领域。
以统计学为例，当我们对一个总体进行抽样调查时，根据大数定律可以知道，样本的平均值会趋于总体的平均值。
通过对样本数据的分析，可以推断和预测总体的特征。
另外，大数定律还可以用于对概率分布进行估计。
例如，在投掷硬币的实验中，我们可以统计投掷n次后正面朝上的频率，根据大数定律可以得到正面出现的概率接近0.5。
二、中心极限定理的应用中心极限定理是概率论中的另一个经典定理，它描述了独立随机变量和的和的分布在一定条件下逼近正态分布。
中心极限定理不仅在理论中有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
在实际应用中，中心极限定理可以用来估计总体的分布以及参数。
例如，在企业的市场调研中，我们可以通过对一定数量的样本进行调查，根据中心极限定理对总体的特征进行估计。
这对于制定营销策略、定价和产品开发等具有重要意义。
此外，中心极限定理还被广泛应用于信号处理、通信工程、金融学等领域。
以信号处理为例，当我们对信号进行采样和处理时，根据中心极限定理可以知道，经过处理后的信号近似服从正态分布，这对于信号的分析和处理具有指导意义。
总结起来，概率与统计中的大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有重要的意义和价值。
大数定律揭示了大样本下随机现象的规律性，可以用于参数估计和预测；中心极限定理描述了独立随机变量和的和的分布的特性，在总体分布的估计和分析中具有重要作用。
对于从事概率与统计相关工作的人员来说，熟练掌握大数定律和中心极限定理的应用，能够更好地理解和解决实际问题。
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中心极限定理
Xn L X
定义5.2.2（中心极限定理）设随机变量
{ Xk}，k = 1,2,…相互独立，有有限数学期
望和方差.若随机变量序列
n
n
Xk E(Xk )
标准化
Yn k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
对y∈R一致地有
电子科技大学
中心极限定理
1
y 1t2
lim
n
P{Yn
y}
np(1 p) np(1 p)
电子科技大学
中心极限定理
Φ
m2 np np(1 p)
Φ
m1 np np(1 p)
航船的稳定性
产品抽检件数
中心极限定理 应用实例
电子科技大学
中心极限定理
例5.2.1 随机游动(高尔顿钉板试验) 将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球 各以 12的概率向左或向右移动一格.
1/2 n 1/2 n 1/2 n
因为
n
Xi
i 1
n 2
近似服从N ( 0, 1 )分布，
1/2 n
电子科技大学
中心极限定理
所以0.99 P{
0.01n
n
Xi
i 1
n 2
0.01n }
1/2 n 1/2 n 1/2 n
2Φ(0.02 n) 1
Φ(0.02 n) 0.995
0.02 n 2.58
n
n
X k E( X k ) L
k 1
k 1
X ~ N (0,1)
n
D( Xk )
as n
k 1
故当n 足够大时，可以认为
电子科技大学
中心极限定理
n
n
Xk E(Xk )
k 1
k 1
~ N (0,1)
nD( Xk )源自k 1近似成立，或
n
n
n
X k ~ N E( X k ), D( X k )
有
fn( A)
1 n
n
Xi
i 1
,由题意可得
0.99 P{| fn ( A) P( A) | 0.01}
P
1 2
0.01
1 n
i
n 1
X
i
1 2
0.01
电子科技大学
中心极限定理
P
n 2
0.01n
n
Xi
i 1
n 2
0.01n
P{
0.01n
n
Xi
i 1
n 2
0.01n }
中心极限定理
二. 中心极限定理 定理5.2.1（林德伯格—列维定理或 独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分布
的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2, 则
{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k 1
Xk
nm
x
Φ( x)
解得 n ≥ 16,641 (次)
(250,000次)
电子科技大学
中心极限定理
例5.2.3 一生产线生产的产品成箱包装，每 箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克， 标准差为5千克. 若用最大载重量为5吨的汽车 装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 以装多少箱，才能保障不超载的概率大于
0.977.
n
ns
电子科技大学
中心极限定理
高尔顿钉板试验
重复试验次数估计
装车问题
报亭售报问题
定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）
设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
lim P n
Yn np np(1 p)
x
Φ( x)
电子科技大学
中心极限定理
证明 对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示
为
Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn
其中Xi ~ B( 1, p )，相互独立，并且 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p)
相互独立同分布的随机变量序列{ Xi }, i =1,2,… 满足中心极限定理. 即有
lim P n
k 1
k1
k 1
近似成立.
许多相互独立的微小 因素Xk的叠加总和.
电子科技大学
中心极限定理
注3 给出了概率的近似计算公式.
若随机变量序列{Xk }，k = 1,2,…服从中心 极限定理，则有
n
n
P
x1
k 1
Xk E(Xk )
k 1
n
D( Xk )
k 1
x2
( x2 ) ( x1)
电子科技大学
解 有P( A )=1/2，令
1, 第i次出现正面;
Xi 0,
否则,
(i 1,2, n)
则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立 且同分布的. 而且有
电子科技大学
中心极限定理
E(Xi
)
1 2
,
D(
X
i
)
1 4
,
i 1,2,
所以随机变量序列{ Xi }，满足独立同分布 中心极限定律.
2
e 2 dt ( y)
称随机变量序列 {Xk}服从中心极限定理.
注1 随机变量序列 {Xk}服从中心极限定理，
指其前n项和
n
X k的标准化随机变量
k 1
依分布收敛于标准正态分布随机变量X；
注2 解释了现实中哪些随机变量可看服从正 态分布；
电子科技大学
中心极限定理
若随机变量序列{Xk }，k = 1,2,…服从中心 极限定理，有
Yn np np(1 p)
x
电子科技大学
中心极限定理
n
n
lim
n
P
X
k 1
k E(X
k 1
n
D( Xk )
k 1
k
)
x
Φ( x)
结论成立.
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{m1 X m2}
P
m1 np
np(1 p)
标准化
X np
m2 np
D[Yn )] D( Xk ) n, k 1
由林德伯格—列维定理有
P{ Yn y} ( y) as n
n
即Yn*
Yn n
, n 1,2,
正态分布随机变量.
依分布收敛于标准
电子科技大学
中心极限定理
例5.2.2 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用 中心极定理来估计 n ，使下式成立.
P{| fn ( A) P( A) | 0.01} 0.99 其中 A ={ 出现正面 }
电子科技大学
中心极限定理
令
Xk
1, 在第k层向右位移一格;
1，
在第k层向左位移一格.
有
Xk
－1 1
P{Xk=i}
1/2 1/2
{Xk, k∈N+} 是相互独立同分布随机变量
序列，令
n
Yn X k , k0
小球在第n 次碰 撞后所处位置
试验演示
电子科技大学
均值为
方差为
中心极限定理
n
E[Yn ] E[ Xn ] 0, k 1 n
解 设Xi ，i=1,2,…,n 是装运的第i 箱重量
(单位:千克), n是所求箱数.
n 箱的总重量为
电子科技大学
中心极限定理
Tn X1 X2 Xn
E( Xi ) 50, D( Xi ) 5, E(Tn ) 50n, D(Tn ) 5 n, (单位:千克)