2020高三理科数学一轮复习讲义第三章3.1《变化率与导数、导数的计算》

2020高三理科数学一轮复习讲义第三章3.1《变化率与导数、导数的计算》最新考纲1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知识梳理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝limx ∆→Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf(x)＝log a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝1x ln a 4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′. [微点提醒]1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.1f（x）′＝－f′（x）[f（x）]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－9B.－3C.9D.15解析因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y－12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9.答案C3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝______m/s 2.解析v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.答案－9.8t ＋6.5－9.84.(2019·保定质检)已知函数f (x )＝x (2018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2019，则x 0等于()A.e 2B.1C.ln 2D.e解析f ′(x )＝2018＋ln x ＋x ×1x＝2019＋ln x .由f ′(x 0)＝2019，得2019＋ln x 0＝2019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x ，则f ′(1)＝e.答案e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1.答案y ＝x ＋1考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例1－1】分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解(1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋ex x＝e x ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln (1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2抽象函数的导数计算【例1－2】(2019·福州联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝()A.－eB.2C.－2D.e解析由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.答案B规律方法1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.【训练1】(1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________.(2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.解析(1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝x －12sin x ′＝x ′－12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.答案(1)1－12cos x(2)－4考点二导数的几何意义多维探究角度1求切线方程【例2－1】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为()A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x解析因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .答案D角度2求切点坐标【例2－2】(1)(2019·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析(1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).答案(1)A(2)(1，1)角度3求参数的值或取值范围【例2－3】(1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·东北三省四校联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b＝________.解析(1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解.∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).(2)f ′(x )＝1－ax2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.答案(1)B(2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】(1)(2018·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为()A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析(1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax .根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组x 30＋ax 20＝－x 0，①3x 20＋2ax 0＝－1，②解得x 0＝1，a ＝－2或x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).(2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案(1)D(2)y ＝2x[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.[易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n－1与(a x)′＝a x ln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）[g（x）]2，(cos x)′＝sin x；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)′＝3x ln3B.(x2ln x)′＝2x ln x＋xC.cos xx′＝x sin x－cos xx2D.(sin x·cos x)′＝cos2x解析因为cos xx′＝－x sin x－cos xx2，C项错误.答案C2.(2018·日照质检)已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于()A.e2B.eC.ln22D.ln2解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案B3.函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为()A.y＝xB.x＝0C.y＝0D.不存在解析函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0.答案C4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是() A.1秒末 B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末解析s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.答案D5.(2019·合肥一模)函数f(x)＝x－g(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g(2)＋g′(2)＝()A.7B.4C.0D.－4解析∵f(x)＝x－g(x)，∴f′(x)＝1－g′(x)，又由题意知f(2)＝－3，f′(2)＝－1，∴g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7.答案A6.已知e为自然对数的底数，曲线y＝a e x＋x在点(1，a e＋1)处的切线与直线2e x－y－1＝0平行，则实数a ＝()A.e－1e B.2e－1eC.e－12eD.2e－12e解析∵y′＝a e x＋1，∴在点(1，a e＋1)处的切线的斜率为y′|x＝1＝a e＋1，又切线与直线2e x－y－1＝0平行，∴a e＋1＝2e，解得a＝2e－1 e.答案B7.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A，C；又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.答案D8.(2019·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为()A.ln2B.1C.1－ln2D.1＋ln2解析由y＝x ln x得y′＝ln x＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝ln x0＋1，∵切点(x0，y0)(x0>0)既在曲线y＝x ln x上又在直线y＝kx－2上，∴y0＝kx0－2，y0＝x0ln x0，∴kx0－2＝x0ln x0，∴k＝ln x0＋2x0，则ln x0＋2x0＝ln x0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln2＋1.答案D二、填空题9.已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.解析由题意得f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9).答案(－2，9)10.已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.解析f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－1x，则切线的斜率为f′(1)＝a－1，切线方程为：y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1.答案111.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.解析因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.答案－9412.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________.解析由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7，∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案6x －y －5＝0能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝()A.1B.0C.－1D.－2解析由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a－b ＝1－1a 2(x－a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2.答案D14.(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________.解析因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是12，＋∞.答案12，＋∞15.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.第11页（共11页）解析设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离，即为|1－0|1＋1＝22.答案2216.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案[2，＋∞)。