山东省淄博市2010届高三二模(数学理)5月考试

高中三年级模拟考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足,21i iz=+ 则z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 给出下列四个命题:①若集合A B 、满足,A B A = 则B A ⊆；②给定命题p q 、， 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真； ③设a b m R ∈、、，若,b a <则22bm am <；④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a .其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 设平面向量|3|,//),,2(),2,1(b a b a y b a+-==则若等于A ．5B ．6C ．17D ．264.21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．65. 阅读如图的程序框图．若输入6,4==n m ， 则输出的i a ,分别等于A ．12，2B ．12，3C ．24，2D ．24，36.根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为20%，淄博为15%，两地同时下雨为6%，假设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概率为A ． 6%B ．15%C ．30%D ．40%7. 已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是8.一个体积为则这个三棱柱的侧视图的面积为A ．36B ．8C ．38D ．12（第5题图）侧视图正视图 俯视图（第8题图）9．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．[]4,1-C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞10．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(x g ，且有8)()(=b g a g ，若0>a ，0>b ，则ba 41+的最小值为A ．9B ． 6C ．3D ．211．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为 A 0 B.2 C. 12- D. 12+12.已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则ba的取值范围是A ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（注意：在试题卷上作答无效） 13．2(2)x x e dx -=⎰.14．数列}{n a 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2010a 的值为 .15．设奇函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ．16．过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.（注意：在试题卷上作答无效）17.(本小题满分12分)已知()sin cos m x x x ωωω=+，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=- ，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅，且函数()f x 的图象与直线2y =相邻两公共点间的距离为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 、的对边，且3a b c =+=， ()1f A =，求ABC∆的面积.18. (本小题满分12分)为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中27名境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡.. （Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率； （Ⅱ）在该团的境内．．游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ， 求ξ的分布列及数学期望E ξ.19. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，22,901====∠AC BC AA ACB o.（Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）在1AA 上是否存在一点D ，使得二面角11B CD C --的大小为60°.20.（本小题满分12分）已知二次函数()()20,f x x ax a a x R =-+>∈有且只有一个零点，数列{}n a 的前n 项和C 11A 1BA DC（第19题图）()()*n S f n n N =∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()*∈-=N n a c nn 41，定义所有满足10m m c c +⋅<的正整数m 的个数，称为这个数列{}n c 的变号数，求数列{}n c 的变号数.21. (本小题满分12分)已知直线l 与函数x x f ln )(=的图象相切于点)0,1(，且l 与函数2721)(2++=mx x x g )0(<m 的图象也相切.（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当10<<a 时，求证：21)2()1(-<-+a f a f .22.(本小题满分14分)(理科)如图，已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线：2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线4:=x g 上的射影依次为点D 、K 、E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==，当m 变化时，探求12λλ+的值是否为定值？若是，求出12λλ+的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.保密★启用前2010届山东省淄博高中三年级数学第二次理科模拟考试理科数学参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足,21i iz=+ 则z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 给出下列四个命题:①若集合B A ,满足,A B A = 则B A ⊆；②给定命题q p ,, 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真； ③设,,,R m b a ∈ 若,b a <则22bm am <；④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a .其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 设平面向量|3|,//),,2(),2,1(b a b a y b a+-==则若等于A ．5B ．6C ．17D ．26 4. 21()nx x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．65. 阅读如图的程序框图．若输入6,4==n m ， 则输出的i a ,分别等于A ．12，2B ．12，3C ．24，2D ．24，36. 根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为20%，淄博为15%，两地同时下雨为6%，假设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概率为A ． 6%B ．15%（第5题图）C ．30%D ．40%7. 已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是8. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为A ．36B ．8C ．38D ．129．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．[]4,1-C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞10．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(x g ，且有8)()(=b g a g ，若0>a ,0>b ，则ba 41+的最小值为A ．9B ． 6C ．3D ．211．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为 A 0 B.21- D. 12+12．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则ba的取值范围是 A ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（注意：在试题卷上作答无效）A侧视图正视图 俯视图（第8题图）13．2(2)x x e dx -=⎰25e -；14．数列}{n a 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2010a 的值为3715．设奇函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是(1,0)(0,1)- ．16．过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为2．三、解答题：本大题共6小题，共74分.（注意：在试题卷上作答无效） 17.(本小题满分12分)已知()sin cos m x x x ωωω=+ ，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅，且函数()f x 的图象与直线2y =相邻两公共点间的距离为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 、的对边，且3a b c =+=， ()1f A =，求ABC∆的面积.解：（Ⅰ）()f x m n =⋅=()sin cos x x xωωω+()cos sin ,2sin x x x ωωω-22cos sin cos cos 22x x x x x x ωωωωωω=-+=2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………… 3分0ω> ∴函数()f x 的周期22T ππωω== 函数()f x 的图象与直线2y =相邻两公共点间的距离为π.∴1ππωω=∴= …………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()1f A = 2sin 216A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 1sin 262A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭1302666A A ππππ<<∴<+<52663A A πππ∴+=⇒=……………………………………………………………8分 由余弦定理知222cos 2b c a A bc+-=223b c bc ∴+-= 又3b c +=联立解得21b c =⎧⎨=⎩或12b c =⎧⎨=⎩……………………………………………… 10分1cos 22ABC S bc A ∆∴== …………………………………………………… 12分（或用配方法()22233b c bc b c bc +-=+-= ，3b c +=2bc ∴=1cos 22ABC S bc A ∆∴==） 18. (本小题满分12分)为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中27名境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡.. （I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率； （Ⅱ）在该团的境内．．游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ， 求ξ的分布列及数学期望E ξ.解：（I ）由题意得，境外游客中有9人持金卡；境内游客共有9人，其中6人持银卡；旅游团中共有21人不持卡. ……………………1分设“所采访的3人中，恰有1人持金卡，至多1人持银卡”为事件A ，“所采访的3人中，恰有1人持金卡，0人持银卡”为事件1B ，“所采访的3人中，恰有1人持金卡，1人持银卡”为事件2B .则()()()12P A P B P B =+121119219621333636C C C C C C C =+………………………4分 92734170=+3685=∴ 在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率是3685…………………………………………………………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，333391(0)84C P C ξ===, 1263393(1)14C C P C ξ=== . 21633915(2)28C C P C ξ===，()36395321C P C ξ=== （每个1分） ………………10分 ξ的分布列为…………………………………………………………11分 ∴ 131550123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= . ………………………………12分 19. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，22,901====∠AC BC AA ACB o .（Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）在1AA 上是否存在一点D ，使得二面角11B CD C --的大小为60°.解法一：（Ⅰ）证明：∵11190AC BACB ∠=∠=∴1111B C AC ⊥又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥ ………………1分∴11B C ⊥平面11ACC A .∴11B C CD ⊥ ………………2分 由122AA BC AC ===，D 为1AA 中点，可知1DC DC ==C 1B 1A 1BADC（第19题图）∴222114DC DC CC +==即1CD DC ⊥ ………………4分 又11B C CD ⊥ ∴ CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD故平面1B CD ⊥平面11B C D ……………………………6分（Ⅱ）解：当12AD AA =时二面角11B CD C --的大小为60°. ……………7分 假设在1AA 上存在一点D 满足题意，由（Ⅰ）可知11B C ⊥平面11ACC A .如图，在平面11ACC A 内过1C 作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连1EB ，则CD EB ⊥1所以11B EC ∠为二面角11B CD C --的平面角 ………………8分 ∴1160B EC ∠=由112B C =知，1C E =………………………10分 设AD x =，则DC =∵1DCC ∆的面积为11=解得x，即12AD AA ==∴在1AA 上存在一点D 满足题意……………………12分 解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，1CA CB CC 、、所在直线为x y z 、、 轴建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(1,0,1)C A B C D .即)1,0,1(),01,1(),0,2,0(111=-==DC B C ……2分 由0000)1,0,1()0,2,0(11=++=⋅=⋅B C 得B C ⊥11BAC DA 1 EB 1C 1 （第19题图）（第19题图）由0000)1,0,1()1,0,1(1=++=⋅-=⋅DC 得DC ⊥1 ………………4分 又111DC C B C =∴CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD∴平面1B CD ⊥平面11B C D ………………………………6分（Ⅱ）当12AD AA =时二面角11B CD C --的大小为60°. ……………7分 设AD a =，则D 点坐标为(1,0,)a ，1(1,0,),(0,2,2)CD a CB ==设平面1B CD 的法向量为(,,)m x y z =则由 1022000m CB y z x az m CD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 令1z =-得(,1,1)m a =-…………8分又∵(0,2,0)CB =为平面1C CD 的法向量则由1cos602m CB m CB ⋅=⇒=⋅…………10分解得a =12AD AA ==. ∴在1AA 上存在一点D 满足题意………………………………12分 20.（本小题满分12分）已知二次函数()()20,f x x ax a a x R =-+>∈有且只有一个零点，数列{}n a 的前n 项和()()*n S f n n N =∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()*∈-=N n a c nn 41，定义所有满足10m m c c +⋅<的正整数m 的个数，称为这个数列{}n c 的变号数，求数列{}n c 的变号数.解：（Ⅰ）依题意，40042==⇒=-=∆a a a a 或又由0a >得()24,44a f x x x ==-+244n S n n ∴=-+当1n =时，111441a S ==-+=； 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-()()11252n n a n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪⎩ …………………………………6分 （Ⅱ）由题设()()*31412,25n n c n n N n -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪-⎩ 由052925211>--=--n n n 可知，当5≥n 时，恒有0>n a ……………8分又31-=c ，52=c ，33-=c ，314-=c即021<⋅c c ，032<⋅c c ，054<⋅c c所以，数列{}n c 共有三个变号数，即变号数为3. …………………………12分 21. (本小题满分12分)已知直线l 与函数x x f ln )(=的图象相切于点)0,1(，且l 与函数2721)(2++=mx x x g )0(<m 的图象也相切.（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当10<<a 时，求证：21)2()1(-<-+a f a f . 解：（Ⅰ）∵xx f 1)(='，直线l 是函数()ln f x x =的图象在点(1,0)处的切线， ∴其斜率为1)1(='=f k∴直线l 的方程为1y x =-． ……………2分又因为直线l 与()g x 的图象相切∴ 22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去） ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，27221)(2+-=x x x g ∴()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-）， ∴1()111x h x x x -'=-=++．（1x >-） ……………6分 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．于是，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． ……………8分 所以，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：当10x -<<时，2)(<x h ，即ln(1)x x +<，…………10分 当10<<a 时，0211<-<-a ∴21211ln 21ln )2()1(-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=-+a a a f a f ． ……………12分，22.(本小题满分14分)如图，已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线：2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线4:=x g 上的射影依次为点D 、K 、E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==，当m 变化时，探求12λλ+的值是否为定值？若是，求出12λλ+的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F ∴1=c ，抛物线2x =的焦点坐标(23b b ∴== 2224a b c ∴=+=∴椭圆C 的方程22143x y +=……………3分（Ⅱ）易知0≠m ，且l 与y 轴交于10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线l 交椭圆于()()1122,,,A x y B x y由()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩∴()()()0114443366222>+=++=∆m m m∴439,436221221+-=⋅+-=+m y y m m y y ……………6分又由()1111111,1,MA AF x y x y m λλ⎛⎫=∴+=-- ⎪⎝⎭1111my λ∴=--同理2211my λ=--∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+21211112y y m λλ ∵329434361122212121m m m my y y y y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-=+=+ ∴38321211122121-=⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+m m y y m λλ……………9分 所以，当m 变化时， 12λλ+的值为定值38-；……………10分 （Ⅲ）先探索，当0=m 时，直线OX l ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK的中点N ，且⎪⎭⎫⎝⎛0,25N ，猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ……………11分 证明：由（Ⅱ）知()()1122,,,A x y B x y ，∴),4(),,4(21y E y D当m 变化时，首先证直线AE 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ，方法1）∵()44:1122-⋅--=-x x y y y y l AE当25=x 时， ()()()11221112242342234x y y y x x y y y y ---⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--+=()()()()()12112112214223423142x y my y y x y y y my --+=---⋅--=()04243924363122=-+-⨯-+-⨯=x m m m m∴点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N 在直线AE l 上，同理可证，点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N 也在直线BD l 上；∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25……………14分 方法2）∵3225422y y k EN =-=32225125111111-=-+=-=my y my y x y k AN()()3236322322321112112---=--=-my y my y my y y k k AN EN ()()()0323436643943236412212121=-+-⨯-+-⨯=-+-=my m mm m my y y y my∴AN EN k k =∴A 、N 、E 三点共线，同理可得B 、N 、D 也三点共线；∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25……………14分。