2015届高考数学第一轮知识点复习学案13.doc
2015届高考数学第一轮知识点复习学案31.doc
探究式五步教学案：2、在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、了解简单的分段函数，并能简单应用。
复习重点：函数的概念复习难点：分段函数求函数值和分段函数与不等式综合应用二、课前知识梳理1、设A、B是两个非空的集合，如果按某一确定的对应法则f，使对于集合A中的元素x在集合B中都有元素y与之对应，那么就称对应为的一个映射，记做2、如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么，和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的，a叫做b的3、设A、B是数集，如果按某一确定的对应法则f，使对于集合A中的数x在集合B中都有数)f与之对应，那(x么称:f A B=∈。
y f x x A →为从集合A到集合B的一个函数，记做：(),其中，x叫，x的取值范围A叫做，与x的值对应的y值叫，函数值的集合{}∈叫。
()f x x A4、函数的三要素是。
5、函数的表示法：6、两类重要函数（1）分段函数：对于自变量x的不同取值范围，对应法则。
（2）复合函数：若y是u的函数，u是x的函数，即()=，u f x=，()y f u则[]()y f g x =，称y 是x 的复合函数，()y f u =为 函数，()u f x =为 函数，u 叫中间变量。
三、典例引领，变式内化例1：设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到B 中的元素2n n +，则在映射f 下，象20的原象是 。
变式1：已知(),x y 在映射f 作用下的象是(),x y xy +，（1）()2,3-在映射f 作用下的象是 ；（2）若在映射f 作用下的象是()2,3-，则它的原象是 。
例2：下列各组是否表示同一个函数，为什么？①()f x x = ()g x =；②()f x =2()g x = ；③()f x =()g x =； ④21()1x f x x -=+ ()1g x x =- 。
变式2：判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ①(3)(5)()3x x f x x +-=+ ()5g x x =- ；②()f x =()g x =；④()f x =()g x =；⑤2()f x = ()25g x x =- 。
2015年高考数学复习学案：三角与向量的综合问题
一、复习要点1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变换，会运用正、余弦定理解三角形；2.理解平面向量的代数和几何意义，会解决平面向量与解三角形、三角函数交汇的综合问题. 二、考点展示1．（13·四川）设),2(,sin 2sin ππααα∈-=，则=α2tan .2．（13·山东）将函数)2sin(ϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 .3. (13·福建)如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，322sin =∠BAC ，23=AB ，3=AD ，则BD 的长为 .4. (13·浙江) 设21,e e 为单位向量，非零向量21e y e x +=， R y x ∈,.若21,e e 的夹角为6π的最大值等于 .三、典型例题例1. (1) (12·江苏) 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2) (13·湖南) 已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1， 则|c |的取值范围是 .变式1 (1) (13·济南模拟)已知A B C ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3+4+5=0，则⋅的值为 .(2) 已知a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(c －a )·(c －b )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为 .例2．已知向量)23sin ,23(cosx x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且]2,0[π∈x .⑴ 求⋅+⑵ 若x f -⋅=2)(23-，求λ的值.变式 2 已知二次函数)(x f 对任意R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+成立. 设向量)2,(sin x =，)21,sin 2(x =，)1,2(cos x =，)2,1(=.当],0[π∈x 时，解不等式)()(f f ⋅>⋅.四、课堂总结五、巩固练习1.（13·安徽）若非零向量，b +==，则与b 夹角的余弦值为 .2．（13·全国Ⅱ）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为 .3. 若向量a ，b ，c ， d 满足：|a |＝1，|b |＝2，b 在a 方向上的投影为12，(a －c )·(b －c )＝0，|d －c |＝1，则|d |的最大值为________．4.（13·重庆）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→. 若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是 .5. 如图所示，向量i ， j ，e 1， e 2均为单位向量，且i ⊥j ，e 1⊥e 2 . ⑴ 用i ， j 表示e 1， e 2；⑵若→OP=x i +y j ,且xy=1； →OP=x 1 e 1+y 1 e 2 .当θ= π4时，求关于x 1 、y 1的表达式，并说明方程表达的曲线形状.6. 设平面向量→a = (3，－1) ，→b = (12 ，32)，若存在实数m （m ≠0）和角θ（θ∈(－2π,2π)），使向量→c =→a ＋(tan 2θ－3)→b ，→d =－m →a ＋(tan θ)→b ，且→c ⊥→d . ⑴ 试求函数m =f (θ)的关系式；⑵ 令t = tan θ，求出函数m = g (t )的极值.1 e i。
2015届高考数学第一轮基础知识复习教案63
【课本导读】1．等差数列的基本概念(1)定义： ．(2)通项公式：a n ＝ .a n ＝a m ＋ .(3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n 2. (4)a 、b 的等差中项为a ＋b 2. 2．等差数列常用性质：等差数列{a n }中(1)若m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k .特别地，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝ .(2)n 为奇数时，S n ＝na 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中， ∴S 奇－S 偶＝ ．(3)n 为偶数时，S 偶－S 奇＝nd 2. (4)若公差为d ，依次k 项和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列，新公差d ′＝ .(5){S n n }为等差数列．【教材回归】1．(课本习题改编)若一个数列的通项公式是a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)，则下列说法中正确的是( )A ．数列{a n }一定不是等差数列B ．数列{a n }是公差为k 的等差数列C ．数列{a n }是公差为b 的等差数列D ．数列{a n }不一定是等差数列2．设a ≠b ，且数列a ，x 1，x 2，b 和a ，y 1，y 2，y 3，y 4，b 分别是等差数列，则y 4－y 3x 2－x 1＝__________. 3．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．245．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2【授人以渔】题型一 等差数列的基本量例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.求通项a n ； ②若S n ＝242，求n .(2)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n}的前n 项和，求T n .思考题1 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．题型二 等差数列的性质例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176思考题2 (1)等差数列{a n }共有63项，且S 63＝36，求S 奇和S 偶．(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013题型三 等差数列的证明例3已知数列{a n }，a n ∈N *，S n ＝18(a n ＋2)2.求证：{a n }是等差数列．思考题3 已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝a n ＋1.求证：{a n }是等差数列，并求a n .．题型四等差数列的综合应用例4 等差数列{a n}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？思考题4 (1)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9(2)已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当S n最大时n的值为( )A．16 B．8 C．9 D．10【本课总结】1．深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点．2．等差数列中，已知五个元素a1，a n，n，d，S n中的任意三个，便可求出其余两个．3．证明数列{a n}是等差数列的两种基本方法是：(1)利用定义，证明a n－a n－1(n≥2)为常数；(2)利用等差中项，即证明2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．4．等差数列{a n}中，当a1<0，d>0时，数列{a n}为递增数列，S n有最小值；当a1>0，d<0时，数列{a n}为递减数列，S n有最大值；当d＝0时，{a n}为常数列．【自助餐】1．由下列各表达式给出的数列{a n}：①S n＝a1＋a2＋…＋a n＝n2；②S n＝a1＋a2＋…＋a n＝n2－1；③a2n＋1＝a n·a n＋2；④2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)．其中表示等差数列的是()A．①④B．②④C．①②④D．①③④2．若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为()A．12 B．18 C．22 D．443．设{a n}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＝50，那么a6＋a9＋a12＝() A．40 B．30 C．20 D．104．在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的三边成等差数列，则sin A＋sin B＝________.5．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S m ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．8．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33 333所在的页和行．。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案13
第二章 函数与导数第4课时 函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13～14页)1. (必修1P 45习题8改编)函数f(x)＝mx 2＋(2m －1)x ＋1是偶函数，则实数m ＝________．答案：12解析：由f(－x)＝f(x)，知m ＝12.2. (必修1P 43练习5改编)函数f(x)＝x 3－x 的图象关于________对称.答案：原点解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x 3＋x ＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________．答案：1解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.4. (必修1P 43练习4)对于定义在R 上的函数f(x)，给出下列说法： ① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)答案：①③解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x>0，x ＋2，x<0，由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．5. (必修1P 54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________．答案：x 3＋x －1解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x 3－x ＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x 3＋x －1.1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1) 考查定义域是否关于原点对称．(2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关．(2) 注意函数y＝f(x)与y＝1f（x）的单调性之间的关系．(3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性．(4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性．5. 函数的周期性设函数y ＝f(x)，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f(x ＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T 为函数f(x)的一个周期．(D 为定义域)题型1 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)＝x 3－1x ； (2) f(x)＝1－x 2|x ＋2|－2； (3) f(x)＝(x －1)1＋x 1－x； (4) f(x)＝3－x 2＋x 2－3.解：(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0且x ≠－4.故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0.从而有f(x)＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ， 这时有f(－x)＝1－（－x ）2－x＝－1－x 2x ＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．备选变式（教师专享）判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)＝x 4＋x ；(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x<0），－x 2＋x （x>0）；(3) f(x)＝lg(x ＋x 2＋1)．解：(1) 定义域为R ，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x 2＋x)＝－f(x)(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x 2＋x)＝－f(x)(x ＞0)．故函数f(x)为奇函数．(3) 由x ＋x 2＋1>0，得x ∈R ，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x ＋x 2＋1)＋lg(x ＋x 2＋1)＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．题型2 函数奇偶性的应用例2 (1) 设a ∈R ，f(x)＝a·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )，试确定a 的值，使f(x)为奇函数；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．解：(1) 要使f(x)为奇函数，∵ x ∈R ，∴ 需f(x)＋f(－x)＝0.∵ f(x)＝a －22x ＋1， ∴ f(－x)＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x ＋1）2x ＋1＝0， ∴ a ＝1.(2) 由f(x)的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<4－a 2<1，解得3<a< 5.由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得f(a －2)<f(4－a 2)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a －2|)<f(|4－a 2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a<－3或a>－1且a ≠2.综上，实数a 的取值范围是3<a<5且a ≠2.变式训练(1) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x>0是奇函数，求a ＋b 的值；(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x 2－x ＝－ax 2－bx.从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0.(2) 由f(x)的定义域是[－2，2]，知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3. 因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m 2)，即f(1－m)<f(m 2－1)．由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，所以在[－2，2]上是递减函数，所以1－m>m 2－1，解得－2<m<1.综上，实数m 的取值范围是－1≤m<1.题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0，2]时，f(x)＝2x －x 2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x ∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)的值．(1) 证明：因为f(x ＋2)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2) 解：因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝ 0所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.备选变式（教师专享）已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23.(1) 求证：f(x)为奇函数；(2) 求证：f(x)在R上是减函数；(3) 求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．(1) 证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2) 证明：设x1、x2∈R，且x1＞x2，则x1－x2＞0，于是f(x1－x2)＜0.从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2) ＝ f (x1－x2) ＋f(x2)－f(x2) ＝f (x1－x2)＜0.所以f(x)为减函数．(3) 解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.1. (2013·苏州期初)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4，则f(7)＝________．答案：－3解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.2. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：作出f(x)＝x 2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x 表示函数y ＝f(x)的图象在y ＝x 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3. (2013·天津)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2解析：因为f(log 12a)＝f(－log 2a)＝f(log 2a)，所以原不等式可化为f(log 2a)≤f(1)．又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a|≤1，解得12≤a ≤2.4. (2013·盐城二模)设函数y ＝f(x)满足对任意的x ∈R ，f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9.已知当x ∈[0，1)时，有f(x)＝2－|4x －2|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0136＝________． 答案：5解析：由题知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，因为f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝5，如此循环得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6712＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×168－12＝5，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0136＝ 5.1. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x>0，则f(2 014)＝________． 答案：1解析：由已知得f(－1)＝log 22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 014)＝f(4)＝1.2. 已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．答案：7解析：由条件，当0≤x ＜2时，f(x)＝x(x ＋1)(x －1)，即当0≤x ＜2时，f(x)＝0有两个根0，1，又由周期性，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根2，3，当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根4，5，而6也是f(x)＝0的根，故y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.3. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f(x ＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵ 当x ≥0时，f(x)＝x 2且f(x)是定义在R 上的奇函数，又f(x ＋t)≥2f(x)＝f(2x)，易知f(x)在R 上是增函数，∴ x ＋t ≥2x ，∴ t ≥(2－1)x.∵ x ∈[t ，t ＋2]，∴ t ≥(2－1)(t ＋2)，∴ t ≥ 2.4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a)≤f(x －2)恒成立，求实数a 的取值范围．解：∵ f(x)是偶函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a)≤f(x －2)等价于f(|1＋xlog 2a|)≤f(2－x)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴ |1＋xlog 2a|≤2－x ，∴ x －2≤1＋xlog 2a ≤2－x ，∴ 1－3x ≤log 2a ≤1x －1，上述不等式在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立， ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x max ≤log 2a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1min ， ∴ －2≤log 2a ≤0，解得14≤a ≤1.1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0)是否成立．2. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．请使用课时训练（A ）第4课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案50
第八章 立体几何初步第1课时 空间点、直线、平面之间的 位置关系⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫对应学生用书（文）97～99页 （理）99～101页1. (原创)已知点P 、Q ，平面α，将命题“P ∈α，Q ÏαÞPQ Ëα”改成文字叙述是________．答案：若点P 在平面α内，点Q 不在平面α内，则直线PQ 不在平面α内．解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化．2. (原创)有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号)答案：②③解析：①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误．3. (必修2P 28习题1改编)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，与AD 1平行的对角线有________条.答案：1解析：与AD 1平行的对角线仅有1条，即BC 1.4. (必修2P31练习12改编)如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1) 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2) 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．答案：AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝12BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝12AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.5. (必修2P24练习3改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①P∈a，P∈αÞaÌα；②a∩b＝P，bÌβÞaÌβ；③a∥b，aÌα，P∈b，P∈αÞbÌα；④α∩β＝b，P∈α，P∈βÞP∈b.答案：③④解析：当a∩α＝P时，P∈α，P∈α，但aËα，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴PÏa，∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴bÌα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．1. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两条直线的位置关系3.(1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．[备课札记]题型1 平面的基本性质例1 画一个正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，再画出平面ACD 1与平面BDC 1的交线，并且说明理由．解：F ∈CD 1、F ∈平面ACD 1、E ∈AC 、E ∈平面ACD 1、E ∈BD 、E ∈平面BDC 1、F ∈DC 1、F ∈平面DC 1B ，则EF 为所求．备选变式（教师专享）在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的A 1C 1面上有一点P(如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1)上．(1) 过P 点在空间作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由；(2) 过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？ 解：(1) 连结B 1D 1，BD ，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线，如图(a)．∵ B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴ l ∥直线BD.图(a)(2) ∵ BD ∥B 1D 1，∴ 直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线，如图(b)．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD所成的角α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．图(b)题型2 共点、共线、共面问题,例2) 如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC ∥=12AD ，BE ∥=12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1) 证明：四边形BCHG 是平行四边形．(2) C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1) 证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥=12AD.又BC ∥=12AD ，∴ GH ∥=BC.∴ 四边形BCHG 为平行四边形．(2) 解：(解法1)由BE ∥=12AF ，G 为FA 中点知，BE ∥=FG ，∴ 四边形BEFG 为平行四边形．∴ EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴ EF ∥CH ，∴ EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴ C 、D 、F 、E 四点共面．(解法2)如图，延长FE 、DC 分别与AB 交于点M 、M′，∵ BE ∥=12AF ，∴ B 为MA 中点．∵ BC ∥=12AD ，∴ B 为M′A 中点．∴ M 与M′重合，即FE与DC 交于点M(M′)．∴ C 、D 、F 、E 四点共面．变式训练如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1) C 1、O 、M 三点共线；(2) E 、C 、D 1、F 四点共面．证明：(1) ∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2) 连结EF，A、B、C、D，∵E、F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．题型3空间直线位置关系问题例3已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1) 证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2) 解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.备选变式（教师专享）已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取值范围为________．答案：(7，5)解析：由题意知PO⊥平面ABCD，AB＝3，PB＝4，设PO＝h，OB＝x，则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2，因为0<x<3，所以7<25－2x2<25，所以7<PA<5.1. (2013·福州检测)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题是________．(填序号)答案：③④解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确．2. 下列命题错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直线l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案：④解析：根据长方体模型可知，④是错的．3. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的是________．(填序号)答案：②③④解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.4. 若直线l不平行于平面α，且lËα，则下列命题正确的是________．(填序号)①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．答案：②5. 从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1) 矩形的4个顶点；(2) 每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3) 每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4) 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确的结论有________个．答案：4解析：四边形ABCD适合(1)，四面体ACB1D1适合(2)，DB1C1D1适合(3)，DA1C1D1适合(4)，因此正确的结论有4个．1. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的__________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．2. (2013·南昌模拟)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的是________．(填序号)①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．答案：①③④解析：①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l、m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l、m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l、m都异面，这无数条直线在过点P且与l、m都平行的平面上．3. 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线．证明：∵ M∈PQ，直线PQÌ平面PQR，M∈BC，直线BCÌ平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上．同理可证：N、K也在l上．∴ M、N、K三点共线．4. 已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d共面．证明：证法1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a、b、c相交于一点A，∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G，则A、E、F、G∈α.∵ A、E∈α，A、E∈a，∴a.同理可证bÌα，cÌα.∴a、b、c、d在同一平面α内．证法2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a、b确定一个平面α.设直线c与a、b 分别交于点H、K，则H、K∈α.又H、K∈c，∴cÌα.同理可证dÌα.∴a、b、c、d四条直线在同一平面α内．1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法．2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是两个平面的一条交线．3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法．判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理．4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键．请使用课时训练（B ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案37
第五章 数列第1课时 数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)70～71页)1. (必修5P 32习题1改编)一个数列的前四项为－1，12，－13，14，则它的一个通项公式是________．答案：a n ＝(－1)n 1n2. (必修5P 31练习2改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋12n ＋3，则这个数列的第5项是________．答案：a 5＝6133. (必修5P44习题8改编)若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n，则a6＋a7＋a8＝________．答案：48解析：a6＋a7＋a8＝S8－S5＝88－40＝48.4. (必修5P32习题6改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n ＋5，这个数列的最小项是________．答案：－11解析：由a n＝(n－4)2－11，知n＝4时，a n取最小值为－11.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数．2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列．项数无限的数列叫做无穷数列．3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1，2，3，…)有意义，那么可以得到一个数列{f(n)}．4. 数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式a n＝f(n)(n＝1，2，3，…)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5. 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. [备课札记]题型1 由数列的前几项写通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) 1，－3，5，－7，9，… (2) 1，0，13，0，15，0，17，… (3) a ，b ，a ，b ，a ，b ，… (4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，… (5) 1，22，12，24，14，… 解：(1) a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)． (2) a n ＝1－（－1）n2n. (3) a n ＝（－1）n ＋1（a －b ）＋a ＋b 2. (4) a n ＝1－110n . (5) a n ＝(2)1－n . 变式训练写出下列数列的一个通项公式： (1) －12，2，－92，8，－252，… (2) 5，55，555，5555，… (3) 1，3，6，10，15，…解：(1) a n ＝(－1)n n22.(2) a n ＝59(10n－1)． (3) a n ＝n （n ＋1）2. 题型2 由a n 与S n 关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n . (1) S n ＝3n －1； (2) S n ＝n 2＋3n ＋1.解：(1) n ＝1时，a 1＝S 1＝2. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，a n ＝1符合上式． ∴ a n ＝2·3n －1. (2) n ＝1时，a 1＝S 1＝5. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2. 当n ＝1时a 1＝5不符合上式．∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)的导函数f′(x)＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值．解：由题意可知：∵ f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)，∴ f ′(x)＝2ax ＋b ，由f′(x)＝－2x ＋7对应相等可得a ＝－1，b ＝7，∴ 可得f(x)＝－x 2＋7x.因为点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，a 1＝6适合上式， ∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.题型3 数列的性质 例3 如下表定义函数f(x)：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f(a n －1)，n ＝2，3，4，…，求a 2 008. 解：a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n .所以a 2008＝a 4＝2.备选变式（教师专享） 已知数列{}a n 的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求数列前30项中的最大项和最小项．解：∵a n ＝1＋99－98n －99，∴当n ≤9时，a n 随着n 的增大越来越小且小于1，当10≤n ≤30时，a n 随着n 的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a 10，最小项为a 9.1. 已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝n解析：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴ a n ＋1n ＋1＝a n n .∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1.∴ a n ＝n.2. 设a ＞0，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．答案：2＜a ＜3解析：由{a n }是递增数列，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，a 8＞a 7，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ＜－9或a ＞2，∴ 2＜a ＜3.3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2解析：由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1.n ＝1时，a 1＝S 1＝3. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.4. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ，则a 3＝________．答案：－116解析：当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116.5. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋4）⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________．答案：4解析：设最大项为第k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧k （k ＋4）⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥（k ＋1）（k ＋5）⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1，k （k ＋4）⎝ ⎛⎭⎪⎫23k≥（k －1）（k ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10，∴ k ＝4.1. 若a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．答案：(－3，＋∞)解析：解法1：(函数观点)因为{a n }为单调递增数列，所以a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋3＞n 2＋λn ＋3，化简为λ＞－2n －1对一切n ∈N *都成立，所以λ＞－3.故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．解法2：(数形结合法)因为{a n }为单调递增数列，所以a 1＜a 2，要保证a 1＜a 2成立，二次函数f(x)＝x 2＋λx ＋3的对称轴x ＝－λ2应位于1和2中点的左侧，即－λ2＜32，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．2. 已知a n ＝n ×0.8n (n ∈N *)． (1) 判断数列{a n }的单调性；(2) 是否存在最小正整数k ，使得数列{a n }中的任意一项均小于k ？请说明理由．解：(1) ∵a n ＋1－a n ＝4－n5×0.8n (n ∈N *)，∴n ＜4时，a n ＜a n ＋1；n ＝4时，a 4＝a 5；n ＞4时，a n ＞a n ＋1.即a 1，a 2，a 3，a 4单调递增，a 4＝a 5，而a 5，a 6，…单调递减． (2) 由(1) 知，数列{a n }的第4项与第5项相等且最大，最大项是4554＝1024625＝1399625.故存在最小的正整数k ＝2，使得数列{a n }中的任意一项均小于k.3. 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．(1) 设数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2) 在“凸数列”{a n }中，求证：a n ＋3＝－a n ，n ∈N *；(3) 设a 1＝a ，a 2＝b ，若数列{a n }为“凸数列”，求数列前2011项和S 2 011.(1) 解：a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，故S 6＝0.(2) 证明：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋3，所以a n ＋3＝－a n .(3) 解：由(2) 的结论得a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，即a n ＋6＝a n . a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ， ∴S 6＝0.由(2)得S 6n ＋k ＝S k ，n ∈N *，k ＝1，…，6， 故S 2 011＝S 335×6＋1＝a 1＝a.4. 已知数列的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)．(1) 求{a n }的通项公式；(2) 令T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45nS n ，是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．解：(1) 令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)，①得a 2＝4，故a 2－a 1＝2，当n ≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)，②①－②，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n ＋2n.整理得a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列，故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2) 由(1)得S n ＝n(n ＋1)，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45n(n 2＋n)．故T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＋1[(n ＋1)2＋(n ＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1，T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫45n （n 2＋n ）≥⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＋1[（n ＋1）2＋（n ＋1）]，⎝ ⎛⎭⎪⎫45n （n 2＋n ）≥⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －1[（n －1）2＋（n －1）]，即⎩⎪⎨⎪⎧n ≥45（n ＋2），45（n ＋1）≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1<T 2<…<T 8＝T 9>T 10>T 11>…故存在正整数m 对一切正整数n ，总有T n ≤T m ，此时m ＝8或m ＝9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想．3. 通项a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点．运用时不要忘记讨论a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学第一轮基础知识复习教案15
1、 函数函数是历年高考命题的重点，集合、函数的定义域、值域、图象、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数以及具体函数的图象及性质在高考试题中屡见不鲜.因此须注意以下几点.（1）集合是近代数学中最基本的概念之一，集合观点渗透于中学数学内容的各个方面，所以我们应弄懂集合的概念，掌握集合元素的性质，熟练地进行集合的交、并、补运算.同时，应准确地理解以集合形式出现的数学语言和符号.（2）函数是中学中最重要的内容之一，主要从定义、图象、性质三方面加以研究.在复习时要全面掌握、透彻理解每一个知识点.为了提高复习质量，我们提出下述几个问题：①掌握图象变换的常用方法（参照南师大第一学期教材图象变换一节）特别注意：凡变换均在自变量x 上进行.②求函数的最值是一种重要的题型.要掌握函数最值的求法，特别注意二次函数在定区间上的最值问题以及有些问题可能隐藏范围，因此范围问题是二次函数最值的关键.另外二次分式函数的最值亦应引起注意，它的基本解法是“∆”法，当然有一部分可以转化为函数)0,()(>+=b a xb ax x f 的形式，而后与基本不等式相联系，或用函数的单调性求解.③学会解简单的函数方程，认真对待指数或对数中含参数问题的求解方法，特别注意对数的真数必须“>0”，注意方程求解时的等价性.2、 三角三角包括两部分内容：三角函数和两角和与差的三角函数.三角函数主要考查三角函数的性质、图象变换、求函数解析式、最小正周期等. 两角和与差的三角函数中公式较多，应在掌握这些公式的内在联系及推导过程的基础上，理解并熟悉这些公式.特别注意以下几个问题：（1）和、差、倍、半角公式都是用单角的三角函数表示复角（和、差、倍、半角）的三角函数.这就决定了这些公式应用的广泛性，即这些公式可以将三角函数统一成单角的三角函数.（2）了解公式中角的取值范围，凡使公式中某个三角函数或某个式子失去意义的角，都不适合公式.例如:βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)(（αβα,,Z k k ∈+≠+,2ππβ）类似还有一些，请自己注意.（3）半角公式中的无理表达式前面的符号取舍，由公式左端的三角函数中角的范围决定，半角正切公式的有理表达式中，无需选择符合，但2αtg 与αsin 的符合是一致的. （4）掌握公式的正用、反用、变形用及在特定条件下用，它可以提高思维起点，缩短思维线路，从而使运算流畅自然.例如:ααcos sin ±=)4sin(2πα±；)4(11απαα±=±tg tg tg ；=±α2sin 12)cos (sin αα± αα2cos 22cos 1=+；αα2sin 22cos 1=-.（5）三角函数式的化简与求值，这是中学数学中重要内容之一，并且与解三角形相集合，有的还与复数的三角形式运算相联系，因此须注意常用方法和技巧：切割化弦、升降幂、和积互化、“1”的互化、辅助元素法等.3、不等式有关不等式的高考试题分布极为广泛，在客观题中主要考查不等式的性质、简单不等式的解法以及均值不等式的初步应用.经常以比较大小、求不等式的解集、求函数的定义域、值域、最值等形式出现.在中档题中，求解不等式与分类讨论相关联；特别是近几年来强调考查逻辑推理能力，增加了一个代数推理题，也和不等式的证明相关联.在压轴题中，无论函数题、还是解析几何题，也往往需要使用不等式的有关知识.在复习中应注意下述几个问题：（1）掌握比较大小的常用方法：作差、作商、平方作差、图象法. （2）熟练掌握用均值不等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等.三者缺一不可.（3）把握解含参数的不等式的注意事项解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①在不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③ 当解集的边界值含参数时，则需对零值的顺序进行讨论.4、 数列本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前n 项和n S ，则其通项为⎩⎨⎧∈≥-==-).,2(),1(11N n n S S n S a n nn 若11S a =满足,121S S a -=则通项公式可写成1--=n n n S S a .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想： 用等比数列求和公式应分为)1(1)1(1≠--=q qq a S n n 及)1(1==q na S n ； 已知n S 求n a 时，也要进行分类；计算n n q lin ∞→时，应分为1=q 时，1lim =∞→n n q ，1<q 时，0lim =∞→n n q ； 求一般数列的和时还应考虑字母的取值或项数的奇偶性.④ 整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.5、 复数高考试题中有关复数的题目的内容比较分散，有的是考查复数概念的，有的是考查复数运算的，有的是考查复数几何意义的.并且每个题目都有一定的综合性，即使是一个简单的客观题也包括3—4个知识点.从1994年以来复数题主要分布在客观题及中档解答题中.因此，我们应扎扎实实地全面复习基础知识及基本解题方法.在复习过程中应注意下述几个问题：（1）对复数的有关概念的理解要准确，不能似是而非，否则在解题过程中就会发生错误.如：在实数范围内适用的幂的运算法则),,()(+∈∈=R a R n m a a mn n m ，在复数集内不在适用，纯虚数的概念等（2）要掌握复数的模及辐角主值的最值的求法.求复数的模的最值的常用方法有：把复数化成三角形式，转求三角函数的最值问题（三角法）；利用复数的代数形式，转求代数函数的最值问题（代数法）；利用复数的几何意义，转成复平面上的几何问题（图象法）；利用z z z =2或.212121z z z z z z +≤+≤-求有关复数的辐角或辐角主值的最值的主要方法有几何法和三角法.（3）要掌握在复数集中解一元二次方程和二项方程的方法：所有一元二次方程均可用求根公式求方程的根，并且韦达定理也成立，只有实系数一元二次方程可用 判断方程根的情况，复系数一元二次方程只能利用复数相等的条件化为方程组求解.（4）由于复数知识与中学数学中许多内容有着密切联系，这就提供了复数与实数、复数与三角函数、复数与几何的双向转化的基础，因此复习复数内容时是培养我们转化思想的极好机会.6、立体几何（1）“直线和平面”这一章的内容是立体几何的基础.在复习时要反复梳理知识系统，掌握每个概念的本质属性，理解每个判断定理和性质定理的前提条件和结论.（2）在研究线线、线面、面面的位置关系时，主要是研究平行和垂直关系.其研究方法是采取转化的方法.（3）三垂线定理及其逆定理是立体几何中应用非常广泛的定理，只要题设条件中有直线和平面垂直时，就往往需要使用三垂线定理及其逆定理.每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.（4）在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥、棱台的问题转化成平面图形去解决.②利用轴截面将旋转体的有关问题转化成平面图形去解决.③将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.④由于台体是用一个平行于锥体底面的平面截得的几何体，因此有些台体的问题，常常转化成截得这个台体的锥体中去解决.⑤ 利用割补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.⑥ 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.（5）立体几何解答题一般包括“作、证、求”三个步骤，缺一不可，在证明中使用定理时，定理的条件必须写全，特别是比较明显的“线在面内”，“两直线相交”等必须交代清楚.6、 平面解析几何有关直线方程的高考试题可分成两部分，一部分是独立成题，多出在客观题中，并且每年只有一个题，难度属于基本题.考查内容除了对称问题，求直线的倾斜角及斜率外，还出现求直线方程，两条直线平行或垂直的充要条件等.另一部分是在解析几何综合题出现，例如在圆锥曲线中往往涉及到和直线的位置关系，此种情况下一般都使用直线的斜截式或点斜式.因此，我们在复习时须加强基本概念和基本方法的复习.（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式212212)()(y y x x d -+-=，当已知直线l 的斜率k 时，公式变形为1221x x k d -+=或12211y y k d -+=；当已知直线的倾斜角α时，还可以得到αsec 12⋅-=x x d 或αcsc 12⋅-=y y d（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算.（4）会在任何条件下求出直线方程.（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，可以使用数形结合思想，画出方程所表示的曲线，通过图形求解.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.（7）参数方程和极坐标的内容，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案39
第五章 数列第3课时 等 比 数 列(对应学生用书(文)、(理)74～75页)1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________．答案：7解析：q 5＝a 6a 1＝32，q ＝2，S 3＝1×（1－23）1－2＝7.2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝2×3n －1解析：由a 2＝6，a 5＝162，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 4＝162，所以a 1＝2，q ＝3.3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．答案：6解析：a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝(a 3＋a 5)2＝36，又a 1>0，∴ a 3，a 5>0，∴ a 3＋a 5＝6.4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________．答案：3解析：由已知得(2k)2＝(k ＋9)(6－k)，k ∈N *，∴ k ＝3. 5. (必修5P 51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．答案：2n －1解析：由已知得a 1＝1，q ＝2；∴ a n ＝2n －1.1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：a n ＋1a n _＝q(n ∈N ，q 是等比数列的公比)．2. 等比数列的通项公式设{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则第n 项a n ＝a 1q n －1． 推广：a n ＝a m q (n －m)． 3. 等比中项若a ，G ，b 成等比数列，则G 为a 和b 的等比中项且G 4. 等比数列的前n 项和公式(1) 当q ＝1时，S n ＝na 1．(2) 当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q ．5. 等比数列的性质 (1) a n ＝a m q n －m ．(2) 等比数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p ．(3) 等比数列{a n }中依次每m 项的和仍成等比数列，即S m 、S 2m－S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等比数列，其公比为q m (q ≠－1)．[备课札记]题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1) 求{a n }的公比q ； (2) 若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2， ∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12.(2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝83－83⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 解不等式∑i ＝1n3a i>S n (n ∈N )．解：(1) ∵ 2a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝3，∴ a 2＝32.∵ 2a 3＝S 2＋2＝a 1＋a 2＋2＝92，∴ a 3＝94.∵ 2a n ＋1＝S n ＋2，∴ 2a n ＝S n －1＋2(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＝S n －S n －1.∴ 2a n ＋1－2a n ＝a n .则a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∵ a 2＝32a 1，∴ a n ＋1＝32a n (n ∈N )．∵ a 1＝1≠0，∴ a n ＋1a n＝32，即{a n }为等比数列，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(2) 3a n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n 是首项为3，公比为23的等比数列．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n 的前5项为：3，2，43，89，1627.{a n }的前5项为：1，32，94，278，8116.∴ n ＝1，2，3时，∑i ＝1n3a i >S n 成立；而n ＝4时，∑i ＝1n 3a i≤S n ；∵ n≥5时，3a n ＜1，a n ＞1，∴ ∑i ＝1n 3a i≤S n .∴ 不等式∑i ＝1n3a i>S n (n ∈N )的解集为{1，2，3}．题型2 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )． (1) 求a 1，a 2；(2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12. 又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14.(2) 证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a na n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .备选变式（教师专享）在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1) 求证：数列{a n －n}是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ；(3) 求证：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1) 证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2) 解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n－13＋n （n ＋1）2. (3) 证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．题型3 等比数列的性质例3 已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n . (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．解：(1) q 6＝a 8a 2＝1232＝164， a n ＋1<a n ，所以q ＝12.以a 1＝a 2q ＝3212＝64为首项，所以通项公式为a n ＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝27－n (n ∈N )． (2) 设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n ＝7－n.所以{b n }是首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n （n －1）2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.因为n 是自然数，所以n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最大值是T 6＝T 7＝21.备选变式（教师专享）已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N*)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323解析：∵a 5＝a 2q 3，∴14＝2×q 3，∴q ＝12，∴a 1＝a 2q ＝4，∴a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝23－n ，∴a k a k ＋1＝12k －3·12k －2＝122k －5，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝122×1－5＋122×2－5＋…＋122n －5＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋…＋14n ＝32×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14 ＝323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323.题型4 等比数列的应用例4 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x 2；②f(x)＝2x ；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln(x)． 其中是“保等比数列函数”的是__________．(填序号) 答案：①③解析：验证：① f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n＝q 2；③ f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝|q|.备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n＝2－b n .(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .(1) 解：a 1＝S 1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n(n ＋1)－2(n －1)n ＝4n.又a 1＝4适合上式，∴a n ＝4n(n ∈N *)．将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，∴T 1＝b 1＝1. 当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n ＝12b n －1，∴b n ＝21－n .(2) 证明：证法1：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n， 得c n ＋1c n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n .证法2：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]． 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n .1. (2013·大纲版)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和为________．答案：3(1－3－10)解析：q ＝－13，a 1＝4，则S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．2. (2013·新课标1)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________．答案：a n ＝(－2)n －1解析：S n ＝23a n ＋13，S n －1＝23a n －1＋13(n ≥2)，相减得a n ＝23a n －23a n －1，即a n ＝－2a n －1(n ≥2)．又S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1. 3. (2013·新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________．答案：19解析：有条件得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得q ＝±3，a 1＝19.4. 若数列{a n }满足lga n ＋1＝1＋lga n ，a 1＋a 2＋a 3＝10，则lg(a 4＋a 5＋a 6)＝________．答案：4解析：由条件知：a n ＋1a n＝10，即数列{a n }是公比为10的等比数列，所以lg(a 4＋a 5＋a 6)＝lgq 3(a 1＋a 2＋a 3)＝4.1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n 和公比q 的值．解：解法1：在等比数列{a n }中，a 1a n ＝a 2a n －1＝128.又a 1＋a n ＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a n ＝66，a 1a n＝128， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，∴q ≠1. 由a n ＝a 1q n －1和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝126， 得⎩⎪⎨⎪⎧2q n －1＝64，2（1－q n ）1－q ＝126或⎩⎪⎨⎪⎧64q n －1＝2，64（1－q n ）1－q ＝126，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝2或⎩⎨⎧n ＝6，q ＝12.解法2：当q ＝1时，经检验不合适，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q n －1）＝66， ①a 21q n －1＝128， ②a 1（1－q n ）1－q ＝126， ③由②可得q n －1＝128a 21，代入①，得a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128a 21＝66，化简得a 21－66a 1＋128＝0，解得a 1＝2或a 1＝64.当a 1＝2时，代入①，得q n －1＝32，将a 1＝2和qn －1＝32代入③，得2（1－32q ）1－q ＝126，解得q ＝2.又q n －1＝32，即2n －1＝32＝25，∴n ＝6.同理，当a 1＝64时，可解得q ＝12，n ＝6.综上所述，n 的值为6，q ＝2或12.2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1，设b n ＝a n ＋1－2a n .证明：数列{b n }是等比数列．证明：由于S n ＋1＝4a n ＋1，① 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋1.② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1.所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1.因为a 1＝1，且a 1＋a 2＝4a 1＋1，即a 2＝3a 1＋1＝4.所以b 1＝a 2－2a 1＝2，故数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．3. (2013·辽宁)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．答案：63解析：因为等比数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则q＝2，故S 6＝1×（1－26）1－2＝63. 4. 已知数列{a n }的首项a 1＝2a ＋1(a 是常数，且a ≠－1)， a n ＝2a n －1＋n 2－4n ＋2(n ≥2)，数列{b n }的首项b 1＝a ，b n ＝a n ＋n 2(n ≥2)．(1) 证明：{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列；(2) 设S n 为数列{b n }的前n 项和，且{S n }是等比数列，求实数a 的值；(3) 当a>0时，求数列{a n }的最小项．(1) 证明：∵ b n ＝a n ＋n 2，∴ b n ＋1＝a n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋(n ＋1)2－4(n ＋1)＋2＋(n ＋1)2＝2a n ＋2n 2＝2b n (n ≥2)．由a 1＝2a ＋1，得a 2＝4a ，b 2＝a 2＋4＝4a ＋4，∵ a ≠－1， ∴ b 2≠0，即{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列．(2) 解：由(1)知b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（4a ＋4）2n －2，n ≥2.S n ＝a ＋（4a ＋4）（2n －1－1）2－1＝－3a －4＋(2a ＋2)2n ，当n ≥2时，S n S n －1＝（2a ＋2）2n －3a －4（2a ＋2）2n －1－3a －4＝2＋3a ＋4（a ＋1）2n －1－3a －4. ∵ {S n }是等比数列， ∴ S n S n －1(n ≥2)是常数，∴ 3a ＋4＝0，即a ＝－43.(3) 解：由(1)知当n ≥2时，b n ＝(4a ＋4)2n －2＝(a ＋1)2n ，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1，n ＝1，（a ＋1）2n －n 2，n ≥2，∴ 数列{a n }为2a ＋1，4a ，8a －1，16a ，32a ＋7，…显然最小项是前三项中的一项．当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，最小项为8a －1； 当a ＝14时，最小项为4a 或8a －1；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，最小项为4a ； 当a ＝12时，最小项为4a 或2a ＋1；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，最小项为2a ＋1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a 1和公比q.2. 运用等比数列求和公式时，要对q ＝1和q ≠1进行讨论．3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：①方程的思想：等比数列中有五个量a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a 1，q ；②分类的思想：当a 1>0，q>1或者a 1<0，0<q<1时，等比数列{a n }递增；当a 1>0，0<q<1或者a 1<0，q>1时，等比数列{a n }递减；当q<0时，等比数列为摆动数列；当q ＝1时，等比数列为常数列；③函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.。
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§3.1 导数的概念及运算1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x－x 0)． 3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式5．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × )(2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )(5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( × )(6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2.( × )2．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t ＋1， ∴f ′(1)＝2. 3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值 是 ( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B. 4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减， 说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交， 说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. ∵e x>0，∴e x＋1e x ≥2，∴y ′↔[－1,0)，∴tan α↔[－1,0)．又α↔[0，π)，∴α↔[3π4，π)．题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 3x －x 0 ＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 3， 得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx.(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0↔(a ，b )，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为 ( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝0. (2)lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解 (1)y ′＝(e x·ln x )′＝e xln x ＋e x·1x ＝e x (ln x ＋1x )．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；求下列函数的导数． (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .题型三导数的几何意义例3已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值． 解 ∵y ′＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.①又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值． 审题路线图C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52 ↓(消元)ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516. 规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分] (2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋2516.[9分]∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧 1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题 1． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 4．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.12答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B. 5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ↔N *，则f 2 015(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题 6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6. 7．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0. 8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x . ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x ≥2. 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3； (3)y ＝sin x x n ； 解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n·1x ln 10＝xn －1(n lg x ＋1ln 10)．(2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′ ＝－x －2－4x －3－3x －4 ＝－1x 2－4x 3－3x 4.(3)y ′＝(sin xx n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n ＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n ＝x cos x －n sin x x n ＋1.10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.2． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图象是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24＋c ，由f (x )的图象的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0. 又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A. 3．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案 278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．② 将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解之得，t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278. 4．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为(92，－4)．。