高中数学 平面向量基本定理及坐标表示讲义 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学人教A版 必修4第二章课件 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
例1.已知 a (4, 2),b (6, y)，且 a b，求y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点 之间的位置关系。
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )。
1.复习:
⑴向量共线定理
b 向量 与 非零向量 a共线,当且仅当有
唯一的一个实数λ ，使 b a
当 0时， b 与 a 同向， 且| b |是 | a |的 倍; 当 0时， b 与 a 反向， 且| b |是 | a |的| |倍; 当 0时， b 0 ，且 | b | 0。
作法:
,作OA 2.5e1
, OB 3e2.
2.作 OACB.
则，OC就是所求的向量
C
B
-2.5e1
e1
e2
3e2
A
O
例2 : 如图， ABCD的两条对角线相交于点M ,且 AB a，AD b，用a、b表示MA、MB、MC和MD.
解：在 ABCD中，
D
C
AC AB AD a b
b
M
DB AB AD a b A
MA 1 AC a b a b
2
2 22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD 1 DB MB a b
2
22
aB
练习:
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )。
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
人教A版高中数学必修四人教平面向量的基本定理及坐标表示
第一课时 平面向量基本定理教学要求：了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程：一、新课准备：1.复习向量加法.减法及其几何意义.2.运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb 3.向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲授新课： 1. 问题的提出①给定平面的任意两个向量1e ，2e ，作出12123,e e e e -+.②对于平面上两个不共线向量1e ，2e ，是不是平面上的所有向量都可以表示为λ11e +λ22e .？ 2.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . （讨论指出：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2） 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解，(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量） 3.例1：已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .（教师板演→学生反复画图）练习：已知向量1e ，2e 求作向量41e -3.52e .（学生板演→教师修订→学生修正）4.出示例2：如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示，，和5..思考：已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.6.小结：平面向量基本定理 三.巩固练习1. 已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .2. 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).3. 已知如图ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：OA +OB +OC +OD =4OE4.如图，不共线=t (t ∈R)用，表示.5.作业：课本P111 练习 （2）第二课时 2.3.2～2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学要求：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算. 教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：. 一、复习准备：1.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e2.向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.3.提问：如何进行力的分解？ 二、讲授新课：1. 教学平面向量的坐标表示①如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i .j 作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+…○1我们把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)a x y =…○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . (特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=)②出示例2：如图（略）分别用基底I ,j 表示向量...a b c d 并求出它们的坐标.2. 教学平面向量的坐标运算①若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --= 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)③若(,)a x y =和实数λ，则(,)a x y λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i .j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即(,)a x y λλλ=④例4：已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.练习：已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 4)， C(4， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.2. 小结：平面向量的坐标表示 ；平面向量的坐标运算 三.练习1. 若M(3， -2) ，N(-5， -1) 且 21=MN，求P 点的坐标.2. 已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.3. 已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形. 4．课本P111 练习 2 . 3第三课时 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学要求：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程： 一、复习准备：1.提问：平面向量的坐标表示及运算.2.思考：如何用坐标表示两个共线向量？ 二、讲授新课：1. 教学平面向量共线的坐标表示：①设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2)，其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 这时向量ab 共线.（注：消去λ时不能两式相除；要注意什么；向量共线的有两种条件）②讲解例6：已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b，求y.练习：已知a =(3，6)，b =(x ， 4)，且a ∥b，求x.( 学生板演→教师修订→小结公式应用)③讲解例7：已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. （教师画图→师生探究→教师板演→探究：当12p p pp ⇒时，求p 点坐标. ）练习：已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？④思考：设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.（教师分析→教师画图→学生板演） ⑤小结：平面向量共线的坐标表示 二.练习①.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .②.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .③.若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x .④.小结：1．平面向量共线的坐标表. 2.向量共线条件的适用类型. 五．作业1.课本P111 （5）（6）（7）.2.已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断AB 与CD 的位置关系，并给出证明.3.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为多少？4.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为多少?5.作业：P111 (1).。
《平面向量的基本定理及坐标表示(一)》新人教数学A版必修四课件
Ca
A
e1
O
e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
A
C
a
e1
e1
O A'
e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
B' e2 A
C
a
e1
e1
O A'
e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
问题二： 向量a给的定表基示底是e1不，e是2 之唯后一，的任呢？意一个
问题二： 向量a给的定表基示底是e1不，e是2 之唯后一，的任呢？意一个
给定基底后，任意一个向量的 表示是唯一的．
定理的应用：
例1. 如图，已知向量e1、 e2 , 求作向量a，
使
a
2e1
3e2
.
e1
e2
定理的应用：
1
j
Ax
Oi1 2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若| i || j | 1，以向量i、j为基
底 表 示 向 量a .
y
a 2i 3 j 即：a （2,3） 4
C
B
(2) 如图，平面内有A、B两 3
点，能否用坐标来表示向 2 a
量AB 呢？
1
j
Ax
AB OB OA （4i 4 j） (2i 1 j)
Oi1 2 3 4
(4 2)i (4 1) j 2i 3 j
高中数学 平面向量基本定理及坐标表示讲义 新人教A版必修4
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 平面向量基本定理及坐标表示讲义 新人教A 版必修4知识引入向量语言翻译下列语句：①FD DP =－－－－→→ ②存在(0)λλ∈≠R ，使得AB AD λ=－－→→③2OP OE OF =+－－－－－－→→→ ④12AB CA =-12AB CA =－－→→重难点易错点解析 题一题面：点A (－2,1)，B (1,3)，C 共线，(1)AB －→向右平移1个单位，所得向量的坐标为(2)是否存在,λμ∈R ，使得OCOA OB λμ=+－－－－－－→→→，若存在，λμ+= .金题精讲题一题面：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =. 若a 2-b 与c 共线， 则k = .题二题面：已知a →、b →是不共线的向量，AB =－→a λ→+b →，AC －→a →=+b μ→ (,)λμ∈R ， 若AB C 、、三点共线，则( ) A. 2λμ+= B. 1λμ-= C. 1λμ=- D. 1λμ=题面：若a →、b →是不共线的两个向量，已知2PQ a k b →→=+－－→，QR a b →→=+－－→，23RS a b →→=-－－→.若P ，Q ，S 三点共线，则k 的值为( )A. 1-B. 3-C. 43-D. 35- 题三 题面：已知平行四边形的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --，求顶点D 的坐标.题四题面：已知：(MEMF ==－－－－→→，点A 满足(4,2)AE AF +=--－－→→. 则MA －－→= .题五题面：在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，BD BN 31=， 求证C N M ,,三点共线.思维拓展题一题面： 有个人，祖上是海盗，家族几代收藏着一张藏宝图(下图)：海中某个荒岛上埋藏着珍宝.这个人历尽千辛万苦终于找到了这个荒岛，几十年的风雨，两棵橡树倒是枝繁叶茂，而十字架早已化为尘土，随风而逝了. 失望之余，他把自己的故事连同藏宝图一并封在瓶中抛入大海.公元2013年某日，在一大堆垃圾邮件中，你发现了这个漂流瓶，你愿一试吗？讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：(1)(3,2) (2)1金题精讲题一答案： 1题二答案： D，C题三答案：(－4，－1)，(2，－3)，(4，5)题四答案：(2,1)题五答案：略.思维拓展题一答案：以两棵橡树的中点为坐标原点，两棵橡树的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，则宝藏的坐标为(0，－a)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2020年12月27日星期日
2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
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高中数学 平面向量基本定理及坐标表示讲义 新人教A 版必修4 知识引入
向量语言
翻译下列语句：
①FD DP =－－－－→→ ②存在(0)λλ∈≠R ，使得AB AD λ=－－→→
③2OP OE OF =+－－－－－－→→→ ④12AB CA =-12
AB CA =－－→→
重难点易错点解析 题一
题面：点A (－2,1)，B (1,3)，C 共线，
(1)AB －→向右平移1个单位，所得向量的坐标为
(2)是否存在,λμ∈R ，使得OC
OA OB λμ=+－－－－－－→→→，若存在，λμ+= .
金题精讲
题一
题面：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =. 若a 2-b 与c 共线， 则k = .
题二
题面：已知a →、b →是不共线的向量，AB =－→a λ→+b →，AC －→a →=+b μ→
(,)λμ∈R ， 若A
B C 、、三点共线，则( ) A. 2λμ
+= B. 1λμ-= C. 1λμ=- D. 1λμ=
题面：若
a →、
b →
是不共线的两个向量，已知2PQ a k b →→=+－－→，QR a b →→=+－－→，23RS a b →→=-－－→.若P ，Q ，S 三点共线，则k 的值为( )
A. 1-
B. 3-
C. 43-
D. 35- 题三
题面：已知平行四边形的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --，求顶点D 的坐标.
题四
题面：已知：(ME
MF ==－－－－→→，点A 满足(4,2)AE AF +=--－－→→
. 则MA －－→= .
题五
题面：在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，BD BN 3
1=
， 求证C N M ,,三点共线.
思维拓展
题一
题面： 有个人，祖上是海盗，家族几代收藏着一张藏宝图(下图)：海中某个荒岛上埋藏着珍宝.这个人历尽千辛万苦终于找到了这个荒岛，几十年的风雨，两棵橡树倒是枝繁叶茂，而十字架早已化为尘土，随风而逝了. 失望之余，他把自己的故事连同藏宝图一并封在瓶中抛入大海.公元2013年某日，在一大堆垃圾邮件中，你发现了这个漂流瓶，你愿一试吗？
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：(1)(3,2) (2)1
金题精讲
题一
答案： 1
题二
答案： D，C
题三
答案：(－4，－1)，(2，－3)，(4，5)
题四
答案：(2,1)
题五
答案：略.
思维拓展
题一
答案：以两棵橡树的中点为坐标原点，两棵橡树的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，则宝藏的坐标为(0，－a)。