【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第六次月考理数试题(原卷版)
2016届湖南师大附中高三上学期月考(三)数学(理)试题解析
湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A＝｛1，2，3，5，7｝，B＝｛x∈N｜2＜x≤6｝，全集U＝AU B，则A（C u B）＝A.｛1，2，7｝B.｛1，7}C.｛2，3，7｝D. ｛2，7}2.已知复数(cos sin)(1)z i iθθ=-+，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是A.4πθ= B.2πθ= C.34πθ=D．54πθ=3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A．5个B、4个C．3个、D、2个4．为确保信息安全，信息需加密传输。
发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文（1，2，3，4）对应的密文是：（5，7，18，16），则当接收方收到密文（14，9，23，28）时，解密得到的明文是A、（4，6，1，7）B、（7，6，1，4）C、（6，4，1，7）D、（1，6，4，7）5.已知实数x，y满足约束条件220yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则z＝11yx-+的取值范围是A、［－1，13］B、［－12，13］C、［－12，)+∞D、［－12，1）6.已知定义在R上的函数f(x)满足f（x＋2）＋f（x）＝0，且当x∈[0,2)时，f ( x)＝3x一1，则f(2015)的值为A. －2B. 0C. 2D. 87.设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A. 6B. 4C. 3D. 28.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是A. 12B. 24C. 36D. 489.已知函数f （x ）＝x 2一2x ＋m ，在区间［－2，4］上随机取一个实数x ，若事件“ f( x} ＜0”发生的概率为23，则m 的值为 A. 2 B,一2 C. 3 D.一3 l0、已知数列{}n a 的首项1a ＝2，数列{}n b 为等比数列，且1n n n a b a +=，若1011b b ＝2，则21a ＝ A. 29 B. 210 C. 211 D 、21211.设点A 、B 、C 为球O 的球面上三点,O 为球心．若球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为O －ABC 的体积为A ．12B ．D 、12.已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量,||||OA OB a b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13、在△ABC 中，已知35cos ,cos 513A B ==，AC ＝3，则AB ＝ 14.设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长｜PA ｜的最小值是15.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为Sn ，且11101a a +＜0，若Sn 存在最大值，则满足Sn 的n 的最大值为16.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|2|a x a --，其中a ＞0为常数．若函数y ＝[()]f f x 有10个零点，则a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数的图象关于直线x＝π对称，其中,ωλ为常数，且ω∈（12，1）．(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若存3 [0,]5xπ∈，使f(x) =0，求λ的取值范围．18.（本小题满分1L分）PM2. 5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米一75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2. 5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2. 5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中AB = 2AD, ∠BAD = 600 , E为AB的中点．将△ADE沿直线DE 折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE.（1)证明：CE⊥PD;（2)设F, M分别为PC,DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C1：24y x =的焦点为F ，椭圆C2的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线C1和C2在第一象限的交点，且｜MF ｜＝52。
高考数学湖南师大附中高三第六次月考试卷
湖南师大附中高三第六次月测试卷数 学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕,试题总分值150分,测试时量120分钟.第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题共12小题,每题5分,总分值60分,每题给出的选项中只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．给出以下函数：①3x x y -=,②x x x y cos sin +⋅=,③x x y cos sin ⋅=, ④xxy -+=22,其中是偶函数的有 〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．假设α、β终边关于y 轴对称,那么以下等式成立的是〔 〕A ．βαsin sin =B ．βαcos cos =C ．βαtan tan =D ．βαcot cot =3．设全集U=R,(},7log 7log |{},4|{32A xB x x A x 则>=>= B 〕是〔 〕A ．}2|{-<x xB ．}32|{≥-<x x x 或C ．}3|{≥x xD ．}32|{<≤-x x4．函数x x x f ln 3)(⋅+=的单调递增区间是〔 〕A ．)1,0(eB ．),(+∞eC ．),1(+∞eD ．),1(e e5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,假设2:1:36=S S ,那么=39:S S 〔 〕A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:36．假设1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ,那么-++++211531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是〔 〕A ．1B ．－1C ．2D ．－27．在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的 〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分也不必要条件8．把)(x f 的反函数)(1x f -图象向右平移2个单位就得到曲线C,函数)(x g 的图象与曲线C 关于x y =成轴对称,那么)(x g 等于〔 〕A ．2)()(+=x f x gB ．2)()(-=x f x gC ．)2()(+=x f x gD ．)2()(-=x f x g9．点A 为双曲线122=-y x 的顶点,点B 和点C 在双曲线的同一分支上,且A 与B 在y 轴的异侧,那么正△ABC 的面积是 〔 〕A ．33B ．332 C ．33D ．3610．设坐标原点为O,抛物线x y 22=与过其焦点的直线交于两点A 、B,那么OB OA ⋅等于〔 〕A ．43 B ．43-C ．－3D ．311．记函数x x x f sin 3)(2+=在区间[－2,2]上的最大值为M,最小值为m,那么M+m 的 值为 〔 〕 A ．0 B ．3 C ．6 D ．812．13年前有一笔扶贫助学资金,每年的存款利息〔年利率11.34%,不扣税〕可以资助100人上学,平均每人每月94.50元.现在〔存款年利率1.98%,并且扣20%税〕用同样一 笔资金每年的存款利息最多可以资助〔 〕人上学〔平均每人每月100元〕. A ．10 B ．13 C ．15 D ．20第二卷〔非选择题〕二、填空题〔本大题共4小题,每题4分,总分值16分,请把各题答案填在题中横线上〕 13．复数z 满足等式：i zi z 212||2+=-,那么z= .14．某公司规定：一个工人在一个季度里如果有1个月完成任务,那么可得奖金90元；如果有2个月完成任务,那么可得奖金210元；如果有3个月完成任务,那么可得奖金330元； 如果3个月都未完成任务,那么不得奖金.假设某工人每月能否完成任务是等可能的,那么 这个在一个季度里所得奖金的数学期望是 .15．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲,每班至少派1人,那么这9个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕 16．一直角梯形ABCD,AB ⊥AD,AD ⊥DC,AB=2,BC=3,CD=1,E 为AD 中点,沿CE 、BE 把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥,使点A 、D 重合,那么这三棱锥的 体积等于 .三、解做题：〔本大题共6小题,总分值74分,解答要写出文字说明、证实过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕在人寿保险业中,要重视某一年龄的投保人的死亡率,经过随机抽样统计,得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60,试问： 〔1〕3个投保人都能活到75岁的概率；〔2〕3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；〔3〕3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.〔结果精确到0.01〕18．〔本小题总分值12分〕向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=.①假设点A 、B 、C 能构成三角形,求实数m 应满足的条件；②假设△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数m 的值.19．〔本小题总分值12分〕三棱锥P —ABC 中PB ⊥底面ABC,︒=∠90BCA ,PB=BC=CA=a ,E 是PC 的中点,点F 在PA 上,且3PF=FA. 〔1〕求证：平面PAC ⊥PBC ；〔2〕求平面BEF 与底面ABC 所成角〔用一个反三角函数值表示〕.20．〔本小题总分值12分〕设}{n a 是由正数组成的无穷数列,S n 是它的前n 项之和,对任意自然数n a n ,与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.〔1〕写出321,,a a a ；〔2〕求数列的通项公式〔要有推论过程〕； 〔3〕记)(lim ),(212111n b b b a a a a b n n n n n n n -++++=∞→++ 求.21．〔本小题总分值12分〕设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= 〔a 、b 、c 、d ∈R 〕图象关于原点对称,且x =1时,)(x f 取极小值.32-〔1〕求a 、b 、c 、d 的值；〔2〕当]1,1[-∈x 时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直？试证实你的结论；〔3〕假设]1,1[,21-∈x x 时,求证：34|)()(|21≤-x f x f .22．〔本小题总分值14分〕).)),,1(),0,(b b y b x a -⊥+== 〔1〕求点),(y x P 的轨迹C 的方程；〔2〕假设直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点,并且A 、B 在y 轴的同一侧,求实数k 的取值范围.〔3〕设曲线C 与x 轴的交点为M,假设直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点,是否存在实数k ,使得以AB 为直径的圆恰好过点M ？假设有,求出k 的值；假设没有,写 出理由.湖南师大附中高三第六次月测试卷数学参考答案〔理科〕一、选择题答案：1.B2.A3.B4.C5.C6.B7.B8.A9.C 10.B 11.C 12.B 二、填空题答案：13．－1,－1－2i 14．153.75元 15．56 16．126 三、解做题17．〔1〕22.0)6.0()3(33≈=P〔2〕29.016.06.03)6.01(6.0)1(2133≈⨯⨯=-⨯⨯=C P〔3〕94.0064.01)6.01(13≈-=--=P18．解①向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=假设点A 、B 、C 能构成三角形,那么这三点不共线,………………2分),1,2(),1,3(m m AC AB --== …………5分 故知m m -≠-2)1(3……7分∴实数21≠m 时,满足的条件…………8分 〔假设根据点A 、B 、C 能构成三角形,必须|AB|+|BC|＞|CA|…相应给分〕 ②假设△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,那么AC AB ⊥,0)1()2(3=-+-∴m m …………10分 解得47=m …………12分 19．〔1〕证实：∵PB ⊥底面ABC,∴PB ⊥AC …………1分,又∠BCA=90°∴AC ⊥平面PBC …………4分又AC ⊂平面PAC,∴平面PAC ⊥平面PBC …………5分 〔2〕解：设FE 的延长线与AC 的延长线交于M,连MB,那么MB 为平面BEF 与平面ABC 的交线…………6分 在平面PCA 中,由E 是PC 的中点,F 是PA 的四等分点,a AC MC 2121==∴…………7分 取BC 的中点H,那么EH//PB, ∴EH ⊥底面ABC …………8分过H 作HO ⊥MB 于O,由三垂线定理,EO ⊥MB那么∠EOH 为平面BEF 与底面ABC 所成二面角的平面角…………9分在a HO BCM Rt 105,=∆中,在a EH EHO Rt 21,....=∆中…………10分 5tan ==∠∴HOEHEOH …………11分 即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为5arctan …………12分假设利用面积射影法,指出△HDB 是△EFB 在底面ABC 上的射影,并计算出其面积2161a S =射影…………7分 计算出2166a S EFB =∆…………10分 61cos ==∆EFBS S 射影θ…………11分即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为66arccos…………12分 20．解〔1〕根据,0,222>=+n n n a S a , ∴当n=1时,2,22221111===+a a S a 得…………1分 当n=2时,6,16)2(,)2(2222222222==-+==+a a a S a 得…………2分 当n=3时,10,64)2(,)62(2222323333==-++==+a a a S a 得 321,,a a a ∴分别等于2,6,10…………3分〔2〕)2(8)2(,8)2(,2222112≥+=+=∴=+--n a S a S S a n n n n n n …………4分 0)4()(,8)2(8)2(112121=--⋅++-+=-=∴----n n n n n n n n n a a a a a a S S a 整理得4,0,011=-∴>>--n n n n a a a a …………6分,由〔1〕21=a , }{n a ∴是以2为首项,4为公差的等差数列,∴数列的通项公式)(24),1(42*∈-=-+=N n n a n a n n 即…………8分假设用数学归纳法相应给分〔3〕令=-+-+--+=-+=-=++)]11212()11212[(21)2(21,111n n n n a a a a c b c n n n n n n n 则 121121+--n n …………10分 1)1211(lim )(lim )(lim 2121=+-=+++=-+++∴∞→∞→∞→n c c c n b b b n n n n n ……12分 21．解〔1〕∵函数)(x f 图象关于原点对称,∴对任意实数)()(x f x f x -=-有,d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴,即022=-d bx 恒成立……1分 0,0==∴d b …………2分 c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(,1=x 时,)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且,解得1,31-==c a …4分 〔2〕当]1,1[-∈x 时,图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ,使得过此两点处的切线互相垂直,那么由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ,且1)1()1(2221-=-⋅-x x …………〔*〕…………7分1x 、]1,1[2-∈x ,0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x 此与〔*〕相矛盾,故假设不成立.………………8分证实〔3〕)1,(,1,0)(,1)(2--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令,或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时, ]1,1[)(-∴在x f 上是减函数,且32)1()(,32)1()(min max -===-=f x f f x f ……10分 ∴在[－1,1]上,]1,1[,,32|)(|21-∈≤x x x f 于是时, 343232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .…………12分22．解〔1〕由0))),)=-⋅+-⊥+b b b b 得到…………1分又),13(,13(),,1(),0,(y x b y x b y b x a --=-+=+==………2分 0)()13()13(=-⋅+-⋅+∴y y x x ,故所求的轨迹方程是1322=-y x ……4分 〔2〕设),(11y x A 、),(22y x B ,把13122=--=y x kx y 代入,得 366,003,022)3(222±≠<<->∆≠-=-+-k k k kx x k 且得且由……6分 ∵A 、B 在y 轴的同一侧,021>∴x x ,得到33>-<k k 或…………7分 综上,得)6,3()3,6( --∈k .…………8分〔3〕由〔2〕得32221-=+k k x x …………① 32221-=k x x …………② 1,12211-=-=kx y kx y ……③………………9分∵曲线C 与x 轴交点)0,33(1M 、)0,33(2-M ,假设存在实数k ,符合题意,那么 ,MB MA ⊥不妨取点0)33()33(,0,2121111=+-⋅-=⋅y y x x B M A M M 得……11分 将①②③式代入上式,整理得到03322=--k k ,解得3(23=-=k k 舍去〕……13分 根据曲线的对称性,知存在实数23±=k ,使得以AB 为直径的圆恰好过M 点…14分。
湖南师大附中高三考试卷(六).docx
高中数学学习材料唐玲出品湖南师大附中2016届高三考试卷（六）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.在复平面内，复数65,23i i --+对应的点分别为A B 、,若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．48i +B ．82i +C ．2i -D ．4i +2.设命题:66p m -≤≤，命题:q 函数2()9()f x x mx m R =++∈没有零点，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.点(,3)P a 到直线4310x y -+=的距离等于4，且在230x y +-<表示的平面区域内，则a 的值为( )A ．3B ．7C ．-3D ．-74.如图所示的程序框图运行的结果是( )A ．20142015B ．20152016C ．20142013D ．201520145.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为( )A ．348cmB ．324cmC ．332cmD ．328cm6.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，13()f x x =，则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性相同的是( ) A ．21y x =-+ B ．1y x =+ C ．xy e = D ．321,01,0x x y x x -≥⎧=⎨+<⎩ 7.已知ABC ∆中，030A ∠=，,AB BC 分别是32,32+-的等差中项与等比中项，则ABC ∆的面积等于( )A ．32B ．34C ．32或3D ．32或348.从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为5201D ．都相等，且为1409.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )A ．355B ．62C ．32D ．53 10. (,1),(2,),(4,5)A a B b C 为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则,a b 满足的关系式为( )A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=11.已知直线y mx =与函数212(),03()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图像恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．(3,4)B ．(2,)+∞C ．(2,5)D ．(3,22)12.已知方程320x ax bx c +++=的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则22a b +的取值范围是( )A ．(5,)+∞B ．)5,⎡+∞⎣ C ．[)5,+∞ D ．(5,)+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13.设集合{}{}(3)2|31,|log (1)x x A x B x y x -=<==-，则A B = .14.已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 15.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，过点A 向BAD ∠所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为.16.对于定义域和值域都为[]0,1的函数()f x ，设1()()f x f x =，*211(0(()),,()(())()n n f x f f x f x f f x n N -==∈，若0x 满足00()n f x x =，则0x 称为()f x 的n 阶周期点．（1）若()1(01)f x x x =-≤≤，则()f x 的3价周期点的值为 ;（2）若12,0,2()122,,12x x f x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，则()f x 的2阶周期点的个数是 .三、解答题 ：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按[)[)[)[]60,70,70,8080,90,90,100分成4组，其频率分布直方图如下图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A B C D 、、、四个等级，等级评定标准如下表所示． 评估得分[)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100 评定等级D C B A（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率．18.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD CD =，E 为PB 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成的角；（2）在底边AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面PBC ？证明你的结论．19.（本题满分12分）20.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知12(2,0),(2,0),(,),(,1),(,2)A A P x y M x N x --．若实数λ使得212OM ON A P A P λ=成立（其中O 为坐标原点）． （1）求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型；（2）当22λ=时，若过点(0,2)B 的直线与（1）中P 点的轨迹交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），试求OBE ∆与OBF 面积之比的取值范围．21.（本题满分12分） 已知函数1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈． （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）当0a <时，求()f x 的单调区间；（3）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能请求出此时α的范围，若不能，请说明理由．选做题（请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号）22.（本题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>过点(2,4)P --的直线222:242x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于点,M N 两点．（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）若,,PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．23.（本题满分10分） 已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设,,m n p 为正实数，且(2)m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤．参考答案1.【解析】复数65i -对应的点为(6,5)A -，复数23i -+对应的点为(2,3)B -．利用中点坐标公式得线段AB 的中点(2,1)C -，故点C 对应的复数为2i -，选C ．2.【解析】函数2()9()f x x mx m R =++∈没有零点，则2360m ∆=-<，即66m -<<，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B ．3.【解析】由题意4331452330a C a ⎧-⨯+=⎪⎨⎪+-<⎩，解得3a =-，选C ． 4.【解析】11112015112232015201620162016A =+++=-=⨯⨯⨯．故选B ． 5.【解析】由三视图可知多面体是底边为6高为4的等腰三角形的三棱柱，其高为4，所以31644482V cm =⨯⨯⨯=，选A ． 6.【解析】由已知得()f x 在(2,0)-上单调函数，所以答案为C ．7.【解析】由条件3,1AB BC ==，由031sin sin 30C =，得3sin 2C =． ∴060C =或120°．∴009030B =或，∴1333sin sin 2224ABC S AB BC B B ∆===或．故选D ． 8.【解析】从2010名学生中选取50名学生，不论采用何种抽样方法，每名学生被抽到的可能性均相同，谁被剔除或被选中都是机会均等的，所以每人入选的概率都相等，且为5052010201=．选C ． 9.【解析】圆22:650C x y x +-+=的圆心为(3,0)C ，半径为2，由已知圆心C 到直线b y x a =的距离为2，可得2295a c =，可得355e =，故选A ． 10.【解析】由OA 与OB 在OC 方向上的投影相同可知：4585453OA OC OB OCa b a b OC OC =⇒+=+⇒-=． 故选A ．11.【解析】做出()f x 的图像，可知0m ≤时，直线y mx =与()f x 只有一个交点，不符题意；当0m >时，y mx =与12()(0)3x y x =-≤总有一个交点，故y mx =与211(0)2y x x =+>必有两上交点，即方程211(0)2x mx x +=>必有两不等正实根，即方程2220x mx -+=必有212124802020m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得(2,)m ∈+∞，选B ．12.【解析】设2()32f x x ax b '=++，由抛物线的离心率为1，知(1)10f a b c =+++=，故1c a b =---，所以2()(1)[(1)1]f x x x a x a b =-+++++，另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故2()(1)1g x x a x a b =+++++有两个分别属于(0,1)和(1,)+∞的零点，故有(0)0g >且(1)0g <，即10a b ++>且230a b ++<，运用线性规划知识可求得22(5,)a b +∈+∞． 故选D ．13.【解析】[){}(0,3),2,,|23A B AB x x ==+∞=≤<． 14.【解析】因为2144(2)()4()428y x y x x y x y x y x y++=++≥+=，所以228m m +<，解得42m -<<． 15.【解析】因为01,903BAC P BAD BAD ∠==∠=∠，则030BAC ∠=，所以03tan 303BC AB ==．因为3AB =，则3BC =． 16.【解析】（1）2()(1)1(1)f x f x x x =-=--=，3()()1f x f x x ==-，令001x x -=，则012x =． （2）当1022x ≤≤，即104x ≤≤时，21()(())(2)4f x f f x f x x ===．由200()f x x =，得00x =； 当1212x <≤，即1142x <≤时，21()(())(2)22(2)24f x f f x f x x x ===-=-． 由2000()24f x x x =-=，得025x =． 所以当102x ≤≤时，()f x 有两个2阶周期点． 同理，当112x <≤时，()f x 也有两个2阶周期点，故()f x 共有4个2阶周期点． 17.【解析】（1）最高小矩形下底边的中点值为75，估计评估得分的众数为75分． ．．．．．．．．．．．．．．（2分）直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 所以650.28750.48850.16950.0818.23613.67.675.4x =⨯+⨯+⨯+⨯=+++=．估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（2）A 等级的频数为250.082⨯=，记这两家分别为,a b ；B 等级的频数为250.164⨯=，记这四家分别为,,,c d e f ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分） 从这6家连锁店中任选2家，共有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 15种选法． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分） 其中至少选1家A 等级的选法有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f 共9种，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分） 则93155P ==，故至少选一家A 等级的概率为35． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分） 18.【解析】（1）取AB 的中点G ，连结,EG DG ．因为E 为PB 的中点，则//EG PA ，所以DEG ∠为所求的角． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 由已知可得，22,2BD PD ==，则23PB =． 所以132DE PB ==． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） 又2212,52EG PA DG AD AG ===+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） 则222DG DE EG =+，所以090DEG ∠=，故异面直线PA 与DE 所成的角为90°，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（2）存在点F 为AD 的中点，使EF ⊥平面PBC ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）证明：取PC 的中点H ，连结,DH EH ．因为PD CD =，则DH PC ⊥．① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分） 因为PD ⊥底面ABCD ，则PD BC ⊥．因为底面ABCD 为正方形，则CD BC ⊥．所以BC ⊥平面PCD ，从而BC DH ⊥．②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分） 结合①②知DH ⊥平面PBC ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分） 因为E F 、分别是PB AD 、的中点，则11//,//22FD BC EH BC ， 从而//FD EH ，四边形EFDH 为平行四边形，所以//EF DH ．故EF ⊥平面PBC ．．．．．．（12分）19.【解析】（1）因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=，所以3454384a a a a ++==，即428a =， 设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9d =．由413a a d =+，得12839a =+⨯，即11a =．所以*1(1)19(1)98,n a a n d n n n N =+-=+-=-∈，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（2）对*m N ∈，若299m m n a <<，则298998m m n +<<+，因此121889999m m n --+≤≤+， 故得21199m m m b --=-，于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++ 219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分） 20.【解析】（1）12(,1),(,2),(2,),(2,)OM x ON x A P x y A P x y ==-=+=-，∵212OM ON A P A P λ=，∴2222(2)2x x y λ-=-+． 化简得：2222(1)2(1)x y λλ-+=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ①1λ=±时，方程为0y =，轨迹为一条直线；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） ② 0λ=时，方程为222x y +=，轨迹为圆； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） ③ (1,0)(0,1)λ∈-时，方程为222122(1)x y λ+=-，轨迹为椭圆； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） ④(,1)(1,)λ∈-∞-+∞时，方程为222122(1)x y λ-=-轨迹为双曲线． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（2）∵22λ=，∴P 点轨迹方程为2212x y +=， 设1122(,),(,)E x y F x y ， ∴12112,222OBE OBF S x S x ∆∆=⨯⨯=⨯⨯， ∴12::OBE OBF S S x x ∆∆=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 设直线EF 直线方程为2y kx =+，联立方程可得：22(12)860k x kx +++=．∴226424480k k ∆=-->，∴2121222386,21212k k x x x x k k >+=-=++， ∴22121221221()6426(12)x x x x k x x k x x +==+++，∵232k >，∴226416(4,)6(12)3k k ∈+，．．．．．．．．．．．．．．（10分） ∴121(,1)(1,3)3x x ∈， 由题意可知：OBE OBF S S ∆∆<，所以1(,1)3OBE OBF S S ∆∆∈，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分） 21.【解析】（1）()f x 其定义域为(0,)+∞．当0a =时，221111()ln ,()x f x x f x x x x x-'=+=-=． 令()0f x '=，解得1x =，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞．所以1x =时，()f x 有极小值为(1)1f =，无极大值． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）（2）222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x----+-'=--==>． 令()0f x '=，得1x =或1x a =-， 当10a -<<时，11a <-，令()0f x '<，得01x <<或1x a >-，令()0f x '>，得11x a<<-； 当1a =-时，22(1)()0x f x x-'=-≤．当1a <-时，101a <-<，令()0f x '<，得10x a <<-或1x >，令()0f x '>，得11x a-<<； 综上所述： 当10a -<<时，()f x 的单调递减区间是1(0,1),(,)a -+∞，单调递增区间是1(1,)a -； 当1a =-时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当1a <-时，()f x 的单调递减区间是1(0,)a -，(1,)+∞，单调递增区间是1(,1)a -． ．．．．．．．．．（8分） （3）0a ≥时，∵2(1)(1)()(0)ax x f x x x +-'=>， ∴()0(0)f x x '=>仅有1解，方程()0f x =至多有两个不同的解．（注：也可用min ()(1)10f x f a ==+>说明．）由（2）知10a -<<时，极小值(1)10f a =+>，方程()0f x =至多在区间1(,)a-+∞上有1个解；22.【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a =>；直线l 的普通方程为20x y --=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得22(4)28(4)0t a t a -+++=，（*） 8(4)0a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t 恰为上述方程的根，则1212,,PM t PN t MN t t ===-． 由题设得21212()t t t t -=，即2121212()4t t t t t t +-=．由（*）得1222(4)t t a +=+，128(4)0t t a =+>，则有2(4)5(4)0a a +-+=，得1a =或4a =-．因为0a >，所以1a =． ．．．．．．．．．．．．．．（10分）23.【解析】（1）不等式2216x x -++<等价于不等式组 1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩，或2336x x >⎧⎨-<⎩，解不等式组，得x ∈∅或12x -<≤或23x <<， 所以不等式2216x x -++<的解集为(1,3)x ∈-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）证明：∵3m n p ++=，∴2222()2229m n p m n p mn np mp ++=+++++=，∵,,m n p 为正实数，∴由均值不等式，得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 222n p np +≥（当且仅当n p =时取等号），222p m pm +≥（当且仅当p m =时取等号），∴222m n p mn np pm ++≥++（当且仅当m n p ==时取等号），∴2222()2229333m n p m n p mn np pm mn np pm ++=+++++=≥++，∴3mn np pm ++≤（当且仅当m n p ==时取等号）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）。
湖南师大附中2016届高三月考卷.doc
湖南师大附中2016届高三月考卷（四）命题：湖南师大附中高三物理备课组一、选择题（本题包含12个小题，每小题4分，共48分，其中1~8小题只有一个选项正确，9~12小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选得0分，将答案填在答题卡上）1、我国古诗很多包含着丰富的物理知识，如北宋大词人辛弃疾（1140——1207）曾有一首别具一格的吟X 星球的名词，其中有“飞镜无根谁系？嫦娥不嫁谁留？”，那么以下关于前一句的回答正确的是（ A ）A ．飞镜无根“（地球的）引力”系(月亮被地球的引力吸住)B ．飞镜无根“（太阳的）引力”系 (地球被太阳的引力吸住）C ．是描绘太阳绕地球运动的情景（古时候认为太阳绕地球转）D ．是描绘飞来之镜（别人抛来的定情铜镜）好像被人用绳牵着一样而没做平抛运动。
2、有一只小虫重为G,不慎跌入一个碗中,如图所示.碗内壁为一半径为R 的球壳的一部分,其深度为 D.碗与小虫脚间的动摩擦因数为μ.,若小虫可以缓慢顺利地爬出碗口而不会滑入碗底.则D 的最大值为多少?(最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)( D ) A.2R B.R 211μ+ C.R )(2111μ++ D.R )(2111μ+-解析：要使小虫顺利爬出碗口，只须小虫能到达碗边沿A ，设碗边沿的半径与竖直方向夹角为φ，则（受力图如下）由平衡条件得：N=Gcosφ ① f=Gsinφ ②又f=μN 所以μ=tanφ由几何关系有D=R(1-cosφ) ③所以D=3、如右图，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。
对于该运动过程，若用x 、a 、p E 、k E 、分别表示滑块下滑的位移的大小、加速度的大小、重力势能（以斜面底面所在平面为零势面）和动能，t 表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是（ D ）解析：A 、B 在下滑过程中，物体的加速度μmgcos θ-mgsin θ=ma ，a= μgcos θ- gsin θ，加速度的大小保持不变，所以加速度图像应是与时间轴平行的直线．物体做匀减速直线运动，故位移随时间变化越越慢，位移-时间关系的图象是向右弯曲的线，故A 、B 错误；C 、物体做匀减速直线运动，下降的高度为h=ssin θ，也是向右弯曲的线，故C 错误；D 、下滑过程中速度大小关系为v=0v +at =0v +（gsin θ-μgcos θ）t ，动能221mv E k =，故动能变化越越慢，故D 正确，故选D 。
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第六次月考理数试题 含解析
湖南师大附中2016届高三月考试卷(六)数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
） 1。
已知复数221z i i=++,则下列结论中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+ 【答案】C考点:复数及其运算。
2.已知条件:p ()()30x m x m --->;条件:q 2340x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ） A ．()(),71,-∞-+∞ B ．(][),71,-∞-+∞ C ．()7,1-D ．[]7,1- 【答案】B 【解析】试题分析：设集合{}3x x m x m P =<>+或，{}Q 41x x =-<<．因为p 是q 的必要不充分条件，则Q 是P 的真子集,所以34m +≤-或1m ≥，即7m ≤-或1m ≥，选B ． 考点：1、充要条件；2、二次不等式. 3。
已知3sin cos αα+=，且()0,απ∈，则cos 2α的值为（ ) A ．154-B ．14-C ．154D ．14【答案】A 【解析】试题分析:由已知,()23sin cos 4αα+=，即31sin 24α+=，则1sin 24α=-．因为()0,απ∈,则sin 0α>，cos 0α<．因为()25cos sin 1sin 24ααα-=-=，则5cos sin 2αα-=-，所以()()15cos 2cos sin cos sin 4ααααα=-+=-,选A ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式。
【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题. 本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化，即sin cos sin cos sin cos αααααα+⇔⇔-，以正余弦的平方和等于1为工具,以sin cos αα为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.4。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016届高三第六次月考理数试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为( ) A ．32- B ．12- C ．12 D ．32【答案】A考点：复数的运算.2. 设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D 【解析】试题分析：因为0.3012311log 20()()1log 322a cb =<<=<=<=，所以bc a >>.考点：指数幂、对数的大小比较. 3. 函数()2cos()(0)3f x x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin g x x ω=的图像，只需将函数()f x 的图像( ) A 向左平移12π个单位 B .向右平移6π个单位C .向右平移512π个单位D .向左平移3π个单位【答案】C考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象的周期及平移变换【方法点睛】在函数y A x =+sin()ωϕ中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和ϕ之间有一定的关系，ϕ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是||ϕω4. 一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．2581【答案】A 【解析】试题分析：分两种情况311，，及221，，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是311，，时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是131342C C C，∴这种结果发生的概率是13134258813C C C =；同理求得第二种结果的概率是681，根据互斥事件的概率公式得到8614818181P =+=，故选A . 考点：1.互斥事件与对立事件；2.等可能事件的概率．【思路点睛】本题是一个等可能事件的概率问题，考查互斥事件的概率，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．恰好取5次球时停止取球，分两种情况311，，及221，，，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A B C ．0 D ．【答案】A考点：程序框图.6. 某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为( ) A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为221221284V p p 骣琪=-创创=-琪桫.考点：简单组合体的三视图及体积. 7. 已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+( )A B ． C D ．【答案】B考点：同角的基本关系.8. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为( )A B ．1 C D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：设,AF a BF b ==，由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+-=++=+-()222a b a b +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭()234a b =+， 22324MN a b AF BF MN AB MN AB +=+=∴≥∴≥. 考点：1．抛物线方程及性质；2．余弦定理.9. 两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．19 D ．49【答案】A考点：1.圆与圆的位置关系；2.基本不等式.10. 已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，'()()0f x f x x +>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2 【答案】C 【解析】试题分析：由于函数1()()g x f x x=+，可得0x ≠，因而()g x 的零点跟()xg x 的非零零点是完全一样的， 故我们考虑()()1xg x xf x =+ 的零点．由于当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，① 当0x >时，''''()(())(())()()(())0f x xg x xf x xf x f x x f x x==+=+>，所以，在(0,)+∞上，函数()xg x 单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴在(0,)+∞上，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，因此，在(0,)+∞上，函数()()1xg x xf x =+ 没有零点．②当0x <时，由于'''(())(())()()xg x xf x xf x f x ==+'()(())0f x x f x x=+<，故函数()xg x 在(,0)-∞上是递减函数，函数 ()()11xg x xf x =+>恒成立，故函数()xg x 在(,0)-∞上无零点．综上可得，函1()()g x f x x=+在R 上的零点个数为0，故选C ．考点：根的存在性及根的个数判断．11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ． 25【答案】B考点：正方体和抛物线的综合应用.【思路点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，建立空间直角坐标系，过点H 作HM BB ⊥'，垂足为M ，连接MP ，得出222HP HM MP =+；当MP 最小时，2HP 最小，利用空间直角坐标系求出2HP 的最小值即可．12. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是( )A ．11(2,2),44k k k Z -+∈B ．15(2,2),22k k k Z ++∈ C ．11(4,4),44k k k Z -+∈ D ．19(4,4),22k k k Z ++∈【答案】C考点：1.函数的图象及性质；2.函数的零点.【思路点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，由题意，画出函数()f x 的图象，利用数形结合的方法找出()f x 与函数y x b =+有三个零点时b 的求值．二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. 已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若PQ R =，(2,3]P Q =，则a b += .【答案】-5考点：1.交集及其运算；2.并集及其运算.14. 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b += .【答案】18 【解析】试题分析：由题意得直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆2=222221)(1)18.a b ==⇒+=++-= 考点：直线与圆位置关系15. 数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】试题分析：当2n ≥时，由221n n n n a a S S =-，得2112()n n n n n n n S S a S S S S ---=-=-，所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}n S 是以2为首项，1为公差的等差数列，21nn S =+，所以21n S n =+，所以2221n a n n =-⋅+，2(1)n a n n =-+，又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩. 考点：1.等差数列的性质；2.数列递推式.【思路点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的性质；由数列递推式得到1221n n S S --=（2n ≥），由此证得数列所以2{}nS 是以2为首项，1为公差的等差数列，由此可求其通项公式后可得n S ，再由()12n n n a S S n -=-≥求数列{}n a 的通项公式． 16. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，113()(|tan ||tan |tan )222f x x x ααα=++++(α为常数，且22ππα-<<)，若对实数x R ∈，都有(3)()f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】42ππα-≤<考点：函数奇偶性的性质． 【思路点睛】令1tan 2t α=，讨论t ，把0x ≥时的()f x 改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得0x <时的函数的最大值，由对x R ∈，都有()()3f x f x -≤，可得()243t t --≤，求解该不等式得答案．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分12分)ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a c -=，sin B C =. (1)求cos A 的值； (2)求cos(2)6A π-的值.【答案】(1)(2)考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.同角的基本关系.18.(本小题满分12分)为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：(1)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】(1)2；(2)有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.(2)因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系. 考点：1.二项分布；2. 独立性检验． 19. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，090ACB ∠=，//EF BC ，12EF BC =，2AC BC ==，AE EC =. (1)求证：AF CF =；(2)当二面角A EC D --时，求三棱锥A EFC -的体积.【答案】(1)详见解析；(2)13考点：1.棱柱、棱锥、棱台的体积；2.平面与平面垂直的性质．【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中||||cos 2121n n ⋅=ωω θ βlαn 2n 12图1 图220. (本小题满分12分)已知椭圆22:14x C y +=的短轴的端点分别为,A B ，直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1(,)2M m 满足0m≠，且m ≠.(1)求椭圆C 的离心率e ； (2)用m 表示点,E F 的坐标；(3)若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】(1) e =；(2) 222129(,)99m m F m m -++;(3) 1m =±考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的简单性质． 21. (本小题满分12分) 已知函数()2ln pf x px x x=--. (1)若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；(2)若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；(3)设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围. 【答案】(1) 220x y --=；(2) [1,)p ∈+∞; (3) 24(,)1ep e ∈+∞-(3)设函数2()()()2ln p ex f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>.2'22222(2)()p e px x p e x p x x xϕ+-++=+-=， 01当0p =时，'222()0x ex x ϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；考点：1.导数在最大值、最小值问题中的应用；2.函数的单调性与导数的关系；3.利用导数研究曲线上某点切线方程．【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E .(1)求BD 长；(2)当CE OD ⊥时，求证：AO AD =.【答案】(1)9；(2)详见解析 【解析】试题分析：本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．（1）证明OBD AOC V V ∽，通过比例关系求出BD 即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可． 试题解析：(1)∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴OCA ODB ∠=∠.∵BOD A ∠=∠，∴OBD ∆∽AOC ∆，∴BD ODOC AC=， ∵6,4OC OD AC ===，∴664BD =，∴9BD =. (2)∵,OC OE CE OD =⊥，∴COD BOD A ∠=∠=∠.∴00180180AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠. ∴AD AO =.考点：相似三角形的判定.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.(θ为参数)(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB ∙=，求点M 轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) 2212x y +=；(2) 点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =之间的两段弧.由直线1l 与曲线C 相交可得：222000032202t x y +++-=，8||||3MA MB ∙=2200228||332x y +-⇒=，即：220026x y +=， 2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=，由0∆≥得m ≤≤，故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧.考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.简单曲线的极坐标方程；3.参数方程化成普通方程． 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||4|f x x x =+--. (1)解不等式()0f x >；(2)若()3|4|f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围. 【答案】(1) {|15}x x x ><-或；(2) (,9]-∞考点：1.绝对值不等式的解法；2.函数最值的应用．：。
【全国百强校】湖南省湖南师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考理数试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{23}P x x x =-≥，{24}Q x x =<<，则=Q P （ ）A ．)4,3[B ．]3,2(C ．)2,1(-D ．]3,1(-【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，(,1][3,)P =-∞-+∞，∴[3,4)AB =，故选A ． 考点：1.一元二次不等式；2.集合的运算.2.下列命题中，是真命题的是（ ）A ．0x R ∃∈，00x e ≤B ．x R ∀∈，22x x >C ．已知a ，b 为实数，则0=+b a 的充要条件是1-=ba D ．已知a ，b 为实数，则1a >，1b >是1>ab 的充分条件【答案】D.考点：命题的真假.3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模拟的拟合效果越好； ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差为1，则12x ，22x ，32x ，…，2n x 的方差为2；④对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大. 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B.【解析】试题分析：①：根据相关指数的意义可知①正确；②：根据相关系数的意义可知②正确；③：方差应为4，故③错误；④：2k 的观察值越小，x 与y 有关系的把握程度越小，故④错误，故正确的命题有2个，故选B ．考点：命题的真假.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ） A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 【答案】C.考点：双曲线的标准方程.5.已知⎰=211xdx S ，⎰=212dx e S x ，⎰=2123dx x S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ） A ．321S S S << B ．231S S S << C ．123S S S << D ．132S S S <<【答案】B.【解析】试题分析：设()f x x =，()x g x e =，2()h x x =，显然当[1,2]x ∈时，()()h x f x ≥，令2()()()x x g x h x e x ϕ=-=-，∴'()2x x e x ϕ=-，''()2x x e ϕ=-，[1,2]x ∈，∴''()20x e ϕ≥->，∴'()x ϕ在[1,2]上单调递增，'()20x e ϕ≥->，∴()x ϕ在[1,2]上单调递增， ∴()10x e ϕ≥->，∴()0()()x g x h x ϕ>⇒>，∴当[1,2]x ∈时，2x e x x >≥，∴231S S S >>，故选B ．考点：1.定积分的性质；2.导数的运用.6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b +B ．1124a b +C ．2133a b +D ．1223a b + 【答案】C.考点：平面向量的线性运算．7.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是（ ）A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += 【答案】A.考点：1.三角函数的图象变换；2.三角恒等变形．8.某程序框图如图所示，现将输出),(y x 值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是)10,(-x ，则数组中的=x （ ）A ．32B ．24C ．18D ．16【答案】A.【解析】试题分析：运行第一次，输出)0,1(， 3=n ，2=x ，2-=y ；运行第二次，输出)2,2(-，5=n ，4=x ，4-=y ；运行第三次，输出)4,4(-，7=n ，8=x ，6-=y ；运行第四次，输出)6,8(-，9=n ，16=x ，8-=y ；运行第五次，输出)8,16(-，11=n ，32=x ，10-=y ；运行第六次，输出)10,32(-，13=n ，64=x ，12-=y ，故选A.考点：程序框图．9.在直角坐标系中，P 点的坐标为)54,53(，Q 是第三象限内一点，1=OQ 且43π=∠POQ ，则Q 点的横坐标为（ ）A ．1027-B ．523-C ．1227-D ．1328- 【答案】A.考点：1.三角恒等变形；2.任意角的三角函数．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6311B ．3C ．335D ．334 【答案】B. 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则AD BE ⊥，⊥PE 平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积33]2)21(21[31=⨯⨯+⨯⨯=V ，故选B.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积．【思路点睛】根据几何体的三视图判断几何体的结构特征，常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.11.现定义θθθsin cos i e i +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，若θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（ ）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i +D ．θθ5cos 5sin i -【答案】A.考点：1.二项式定理；2.新定义问题．【技巧点拨】1.二项展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性；2.“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法3.“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法.12.已知函数()ln f x x x x =+，若Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，则k 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B.考点：1.函数与不等式；2.导数的运用．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．二、填空题（本大题共5个小题，满分20分.把答案填在题中的横线上．）13.若抛物线)0(22>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，则=p _____.【答案】【解析】 试题分析：抛物线)0(22>=p px y 的准线方程是2p x -=，双曲线122=-y x 的一个焦点)0,2(1-F ， ∵抛物线)0(22>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，∴22-=-p ，解得22=p ，故填：22．考点：1.双曲线的标准方程；2.抛物线的标准方程．14.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤0220332y x y x y ，则目标函数y x z +=3的最大值为______.【答案】7.考点：线性规划．15.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】[4,0]-.【解析】 试题分析：∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x a ax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a ，即实数a 的取值范围是]0,4[-，故填：[4,0]-. 考点：1.函数的单调性；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：1.复合函数法：[()]f g x 的单调性遵循“同增异减”的原则；2.定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；3.图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；4.导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.【答案】.考点：三角恒等变形的运用．【思路点睛】三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 与{}n b 满足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n .（1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）65n a n =-；（2）),43(+∞．【解析】试题分析：（1）根据条件可以判定数列{}n a 是等差数列，从而可求其通项公式；（2）首先根据条件累加求其数列{}n a 的通项公式，再根据求得的通项公式参变分离后将问题等价转化为最值问题即可求解．考点：1.数列的通项公式；2.恒成立问题；3.数列的单调性．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.（1）证明：CD PB ⊥；（2）求二面角B PD A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2 【解析】试题分析：（1）取BC 的中点E ，连接DE ，根据题意首先以及线面垂直的判定可证明OE ⊥平面PBD ，再由线面垂直的性质可证明OE PB ⊥，最后即可证明PB CD ⊥；（2）OE ，OB ，OP 两两垂直，以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解．考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量求二面角．19.（本小题满分12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名.下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，...,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、)100/(mL mg y ，则事件10≤-y x 的概率是多少？【答案】（1）3；（2）47；（3）12．考点：1.频率分布直方图；2.古典概型．20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，)0,1(D 为线段2OF 的中点，且522=+BF AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k .试问是否存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）15922=+y x ；（2）74-=λ．121127()74()4y y k x x -==-，故07421=-k k ，从而存在满足条件的常数λ，74-=λ.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题．【思路点睛】解决定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线，应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.21.（本小题满分12分）已知函数e e bx ax x f x ()12()(2-++=为自然对数的底数).（1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2()22f x x x =-+；（2）)21,22(-e ．（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)1(=f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，考点：导数的运用．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ,两点，PD 切圆于G D ,为CE 上一点且PD PG ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BD AC =，求证：ED AB =.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．考点：1.圆的基本性质；2.切线的性质．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为t t y t x (213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.【答案】（1）032222=-++y x y x ；（2）[2,2]-．考点：1.极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线的参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(.（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）[4,)+∞．【解析】试题分析：（1）解关于x 的不等式()6f x ≤，再根据不等式的解是[2,3]-，即可得到a 的值；（2）分析题考点：1.绝对值不等式；2.存在性问题．：。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期第6次月考物理试题(解析版)
湖南师大附中2023届高三月考试卷（六）物理得分：_________本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共7小题，每小题4分，共28分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.原子核的比结合能越大，原子核越稳定，一般而言，原子核中核子数越多，比结合能越小B.核聚变与核裂变相比，相同质量的核燃料，核聚变反应中产生的能量更多，所以现在的核电站主要采用核聚变发电C.液体的表面张力其方向总是指向液体内部，所以液面总是有收缩的趋势D.物体中所有分子的热运动动能和分子势能的总和叫作物体的内能，任何物体都具有内能【答案】D【解析】【详解】A．原子核的比结合能越大，原子核越稳定，原子核的比结合能等于原子核的结合能与核子数之比，由于原子核中核子数越多，原子核的结合能越大，则比结合能不一定越小，故A错误；B．核聚变与核裂变相比，相同质量的核燃料，核聚变反应中产生的能量更多，但目前核聚变不可控，则现在的核电站主要采用核裂变发电，故B错误；C．液体表面张力的方向总是与液面相切，故C错误；D．物体中所有分子的热运动动能和分子势能的总和叫作物体的内能，任何物体都具有内能，故D正确。
故选D。
2.如图所示，某同学在某地玩耍，发现一个图示仓库，于是在某点P（P点位置可移动）想以最小的动能将一块小石子丢过仓库（恰好从A点和B点飞过，注意平时可不能这样，非常危险），那么设小石子丢出时速度与水平向右的方向成θ角，以下说法正确的是（）θ=︒A.45θ>︒B.45θ<︒C.45D.无论θ角多大，P点与A点所在墙越近所需动能越小【答案】B 【解析】【详解】ABC ．根据题意可知，石子从P 点抛出后做斜抛运动经过等高的A 、B 两点，设石子抛出时的速度为P v ，经过A 点时的速度为A v ，此时速度方向与水平方向的夹角为α，则有cos cos P A v v θα=石子由P 运动到A 的过程中，由动能定理有221122PA P A mgh mv mv =-解得P Av v =>石子由A 到B 的运动也是斜抛运动，设此过程运动的时间为t ，A 、B 两点间的距离为x ，则有cos A x v t α=⋅0sin 2A tv g α=-⋅联立可得A v =可见，当sin 21α=即45α=︒时，石子经过A 点的速度最小，此时石子的抛出速度最小，抛出的动能最小，则有45θα>=︒故AC 错误，B 正确；D ．当P 点位于A 点所在的墙上时有90θ=︒石子抛出后做竖直上抛运动，无论石子抛出时的动能多大，石子都不可能经过B 点，故D 错误。
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湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）
数学（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数2
21z i i
=
++，则下列结论中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+ 2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件， 则实数m 的取值范围是（ ） A ．()
(),71,-∞-+∞ B ．(][),71,-∞-+∞ C ．()7,1- D ．[]7,1-
3.已知sin cos αα+=
，且()0,απ∈，则cos 2α的值为（ ）
A ．．14- C ．14
4.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于（ ）
A ．60
B ．240
C ．300
D ．360
5.用1，2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中a ，b ，c 三个数字之 积能被10整除的三位数共有（ ）
A ．96个
B ．132个
C ．168个
D ．180个
6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．
43
π
B
D ．3π
7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2
π
ϕ<）在一个周期内的图象如图所示，
则4f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ） A ．1 B ．12 C ．1- D ．12
-
8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的 样本数据如下表所示：
则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ）
A ．45万件
B ．48万件
C ．50万件
D ．55万件
参考公式：在回归直线方程ˆy
bx a =+中，1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y n x y
b x
n x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．
9.已知函数()21,0
log ,0
kx x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩，则当0k >时，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦
的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动， 则C D O ⋅O 的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11.设双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F 关于
直线1l 的对称点P 在2l 上，在双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．3 C
12.对于区间[],a b 上的函数()f x ，若存在[]0,x a b ∈，使得()()0b
a
f x f x dx =
⎰成立，则称0
x 为
函数()f x 在区间[],a b 上的一个“积分点”．那么函数()cos 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的“积分 点”为（ ）
A ．6π
B ．
4π C ．3π D ．512
π 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A =B
，且a b +=， 则角C 的大小为 ．
14.已知x ，y 满足约束条件10
10220x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大
值为1，则
11
3a b
+的最小值为 ．
15.设直线:l 20x y m --=与椭圆C :2
214
x y +=相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点，
若∆ABM 的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是 ．
16.如图，记棱长为1的正方体为1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中 心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，⋅⋅⋅，以此类推．则正方体9C 的 棱长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有
2n
n
S p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”
． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；
（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．
18.（本小题满分12分）某工厂有120名工人，其年龄都在20
60岁之间，各年龄段人数按[)20,30，
[)30,40，[)40,50，[]50,60分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了
新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项 培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数； （2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；
（3）随机从年龄段[)20,30和[)40,50中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的 人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111CD C D AB -A B 中，1A A ⊥底面CD AB ，各侧棱长 和底边长都为2，D 60∠BA =，E 为侧棱1BB 的延长线上一点，且11B E =． （1）求二面角1D C -A -E 的大小；
（2）设点F 在线段1D E 上，若1F//A 面C A E ，求1D F :F E 的值．
20.（本小题满分12分）如图1，已知抛物线E 的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上，准线
与y 轴的交点为T ．过点T 作圆C :()2
2
21x y +-=的两条切线，两切点分别为D ，G ．
（1）求抛物线E 的标准方程；
（2）如图2，过抛物线E 的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别交抛物线E 于P ，Q 两点和M ，
N 两点，A ，B 分别为线段Q P 和MN 的中点，求∆AOB 面积的最小值．
21.（本小题满分12分）已知函数()()2
2ln f x x a x a x =+--，其中a 为常数且0a >．
（1）若曲线()y f x =与直线2
a
y =
相切，求a 的值； （2）设1x ，2x 为两个不相等的正数，若()()12f x f x =，证明：12x x a +>．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在
O 的内接四边形CD AB 中，D C A =B ，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ．
（1）证明：C C D ∠BE =∠A ；
（2）若4AB =，C 3A =，CD 1=，求C E 的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x y O 中，曲线C
的参数方程为2cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线l
的极坐标方程为cos 6πρθ⎛
⎫
+= ⎪
⎝
⎭，求直线l 被曲线C 所截得的线段长．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()12f x x x m =-++-，其中m 为常数． （1）当7m =时，求不等式()0f x >的解集；
（2）设实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，若函数()f x 的最小值为2-，证明：222210a b c ++≥．
高考一轮复习：。