第7章 狭义相对论力学基础
狭义相对论
物理学家感到自豪而满足，两个事例： 在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只 要做一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据 的小数点后面添加几位有效数字而已。 ——开尔芬（1899年除夕） 理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都 已经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何发 展的事去做。 ——约利致普朗克的信
由干涉理论，时间差的变化引起的移动条纹数
L1 L2 u 2 N c2 4 对于 L1 L2 22m,u 3 10 m s, 589nm c( t t )
N 0.40
但实验值为 N 0 以太不存在，光速与参考系无关。 该结果说明什么问题呢？
S
P
A
L1
实验结果：条纹无移动(零结果 )。以太不存在，光速与参考系 无关。
干涉条纹
B
地球公转
按照伽利略速度变换
u
A
L2
S
L1 L1 2 L1 t PAP 2 2 c u c u c (1 u c )
P
L1
v c u
2
2
2 L2 L1 t t PBP t PAP c 1 u2 c2 1 u2 c2 干涉仪转90°后 ，时间间隔变成
第 十 三 讲
狭义
相对论
运动是相对的，在研究运动相对性问题时，认识到 了参考系的概念。
本章研究的问题:
在两个惯性系中考察同一物理事件
通常： 实验室参考系 定为S系 运动参考系 定为S’系
1.伽利略相对性原理
从“三大守恒定律”到“牛顿运动定 律”，完成了“经典力学”的构建。几 乎可以用来解释所有宏观、低速运动现 象。 正如欧几里德几何建立在几条基本假设 的基础上， “经典力学的大厦”建立在“伽利略时 空观”的假设上。
相对论(RelativityTheory)
即在 S 系中同时同地点发生的两个事件，在 S ' 系中也同时同地点发生。 （3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后。 假设在 S 系中，t 时刻在 x 处的质点经过 t 时间后到达 x x 处，则由：
v x 2 c t' v2 1 2 c t
得到
t t ' v v x t 1 2 u 2 c c 2 v v2 1 2 1 2 c c x u t
73
二、经典力学的绝对时空观
2 2 2 | r | ( x) ( y ) ( z ) t t ' t t ' ， r r' 2 2 2 | r' | ( x ' ) ( y ' ) ( z ' )
如果各个惯性参考系中用来测量时间的钟相同，那么任何事件所经历的时间就有绝对不变的 量值，与参考系的相对运动无关。如果各个惯性参考系中用来测量长度的标准相同，那么空 间任何两点间的距离就有绝对不变的量值，与参考系的相对运动无关。这就是绝对时空观
v ( x 2 x1 ) c2 . v2 1 2 c
可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。 2．讨论 （1）在 S 系中同时发生： t 2 t1 ，但在不同地点发生， x2 x1 ，则有：
v ( x1 x2 ) 2 c t2 't1 ' . 2 1 v / c
z z' vx' t ' 2 c 2 1 v / c
3．讨论 从以上公式可知： （1）当 v＜＜c 时，洛伦兹变换转化为伽利略变换； （2）时间和空间的测量互不分离，称为时空坐标； （3）当 v c 时，公式无物理意义。所以两参考系的相对速度不可能等于或大于光速。 任何物体的速度也不可能等于或大于真空中的光速，即真空中的光速 c 是一切实际物体的极 限速率。 洛伦兹（H. A. Lorentz，1853－1928）荷兰物理学家。变换式原来是洛伦兹在 1904 年研 究电磁场理论时提出来的，当时并未给予正确解释。第二年爱因斯坦从新的观点独立地导出 了这个变换式。通常以洛伦兹命名。
大学物理知识点整理
⼤学物理知识点整理⼀、质点：是物体的理想模型。
它只有质量⽽没有⼤⼩。
平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状⼤⼩对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。
⼆、⼒：是物体间的相互作⽤。
分为接触作⽤与场作⽤。
在经典⼒学中，场作⽤主要为万有引⼒（重⼒），接触作⽤主要为弹性⼒与摩擦⼒。
1、弹性⼒：（为形变量）2、摩擦⼒：摩擦⼒的⽅向永远与相对运动⽅向（或趋势）相反。
固体间的静摩擦⼒：（最⼤值）固体间的滑动摩擦⼒：3、流体阻⼒：或。
4、万有引⼒：特例：在地球引⼒场中，在地球表⾯附近：。
式中R为地球半径，M为地球质量。
在地球上⽅（较⼤），。
在地球内部（），。
三、惯性参考系中的⼒学规律⽜顿三定律⽜顿第⼀定律：时，。
⽜顿第⼀定律阐明了惯性与⼒的概念，定义了惯性系。
⽜顿第⼆定律：普遍形式：；经典形式：（为恒量）⽜顿第三定律：。
⽜顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动⼒学基本规律，是经典⼒学的基础。
四、⾮惯性参考系中的⼒学规律1、惯性⼒：惯性⼒没有施⼒物体，因此它也不存在反作⽤⼒。
但惯性⼒同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性⼒就是参考系的加速度效应。
2、引⼊惯性⼒后，⾮惯性系中⼒学规律：五、求解动⼒学问题的主要步骤恒⼒作⽤下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体⽰⼒图，列出分量式的运动⽅程。
变⼒作⽤下的单质点运动：分析⼒函数，选取坐标系，列运动⽅程，⽤积分法求解。
第3章机械能和功⼀、功1、功能的定义式：恒⼒的功：变⼒的功：2、保守⼒若某⼒所作的功仅取决于始末位置⽽与经历的路径⽆关，则该⼒称保守⼒。
或满⾜下述关系的⼒称保守⼒：3、⼏种常见的保守⼒的功：（1）重⼒的功：（2）万有引⼒的功：（3）弹性⼒的功：4、功率⼆、势能保守⼒的功只取决于相对位置的改变⽽与路径⽆关。
由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。
1、常见的势能有（1）重⼒势能（2）万有引⼒势能（3）弹性势能2、势能与保守⼒的关系（1）保守⼒的功等于势能的减少（2）保守⼒为势能函数的梯度负值。
第7讲-狭义相对论基本原理-相对论的时空观
生的两个事件,若在甲惯性系中看是同 时发生的；则在乙惯性系中看就不是 同时发生的,而是在甲惯性系运动的后 方的 那个事件先发生。
沿垂直于相对运动方向发生的 两个事件，不具有同时的相对性。
时间膨胀,或钟慢效应:
Δ t Δ t 1 u2 c2
O O
x x
且O 与 O 重合时，
t 0 ，t 0 。
z z
由时空间隔的绝对性，有：
x x ut
y y
z
z
t t
v v -u a a
— 伽利略变换
牛不顿同力惯学 性中 系力 中和F质 量m都a 的与形参式考不系变的。选择无关，所以在
我们记 （原时） △t ’= 2×10-6s
若没有时间延缓效应,它们从产生到衰变掉 的时间里，是根本不可能到达地面的实验室的：
因为，它走过的距离只有 u△t’=2.99×108×2×10-6 = 600 m！
但事实是, 介子到达了地面实验室！
这可用时间延缓效应来解释：
将运动参考系S’建立在 -上,
（所以能到地面，与实验一致）
我们设想:某人在 u = 0.998c的高速宇宙飞船中渡过 了一天（他是在惯性系中,并没有感到什么不舒服）,
那么用地面惯性系中的一系列钟来测量,
同样道 理,一定会发现他经历了16天！
u
u
t 0
t
t
t
1971年，美空军用两组Cs（铯）原子钟作实验。 实验值：绕地球一周的运动钟变慢 203± 10ns
B x
x
定量分析: 运动的棒长度变了？ l 与 l’ 是什么关系？ 我们利用原时与两地时的关系来定量计算。
狭义相对论
由洛仑兹变换得 为简明起见，假设某一过程发生在 约 定坐标系的 系原点，而且，当两坐标 系原点重合 时 过程开始 。 即 到过程结束时， 系测得所经历的时间为 故 其中 固有时间 原地结束 系观察此过程在 处结束， 结论： 非固有时间大于固有时间。 所经历的时间为非固有时间 位移 即，非固有时间相对于固 过程结束
不是一个亮点，而是 一个亮弧。 一是测量伴星相继两次通过B点所经历的时间；二是测量伴星由B运动到B 所经历的时间（半周期）乘二。两种方法测所得结果并不相等，这是因为在 第二种方法中， 路程 B E B E 但光速 信号传送所需时间不同。 宇宙中存在大量这种物理双星，有些甚至肉眼也能分辨。 精密的天文观测表明，双星的像是很清晰的两个光点，没有 E 天文台 发现亮弧现象。而且两种方法测周期的结果一样。这只能用 光速与光源运动状态无关的观点，才能得到圆满的解释。
在物理学史上企图发现 “以太” 曾作过许多努力（如：斐索实验、光 行差测量、双星周期测量以及麦克耳孙-莫雷精密的光干涉实验等），但 没有成功，最精密的实验所测到的也是“零结果”。
爱因斯坦的观点：
相信自然界有其内在的和谐规律。
（必定存在和谐的力学和电磁学规律。）
相信自然界存在普遍性的相对性原理。
（必定存在更普遍的相对性原理，对和谐的力学和电磁学规律都适用。）
0.357 0.988
0.9 0.8
不能用伽利略速度合成
（反
向）
不计重力只考虑X方向运动 已知 相对于 的速度为
速度例二 ，设两球发生完全非弹性碰撞
，用相对论观点
若
测得两球粘合时的速度为
粘合
直接应用洛仑兹速度变换式
的大小、方向 取决于 值
删节告示
为大纲删节内容
狭义相对论两个基本原理
狭义相对论两个基本原理第一个基本原理是相对性原理。
相对性原理包含两部分：相对性原理的运动学形式和相对性原理的动力学形式。
相对性原理的运动学形式指出，物理定律在所有等速运动的参考系中都成立，而不论这些参考系之间的相对运动如何。
也就是说，在相对于以一些速度作匀速直线运动的参考系而言，物理现象的规律也同样适用于以其他任意速度作匀速直线运动的参考系中。
这个原理的实质是：物体的运动状态有多种可能，而它们都以相对其他物体的速度来描述。
相对性原理的动力学形式表明，在不受力的惯性系中，物体的运动状态是匀速直线运动或静止。
这意味着，不受力的物体会保持它们的运动状态不变。
从更广义的角度来看，这个原理还暗示了所有非重力的力都必须等效于参考系的运动。
第二个基本原理是光速不变原理。
光速不变原理指出，光在真空中的传播速度对于所有的惯性观察者来说都是相同的，无论观察者的速度如何。
换句话说，不论观察者是静止的还是以任何速度相对于光源运动，他们都会测得光速相同。
这与我们通常对速度相加的直觉不同，但实验证据已经证明了这一点。
这两个基本原理构成了狭义相对论的基础，对于我们理解时空的结构有重要的意义。
首先，相对性原理的运动学形式告诉我们，物体的运动状态是相对性的，即与观察者的运动状态有关。
这进一步推动了我们对时空结构的重新认识，引出了后来对时空几何的研究。
其次，相对性原理的动力学形式告诉我们，仅仅通过观察物体的运动状态，我们无法区分出它们所处的参考系。
这导致了狭义相对论中的质能关系，即质量和能量之间的等效性。
质能关系的著名公式E=mc²描述了质量和能量之间的转换关系，它在核物理和粒子物理研究中具有重要的应用。
综上所述，狭义相对论建立在两个基本原理之上：相对性原理和光速不变原理。
这两个原理引导了我们对物体运动方式和时空结构的新认识，对当代物理学的发展产生了深远的影响。
狭义相对论知识点总结
一、狭义相对论的两个基本假设 1、爱因斯坦相对性原理
在任何惯性系中，一切物理规律都相同。
2、光速不变原理
在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率均为c。
二、洛仑兹变换
x x vt
坐
1 (v)2 c
标
y y
正
z z
变 换
t
t
v c2
x
1 (v)2
c
1、同时的相对性
只有在一个惯性系中同时同地发生的事件，在其它惯性 系中必同时发生．
2、长度的收缩
l l0
1
v2 c2
固有长度（原长）： 相对物体静止的惯性系 测得长度.
注意：测量长度一定是同时读取两端坐标取差。
3、时间的延缓
t
tt0
1
v2 c2
固有时间（原时）： 同一地点发生的两事件 的时间间隔 .
四、狭义相对论动力学基础
1、相对论质量：
m m0
1
v2 c2
m0—静止质量
2、相对论动量： P mv m0 v 1 v2 / c2
3、相对论能量：
静能： E 0 m 0 c 2 总能量：E m c 2 动能： Ek mc2 m0c2
４、狭义相对论力学的基本方程
F
x x vt
1 (v)2
逆
c y y
变
z z
换
t
t
v c2
x
1 (v)2
c
ux
dx dt
ux
1
v c2
v ux
速 度 正 变
uy
章狭义相对论基础习题解答
狭义相对论基础习题解答一选择题1. 判断下面几种说法是否正确 ( )(1) 所有惯性系对物理定律都是等价的。
(2) 在真空中，光速与光的频率和光源的运动无关。
(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同。
A. 只有 (1) (2) 正确B. 只有 (1) (3) 正确C. 只有 (2) (3) 正确D. 三种说法都正确解：答案选D 。
2. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？关于上述两个问题的正确答案是：( )A.(1) 同时， (2) 不同时B. (1) 不同时， (2) 同时C.(1) 同时， (2) 同时D. (1) 不同时， (2) 不同时解：答案选A 。
3．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？( )（1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速.（2）质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运动状态而改变（3）在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的.（4）惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。
A. (1)，(3)，(4)B. (1)，(2)，(4)C. (1)，(2)，(3)D. (2)，(3)，(4)解：同时是相对的。
答案选B 。
4. 一宇宙飞船相对地球以0.8c的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头。
飞船上的观察者测得飞船长为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为 ( )A. 90mB. 54mC. 270mD. 150m解： ?x ′=90m, u =0.8 c , 8790/(310)310s t -'∆=⨯=⨯()270m x x u t ''∆=∆+∆=。
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在两坐标系中的坐标为(x,y,z,t)和(x’,y’,z’,t’)
r 位矢分别为： ct和r ct
由
t 时刻，对惯性系 S 有
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 0
对惯性系 S' ，根据光速不变原理，有
y S
y' S'
u
P (x, y, z; t )
(x', y', z'; t' )
x 1 左两式代入 t k t 1 恒等式有： ， u kk 2c 2 k 2 1 2 2 2 2 2 2 2 c k k u c t 2uk u 1 kk xt
2 2 2 c k 1 2 2 1 k 1 x 0 2 u kk
实验结果:
两束光线 t t2 t1 lv 2 / c3 的时间差
当仪器转动 p / 2 后，引起干涉条纹移动
N 0
2l v 2 N c2
迈克耳逊 — 莫雷实验的零结果，说明“以太”本身不存在。
二. 狭义相对论的两个基本假设
1905年，A. Einstein 首次提出了狭义相对论的两个假设 1. 光速不变原理
经典力学相对性原理与绝对时空观密切相关
三. 伽利略变换
在两个惯性系中分析描述同一物理事件 在 t ＝0 时刻，物体在 O 点, S , S' 系重合。t 时刻，物体到 达P点
S r x,y,z,t v x,y,z,t a x,y,z,t
伽利 略变 换式
S r x,y,z,t v x,y,z,t a' x,y,z,t
近代物理不是对经典理论的补充，而是全新的理论。
近代物理不是对经典理论的简单否定。
§15.1 经典力学的相对性原理 伽利略变换
一. 绝对时空观
绝对时间 绝对空间 绝对的、数学的、与物质的存在和运动无关
二. 经典力学的相对性原理
在所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是相同的，
具有相同的数学表达形式。或者说，对于描述力学现象的 规律而言，所有惯性系是等价的。
ay a y
u 是恒量
a ax x
ay a y
a az z
a' a
a az z
请大家自己写出速度、加速度的逆变换式
四. 牛顿运动定律具有伽利略变换的不变性
S S
在牛顿力学中
m
m
a a
F F
F ma F ma
不失一般性，设 等价,可认为 系以-u速度沿x轴负向相对 S 系运动,上两式中有
k k
s
。
xx k 2 ( x ut)(x ut)
设当 到达
oo 重合时发生一个光信号，沿 x(x) 传播，S 中 t 时刻
x ct ， 系中t 时刻到达 x ct 处，则有： S
讨论 (1) Einstein 相对性原理 是 Newton力学相对性原理的发展
(2) 光速不变原理与伽利略的速度合成定理针锋相对
(3) 时间和长度等的测量 • 在牛顿力学中，与参考系无关
• 在狭义相对论力学中，与参考系有关
§15.3 洛伦兹变换
一、洛伦兹坐标变换式的推导※
时空变换关系必须满足
两个基本假设 y S y' S'
dr ' v' dt'
dv a dt
dv ' a' dt'
速度变换和加速度变换式为
v' v u
写成分量式
du a' a dt
v' x v x u a ax du dt x
v' y v y
v' z v z
• 力与参考系无关
• 质量与运动无关
§15.2 狭义相对论的两个基本假设
一. 伽利略变换的困难
Maxwell 电磁场方程组不服从伽利略变换
c 1/ 0 0 2.998 108 m s
迈克耳逊 莫雷实验的零结果
M2
S
迈克耳逊 莫雷实验 对 (1) 光线：O M1 O
在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率具有相同的值
c 299 792 458 m/s
包括两个意思： 光速不随观察者的运动而变化
光速不随光源的运动而变化
2. 相对性原理 一切物理规律在所有惯性系中具有相同的形式 所有惯性系都完全处于平等地位，没有任何理由选某 一个参考系，把它置于特殊的地位。
r
O z' O'
r
x (x' )
逆变换： x x ut
y y
1 β 2
z z
t
t ux c 1 β
2
2
u 式中： c
讨论
(1) 空间测量与时间测量相互影响，相互制约
事 件 1 事 件 2
S x1, y1, z1, t1
S' x'1, y'1, z'1, t'1
l2
(2)
O
l1
(1)
v
以太风
M1
l1 l1 2l1 1 t1 ( ) 2 2 c v c v c 1v / c
P
对 (2) 光线：O M2 O
M2
2l2 1 t2 ( ) 2 2 c 1v / c
由 l1 = l2 = l 和 v << c
vt 2
2l v2 t1 (1 2 ) c c 2l v2 t2 (1 2 ) c 2c
x' y' z' c t' 0
2 2 2 2 2
x y z c t x y z c t
2 2 2 2 2 2 2 2
由第二点基本假设知，在两个参考 系中两者形式完全相同，有：
r
2 2
r
O' x (x' )
O z'
z
由于S系和s’系只有x、x，方向上有相对运动，因此存在：
c
c
u
A S S'
u
M
A' 比 B' 早接收到光信号 1事件先于2 事件发生
A
c
c
事件 2 发生
M
B
结论 沿两个惯性系相对运动方向上发生的两个事件，在其中一 个惯性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则总 是在前一个惯性系运动的后方的那一事件先发生。 讨论 (1) 同时性是相对的。 (2) 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果。 否定了牛顿的绝对时空观。
爱因斯坦
20世纪最伟大的物理学家，1879年3月14日
出生于德国乌尔姆，1900年毕业于瑞士苏黎世联邦工业大学。 1905年，爱因斯坦在科学史上创造了史无前例的奇迹。这一 年的3月到9月半年中，利用业余时间发表了 6 篇论文，在物
理学 3 个领域作出了具有划时代意义的贡献 — 创建了光量
子理论、狭义相对论和分子运动论。 爱因斯坦在1915年到1917年的3年中，还在 3 个不同领 域做出了历史性的杰出贡献 — 建成了广义相对论、辐射量 子理论和现代科学的宇宙论。
事件1：A' 接收到光信号
事件2：B' 接收到光信号
AM BM
A' 、B' 同时接收到光信号
1、2 两事件同时发生
S 闪光发生在M 处
光速仍为 c
而这时， A' 、B' 处的
S S'
u
c
接收器随 S ' 运动。
M S S'
AM A'M BM BM
事件 1 发生
y y，z z，
x 2 c 2t 2 x2 c 2t 2 0
所以：x
上式成为
伽利略变换不能满足上式成立要求，即： t
t
，
x ut
x k x ut ，式中：k 是系数，依假设二， 另一关系式为： k x ut ，根据假设1,两惯性系物理定律 x
第 15 章 狭义相对论力学基础
狭义相对论力学基础要解决的问题： 高速运动物体在不同惯性系下的描述， 从而揭示了时空的相对性的特征（相对论时空 观）。 包括： 经典的相对性描述、代表的时空观及其困难； 相对论时空观提出依据、结论和表述； 相对论时空观下的质点力学问题。
爱因斯坦 (Einstein)
(3) 同时性的相对性否定了各个惯性系具有统一时间的可能性，
二. 时间延缓
在S' 系的 O' 处放置一闪光光源和一信号接收器，在竖直 方向距离 O' 点 h' 的位置处放置一平面反射镜 M' 事件1 事件2 O' 处的闪光光源 发出一光信号
S'
u
y
S S'
y'
u
r
O z
r
O'
P (x, y, z; t ) (x', y', z'; t')
x (x' )
z'
正变换
逆变换
x x ut y y z' z t' t
x x' ut y y z z' t t'
由定义
dr v dt 并注意到 t' t
上式恒等的条件是：t2、xt、x2项系数为0，则有：