2016-2017学年新人教A版必修3高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术学案(精品)
高中数学第一章1.3算法与案例第1课时辗转相除法与更相减损术练习含解析新人教A版必修3
第1课时辗转相除法与更相减损术1．用辗转相除法求60与48的最大公约数时，需要做的除法运算的次数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.因为60＝48×1＋12，48＝12×4，所以只需要做两次除法运算，故选B. 2．下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是( )A．16和12的最大公约数是4B．102和84的最大公约数是6C．85和357的最大公约数是34D．105和315的最大公约数是105解析：选C.85和357的最大公约数是17.3．若mod(m，3)＝2，则m的取值可以是( )A．2 005 B．2 006C．2 007 D．2 008解析：选B.m除以3余2，故选B.4．(2019·河北省武邑中学月考)78与36的最大公约数是( )A．24 B．18C．12 D．6解析：选D.利用更相减损术：78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，因此，78与36的最大公约数为6.故选D.5．运行下面的程序，当输入的数据为84，36时，输出的值为( )A．C．12 D．6解析：选C.本题考查更相减损术，故选C.6．下列说法中正确的为________．①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．解析：依据辗转相除法可知，①②④正确，③错误．答案：①②④7．辗转相除法程序中有一空应填入的是________．答案：8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，如10≡2(mod 4)．如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的i等于________．解析：执行程序框图，由n＝11，i＝1，可得i＝2，n＝13，不满足条件“n≡2(mod 3)”，则i＝4，n＝17；满足条件“n≡2(mod 3)”，不满足条件“n≡1(mod 5)”，则i＝8，n＝25；不满足条件“n≡2(mod 3)”，则i＝16，n＝41；满足条件“n≡2(mod 3)”，且满足条件“n≡1(mod 5)”，退出循环，故输出i的值为16.答案：169．分别用辗转相除法和更相减损术求104与65的最大公约数．解：辗转相除法：第一步：104＝1×65＋39，第二步：65＝1×39＋26，第三步：39＝1×26＋13，第四步：26＝2×13＋0，所以104和65的最大公约数为13.更相减损术：由于65不是偶数，把104和65以大数减小数，并辗转相减，即104－65＝39，65－39＝26，39－26＝13，26－13＝13，所以104和65的最大公约数为13.10．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g，343 g，133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，且每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？解：由题意知每个小瓶装的溶液的质量应是这三种溶液质量的最大公约数．先求147和343的最大公约数，由更相减损术的计算原理得343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49，所以147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g溶液．。
§1.3.1辗转相除法与更相减损术学案
2．两个整数324和135的最大公约数是（ ）
A. 81 B. 54 C. 27 D. 9
3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列对辗转相除法的说法错误的是（）
A．辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早
三、练习
1．用更相减损术求80与36的最大公约数是__________.
2.用辗转相除法求459与357的最大公约数是________.
3.三个数72,120,168的最大公约数是__________.
34．课本中的辗转相除法主要用到的逻辑结构是（ ）
A．顺序结构 B. 条件结威十六中教学导学案学案
课题：
§1.3.1辗转相除法与更相减损术
学科：
数学
年级：
高一年级
课时：
1课时
主备人：
蒋继荣
使用学生：
使用时间：
年月日
学习目标：
1．了解中国古代数学中的算法案例——辗转相除法与更相减损术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献
2．会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数
3．能根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序
B．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数
C．在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法还有更相减损术
D．在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写
二、合作探究
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.
例3 求325，130，270三个数的最大公约数.
例4.用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
2016-2017学年高中数学人教A版必修3课件：1.3 算法案例
求最大公约数 [例 1] 分别用辗转相除法和更相减损术求 779 与 209 的最大
公约数． [解] (1)辗转相除法：
779＝209×3＋152，
209＝152×1＋57，
152＝57×2＋38，
57＝38×1＋19，
38＝19×2.
所以，779 与 209 的最大公约数为 19.
第二十八页，编辑于星期五：十六点 六分。
[随堂即时演练]
1．在对 16 和 12 求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12 －4＝8,8－4＝4.由此可以看出 12 和 16 的最大公约数是( )
A．4 C．16
第二十三页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用] 若六进制数 13m502(6)化为十进制数等于 12 710，求数字 m 的值． 解：因为 13m502(6) ＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2×60 ＝216m＋11 846， 令 216m＋11 846＝12 710， 所以 m＝4.
第二页，编辑于星期五：十六点 六分。
[导入新知]
1．辗转相除法 (1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的 最大公约数 的古老而有效的算法． (2)辗转相除法的算法步骤： 第一步，给定 两个正整数 m，n. 第二步，计算m 除以 n 所得的余数 r .
第三步， m＝n，n＝r.
第四步，若 r＝0，则 m，n 的最大公约数等于 m ；否则返回 第二步 ．
第十页，编辑于星期五：十六点 六分。
[导入新知]
1．进位制 (1)概念：进位制是为了计数和运算方便 而约定的记数系 统，“满几进一”就是几进制． (2)基数：几进制的基数就是 几 ． 2．不同进位制之间的互化 (1)k 进制化为十进制的方法： anan－1…a1a0(k)＝ an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0 (an， an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k,0≤an－1，…，a1，a0＜k)． (2)十进制化为 k 进制的方法—— 除 k 取余数 ．
2016-2017学年高中数学人教A版必修3课件：1.3 算法案例
[活学活用] 用辗转相除法和更相减损术求 1 515 与 600 的最大公约数，需要
运算的次数分别为 A．4,15 ( )
B．5,14 D．4,12
C．5,13
解析：辗转相除法：1515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315 ＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为 15， 且需计算 5 次．用更相减损术法：1515－600＝915，915－600＝ 315,600 － 315 ＝ 285 ， 315 － 285 ＝ 30,285 － 30 ＝ 255,255 － 30 ＝ 225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105 － 30 ＝ 75,75 － 30 ＝ 45,45 － 30 ＝ 15,30 － 15 ＝ 15 ，故最大公约数为 15，且需计算 14 次. 答案：B
－
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋„＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋„＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝„ ＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值， 即 v1＝anx＋an－1，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， „ vn＝vn－1x＋a0. 这样， 求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式 的值．
1.3
算法案例
辗转相除法与更相减损术
[提出问题]
问题 1：如何求 18 与 54 的最大公约数？
提示：短除法．
问题 2：要求 6 750 与 3 492 的最大公约数，上述法还好 用吗？
2016-2017学年高中数学(A版三)配套：第一章 算法初步 §1.3 含答案
§1.3算法案例课时目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平,体会中国古代数学对世界的贡献．1．辗转相除法(1）辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步,m＝n，n＝r.第四步，若r＝0,则m、n的最大公约数等于m；否则,返回第二步．2．更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步,以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：（…(（a n x＋a n－1）x＋a n－2）x＋…＋a1）x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0这样,求n次多项式f(x）的值就转化为求n个一次多项式的值．4．进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k。
把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．一、选择题1．下列说法中正确的个数为（)（1)辗转相除法也叫欧几里得算法；（2）辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；（3）求最大公约数的方法,除辗转相除法之外，没有其他方法;（4)编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句．A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析(1)、(2)、(4)正确，(3)错误．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( ）A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析由于294和84都是偶数，所以用2约简：294÷2＝147，84÷2＝42，又由于147不是偶数，所以147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，42－21＝21,故需做4次减法，故选C。
高二数学教案 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 2
1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术教学要求：理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序.教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程：一、复习准备：1. 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）.2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？（先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法？6436128=⨯+，36∴和28的最大公约数就是64和36的最大公约数，反复进行这个步骤，直至842=⨯，得出4即是36和64的最大公约数.二、讲授新课：1. 教学辗转相除法：例1：求两个正数1424和801的最大公约数.分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数. （适用于两数较大时）①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；（2）若0R ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；（3）若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体，它的程序框图如右图：（师生共析，写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言）练习：求两个正数8251和2146的最大公约数. （乘法格式、除法格式）2. 教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例2：用更相减损术求91和49的最大公约数.分析：更相减损术是利用减法将大数化小，直到所得数相等时，这个数（等数）就是所求的最大公约数. （反思：辗转相除法与更相减损术是否存在相通的地方）练习：用更相减损术求72和168的最大公约数.3. 小结：辗转相除法与更相减损术及比较①都是求最大公约数的方法，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少；②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、巩固练习：1、练习：教材P35第1题四、作业：教材P38第1题。
1-3-1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
版
数
学
必
修
３
第一章 算法初步
求三个数168,56,264的最大公约数． 【思路点拨】应用更相减损术或辗转相除法，先求前两 个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大 公约数．
人 教 Ａ 版 数 学 必 修 ３
第一章 算法初步
解：方法一：(更相减损术)
先求168与56的最大公约数：
168－56＝112,112－56＝56，
＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6而x＝2，
所以有：v0＝1，
v1＝v0x＋a4＝1×2＋2＝4，
v2＝v1x＋a3＝4×2＋3＝11，
人
v3＝v2x＋a2＝11×2＋4＝26，
教 Ａ
v4＝v3x＋a1＝26×2＋5＝57，
版 数 学
v5＝v4x＋a0＝57×2＋6＝120，
必
即当x＝2时，f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6的值为120.
第五步，判断i是否大 于或等于0.若是，则 返回第三步，否则， 输出多项式的值v
第一章 算法初步
程序框图
程序
INPUT “n＝”；n
INPUT “an＝”；a
INPUT “x＝”；x
v＝an
i＝n－1
WHILE i＞＝0
INPUT “ai＝”；a
人
v＝v*x＋ai
教 Ａ
i＝i－1
版 数
WEND
学
PRINT v
版 数
法的步骤是解题关键；
学
必 修
(2)辗转相除的运算要仔细认真，不要出现运算错误．
３
第一章 算法初步
1．用辗转相除法求5 280与12 155的最大公约数．
高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法习题 新人教A版必修3
第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1.利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+…+6x5当x=2时的值时,下列说法正确的是( )A.先求1+2×2B.先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4C.f(2)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D.以上都不对解析:利用秦九韶算法应先算a n x+a n-1,再算(a n x+a n-1)x+a n-2.答案:B2.用更相减损术求117和182的最大公约数时,需做减法的次数是( )A.5B.6C.7D.8答案:B3.1037和425的最大公约数是( )A.51B.17C.9D.3解析:用辗转相除法计算如下:所以1037和425的最大公约数是17.答案:B4.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时,v4的值为( )A.-57B.220C.-845D.3392解析:由秦九韶算法有:v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.答案:BA.5B.25C.75D.50解析:先求175与100的最大公约数:175=100×1+75,100=75×1+25,75=25×3.则175与100的最大公约数是25.以下再求25与75的最大公约数:答案:B6.3141与1278的最大公约数为.解析:用辗转相除计算:所以3141与1278的最大公约数为9.答案:97.已知多项式p(x)=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11,当x=3时的值为1616,则k=.解析:p (x)=((((3x+9)x+1)x+k)x+4)x+11,p(3)=((((3×3+9)3+1)3+k)3+4)×3+11=1616.所以k=12.答案:128.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343 g,133 g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多装g.解析:先求147与343的最大公约数:147-49=98,98-49=49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数:133-49=84,84-49=35,49-35=14,35-14=21,21-14=7,14-7=7.即每瓶最多装7g.答案:79.求1356和2400的最小公倍数.解:2400=1356×1+1044,1356=1044×1+312,1044=312×3+108,312=108×2+96,108=96×1+12,96=12×8.所以1356与2400的最大公约数为12.则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12=271200.10.用秦九韶算法求当x=2时多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1的值.解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下的形式:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值,v0=8;v1=8×2+5=21;v2=21×2+0=42;v3=42×2+3=87;v4=87×2+0=174;v5=174×2+0=348;v6=348×2+2=698;v7=698×2+1=1397.故当x=2时,多项式的值为1397.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
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1.3.1 辗转相除法与更相减损术
〖学习目标〗
1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用；
2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序；熟练运用这两种算法求最大公约数．3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力．
〖重点难点〗随记
重点：掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．
难点：对辗转相除法与更相减损术的算法的基本思想的理解.
〖导学过程〗
板块一：课前自学
1 ．回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑
结构）、程序语言（五种基本语句）．
2．回顾求两个数的最大公约数的方法．
①24与30的最大公约数．
②求较大的两个数210与462的最大公约数．
板块二：新知探究
1 ．问题提出：当两个数公有的质因数（如8251与6105）
较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？
2 ．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，
此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又
叫欧几里得算法．
3．师生探究：
例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数．
探究1：用辗转相除法求两个正数225和135的最大公约数．
探究2：辗转相除法算法步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？
请画出用辗转相除法求两个数的最大大公约数的程序框图，并编写程序？
4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？
5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．
6．师生再探：
例2 ．用更相减损术求91与49的最大公约数．
探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数?
探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，并用辗转相除法检验结果．
探究5: “更相减损术”蕴含的数学原理是什么？
思考: “辗转相除法”与“更相减损术”的区别是什么？
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显．
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为则得到，而更相减损术则以减数与差而得到．
板块三：知识拓展
问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？
例3．求三个数175、100、75的最大公约数．
板块四：课堂总结
1．“辗转相除法”与“更相减损术”都是求最大公约数有的效方法；
2．计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．3．求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三数的最大公约数来求得．
板块五：当堂反馈
1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．两个整数228和1995的最大公约数是（）
A． 38 B．57 C．76 D．171
3．用更相减损术求得78与36 的最大公约数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
4．是我国古代数学专著《》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．
5．求三个数324、243、135的最大公约数．
6．求四个数84、108、132，156的最大公约数．
7．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数．
板块六：分层作业：A层做1—3题；B层做1—2题．
1．（1）36与182的最大公约数为；
（2）1978与2008的最大公约数为；
（3）1624与899的最大公约数为；
（4）204与85的最大公约数为；
2．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果（1）300，2007；（2）5280，12155．
3．求三个数168、56、264的最大公约数．
思考题：请设计用“更相减损术”求两个数的最大大公约数的程序．
板块七：课后学习反思：。