高中数学必修3第一章 1.1.1

§1.1算法与程序框图

1.1.1算法的概念

学习目标

1.了解算法的含义和特征.

2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.

知识点一算法的概念

思考解决一个问题的算法是唯一的吗？

答案不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分.

梳理算法的概念

12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

知识点二算法的特征

算法的五个特征

(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.

(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列.

(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题.

(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.

特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.

知识点三算法的设计

思考自然语言是唯一描述算法的语言吗？

答案不是.描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等.

梳理(1)设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.

(2)设计算法的要求

①写出的算法必须能解决一类问题.

②要使算法尽量简单、步骤尽量少.

③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

1.算法是解决一个问题的方法.(×)

2.一个算法可以产生不确定的结果.(×)

3.算法的步骤必须是明确的、有限的.(√)

类型一算法概念的理解

例1下列关于算法的说法，正确的个数有()

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果.

A.1

B.2

C.3

D.4

考点算法的概念

题点 算法概念的辨析 答案 C

解析 由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.

反思与感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.

跟踪训练1 下列说法中是算法的有________.(填序号) ①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1； ③求以A (1,1)，B (－1，－2)两点为端点的线段AB 的中垂线方程，可先求出AB 的中点坐标，再求k AB 及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB 的中垂线方程；

④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24； ⑤1

2x ＞2x ＋4. 考点 算法的概念 题点 算法的步骤问题 答案 ①②③④

解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排； ②给出了解一元一次不等式这类问题的解法； ③给出了求线段的中垂线的方法及步骤； ④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果. 故①②③④都是算法. 类型二 算法的阅读理解

例2 下面算法要解决的问题是__________________________________________________. 第一步，输入三个数，并分别用a ，b ，c 表示.

第二步，比较a 与b 的大小，如果a

答案输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出

解析第一步是给a，b，c赋值.

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，所以a>b>c.

第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列.

反思与感悟一个算法的作用往往并不显而易见，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道.

跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法： 第一步，输入a .

第二步，若a ≥3，则执行第三步，否则执行第四步. 第三步，输出a ＋5. 第四步，输出3a ＋4.

这个算法解决的问题是_________________________________________________________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计

答案 求函数f (x )＝?

????

x ＋5，x ≥3，

3x ＋4，x <3

当x ＝a 时的函数值f (a ). 类型三 算法的设计与应用

命题角度1 直接应用数学公式设计算法

例3 有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 数值型的算法设计

解 如图，先给r ，l 赋值，计算h ，再根据圆锥体积公式V ＝1

3

πr 2h 计算V ，然后输出结果.

第一步，令r ＝3，l ＝5. 第二步，计算h ＝

l 2－r 2.

第三步，计算V ＝1

3πr 2h .

第四步，输出运算结果.

反思与感悟利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法.

跟踪训练3已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.

考点算法的设计与应用

题点其它数值型的算法设计

解第一步，输入a的值.

的值.

第二步，计算l＝a

3

第三步，计算S＝3

2的值.

4×l

第四步，输出S的值.

命题角度2非数值性问题的算法

例4所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法.

考点算法的设计与应用

题点循环型算法设计

解算法如下：

第一步，给出任意一个正整数n(n＞1).

第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束.

第三步，令m＝1.

第四步，将m的值增加1，仍用m表示.

第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束.

第六步，判断m能否整除n，

①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；

②如果不能整除，则转第四步.

反思与感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤

(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法.

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.

跟踪训练4判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

考点算法的设计与应用

题点循环型算法设计

解第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i ＝2.

第三步，用i 除n ，得到余数r .

第四步，判断“r ＝0”是否成立.若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.

第五步，判断“i >(n －1)”是否成立.若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步.

1.下列关于算法的说法正确的是( ) A.一个算法的步骤是可逆的 B.描述算法可以有不同的方式

C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题

D.算法只能用一种方式显示 考点 算法的概念 题点 算法概念的辨析 答案 B

解析 由算法的定义知A ，C ，D 错.

2.计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是( ) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)

②S ＝12＋14＋18＋…＋1

2100＋…；

③S ＝12＋14＋18＋…＋1

2n (n ≥1，n ∈N *).

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

考点 算法的特点

题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 B

解析 由算法的有限性知②不能设计算法求解，①③都能通过有限步输出确定结果. 3.已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步： (1)计算c ＝a 2＋b 2；

(2)输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； (3)输出斜边长c 的值. 其中正确的顺序是________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 (2)(1)(3)

解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.

4.下面是解决一个问题的算法： 第一步：输入x .

第二步：若x ≥4，转到第三步；否则转到第四步. 第三步：输出2x －1. 第四步：输出x 2－2x ＋3.

当输入x 的值为________时，输出的数值最小值为________. 考点 算法的特点 题点 数值型的算法设计 答案 1 2

解析 所给算法解决的问题是求分段函数f (x )＝?????

2x －1，x ≥4，

x 2－2x ＋3，x ＜4

的函数值问题，当x ≥4

时，f (x )＝2x －1≥2×4－1＝7；当x ＜4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以f (x )min ＝2，此时x ＝1.即输入x 的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.

5.写出解二元一次方程组?????

3x －2y ＝－1，①

2x ＋y ＝1②

的算法.

考点 算法的设计与应用 题点 解方程组的算法设计 解 第一步，①＋2×②得7x ＝1.

③

第二步，解③得x ＝1

7

.

第三步，②×3－①×2得7y ＝5.

④

第四步，解④得y ＝5

7

.

第五步，得到方程组的解为???

x ＝17

，y ＝5

7.

1.算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性.

2.算法设计的要求：

(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用. (2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.

(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.

一、选择题

1.下列可以看成算法的是()

A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B.今天餐厅的饭真好吃

C.这道数学题难做

D.方程2x2－x＋1＝0无实数根

考点算法的概念

题点算法概念的辨析

答案 A

解析A是学习数学的一个步骤，所以是算法.

2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是()

A.这个算法可以求所有的零点

B.这个算法可以求任何方程的零点

C.这个算法能求所有零点的近似解

D.这个算法可以求变号零点的近似解

考点算法的特点

题点判断问题是否可以设计算法求解

答案 D

解析二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.

3.有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为()

A.2

B.3

C.4

D.5

考点算法的设计与应用

题点应用问题的算法设计

答案 B

解析第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.

4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是()

A.第一步，洗脸刷牙.第二步，刷水壶.第三步，烧水.第四步，泡面.第五步，吃饭.第六步，听广播

B.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，吃饭.第五步，听广播

C.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，吃饭同时听广播

D.第一步，吃饭同时听广播.第二步，泡面.第三步，烧水同时洗脸刷牙.第四步，刷水壶

考点算法的设计与应用

题点应用问题的算法设计

答案 C

解析最好算法的标准是方便、省时、省力.

A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)，

B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31(min)，

C中共需2＋8＋3＋10＝23(min)，

D中共需10＋3＋8＋2＝23(min)，但算法步骤不合理，最好的算法为C.

5.对于求18的正因数，给出下列两种算法：

算法1：

第一步，1是18的正因数，将1列出.

第二步，2是18的正因数，将2列出.

第三步，3是18的正因数，将3列出.

第四步，4不是18的正因数，将4剔除.

……

第十八步，18是18的正因数，将18列出.

算法2：

第一步，18＝2×9.

第二步，18＝2×32.

第三步，列出所有的正因数1,2,3,32,2×3,2×32. 则这两个算法( ) A.都正确

B.算法1正确，算法2不正确

C.算法1不正确，算法2正确

D.都不正确

考点 算法的设计与应用 题点 数值型算法设计 答案 A

解析 算法1是用1～18的整数逐一验证，得出正因数.算法2是利用因数分解得到18的正因数.两种算法都正确.故选A.

6.下列各式中T 的值不能用算法求解的是( ) A.T ＝12＋22＋32＋42＋…＋1002 B.T ＝12＋13＋14＋15＋…＋150

C.T ＝1＋2＋3＋4＋5＋…

D.T ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100 考点 算法的特点

题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 C

解析 根据算法的有限性知C 不能用算法求解. 7.一个算法步骤如下： 第一步，S 取值0，i 取值1.

第二步，若i ≤9，则执行第三步；否则，执行第六步. 第三步，计算S ＋i 并用结果代替S . 第四步，用i ＋2的值代替i . 第五步，转去执行第二步. 第六步，输出S .

运行以上算法，则输出的结果S 等于( ) A.16 B.25

C.36

D.以上均不对

考点 算法的设计与应用

题点循环型算法设计

答案 B

解析解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.

8.对于算法：

第一步，输入n.

第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步.

第三步，依次从2到(n－1)检验能不能被n整除，若不能被n整除，则执行第四步；若能整除n，则结束算法.

第四步，输出n.

满足条件的n是()

A.质数

B.奇数

C.偶数

D.约数

考点算法的设计与应用

题点循环型算法设计

答案 A

解析此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.

9.结合下面的算法：

第一步，输入x.

第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步.

第三步，输出x－1.

当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为()

A.－1,0,1

B.－1,1,0

C.1，－1,0

D.0，－1,1

考点算法的概念

题点算法功能的判断与结果的求解

答案 C

解析依据算法可知，当x＝－1时，满足x<0，则输出x＋2＝－1＋2＝1；当x＝0时，不满足x<0，则输出x－1＝0－1＝－1；当x＝1时，不满足x<0，则输出x－1＝1－1＝0.故选C.

二、填空题

10.下面给出了解决问题的算法：

第一步：输入x.

第二步：若x ≤1，则y ＝2x －1，否则y ＝x 2＋3. 第三步：输出y .

(1)这个算法解决的问题是________；

(2)当输入的x 值为________时，输入值与输出值相等.

答案 (1)求分段函数y ＝?

????

2x －1，x ≤1，

x 2＋3，x >1的函数值

(2)1

11.以下是解二元一次方程组?

????

2x －y ＋6＝0， ①

x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整.

第一步，①②两式相加得3x ＋9＝0.③ 第二步，由③式可得________.④ 第三步，将④式代入①式得y ＝0. 第四步，输出方程组的解为________. 考点 算法的设计与应用 题点 解方程组的算法设计

答案 x ＝－3 ?

????

x ＝－3，

y ＝0

解析 该算法的流程实质是解二元一次方程组的过程，由消元法易得. 12.下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________. 第一步，先将15分解素因数：15＝3×5. 第二步，然后将18分解素因数：18＝32×2. 第三步，确定它们的所有素因数：2,3,5.

第四步，计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 第四步

解析 素因数2,3,5的最高指数是1,2,1，算出它们的最小公倍数为2×32×5＝90. 三、解答题

13.某商场举办优惠促销活动.若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折.请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x ，输出实际交款额y . 考点 算法的设计与应用 题点 应用问题的算法设计 解 算法步骤如下：

第一步，输入购物金额x(x>0).

第二步，判断“x>800”是否成立，若是，则y＝0.7x，转第四步；否则，执行第三步.

第三步，判断“x>400”是否成立，若是，则y＝0.8x，转第四步；否则，y＝x.

第四步，输出y，结束算法.

四、探究与拓展

14.如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆子上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移动到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上，最少需要移动的次数是________.

考点算法的设计与应用

题点应用问题的算法设计

答案7

解析直接进行分析，将最小的碟子命名为①，中间的

碟子命名为②，最大的碟子命名为③，进行如下移动：①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，

②→A，①→A，此时按要求全部放好，移动7次.

15.给出下列算法：

第一步，输入x的值.

第二步，当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步.

第三步，计算y＝4－x.

第四步，输出y.

当输入x＝0时，输出y＝________.

考点算法的特点

题点具体问题的算法设计

答案 2

解析0＜4，执行第三步，y＝4－0＝2.