高中数学必修3第二章 2.1
苏教版高中数学必修三第二章-统计2.1.2ppt课件
1．将总体 平均 分成几个部分，然后按照一定的 规则 ， 从每个部分中抽取 一个个体 作为样本，这样的抽样方法称 为系统抽样． 2． 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本， 系 统抽样的步骤为： (1)采用 随机的方式 将总体中的 N 个个体编号．
N N N (2)将编号按间隔 k 分段，当 是整数时，取 k＝ ；当 不 n n n 是整数时，从总体中 剔除一些个体 ，使剩下的总体中个体 N′ 的个数 N′ 能被n整除 ，这时取 k＝ n ，并将剩下的 总体重新编号． (3)在第一段中用 简单随机抽样 确定起始的个体编号 l. (4)按照一定的规则抽取样本， 通常将编号为 l， l＋k ，
【自主解答】
中奖号码的获得方法可以看做分段间隔
100 000 为 1 000，把总体分为 1 000 ＝100 段，在第 1 段中抽取 000 345， 在第 2 段中抽取 001 345， „， 在第 100 段中抽取 099 345， 组成样本． 显然该抽样方法符合系统抽样的特点，因此采用的是系 统抽样．
l＋2k ，„， l＋(n－1)k 的个体抽出.
系统抽样的概念
编号为 000 001～100 000 的体育彩票，凡彩票 号码最后三位数为 345 的中一等奖，这种抽奖过程是系统抽 样吗？为什么？
【思路探究】
分析上述中奖号码的获得是否满足：确
定间隔，总体分段，在第一段中确源自起始的个体编号，每段 内按规则取编号．若满足就可以确定为系统抽样．
(3)在第一部分，即 1 号到 100 号用简单随机抽样，抽取 一个号码，比如是 56. (4)以 56 作为起始数，然后顺次抽取 156,256,356，„， 14 956，这样就得到一个容量为 150 的样本．
高中数学必修三习题：第二章2.1-2.1.1简单随机抽样含答案
第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样A级基础巩固一、选择题1．下面抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)解析：A中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．答案：D2．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )A．总体是240名B．个体是每一个学生C．样本是40名学生D．样本容量是40解析：在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40.答案：D3．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为( )A．36% B．72%C．90% D．25%解析：3640×100%＝90%.答案：C4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310解析：根据简单随机抽样的定义知个体a两次被抽到的可能性相等，均为110.答案：A5．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①01，02，03，…，100；②001，002，003，…，100；③00，01，02，…，99.其中正确的序号是( )A．①②B．①③C．②③D．③解析：根据随机数表法的要求，只有编号数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．答案：C二、填空题6．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①制签；②抽签；③将签摇匀；④编号；⑤将抽取的号码对应的个体取出，组成样本．这些步骤的正确顺序为________．解析：由抽签法的步骤知，正确顺序为④①③②⑤.答案：④①③②⑤7．齐鲁风采“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1，2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．解析：30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．答案：抽签法8．一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是___________________________________________________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 3281 76 80 26 92 82 80 84 25 3990 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 3596 35 23 79 18 05 98 90 07 3546 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 3216 46 70 50 80 67 72 16 42 7920 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 7080 60 47 18 97 63 49 30 21 3071 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 4982 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．答案：18，00，38，58，32，26，25，39三、解答题9．某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．解：方案如下：第一步，将18名志愿者编号，号码为01，02，03， (18)第二步，符号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．10．现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？解：第一步，将元件的编号调整为010，011，012，...，099，100， (600)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数9.第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544，354，378，520，384，263.第四步，与以上这6个号码对应的6个元件就是所要抽取的样本．B 级 能力提升1．(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石解析：254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169.故这批米内夹谷约为169石．答案：B2．从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为25%，则N ＝________．解析：依题意有30N＝25%，解得N ＝120. 答案：1203．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．解：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01～30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1～20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．。
算法框图的基本结构及设计-顺序结构与选择结构
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写出流程图（如下图）的运行结果 120
开始 t=1 t=t×1 t=t×2 t=t×3 t=t×4 t=t×5 输出t 结束
.
20
五、课后巩固：
作业：课本P88 练习1, 2
出的位置。
（3）处理框用“ ”表示，用来表示计算，赋值等处理操作，
有一个入口和一个出口。
（4）判断框用“
”表示，用来判断给出的条件是否成立，根
据判断结果决定后面的操作。判断框有一个入口和两个出口，它是 惟一的具有两个出口的框图符号。在出口处要分别标明“是”与
“否”（也可用“Y”与“N”），表示条件的成立与否。
一个算法都离不开的最简单，最基本的结构。
5、选择结构也叫
根据 条件 做出
分支结构
判断
或 条件结构
，是先
，再决定执行哪一种操作的结构。
6、完成下面的表格；
图形符号 名称 终端框 （起止框） 功能
表示一个算法的起始和结束
表示输入和输出的信息 赋值和计算 用于判断某一个条件是否成立 连接流程框，指明程序方向
1, y 0 . 01 x , 50 , x 100 100 x 5000 x 5000
y=1
Y
输入x的 值
x 100
N
Y N
x 5000
ห้องสมุดไป่ตู้
y=0.01x
y=50
输 出
y
结束
三、课堂小结： 1、算法框图的概念 2、各种程序框的功能 3、顺序结构和选择结构的算法框图
输入、输出框
处理框 （执行框） 判断框 流程线
关于程序框的使用说明：
（1）起止框用“ ”表示，是任何流程图都不可缺少的，它表 明程序的开始和结束，表示开始时只有一个出口，表示结束时只有
人教版高中数学必修三 2.1《随机抽样》知识梳理+跟踪检测
人教版高中数学必修三 第二章 统计2.1《随机抽样》知识梳理知识点一：简单随机抽样1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样⎩⎨⎧随机数法抽签法 3．简单随机抽样的优点及适用类型简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个体数不多的情况下是行之有效的．知识点二：系统抽样1．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n(n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k)，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．知识点三：简单随机抽样1．分层抽样的概念 在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．人教版高中数学必修三第二章统计2.1《随机抽样》跟踪检测一、选择题1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行()A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况2．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量3．某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是()A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则()A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1 5B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( )A ．16B ．14C ．28D ．126．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为( )A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，87．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．8．某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和2s ,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. 22,100x s +B. 22100,100x s ++C. 2,x sD. 2100,x s +9．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概念进行分析；②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是()A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样11．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.16712．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为()A．2个B．3个C．5个D．13个13．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,614．对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,5315．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在用分层抽样法抽取20人，则各年龄段人数分别是()A．7,4,6 B．9,5,6 C．6,4,9 D．4,5,916．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36二、填空题17．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________. 18．博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是________人．19．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．20．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．21．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.人．三、解答题22．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？23．某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？24．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的调查方案：学生A：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快估计出小区平均每户居民的月用水量．学生B：我给我们居民小区的每一个住户发一个用水量调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．学生C：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量．请问：对上述3种学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有什么建议？2.1《随机抽样》跟踪检测解答一、选择题1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行()A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况[答案] D2．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量[答案] C3．某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是()A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对[答案] C[解析]按照一定的规律进行抽取为系统抽样．4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则()A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此 C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同[答案] A[解析] 无论采用哪种抽样,每个个体被抽到的概率相等.5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( )A ．16B ．14C ．28D ．12[答案] A[解析] 运动员共计98人，抽取比例为2898＝27，因此男运动员56人中抽取16人．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为( )A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8[答案] C[解析] 由题意得x ＝15，16.8＝51(9＋15＋10＋y ＋18＋24) y ＝8，选C. 7．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．8．某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和2s ,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A. 22,100x s + B. 22100,100x s ++ C. 2,x s D. 2100,x s +[答案] D[解析] 设增加工资后10位员工下月工资均值为'x ,方差为2's , 则平均数()()()12101'10010010010x x x x =++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦ ()1210110010010x x x x =++++=+; ()()()222212101'100'100'100'10s x x x x x x ⎡⎤=+-++-+⋅⋅⋅++-⎣⎦ ()()()22221210110x x x x x x s ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦.故选D . 9．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概念进行分析；②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④[答案] D10．下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是( )A ．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B ．某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[答案] C[解析] A 中总体有明显层次，不适用系统抽样法；B 中样本容量很小，适宜用简单随机抽样法中的随机数法；D 中总体数很小，故适宜用抽签法，只有C 比较适用系统抽样法．11．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167[答案] C[解析] 由图可知该校女教师的人数为()11070%150160%7760137⨯+⨯-=+= 故选C12．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．13个[答案] A[考点]分层抽样方法[分析]由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x 个，则30030＝20x ，即可得出结论．解：由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x 个，则30030＝20x ， ∴x=2，故选A ．[点评]本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．13．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,6[答案] D[解析]由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×4 20＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.14．对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,53[答案] A[解析]样本中共有30个数据,中位数为4547462+=;显然样本中数据出现次数最多的为45,故众数为45;极差为68－12＝56,故选A.15．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在用分层抽样法抽取20人，则各年龄段人数分别是()A．7,4,6 B．9,5,6 C．6,4,9 D．4,5,9[答案] B[解析]各年龄段所选分别为20100×45＝9，20100×25＝5，20100×30＝6.16．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36[答案] B[解析]设该单位老年职工有x人，从中抽取y人．则160＋3x＝430⇒x＝90，即老年职工有90人，则90160＝y32⇒y＝18.故选B.二、填空题17．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________. [答案]30[解析]由题意，知22＋3＋5×n＝6，∴n＝30.18．博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是________人．[答案]760[解析]设该校女生人数为x，则男生人数为(1 600－x)．由已知，2001 600×(1 600－x)－2001 600·x＝10，解得x＝760.故该校的女生人数是760人．19．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．[答案] 5.7%[解析]∵990∶99 000＝1∶100，∴普通家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为50×100＝5 000(户)．又∵100∶1 000＝1∶10，∴高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为70×10＝700(户)．∴3套或3套以上住房的家庭约有5 000＋700＝5 700(户)．故5 700100 000＝5.7%.20．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．[答案]3720[解析]由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．21．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.生活能否自理人数性别男女能178 278不能23 21人．[答案]60[解析]由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以该地区15 000位老人生活不能自理的男性比女性多2×15 000500＝60(人)．三、解答题22．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2 435 4 5673 926 1 07260人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？解：可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占2 43512 000，应取60×2 43512 000≈12(人)；“喜爱”占4 56712 000，应取60×4 56712 000≈23(人)；“一般”占3 92612 000，应取60×3 92612 000≈20(人)；“不喜爱”占1 07212 000，应取60×1 07212 000≈5(人)．因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．23．某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？解：(1)将624名职工用随机方式编号由000至623.(2)利用随机数法从总体中剔除4人．(3)将剩下的620名职工重新编号由000至619.(4)分段，取间隔k＝62062＝10，将总体分成62组，每组含10人．(5)从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l.(6)按编号将l,10＋l,20＋l，…，610＋l，共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本．24．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的调查方案：学生A：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快估计出小区平均每户居民的月用水量．学生B：我给我们居民小区的每一个住户发一个用水量调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．学生C：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量．请问：对上述3种学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有什么建议？解：学生A的方法得到的样本不能够反映不上网的居民情况，是一种方便样本，所得的结果代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量；学生B 的方法实际上是普查，花费的人力物力要多一些，但是如果统计过程不出错，可以准确地得到平均每户居民的月用水量；在小区的每户居民都装有电话的情况下，学生C的方法是一种随机抽样方法，所得的样本具有代表性，可以比较准确地获得平均每户居民的月用水量．在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样的方法获取数据，即用学生C的方法，以节省人力物力，并且可以得到比较精确的结果.5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆy x =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆy x =-+ [答案] A[解析] 变量x 与y 正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.∵变量x 与y 正相关,∴可以排除C,D;样本平均数3x =, 3.5y =,代入A 符合,B 不符合,故选A.。
高中数学必修三课后习题答案
高中数学必修三课后习题答案第一章 算法初步 1．1算法与程序框图练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r .第二步，计算以r 为半径的圆的面积2S r π=.第三步，得到圆的面积S .2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n .第二步，令1i =.第三步，用i 除n ，等到余数r .第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示.第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步.练习（P19）算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =.的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b am =-.第四步，若m d <，则得到5a；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返回第二步. 第五步，输出5a.程序框图：习题1.1 A 组（P20）1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题.为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元，那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,071.9 4.9,7x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩我们设计一个算法来求上述分段函数的值.算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x .第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =；若不是，则计算 1.9 4.9y x =-.第三步：输出用户应交纳的水费y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0.第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2.第四步：i = i +1，返回第二步.程序框图：3、算法步骤：第一步，输入人数x ，设收取的卫生费为m 元.第二步：判断x 与3的大小. 若x >3，则费用为5(3) 1.2m x =+-⨯；若x ≤3，则费用为5m =.第三步：输出m .程序框图：B 组 1、算法步骤：第一步，输入111222,,,,,a b c a b c ..第二步：计算21121221b c b c x a b a b -=-.第三步：计算12211221a c a c y ab a b -=-.第四步：输出,x y .程序框图：INPUT “a ，b=”；a ，bsum=a+b diff=a －b pro=a*b quo=a/bPRINT sum ，diff ，pro ，quoEND2、算法步骤：第一步，令n =1第二步：输入一个成绩r ，判断r 与6.8的大小. 若r ≥6.8，则执行下一步；若r<6.8，则输出r ，并执行下一步.第三步：使n 的值增加1，仍用n 表示.第四步：判断n 与成绩个数9的大小. 若n ≤9，则返回第二步；若n >9，则结束算法.程序框图：说明：本题在循环结构的循环体中包含了一个条件结构.1．2基本算法语句 练习（P24） 1、程序：2、程序：3、程序：练习（P29） 1、程序：INPUT “a ，b ，c=”；a ，b ，cIF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN PRINT “Yes.” ELSEPRINT “No.” END IF INPUT “a ，b ，c=”；a ，b ，cp=(a+b+c)/2 s=SQR(p*(p －a) *(p －b) *(p －c)) PRINT “s=”；s END INPUT “F=”；F C=(F －32)*5/9 PRINT “C=”；C END4、程序： INPUT “a ，b ，c=”；a ，b ，csum=10.4*a+15.6*b+25.2*c PRINT “sum =”；sum END2、本程序的运行过程为：输入整数x . 若x 是满足9<x <100的两位整数，则先取出x 的十位，记作a ，再取出x 的个位，记作b ，把a ，b 调换位置，分别作两位数的个位数与十位数，然后输出新的两位数. 如输入25，则输出52. 34练习（P32） 1 2习题1.2 A 组（P33）1、1(0)0(0)1(0)x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪+>⎩23、程序： 习题1.2 B 组（P33） 1、程序：23 41．3算法案例 练习（P45） 1、（1）45； （2）98； （3）24； （4）17. 2、2881.75.3、2200811111011000=（） ，820083730=（） 习题1.3 A 组（P48） 1、（1）57； （2）55. 2、21324.3、（1）104； （2）7212（） （3）1278； （4）6315（）.4、习题1.3 B 组（P48）1、算法步骤：第一步，令45n =，1i =，0a =，0b =，0c =.第二步，输入()a i .第三步，判断是否0()60a i ≤<. 若是，则1a a =+，并执行第六步. 第四步，判断是否60()80a i ≤<. 若是，则1b b =+，并执行第六步. 第五步，判断是否80()100a i ≤≤. 若是，则1c c =+，并执行第六步. 第六步，1i i =+. 判断是否45i ≤. 若是，则返回第二步.2、如“出入相补”——计算面积的方法，“垛积术”——高阶等差数列的求和方法，等等. 第二章复习参考题A组（P50）1、（1）程序框图：程序：1、（2）程序框图：程序：2、见习题1.2 B组第1题解答.INPUT “x=”；x IF x<0 THENy=0ELSEIF x<1 THENy=1ELSEy=xEND IFEND IFPRINT “y=”；y ENDINPUT “x=”；x IF x<0 THENy=（x＋2）＾2 ELSEIF x=0 THENy=4ELSEy=（x－2）＾2 END IFEND IFPRINT “y=”；y END34、程序框图：程序：INPUT “t=0”；t IF t<0 THEN PRINT “Please input again.”ELSE IF t>0 AND t<=180 THENy=0.2ELSEIF （t －180） MOD 60＝0 THENy=0.2＋0.1*（t-180）／60ELSEy=0.2＋0.1*（（t-180）＼60＋1）END IFEND IFPRINT “y=”；yEND IF END INPUT “n=”；n i=1 S=0WHILE i<=n S=S+1／i i=i+1 WENDPRINT “S=”；S END5、 （1）向下的运动共经过约199.805 m （2）第10次着地后反弹约0.098 m （3）全程共经过约299.609 m 第二章 复习参考题B 组（P35）1、 2、3、算法步骤：第一步，输入一个正整数x 和它的位数n . 第二步，判断n 是不是偶数，如果n 是偶数，令2n m =;如果n 是奇数，令12n m -=. 第三步，令1i =i=100 sum=0 k=1 WHILE k<=10 sum=sum+i i=i ／2 k=k+1 WEND PRINT “（1）”；sum PRINT “（2）”；i PRINT “（3）”；2*sum －100 ENDINPUT “n=”；n IF n MOD 7=0 THEN PRINT “Sunday ” END IF IF n MOD 7=1 THEN PRINT “Monday ” END IF IF n MOD 7=2 THEN PRINT “Tuesday ” END IF IF n MOD 7=3 THEN PRINT “Wednesday ” END IF IF n MOD 7=4 THEN PRINT “Thursday ” END IF IF n MOD 7=5 THEN PRINT “Friday ” END IF IF n MOD 7=6 THEN PRINT “Saturday ” END IF END第四步，判断x 的第i 位与第(1)n i +-位上的数字是否相等. 若是，则使i 的值增加1，仍用i 表示；否则，x 不是回文数，结束算法.第五步，判断“i m >”是否成立. 若是，则n 是回文数，结束算法；否则，返回第四步.第二章 统计 2．1随机抽样 练习（P57）1、.况之间有误差. 如抽取的部分个体不能很好地代表总体，那么我们分析出的结果就会有偏差. 2、（1）抽签法：对高一年级全体学生450人进行编号，将学生的名字和对应的编号分别写在卡片上，并把450张卡片放入一个容器中，搅拌均匀后，每次不放回地从中抽取一张卡片，连续抽取50次，就得到参加这项活动的50名学生的编号. （2）随机数表法：第一步，先将450名学生编号，可以编为000,001， (449)第二步，在随机数表中任选一个数. 例如选出第7行第5列的数1（为了便于说明，下面摘取了附表的第6～10行）.16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175，由于175<450，说明号码175在总体内，将它取出；继续向右读，得到331，由于331<450，说明号码331在总体内，将它取出；继续向右读，得到572，由于572>450，将它去掉. 按照这种方法继续向右读，依次下去，直到样本的50个号码全部取出，这样我们就得到了参加这项活动的50名学生. 3、用抽签法抽取样本的例子：为检查某班同学的学习情况，可用抽签法取出容量为5的样本. 用随机数表法抽取样本的例子：部分学生的心理调查等.抽签法能够保证总体中任何个体都以相同的机会被选到样本之中，因此保证了样本的代表性.4、与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本. 练习（P59）1、系统抽样的优点是：（1）简便易行；（2）当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样调查；（3）当总体中的个体存在一种自然编号（如生产线上产品的质量控制）时，便于施行系统抽样法.系统抽样的缺点是：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差. 2、（1）对这118名教师进行编号；（2）计算间隔1187.37516k==，由于k不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再来进行系统抽样. 例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名教师，然后再对剩余的112位教师进行编号，计算间隔7k=；（3）在1～7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第2个个体编号12，再加7得到第3个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.3、由于身份证（18位）的倒数第二位表示性别，后三位是632的观众全部都是男性，所以这样获得的调查结果不能代表女性观众的意见，因此缺乏代表性.练习（P62）1、略2、这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果. 因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.3、可以用分层抽样的方法进行抽样. 将麦田按照气候、土质、田间管理水平的不同而分成不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本容量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体（这里的个体是单位面积的一块地）.习题2.1 A组（P63）1、产生随机样本的困难：（1）很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品.（2）成本高，要产生真正的简单随机样本，需要利用类似于抽签法中的抽签试验来产生非负整值随机数.（3）耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对的个体都需要时间.2、调查的总体是所有可能看电视的人群.学生A的设计方案考虑的人数是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了. 因此A方案抽取的样本的代表性差.学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性. 因此B方案抽取的样本的代表性差.学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性. 因此C方案抽取的样本的代表性.所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率.3、（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题：由于种种原因，有些学生不能发表意见；等等.（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.4、将每一天看作一个个体，则总体由365天组成. 假设要抽取50个样本，将一年中的各天按先后次序编号为0～364天用简单随机抽样设计方案：制作365个号签，依次标上0～364. 将号签放到容器内充分搅拌均匀，从容器中任意不放回取出50个号签. 以签上的号码所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.用系统抽样设计抽样方案：先通过简单随机抽样方法从365天中随机抽出15天，再把剩下的350天重新按先后次序编号为0～349. 制作7个分别标有0～7的号签，放在容器中充分搅拌均匀. 从容器中任意取出一个号签，设取出的号签的编号为a，则编号为7(050)a k k +≤<所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.显然，系统抽样方案抽出的样本中个体在一年中排列的次序更规律，因此更好实施，更受方案的实施者欢迎.5、田径队运动员的总人数是564298+=（人），要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取256167⨯=（人），在女运动员中随机抽取281612-=（人）.这样我们就可以得到一个容量为28的样本.6、以10为分段间隔，首先在1～10的编号中，随机地选取一个编号，如6，那么这个获奖者奖品的编号是：6,16,26,36,46.7、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案. 习题2.1 B 组（P64）1、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成. 例如：（1）你最喜欢哪一门课程？ （2）你每月的零花钱平均是多少？ （3）你最喜欢看《新闻联播》吗？ （4）你每天早上几点起床？ （5）你每天晚上几点睡觉？要根据统计的结果和具体的情况解释结论,主要从引起结论的可能原因及结论本身含义来解释.2、说明：这是一个开放性的题目，没有一个标准的答案. 2．2用样本估计总体 练习（P71） 1、说明：由于样本的极差为364.41362.51 1.90-=，取组距为0.19，将样本分为10组. 可以按照书上的方法制作频率分布表、频率分布直观图和频率折线图. 2、说明：此题目属于应用题，没有标准的答案.3、茎叶图为：由该图可以看出30名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. 练习（P74）这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反应所有项目的信息. 但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大.练习（P79）1、甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900，但甲的标准差约等于23.8，乙的标准差约等于41.6，所以甲的产量比较稳定.2、（1）平均重量496.86x ≈，标准差 6.55s ≈.（2）重量位于(,)x s x s -+之间有14袋白糖，所占的百分比约为66.67％.3、（1）略. （2）平均分19.25x ≈，中位数为15.2，标准差12.50s ≈.这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25，有一半国家的死亡率不超过15.2，15.2x >说明存在大的异常数据，值得关注. 这些异常数据使标准差增大. 习题2.2 A 组（P81） 1、（1）茎叶图为：（2）汞含量分布偏向于大于1.00 ppm 的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm 的区域. （3）不一定. 因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同. 即使各批鱼的汞含量分布相同，上面的数据只能为这个分布作出估计，不能保证平均汞含量大于1.00 ppm. （4）样本平均数 1.08x ≈，样本标准差0.45s ≈.（5）有28条鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和（差）的范围内.2比较短，所以在这批棉花中混进了一些次品.3、说明：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等. 尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易做出判断；在已知平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来做出判断. 4、说明：（1）对，从平均数的角度考虑； （2）对，从标准差的角度考虑；（3）对，从标准差的角度考虑； （4）对，从平均数和标准差的角度考虑； 5、（1）不能. 因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数. 现在已知知道至少有一个人的收入为50100x =万元，那么其他员工的收入之和为4913.55010075ii x==⨯-=∑（万元）每人平均只有1.53. 如果再有几个收入特别高者，那么初进公司的员工的收入将会很低. （2）不能，要看中位数是多少.（3）能，可以确定有75％的员工工资在1万元以上，其中25％的员工工资在3万元以上.（4）收入的中位数大约是2万. 因为有年收入100万这个极端值的影响，使得年平均收入比中位数高许多.6、甲机床的平均数=1.5x 甲，标准差=1.2845s 甲；乙机床的平均数 1.2z y =，标准差0.8718z s =. 比较发现乙机床的平均数小而且标准差也比较小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好. 7、（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26. （2）可以使用抓阄法进行抽样. 样本平均数和标准差的计算结果和抽取到的样本有关. （3） （4）略 习题2.2 B 组（P82）1、（1）由于测试1T 的标准差小，所以测试1T 结果更稳定，所以该测试做得更好一些. （2）由于2T 测出的值偏高，有利于增强队员的信心，所以应该选择测试2T .2、说明：此题需要在本节开始的时候就布置，先让学生分头收集数据，汇总所收集的数据才能完成题目.2．3变量间的相关关系 练习（P85）1、从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康. 但除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果. 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题. 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的.2、从现在我们掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因素（例如独特的环境因素），即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此“天鹅能够带来孩子”的结论不可靠.而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行. 相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同. 练习（P92）1、当0x =时，147.767y =，这个值与实际卖出的热饮杯数150不符，原因是：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差；即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x ，预报值y 能够等于实际值y . 事实上：y bx a e =++. （这里e 是随机变量，是引起预报值y 与真实值（1）散点图如下： y 之间的误差的原因之一，其大小取决于e 的方差.）2、数据的散点图为：从这个散点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高度应该为正相关（事实上相关系数为0.793）. 但是从散点图的分布特点来看，它们之间的线性相关性不强. 习题2.3 A 组（P94）1、教师的水平与学生的学习成绩呈正相关关系. 又如，“水涨船高”“登高望远”等.2、（3）基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好.（4）因为当回归直线上方的食品与下方的食品所含热量相同时，其口味更好. 3、（1）散点图如下：（2）回归方程为：0.66954.933y x =+.（2）回归直线如下图所示：（3）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系. 4、（1）散点图为：（2）回归方程为：0.546876.425y x =+.（3）由回归方程知，城镇居民的消费水平和工资收入之间呈正线性相关关系，即工资收入水平越高，城镇居民的消费水平越高. 习题2.3 B 组（P95） 1、（1）散点图如下：（2）回归方程为： 1.44715.843y x =-.（3）如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额为42.037y ≈（万元）. 2、说明：本题是一个讨论题，按照教科书中的方法逐步展开即可.第二章 复习参考题A 组（P100）1、A .2、（1）该组的数据个数，该组的频数除以全体数据总数； （2）nmN. 3、（1）这个结果只能说明A 城市中光顾这家服务连锁店的人比其他人较少倾向于选择咖啡色，因为光顾连锁店的人使一种方便样本，不能代表A 城市其他人群的想法. （2）这两种调查的差异是由样本的代表性所引起的. 因为A 城市的调查结果来自于该市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点.4、说明：这是一个敏感性问题，可以模仿阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”来设计提问方法.5、表略. 可以估计出句子中所含单词的分布，以及与该分布有关的数字特征，如平均数、标准差等.6、（1）可以用样本标准差来度量每一组成员的相似性，样本标准差越小，相似程度越高. （2）A 组的样本标准差为 3.730A S ≈，B 组的样本标准差为11.789B S ≈. 由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此A 组更像是由专业人士组成的.7、（1）中位数为182.5，平均数为217.1875.（2）这两种数字特征不同的主要原因是，430比其他的数据大得多，应该查找430是否由某种错误而产生的. 如果这个大数据的采集正确，用平均数更合适，因为它利用了所有数据的信息；如果这个大数据的采集不正确，用中位数更合适，因为它不受极端值的影响，稳定性好. 8、（1）略.（2）系数0.42是回归直线的斜率，意味着：对于农村考生，每年的入学率平均增长0.42％.（3）城市的大学入学率年增长最快. 说明：（4）可以模仿（1）（2）（3）的方法分析数据.第二章 复习参考题B 组（P101）1、频率分布如下表：从表中看出当把指标定为17.46千元 时，月65％的推销员 经过努力才能完成销 售指标.2、（1）数据的散点图如下：（2）用y 表示身高，x 表示年龄，则数据的回归方程为 6.31771.984y x =+. （3）在该例中，斜率6.317表示孩子在一年中增加的高度.（4）每年身高的增长数略. 3～16岁的身高年均增长约为6.323 cm. （5）斜率与每年平均增长的身高之间之间近似相等.第三章 概率3．1随机事件的概率 练习（P113） 1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面. （2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25. 2、略 3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1. 练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次. 练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B 习题3.1 A 组（P123） 1、D . 2、（1）0； （2）0.2； （3）1.3、（1）430.067645≈； （2）900.140645≈； （3）7010.891645-≈.4、略5、0.136、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1.3．3几何概率。
高中数学必修2-3第二章2.1 2.1.1离散型随机变量
第二章随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量问题导航(1)随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？(2)随机变量与函数有什么区别与联系？1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个________试验结果都用一个________确定的数字表示．在这个对应关系下，________数字随着________试验结果的变化而变化．像这种随着________试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母________X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量所有取值可以________一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()答案：(1)×(2)√(3)×2．下列变量中，不是随机变量的是()A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次的环数C．某日上证收盘指数D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾答案：D3．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点答案：D4．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品1．对随机变量的再认识(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．2．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球半径长．[解](1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．1．(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析：选C.对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．(2)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；②掷一枚质地均匀的正方体骰子出现的点数(最上面的数字)；③某个人的属相随年龄的变化关系．解：①任意掷一枚质地均匀的硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②掷一枚质地均匀的骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30 m有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获奖等次X；(3)一天内气温的变化值X.[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．2．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C.①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出．④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．用随机变量描述随机现象写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解](1)ξ可取0，1，2.ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0，1，2.(2)设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5， (11)X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；…X ＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( ) A ．2枚都是4点B ．1枚是1点，另1枚是3点C ．2枚都是2点D ．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点解析：选D.抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1，2， (6)而ξ＝x ＋y ，ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. (2)写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．①在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X ； ②射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．解：①X 可能取值0，1，2，3，4，5，X ＝i 表示面试通过的有i 人，其中i ＝0，1，2，3，4，5. ②ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标； 当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．(2015·南充高二检测)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．[解析] 从6个球中选出3个球，当ξ＝3时，另两个球从1，2中选取，有一种抽法； 当ξ＝4时，另两个球从1，2，3中任取两个球，有C 23＝3种； 当ξ＝5时，另两个球从1，2，3，4中任取两个球，有C 24＝6种； 当ξ＝6时，另两个球从1，2，3，4，5中任取两个球，有C 25＝10种． 所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20种． [答案] 20[错因与防范] 本题易遗漏ξ＝3，4，5的情况；对题目中给出的条件作出正确判断是解决数学问题的关键，如本例中“以ξ表示取出的篮球的最大号码”指的是“随机抽取3个篮球”中的最大号码，而不是ξ＝6.4．袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，求随机变量的取值．解：设所需要的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2， (11)1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色的种数解析：选 D.A.小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为() A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5解析：选B.因红球共有6个，在取到白球前可取6次，第7次取球只能取白球停止，所以X可能取值有1，2，3， (7)3．下列随机变量中是离散型随机变量的是________．①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5千克以上的条数X；②任意取直线y＝x上的整点的个数X；③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X.解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X 可以一一列举，且②中的X是无限的．答案：①②④4．某篮球运动员在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得0分，该队员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该队员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．[A.基础达标]1．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x 2－2x －3＝0根的个数是随机变量．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①②③是正确的，④中方程x 2－2x －3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( )A ．0≤X ≤5，X ∈NB ．－5≤X ≤0，X ∈ZC ．1≤X ≤6，X ∈ND ．－5≤X ≤5，X ∈Z解析：选D.两次掷出点数均可取1～6所有整数， ∴X ∈[－5，5]，X ∈Z .3．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球的概率解析：选B.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A ，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B 正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C 不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D 不正确，故选B.4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放回5个球”的事件为( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X ＝6.5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．6B ．7C ．10D ．25解析：选C.X 的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．6．(2015·济南高二检测)已知Y ＝2X 为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，3，4，…，10，则X 的取值为______________________．解析：由题意可知X ＝12Y .又Y ∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}， 故X ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，2，52，3，72，4，92，5.答案：12，1，32，2，52，3，72，4，92，57．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300； 若答对1个问题得分－100； 若答对2个问题得分100； 若问题全答对得分300.答案：－300，－100，100，300 8．某射手射击一次所击中的环数为ξ(取整数)，则“ξ＞7”表示的试验结果是________． 解析：射击一次所中环数ξ的所有可能取值为0，1，2，…，10，故“ξ＞7”表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为8环、9环或10环”．答案：射击一次所中环数为8环或9环或10环 9．(2015·南京高二检测)小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X 表示这两张金额之和．写出X 的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．解：X 的可能取值为6，11，15，21，25，30. 其中，X ＝6，表示抽到的是1元和5元； X ＝11，表示抽到的是1元和10元； X ＝15，表示抽到的是5元和10元； X ＝21，表示抽到的是1元和20元； X ＝25，表示抽到的是5元和20元； X ＝30，表示抽到的是10元和20元．10．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．解：(1)(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，∴η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．[B.能力提升]1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标解析：选C.ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．2．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．20 B．24C．4 D．18解析：选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是________．解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．答案：第一枚为6点，第二枚为1点4．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．解析：ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C27种方法，即21种．答案：215．手机上网安全、方便，某地移动公司推出一款上网卡，月租费10元，上网时每分钟0.04元(不足一分钟的按一分钟计算)．小张在一个月内上网的时间(分)为随机变量ξ，求小张在一个月内上网的费用η，则ξ和η是否为离散型随机变量．解：由于上网时间不足1分钟按1分钟计算，因此变量ξ的取值为1，2，3，….∴ξ是一个离散型随机变量．又η＝0.04ξ＋10，ξ∈N*，故η也是离散型随机变量．6．写出下面随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.解：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．。
高中数学必修2-3第二章2.1 2.1.2离散型随机变量的分布列
2．1.2 离散型随机变量的分布列1．问题导航(1)离散型随机变量的分布列的定义是什么？两点分布和超几何分布的定义是什么？ (2)离散型随机变量分布列的性质有什么作用？两点分布与超几何分布的联系和区别是什么？2．例题导读(1)例1是求两点分布列，请试做教材P 49练习1题．(2)例2、例3是求超几何分布，请试做教材P 49练习3、4题．1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n ，以表格的形式表示如下：这个表格称为离散型随机变量X 的________概率分布列，简称为X 的________分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①________p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； ② i ＝1np i ＝1.2．两个特殊分布 (1)两点分布若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N .如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是()A.B.C.D.答案：C3A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51答案：C4．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y ＝－2)＝________．答案：0.8离散型随机变量分布列的三点说明(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．(3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示．离散型随机变量的分布列 [学生用书P 32]从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．[解] 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白球}，{1白球1黄球}，{1白球1黑球}，{2黄球}，{1黑球1黄球}，{2黑球}． 当取到2白球时，随机变量X ＝－2；当取到1白球1黄球时，随机变量X ＝－1； 当取到1白球1黑球时，随机变量X ＝1； 当取到2黄球时，随机变量X ＝0；当取到1黑球1黄球时，随机变量X ＝2； 当取到2黑球时，随机变量X ＝4.所以随机变量X 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4.P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.所以X 的分布列如下：[解：P (X ＞0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝411＋433＋111＝1933.∴赢钱的概率为1933.求分布列的一般步骤为：(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，3，…，n )；(2)P (X ＝x i )的确定；(3)列出X 的分布列或概率分布表；(4)检验X 的分布列或概率分布表(用随机变量的分布列的两条性质验算)．1求随机变量η＝12ξ的分布列．解：由η＝12ξ，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η的值分别为－1，－12，0，12，1，32.所以η的分布列为：离散型随机变量的分布列的性质 [学生用书P 32]设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．[解] (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， 解得a ＝115.(2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，∴P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量的分布列的两个性质主要解决以下两类问题：①通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．②求对立事件的概率或判断某概率是否成立．2．已知离散型随机变量则q 的值为________． 解析：∵14＋1－q ＋q 2＝1，∴q 2－q ＋14＝0.∴q ＝12.答案：12两点分布与超几何分布在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为1．两点分布的几个特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点：(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．3．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的分布列为________．解析：用随机变量X 表示“每次罚球所得分值”，根据题意，X 可能的取值为0，1，且取这两个值的概率分别为0.3，0.7，因此所求的分布列为答案：(2)某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ＜2)．解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P (ξ＜2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝135＋1235＝1335.(本题满分12分)(2014·高考天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.6分 (2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3).9分 所以，随机变量X12分[规范与警示] (1)解答本例的3个关键步骤：①首先确定随机变量X 的取值，是正确作答的关键．②要明确X 取不同值的意义，才能正确求X 所对应值的概率．③解答本题时易文字叙述严重缺失，如第(1)问只写出P (A )＝C 13C 27＋C 03C 37C 310＝4960. (2)解答本类问题一是要正确理解题意，将实际问题转化为数学问题，二是在明确随机变量取每一个值所对应的随机事件外，还必须准确求出每个随机事件的概率．1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．设随机变量XA.P (X ＝1.5)＝0 B ．P (X ＞－1)＝1 C ．P (X ＜3)＝0.5 D ．P (X ＜0)＝0解析：选A.由分布列知X ＝1.5不能取到，故P (X ＝1.5)＝0，正确；而P (X ＞－1)＝0.9，P (X ＜3)＝0.6，P (X ＜0)＝0.1.故A 正确．3．随机变量η则x ＝________，P (η≤3)＝________． 解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 答案：0 0.554．一个口袋里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球，以X 表示取出的球的最小编号，求随机变量X 的概率分布．解：X 所有可能的取值为1，2，3.当X ＝1时，其余两球可在余下的4个球中任意选取．∴P (X ＝1)＝C 24C 35＝35.当X ＝2时，其余两球在编号为3，4，5的球中任意选取， ∴P (X ＝1)＝C 23C 35＝310.当X ＝3时，取出的球只能是编号为3，4，5的球． ∴P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴随机变量X 的概率分布为：[A.基础达标]1．(2015·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，则P (2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15解析：选A.2<ξ≤4时，ξ＝3，4， ∴P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.27220B.27110C.111D.211解析：选A.由题意取出的3个球必为2个旧球，1个新球．故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选A.根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1，1)，X ＝3对应(1，2)，(2，1)，X ＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.4．某一随机变量X则mn 的最大值为( A ．0.8 B ．0.2 C ．0.08 D ．0.6解析：选C.由分布列的性质知m ∈(0，1)，2n ∈(0，1)，且0.1＋m ＋2n ＋0.1＝1， 即m ＋2n ＝0.8.mn ＝(0.8－2n )×n ＝0.8n －2n 2＝－2(n －0.2)2＋0.08， ∴当n ＝0.2时，mn 有最大值为0.08.5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：选D.P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有一件一等品)＝C 13·C 12C 25＝610， P (至少有一件一等品)＝1－110＝910， P (至多有一件一等品)＝1－C 23C 25＝710.6．则ξ为奇数的概率为________．解析：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815.答案：8157则(1)x ＝(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.558．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数，则P (ξ≤2)＝________．解析：由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，且ξ服从超几何分布，即P (ξ＝k )＝C 3－k 2C k 4C 36，k ＝1，2，3，故P (ξ≤2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45. 答案：459试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， ∴m ＝0.3.列表为：(1)2X ＋1(2)|X －1|10.，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．解：分别用x 1，x 2，x 3表示“小于5”的情况，“等于5”的情况，“大于5”的情况． 设ξ是随机变量，其可能取值分别为x 1、x 2、x 3，则P (ξ＝x 1)＝510＝12，P (ξ＝x 2)＝110，P (ξ＝x 3)＝410＝25.故ξ的分布列为1．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0＜ξ≤2)B ．P (ξ≤1)C ．P (ξ＝2)D ．P (ξ＝1)解析：选B.由已知得ξ的可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 222C 226，P (ξ＝1)＝C 122C 14C 226，P (ξ＝2)＝C 24C 226，故P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226.2．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13B.⎣⎡⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1]解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝c k （k ＋1），k ＝1，2，3，c 为常数，则P (0.5<ξ<2.5)＝________．解析：由概率和为1，得1＝c (11×2＋12×3＋13×4)＝34c ，∴c ＝43，∴P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝29，∴P (0.5<ξ<2.5)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝89.答案：894．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P (13≤ξ≤53)＝________．解析：设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k2个．∴分布列为P (13≤ξ≤53)＝P (ξ＝1)＝47. 答案：475．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 解：(1)ξ可能取的值为0，1，2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. 所以，ξ的分布列为(2)由(1)知“所选3P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.6．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求X 的分布列．解：(1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”为事件C ，则Ω＝{(b ，c )|b ，c ＝1，2，…，6}，A ＝{(b ，c )|b 2－4c ＜0，b ，c ＝1，2，…，6}，B ＝{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1，2，…，6}，C ＝{(b ，c )|b 2－4c ＞0，b ，c ＝1，2，…，6}，∴Ω中的基本事件总数为36，A 中的基本事件总数为17，B 中的基本事件总数为2，C 中的基本事件总数为17.又∵B ，C 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (C )＝236＋1736＝1936.(2)由题意，X 可能的取值为0，1，2，则 P (X ＝0)＝1736，P (X ＝1)＝118，P (X ＝2)＝1736，故X 的分布列为。
2022版优化方案高一数学人教版必修三学案 第二章 统计 2.1.3分层抽样
2．1.3分层抽样问题导航(1)什么叫分层抽样？(2)分层抽样适用于什么状况？(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？1．分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所把握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的全都性，这对提高样本的代表性格外重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．1．推断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样；()(2)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样；()(3)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关．()解析：(1)由于分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规章进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．(2)分层抽样时，每层仍旧要等可能抽样．(3)与层数及分层无关．答案：(1)×(2)×(3)×2．某地区为了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取1100的居民家庭进行调查，这种抽样是()A．简洁随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．分类抽样解析：选C.符合分层抽样的特点．3．一个班共有54人，其中男、女比为5∶4，若抽取9人参与教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，由于男同学共有54×59＝30(人)，女同学共有54×49＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.答案：16164．分层抽样的操作步骤是什么？解：总体分层；依据比例独立抽取．1．分层抽样的特点(1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的状况．(2)抽取的样本更好地反映了总体的状况．(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN.2．分层抽样的公正性假如总体中个体的总数是N，样本容量为n，第i层中个数为N i，则第i层中要抽取的个体数为n i＝n·N iN.每一个个体被抽取的可能性是n iN i＝1N i·n·N iN＝nN，与层数无关．所以对全部个体来说，被抽取的可能性是一样的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公正的．3．分层抽样需留意的问题(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体状况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定．(3)各层抽样按简洁随机抽样或系统抽样进行．分层抽样的概念某中学有老年老师20人，中年老师65人，青年老师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样C．分层抽样D．随机数法[解析]各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．[答案] C方法归纳各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是机敏的，可用简洁随机抽样，也可接受系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公正性．1．(1)某市有四所重点高校，为了解该市高校生的课外书籍阅读状况，则接受下列哪种方法抽取样本最合适(四所高校图书馆的藏书有肯定的差距)( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析：选D. 由于学校图书馆的藏书对同学课外书籍阅读影响比较大，因此实行分层抽样．(2)某校高三班级有男生800人，女生600人，为了解该班级同学的身体健康状况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是( )A ．简洁随机抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．分层抽样法解析：选D.总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．分层抽样的应用(2022·高考湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，接受分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．[解析] 设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x4 800，解得x ＝1 800.[答案] 1 800[互动探究] 将本例条件“若样本中有50件产品由甲设备生产”换为“已知甲、乙两套设备生产的同类型产品数量之比为5∶3”，求样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是多少件？解：设样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是x ，y 件，则x ＝80×55＋3＝50，y ＝80×35＋3＝30.故样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是50，30件． 方法归纳在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .2．(1)为了调查城市PM 2.5的状况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.依据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.(2)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工________人．解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×18＝10.答案：10三种抽样方法的考查选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样； (2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样； (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样； (4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样． [解] (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，编号为00，01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上，揉成小球，制成号签． ③把号签放入一个不透亮 的袋子中，充分搅拌均匀． ④从袋子中逐个抽取10个号签，并记录上面的号码． ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．①确定抽取个数．由于1030＝13，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)．②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本． (3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法． ①将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002， (300)②在随机数表中随机地确定一个数作为开头，如(教材P 103附表)第8行第29列的数“7”开头．任选一个方向作为读数方向，比如向右读．③从数“7”开头向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，…，299，并分成30段，其中每一段包含30030＝10个个体．②在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简洁随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码．③将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本.方法归纳(1)简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．(2)三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有亲密联系．在应用时要依据实际状况选取合适的方法．(3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．扫一扫进入91导学网()三种抽样方法的比较3．(1)某饮料公司在华东、华南、华西、华北四个地区分别有200个、180个、180个、140个销售点．公司为了调查产品销售的状况，需从这700个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在华南地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务状况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜接受的抽样方法依次是()A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简洁随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简洁随机抽样法、分层抽样法解析：选B. 当总体中个体较多时宜接受系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜接受分层抽样；当总体中个体较少时，宜接受简洁随机抽样．依题意，第①项调查应接受分层抽样法、第②项调查应接受简洁随机抽样法．故选B.(2)调查某班同学的平均身高，从50名同学中抽取5名，抽样方法是________，假如男女身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是________．解析：从50名同学中抽取5名，总体中个体数不多，接受简洁随机抽样；总体中个体差异比较明显，接受分层抽样．答案：简洁随机抽样分层抽样(3)下列问题中，接受怎样的抽样方法较为合理？①从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；②某学校有160名教职工，其中老师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．解：①抽签法，由于总体容量较小，宜用抽签法．②分层抽样，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样．易错警示分层抽样的应用某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，假如接受系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；假如样本容量增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容量为________．[解析]总体容量N＝36.当样本容量为n时，系统抽样间隔为36n∈N＋，所以n是36的约数；分层抽样的抽样比为n36，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为n6，n3，n2，所以n应是6的倍数，所以n＝6或12或18或36.当样本容量为n＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为35n＋1∈N＋，所以n只能是6.[答案] 6[错因与防范]由36n，n6，n3，n2∈N＋求n时，n的值有遗漏；35n＋1∈N＋易错写成36n＋1∈N＋.为猎取各层入样数目，需先正确计算出抽样比k＝样本容量总体容量，若k与某层个体数的积不是整数时，可先将该层等可能性剔除多余个体．4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长状况，接受分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30 B．25C．20 D．15解析：选C.抽样比为150∶30 000＝1∶200，则样本中松树苗的数量为4 000×1200＝20.故选C.1．某高校共有同学5 600人，其中有专科生1 300人、本科生3 000人、争辩生1 300人，现接受分层抽样的方法调查同学利用因特网查找学习资料的状况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与争辩生这三类同学中分别抽取( )A ．65人、150人、65人B ．30人、150人、100人C ．93人、94人、93人D ．80人、120人、80人解析：选A.依据分层抽样按比例抽取的特点，有5 600280＝1 300x ＝3 000y ＝1 300z ，解得x ＝z ＝65，y ＝150，即专科生、本科生与争辩生应分别抽取65、150、65，故选A.2．某地共有10万户居民，从中随机调查了1 000户拥有彩电的调查结果如下表：彩电 城市 农村 有 432 400 无48120若该地区城市与农村住户之比为4∶6，估量该地区无彩电的农村总户数约为( )A ．0.923万户B ．1.385万户C ．1.8万户D ．1.2万户 解析：选B.无彩电的农村总户数约为10×610×120520≈1.385万户．3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________．解析：由分层抽样的特点，得n ×22＋3＋5＝16，所以n ＝80.答案：804．某校对全校男、女同学共1 200名进行健康调查，选用分层抽样抽取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为________．解析：入样比例＝2001 200＝16，则男生应抽105人，设男生为x 人，所以105x ＝16⇒x ＝630.答案：630[A.基础达标]1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100的样本，记作①；某学校高一班级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担状况，记作②.那么完成上述两项调查应接受的抽样方法是( )A ．①用简洁随机抽样法；②用系统抽样法B ．①用分层抽样法；②用简洁随机抽样法C ．①用系统抽样法；②用分层抽样法D ．①用分层抽样法；②用系统抽样法解析：选B.对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的3部分组成，而所调查的指标与收入状况亲密相关，所以应接受分层抽样法．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是“公平”的，所以应接受简洁随机抽样法．2.已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现接受分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为( )A ．30B ．36C ．40D ．无法确定解析：选B.分层抽样中抽样比肯定相同，设样本容量为n ，由题意得，n 120＝2790，解得n ＝36.3．(2022·高考重庆卷)某中学有高中生3 500人，学校生1 500人，为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：选A.法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100，故选A.法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100.4．(2021·中山高一检测)某校选修乒乓球课程的同学中，高一班级有30名，高二班级有40名，现用分层抽样的方法在这70名同学中抽取一个样本，已知在高一班级的同学中抽取了6名，则在高二班级的同学中应抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选B.设高二班级抽取x 人，则有630＝x40，解得x ＝8，故选B.5.(2021·潍坊高一检测)某学校在校同学2 000人，为了同学的“德、智、体”全面进展，学校进行了跑步和登山竞赛活动，每人都参与而且只参与其中一项竞赛，各班级参与竞赛的人数状况如下表：高一班级高二班级高三班级跑步人数 a b c 登山人数xyz其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的14.为了了解同学对本次活动的满足程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三班级参与跑步的同学中应抽取( )A ．15人B ．30人C ．40人D ．45人解析：选D.全校参与登山的人数是2 000×14＝500，所以参与跑步的人数是1 500，应抽取1 5002 000×200＝150，c ＝150×310＝45(人)．6．某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取一个容量为50的样本，则应从高二班级抽取________名同学．解析：抽取比例与同学比例全都．设应从高二班级抽取x 名同学，则x ∶50＝3∶10.解得x ＝15.答案：157．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应当抽取________辆，________辆，________辆．解析：由于461 200＋6 000＋2 000＝1200，所以这三种型号的轿车依次应当抽取1 200×1200＝6辆，6 000×1200＝30辆，2 000×1200＝10辆．即这三种型号的轿车依次应当抽取6辆、30辆、10辆进行检验．答案：6 30 108．某地区有农夫、工人、学问分子家庭共计2 015家，其中农夫家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的________．(将你认为正确的选项的序号都填上)①简洁随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．解析：为了保证抽样的合理性，应对农夫、工人、学问分子分层抽样，在各层中接受系统抽样和简洁随机抽样，抽样时还要先用简洁随机抽样剔除多余的个体．答案：①②③ 9．(2021·莱州高一检测)某校高一班级500名同学中，血型为O 的有200人，血型为A 的有125人，B 型的有125人，AB 型的有50人．为了争辩血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应如何抽样？写出血型为AB 型的抽样过程．解：由于40÷500＝225，所以应用分层抽样法抽取血型为O 型的225×200＝16(人)，A 型的225×125＝10(人)，B 型的225×125＝10(人)，AB 型的225×50＝4(人)．AB 型的4人可以这样抽取：第一步，将50人随机编号，编号为1，2， (50)其次步，把以上50人的编号分别写在大小相同的小纸片上，揉成小球，制成号签． 第三步，把得到的号签放入一个不透亮 的袋子中，充分搅拌均匀． 第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号． 第五步，依据所得编号找出对应的4人即可得到样本．10.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与其中一组．在参与活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参与活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样的方法从参与活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a 、b 、c ， 则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc 4x ＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%， 故a ＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15(人)．即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人．[B.力量提升]1．某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼各有80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测，若接受分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有( )A ．6条B ．8条C ．10条D ．12条解析：选A.设抽取的青鱼与鲤鱼共有x 条，依据分层抽样的比例特点有20＋4080＋20＋40＋40＋20＝x 20，所以x＝6.2．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x 份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁同学问卷中抽取60份，则在15～16岁同学中抽取的问卷份数为( )A ．60B ．80C ．120D ．180解析：选C.11～12岁回收180份，其中在11～12岁同学问卷中抽取60份，则抽样比为13.∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，∴从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为30013＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x ＝900－120－180－240＝360(份)．∴在15～16岁同学中抽取的问卷份数为360×13＝120(份)，故选C.3．某校高一班级有x 名同学，高二班级有y 名同学，高三班级有z 名同学，接受分层抽样抽取一个容量为45的样本，高一班级被抽取20人，高二班级被抽取10人，高三班级共有同学300人，则此学校共有同学________人．解析：高三班级被抽取了45－20－10＝15(人)，设此学校共有同学N 人，则45N ＝15300，解得N ＝900.答案：900 4．(2021·泰安质检)某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不当心，表格中A 、C A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C 产品的数量是________件．解析：抽样比为130∶1 300＝1∶10，又A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，故C 产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×12＝800(件)．答案：8005．某校有在校高中生共1 600人，其中高一班级同学520人，高二班级同学500人，高三班级同学580人．假如想通过抽查其中的80人来调查同学的消费状况，考虑到不同班级同学的消费状况有明显差别，而同一班级内消费状况差异较小，问应接受怎样的抽样方法？高三班级同学中应抽查多少人？解：因不同班级的同学消费状况有明显差别，所以应接受分层抽样．由于520∶500∶580＝26∶25∶29，于是将80分成比例为26∶25∶29的三部分．设三部分各抽个体数分别为26x ，25x ，29x ，由26x ＋25x ＋29x ＝80，解得x ＝1.所以高三班级同学中应抽查29人．6．(选做题)某中学进行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名学校生、4 000名高中生中进行问卷调查，假如要在全部答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3 000份学校生的答卷中抽取一个容量为48的样本，假如接受简洁随机抽样，应如何操作？ (3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取得到所需的样本？解：(1)由于这次活动对教职员工、学校生和高中生产生的影响不相同，所以应当实行分层抽样的方法进行抽样．∵样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500(名)，则抽样比为1207 500＝2125.∴500×2125＝8(人)，3 000×2125＝48(人)，4 000×2125＝64(人)，∴在教职员工、学校生、高中生中抽取的个体数分别是8、48、64.分层抽样的步骤是：第一步，分为教职员工、学校生、高中生共三层．其次步，确定每层抽取个体的个数：在教职员工、学校生、高中生中抽取的个体数分别是8、48、64. 第三步，各层分别按简洁随机抽样的方法抽取样本． 第四步，综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简洁随机抽样有两种方法：抽签法或随机数表法．若用抽签法，则要做3 000个号签，费时费劲，因此接受随机数表法抽取样本，步骤是：第一步，编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001，0 002，…，3 000. 其次步，在随机数表上随机选取一个起始位置．第三步，规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，遇到右边线时接下一行左边线连续向右连续取数，若读取的4位数大于3 000，则去掉，假如遇到相同号码则只取一个，这样始终到取满48个号码为止．(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，故应先使用简洁随机抽样法从4 000名同学中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1，2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第一部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开头，每隔62个号码抽取一个，这样得到一个容量为64的样本：23，85，147，209，271，333，395，457，…，3 929.。
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§2.1随机抽样学习目标1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.4.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本.5.理解两种抽样的区别与联系．知识点一统计的基本概念思考样本与样本容量有什么区别？答案样本与样本容量是两个不同的概念．样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本容量是样本中个体的数目，是一个数．梳理(1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体．(2)个体：构成总体的每一个元素作为个体．(3)样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本．(4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．知识点二简单随机抽样思考从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？为什么？甲被抽到的机会是多少？答案总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.梳理(1)设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)简单随机抽样的四个特点①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．知识点三抽签法和随机数法思考采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在形状、大小相同的号签上，并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀？答案为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．梳理(1)抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．(2)随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．(3)利用随机数法抽取个体时的注意事项①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点．②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．知识点四分层抽样1．分层抽样的定义当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．2．分层抽样的实施步骤第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．第二步，计算抽样比．抽样比＝样本容量总体中的个体数.第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．第五步，综合每层抽样，组成样本．知识点五两种抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样的比较如下表所示：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少分层抽样将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取在各层抽样时，采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成1．简单随机抽样也可以是有放回的抽样．(×)2．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．(√)3．采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．(√) 4．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．(√)类型一简单随机抽样的判断例1下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签．④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样．综上，只有③是简单随机抽样．反思与感悟简单随机抽样必须具备下列特点(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；(3)简单随机抽样是一种不放回抽样；(4)简单随机抽样是一种等可能的抽样．如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．跟踪训练1在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性()A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定答案 B解析在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确．类型二简单随机抽样等可能性应用例2一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．答案31018解析因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为nN，所以第一个空填310.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为110，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为19，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为18.反思与感悟简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等．跟踪训练2从总体容量为N的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为()A．120 B．200C．150 D．100答案 A解析因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为1N，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为30N ，所以30N＝0.25，从而有N＝120.故选A.类型三抽签法与随机数法及应用命题角度1抽签法例3某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．解方案如下：第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03， (18)第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．反思与感悟一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．跟踪训练3某市环保局有各县报送的空气质量材料15份，为了了解全市的空气质量，要从中抽取一个容量为5的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．解总体容量小，样本容量也小，可用抽签法．步骤如下：(1)将15份材料用随机方式编号，号码是1,2,3， (15)(2)将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．(3)把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．(4)从容器中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码．(5)找出和所抽号码对应的5份材料，组成样本．命题角度2随机数法例4假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？解第一步，将800袋牛奶编号为000,001， (799)第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7)．第三步，从选定的数7开始依次向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．反思与感悟抽签法和随机数法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1,2,3，…，100.随机数法对个体的编号要看总体的个数，总体数为100，通常为00,01，…，99.总体数大于100小于1 000，从000开始编起，然后是001,002，….跟踪训练4总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07C．02 D．01答案 D解析从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件的数字依次为02,14,07,01，故第5个数为01.故选D.类型四分层抽样及应用命题角度1分层抽样适用情形判定例5某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________.答案13解析∵360＝n120＋80＋60，∴n＝13.反思与感悟分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．跟踪训练5某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？解因为员工按年龄分为三个层，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人．35岁以下：125×15＝25(人)，35岁～49岁：280×15＝56(人)，50岁以上：95×15＝19(人)．命题角度2 分层抽样具体实施步骤例6 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解 抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18.第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人)．第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．反思与感悟 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比． 跟踪训练6 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人)．(3)在各层分别按随机数法抽取样本．(4)汇总每层抽样，组成样本．1．下面抽样方法是简单随机抽样的是( ) A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C ．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取) 答案 D解析 A 中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B 中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C 中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．2．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人 答案 B解析 先求抽样比n N ＝903 600＋5 400＋1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×1120＝30(人)，乙校抽取5 400×1120＝45(人)，丙校抽取1 800×1120＝15(人)，故选B.3．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是() A．抽签法B．随机数法C．随机抽样法D．以上都不对答案 B解析由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．4．一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．答案1 20解析因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为120.5．某地有2 000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是________．答案80解析设样本容量为n，根据简单随机抽样，得n2 000＝0.04，解得n＝80.1．简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为nN，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．4．总体容量小，用简单随机抽样；总体差异明显，用分层抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法．一、选择题1．从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是() A．500名学生是总体B．每个学生是个体C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生的体重是样本容量答案 C解析由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错；个体是每个学生的体重，B错；样本容量为60，D错．2．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是() A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数法D．以上都不对答案 D解析由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．3．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A ，B ，C 三种性质的个体分别抽取( ) A ．12,6,3 B ．12,3,6 C ．3,6,12 D ．3,12,6答案 C解析 由分层抽样的概念，知A ，B ，C 三种性质的个体应分别抽取21×17＝3,21×27＝6,21×47＝12.4．某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )A ．800名同学是总体B ．100名同学是样本C ．每名同学是个体D ．样本容量是100 答案 D解析 据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D 正确． 5．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( ) A.110，110 B.310，15 C.15，310 D.310，310 答案 A解析 简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为110.6．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( ) A ．8 B ．11 C ．16 D ．10 答案 A解析 若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8.7．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为( ) A ．36% B ．72% C ．90% D ．25%答案 C 解析3640×100%＝90%. 8．已知总体容量为108，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下列对总体的编号正确的是( ) A ．1,2，…，108 B ．01,02，…，108 C ．00,01，…，107 D ．001,002，…，108答案 D解析 用随机数法选取样本时，样本的编号位数要一致．故选D. 9．关于简单随机抽样，下列说法正确的是( ) ①它要求被抽取样本的总体的个数有限； ②它是从总体中逐个地进行抽取； ③它是一种不放回抽样； ④它是一种等可能性抽样． A ．①②③④ B ．③④ C ．①②③ D ．①③④ 答案 A解析 由简单随机抽样的特征可知． 二、填空题10．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________． 答案 0.2解析 因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为20100＝0.2.11．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．答案 12 14解析 因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为36＝12，所以某一特定小球被抽到的可能性是12.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为16；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为15；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为14.12．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________． 答案 6,30,10解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1 200＝y 6 000＝z 2 000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝30，z ＝10.三、解答题13．为了对某课题进行研究，分别从A ，B ，C 三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A 有m 名教授，高校B 有72名教授，高校C 有n 名教授(其中0＜m ≤72≤n )．(1)若A ，B 两所高校中共抽取3名教授，B ，C 两所高校中共抽取5名教授，求m ，n ； (2)若高校B 中抽取的教授总数是高校A 和C 中抽取的教授总数的23，求三所高校的教授的总人数．解 (1)∵0＜m ≤72≤n ，A ，B 两所高校中共抽取3名教授，∴B 高校中抽取2人， ∴A 高校中抽取1人，C 高校中抽取3人， ∴1m ＝272＝3n，解得m ＝36，n ＝108. (2)∵高校B 中抽取的教授数是高校A 和C 中抽取的教授数的23，∴23(m ＋n )＝72，解得m ＋n ＝108， ∴三所高校的教授的总人数为m ＋n ＋72＝180. 四、探究与拓展14．从一群游戏的小孩中随机抽出k 人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m 人，发现其中有n 个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( ) A.kn m B ．k ＋m －n C.km n D ．不能估计答案 C解析 设参加游戏的小孩有x 人，则k x ＝n m ，x ＝kmn.15．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．解 第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．。