高中数学必修3第二章知识点总结及练习
高中数学必修3(人教B版)第二章统计2.3知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学必修3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 统计 2.3 变量的相关性一、学习任务1. 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．2. 了解线性回归的方法，了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆系数公式）．二、知识清单变量间的相关关系相关关系 线性相关三、知识讲解1.变量间的相关关系2.相关关系变量与变量之间的关系一类是确定性的函数关系，像正方形的边长 和面积 的关系 ．另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的．例如，人的身高不能确定体重，但一般说来“身高者，体也重”．我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．函数关系与相关关系的异同点相同点：是两者均是指两个变量的关系；不同点：①函数关系是一种确定性的关系，相关关系是一种非确定性的关系．②函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，其也可能是伴随关系．a S 给出下列关系：①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．其中具有相关关系的是______．解：②③两个变量之间的关系有两种：函数关系与相关关系．①正方形的边长和面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③降雪量与交通事故的发生率具有相关关系．下图中的两个变量是相关关系的是（ ）描述：3.线性相关两个变量的线性关系对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．将样本中的个数据点（，，，）描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．如果两个变量的散点图中的点散步在左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，我们将这种相关称为正相关．如果两个变量的散点图中的点散步的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大是，另一个变量的值由大变小，我们将这种相关称为负相关．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量具有线性相关关系．回归直线方程“最贴近”已知的数据点的直线方程称之为回归直线方程，简称回归方程，方程为，叫做回归系数．刻画了实际观察值与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，个离差构成的总离差越小越好，总离差通常是用离差的平方和来表示，即作为总离差，并使之达到最小．回归直线就是所有直线中取最小的那一条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．A．①② B．①③ C．②④ D．②③解：D①属于函数关系，因为每个 值对应一个 值，这是确定性的关系；②中散点图中各点分布的区域大致为从左下角到右上角，没有确定的函数关系，但是具有相关关系；③中散点图分布的区域大致在一条曲线附近，对于每个 ，其对应的 呈现出一定的规律性，因此这两个变量具有相关关系；④ 中各点的分布比较均匀，但对于每个 ， 的分布没有规律，因此不属于相关关系．x y x y x y n (,)x i y i i =12⋯n =a +bx y ^b −y i y ^i y i n Q =(−a −b ∑i =1ny i x i )2Q（），得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）(,)u i v i i =12⋯10高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
新课标高中数学必修3第二章知识点总结
第二章 统计1.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N ≤，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
2.简单随机抽样的特点：①被抽取样本的总体个数较少；②从总体中逐个地抽取；③不放回抽取；④每一次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等（即等可能性）。
从而保证了抽样方法的公平性。
3.两种简单随机抽样方法：①抽签法（抓阄法）；②随机数法4.随机数法步骤：①编号；②随机确定开始数字；③从选定的数开始读数；④根据号码得到样本。
5.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。
6分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。
7.三种抽样方法的比较：1.两种估计方式：①用样本的频率分布估计总体的分布；②用样本的数字特征估计总体的数字特征。
2.分析数据的两种基本方法：①作图②画表格3.频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示。
各小长方形的面积的总和等于1【=⨯=频率小长方形的面积组距频率组距】。
4.茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。
它不但可以保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况，给数据的记录和表示都带来了方便。
5.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
7.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
6.平均数：如果有n 个数12,,,n x x x ，那么12,,,nx x x x n=叫做这n 个数的平均数。
高中数学必修3第二章知识点总结及练习
高中数学必修3知识点总结第二章统计2.1.1简单随机抽样1．总体和样本：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究*******************************************************************************变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
高中数学必修3第二章 2.3
§2.3变量间的相关关系学习目标1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.知识点一 变量间的相关关系 相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系. 知识点二 散点图及正、负相关的概念思考 粮食产量与施肥量间(在一定范围内)的相关关系有什么特点？ 答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高. 梳理 (1)散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.点(x ，y )叫样本点中心. (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域. ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 知识点三 回归直线 回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.回归直线过样本点中心. (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程. (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距.1.人的身高与年龄之间的关系是相关关系.( × )2.农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( √ )3.回归直线过样本点中心(x ，y ).( √ )类型一 变量间相关关系的判断例1下列两个变量之间是相关关系的是()A.圆的面积与半径之间的关系B.球的体积与半径之间的关系C.角度与它的正弦值之间的关系D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系考点变量间的相关关系题点相关关系的判断答案 D解析由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S＝πr2，B表示球的体积与半径之间的，C表示角度与它的正弦值之间的关系y＝sin α，都是确定的函数关系，只有关系V＝4πr33D是相关关系，故选D.反思与感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.跟踪训练1下列两个变量间的关系不是函数关系的是()A.正方体的棱长与体积B.角的度数与它的正切值C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量D.日照时间与水稻的单位产量考点变量间的相关关系题点相关关系与函数关系的辨析答案 D解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系.因为A项V＝a3，B项y＝tan α，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系.D项是相关关系.类型二散点图的应用例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：学生A B C D E成绩数学成绩8075706560物理成绩7066686462判断它们是否具有线性相关关系.考点散点图题点利用散点图判断两个变量是否有相关关系解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示.由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系.反思与感悟(1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图.变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关.(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.跟踪训练2下列图形中两个变量具有线性相关关系的是()考点 散点图题点 利用散点图判断两个变量是否有相关关系 答案 C解析 A 是一种函数关系；B 也是一种函数关系；C 中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D 中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的. 类型三 回归直线的求解与应用例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x (转/秒) 1614128每小时生产有缺点的零件数y (件)11985(1)画出散点图；(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 解 (1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.引申探究1.本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？ 解 因为y ＝5170x －67，所以当x 增加一个单位时，y 大约增加5170.2.本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速. 解 因为y ＝5170x －67，所以当y ＝7时，7＝5170x －67，解得x ≈11.反思与感悟 求线性回归方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系. (3)把数据制成表格x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (4)计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .(5)代入公式计算b ^，a ^，公式为⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .(6)写出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.跟踪训练3 某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 68 y3040605070考点 回归直线 题点 求回归直线方程 (1)画出散点图； (2)求回归方程. 解 (1)散点图如图所示.(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i 60 160 300 300 560 x 2i416253664x ＝5，y ＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5.1.对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定( )A.x 与y 正相关，u 与v 正相关B.x 与y 正相关，u 与v 负相关C.x 与y 负相关，u 与v 正相关D.x 与y 负相关，u 与v 负相关 考点 散点图题点 利用散点图判断两个变量是否有相关关系 答案 C解析 由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x 与y 负相关；由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u 与v 正相关. 2.工人工资y (元)与劳动生产率x (千元)的相关关系的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 B解析 因为回归直线的斜率为80，所以x 每增加1，y 平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.3.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 D解析 当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.4.某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元. 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 12.1解析 将x ＝15代入y ^＝0.8x ＋0.1，得y ^＝12.1.5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则线性回归方程是________. 答案 y ^＝1.23x ＋0.08解析 回归直线的斜率的估计值为1.23，即b ^＝1.23， 又回归直线过定点(4,5)，∴a ^＝5－1.23×4＝0.08， ∴y ^＝1.23x ＋0.08.1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关.2.求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x 与y 成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的. (2)用公式计算a ^，b ^的值时，要先计算b ^，然后才能算出a ^.3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则在x ＝x 0处的估计值为y^0＝b^x0＋a^.一、选择题1.判断下图中的两个变量，具有较强相关关系的是()考点 两个变量的线性相关的应用 题点 相关性强弱的判断 答案 B解析 A ，C 是函数关系，D 中的点的分布毫无规则，横轴、纵轴表示的两个变量之间相关性不强.2.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200考点 正相关、负相关题点 利用数据或方程判断两个变量的正负相关 答案 A解析 x 的系数为负数，表示负相关，排除B ，D ，由实际意义可知x ＞0，y ＞0，C 中，散点图不经过第一象限，故选A. 3.已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35.57已求得关于y 与x 的线性回归方程为y ^＝2.2x ＋0.7，则m 的值为( ) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5考点 回归直线 题点 样本点中心的性质答案 D解析 x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝m ＋3＋5.5＋74，将其代入y ^＝2.2x ＋0.7，可得m ＝0.5，故选D.4.设有一条回归直线的方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加1个单位时( ) A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少1.5个单位 D.y 平均减少2个单位 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 C解析 ∵回归方程为y ^1＝2－1.5x ， ① ∴y ^2＝2－1.5(x ＋1)，②∴②－①得y ^2－y ^1＝－1.5，即y 平均减少1.5个单位，故选C. 5.根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.a ^＞0，b ^＞0 B.a ^＞0，b ^＜0 C.a ^＜0，b ^＞0 D.a ^＜0，b ^＜0考点 散点图 题点 散点图的应用 答案 B解析 画出散点图，知a ^＞0，b ^＜0.6.已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y1357若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A.点(2,2) B.点(1.5,0) C.点(1,2) D.点(1.5,4)考点 回归直线 题点 样本点中心的性质 答案 D 解析 ∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4).故选D. 7.已知x ，y 的取值如表所示：x 2 3 4 y645如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，则b ^等于( )A.－12B.12C.－110D.110考点 回归直线 题点 求回归直线方程答案 A解析 ∵x ＝2＋3＋43＝3，y ＝6＋4＋53＝5，∴回归直线过点(3,5)， ∴5＝3b ^＋132，∴b ^＝－12，故选A.8.某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：广告费用x 4 2 3 5 销售额y49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元D.72.0万元考点 两个变量线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 B解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x ，y )，所以42＝9.4×3.5＋a ^.解得a ^＝9.1.故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1. 所以当x ＝6时，y ^＝6×9.4＋9.1＝65.5.9.某公司过去五个月的广告费支出x (单元：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：x 2 4 5 6 8 y▲40605070工作人员不慎将表格中y 的第一个数据丢失.已知y 对x 呈线性相关关系，且回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，有下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元.其中，正确的说法有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 B解析 由回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5，可知b ^＝6.5，则销售额y 与广告费支出x 正相关，所以①正确；设丢失的数据为m ，由表中的数据可得x ＝5，y ＝220＋m 5，把点⎝⎛⎭⎫5，220＋m 5代入回归方程，可得220＋m5＝6.5×5＋17.5，解得m ＝30，所以②正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以③不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y ＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以④不正确.故选B. 二、填空题10.在一次试验中测得(x ，y )的四组数据如下：x 16 17 18 19 y50344131根据上表可得线性回归方程y ^＝－5x ＋a ^，据此模型预报当x ＝20时，y 的值为________. 考点 两个变量的线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 26.5 解析x ＝16＋17＋18＋194＝17.5，y ＝50＋34＋41＋314＝39，∴回归直线过点(17.5,39)， ∴39＝－5×17.5＋a ^， ∴a ^＝126.5，∴当x ＝20时，y ＝－5×20＋126.5＝26.5.11.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x (千件) 2 3 5 6 成本y (万元)78912由表中数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元.考点 两个变量的线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值答案 14.5解析 由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入线性回归方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5.12.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差____________分. 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h 篮球的投篮命中率为________. 考点 两个变量的线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 0.5 0.53解析 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b ^＝0.01，从而a ^＝y －b ^x ＝0.5－0.01×3＝0.47. 所以回归方程为y ^＝0.47＋0.01x .所以当x ＝6时，y ^＝0.47＋0.01×6＝0.53. 三、解答题14.2018年元旦前夕，某市统计局统计了该市2017年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x (万元) 2 4 4 6 6 年饮食支出y (万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 年收入x (万元) 6 7 7 8 10 年饮食支出y (万元)1.91.82.12.22.3(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求线性回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出. (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)考点 回归直线 题点 求回归直线方程解 依题意可计算得，x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)可估计大多数年收入9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元. 四、探究与拓展15．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害．下表给出了不同类型的某种食品的数据．第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.品牌 所含热量的百分比口味记录 A 25 89 B3489C 2080D 1978E 2675F 2071G 1965H 2462I 1960J 1352(1)根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现食品所含热量的百分比与食品口味之间的近似关系吗？(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．解(1)画出散点图．从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的．(2)如图，我们用一条直线近似地表示这种线性相关关系．16．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，试用线性回归分析的方法预测他孙子的身高．解根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：父亲的身高(x)173170176儿子的身高(y)170176182x＝173，y＝176，∴b＝∑i＝13(x i－x)(y i－y)∑i＝13(x i－x)2＝3×6(－3)2＋32＝1，a＝y－b x＝176－173＝3，∴线性回归方程为y＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．。
高二数学3-2知识点
高二数学3-2知识点高二数学3-2知识点主要包括数列和数列的通项公式、特殊数列和递推关系、数列的性质与运算等内容。
本文将逐一介绍这些知识点，并提供一些例题进行实际应用。
一、数列和数列的通项公式数列是按照一定顺序排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列的通项公式是指可以根据数列的位置n，直接计算出数列的第n项的公式。
1.1等差数列等差数列是指数列中的每两个相邻项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d。
例题1：求等差数列{2, 5, 8, 11, ...}的第10项。
解：首项a₁=2，公差d=5-2=3。
代入通项公式an = a₁ + (n-1)d，可得第10项为a₁₀ = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29。
1.2等比数列等比数列是指数列中的每两个相邻项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则数列的通项公式为：an =a₁×q^(n-1)。
例题2：求等比数列{2, 4, 8, 16, ...}的第8项。
解：首项a₁=2，公比q=4/2=2。
代入通项公式an = a₁×q^(n-1)，可得第8项为a₈ = 2×2^(8-1) = 2×2^7 = 2×128 = 256。
二、特殊数列和递推关系特殊数列是指具有特定规律的数列，而递推关系则是利用前一项或多项来推导出后一项的关系。
掌握这些特殊数列和递推关系对于解题至关重要。
2.1 斐波那契数列斐波那契数列是指从第3项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
通常将首项定义为1，第二项也定义为1。
即数列{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}。
2.2 等差数列的递推关系对于等差数列{a₁, a₂, a₃, ...}，其递推关系可以通过前一项得出后一项的值。
设数列的公差为d，则递推关系为：aₙ₊₁ = aₙ + d。
高中数学北师大版必修3配套课件：2章末归纳总结
(3)循环结构：在算法中，从某处开始，按照一定的条件反
复执行步骤的结构为循环结构． 反复执行的步骤称为循环体，控制着循环的开始和结束的 变量称为循环变量，决定是否继续执行循环体的判断条件称为 循环的终止条件．
循环结构的算法框图的基本模式如下图所示．
第二章
章末归纳总结
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描述出来．设计算法时要注意：(1)应当先建立过程模型，也就
是找到解决问题的方案，再把它细化为一个连续的步骤，从而 设计出算法； (2) 算法的顺序性和普遍性，步骤的顺序不能颠
倒，设计出的算法需具有解决一类问题的功能．
第二章
章末归纳总结
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循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如：累加求
和，累乘求积，多次输入等．
第二章
章末归纳总结
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4．基本算法语句
基本算法语句包括输入语句、输出语句、赋值语句、条件 语句和循环语句． (1)赋值语句：在算法中用来赋给某一变量值的语句叫作赋 值语句，其一般格式是：变量＝表达式．
复合件2 Else 语句3 End If End If
第二章 章末归纳总结
Then
Then
语句2
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(3)循环语句：在算法中用来实现循环结构的语句叫作循环 语句，其一般格式有两种，For 语句和 Do Loop 语句： For 语句： For循环变量＝初始值To终值 循环体 Next Do Loop 语句： Do 循环体 Loop While条件为真
高三数学必修三知识点总结归纳
高三数学必修三知识点总结归纳【导语】数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
高考数学在高考中占据着重要的地位，需要我们认真学习。
以下是《高三数学必修三知识点总结归纳》，希望能够帮助到大家。
1.高三数学必修三知识点总结归纳篇一圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆与圆的位置关系的判断方法一、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
1、d>R+r两圆外离;两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r两圆外切;两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r两圆内切;两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
2.高三数学必修三知识点总结归纳篇二1、直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°2、直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
3.高三数学必修三知识点总结归纳篇三第一章：三角函数。
考试必考题。
诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及恒等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。
高三数学必修三第二单元的知识点解析
高三数学必修三其次单元的学问点解析在学习上我们要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维〔方法〕等作出简洁扼要的记录，以便复习，消化，思考。
建好错题档案，做好查漏补缺。
以下是我给大家整理的〔高三数学〕必修三其次单元的学问点解析，期望大家能够宠爱!高三数学必修三其次单元的学问点解析11.进展集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊状况，不要遗忘了借助数轴和文氏图进展求解.2.在应用条件时，易A无视是空集的状况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简洁命题与复合命题有什么区分?四种命题之间的相互关系是什么?如何推断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否认形式”的区分.6.求解与函数有关的问题易无视定义域优先的原那么.7.推断函数奇偶性时，易无视检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易无视标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，那么确定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不愿定单调10.你娴熟地把握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必需先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种根本应用你把握了吗?14.解对数函数问题时，你留意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需商量15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用把握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易无视换元前后的等价性，易无视参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否留意到：当时，“方程有解”不能转化为。
假设原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?18.利用均值不等式求最值时，你是否留意到：“一正;二定;三等”.19.确定值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应留意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的留意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为根底，分类商量是关键”，留意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果确定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必需留意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要留意“同号可倒”即ab0，a0.24.解决一些等比数列的前项和问题，你留意到要对公比及两种状况进展商量了吗?25.在“，求”的问题中,你在利用公式时留意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
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. 高中数学必修3知识点总结第二章统计
2.1.1简单随机抽样
1．总体和样本：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；
③概率保证程度。
4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距
精品文档离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。
如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
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. 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值：n
x x x x n +++=Λ21 2、．样本标准差：n
x x x x x x s s n 2
22212)()()(-++-+-==Λ 3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。
在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、
均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用； “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:（1）回归直线方程（2）回归系数 2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存
的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x ）代入回归方程对预报量（即
因变量Y ）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控
制的目标。
如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可
通过控制汽车流量来控制空气中NO 2的浓度。
4．应用直线回归的注意事项：（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。