2018届高三数学每天一练半小时：第47练 不等式中的易错题 Word版含答案
2018届高三数学每天一练半小时：第85练 不等式选讲 Word版含答案
1．(2016·潍坊模拟)不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A ．(－∞，32)B ．(－∞，－32)C ．(32，＋∞)D ．(－32，＋∞)2．(2016·皖南八校联考)若不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2,5]D ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|，当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，1]C ．[1,4]D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)5．(2016·长沙一模)设f (x )＝|x －a |，a ∈R .若对任意x ∈R ，f (x －a )＋f (x ＋a )≥1－2a 都成立，则实数a 的最小值是( ) A ．0 B.14 C.12D ．16．对于实数x ，y ，若|2x ＋1|≤lg 4，|2y －1|≤lg 5，则|x －2y ＋2|的最大值是( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2二、填空题7．设f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )，当函数f (x )的定义域为R 时，实数a 的取值范围是________．8．不等式|x ＋log 3x |<|x |＋|log 3x |的解集为________．9．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是________． 10．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________． 三、解答题11．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，试确定e 的最大值．12．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.答案精析1．A [原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.]2．A [由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.]3．C [|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3.] 4．D [当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}，故选D.]5．B [f (x －a )＋f (x ＋a )＝|x －2a |＋|x |≥|(x －2a )－x |＝2|a |，当且仅当(x －2a )x ≤0时取等号．解不等式2|a |≥1－2a ，得a ≥14.故实数a 的最小值为14.]6．C [|x －2y ＋2|＝12|2x －4y ＋4|＝12|2x ＋1－4y ＋2＋1|≤12(|2x ＋1|＋2|2y －1|＋1)≤12×(lg 4＋2lg 5＋1)＝32，故选C.] 7．(－∞，4)解析 由题意知函数f (x )的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a 恒成立．设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6（x ≥5），4（1<x <5），6－2x （x ≤1），所以g (x )min ＝4.由|x －1|＋|x －5|－a >0恒成立，得a <4，故实数a 的取值范围是(－∞，4)． 8．{x |0<x <1}解析 由对数函数的定义得x >0，又由绝对值不等式的性质知，|x ＋log 3x |≤|x |＋|log 3x |，当且仅当x 与log 3x 异号时等号不成立，∵x >0，∴log 3x <0， 即0<x <1，故原不等式的解集为{x |0<x <1}． 9．(5,7) 10．[－1,2]解析 设y ＝2x －1，x ∈[2,6]，则y ′＝－2（x －1）2<0， 则y ＝2x －1在区间[2,6]上单调递减，则y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．11．解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋d ＝8－e ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝16－e 2，由柯西不等式知(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(12＋12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 故4(16－e 2)≥(8－e )2，解得0≤e ≤165，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝65时，e 取得最大值165.12．证明 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|，所以|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1， 即|x ＋5y |≤1.。
加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：48专题 不等式 含答案
训练目标(1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力. 训练题型 (1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系.解题策略(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小. 1．(2015·金华十校联考)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的________条件． 2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是________．①1x 2＋1>1y 2＋1；②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)；③sin x >sin y ；④x 3>y 3. 3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 4．设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与AB 的大小关系为________． 5．已知a >0，b >0，记M ＝a 2b ＋b 2a，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为________． 6.(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b＋1c，则T 与0的大小关系是________． 7．若存在x 使不等式x －m ex >x 成立，则实数m 的取值范围为________． 8．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．9．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a≥2； ③若a >b >0，n ∈N *，则a n >b n ；④若log a b <0(a >0，a ≠1)，则(a －1)(b －1)<0.其中真命题的个数为________．10．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是________．①log 2a >0；②2a －b <12；③log 2a ＋log 2b <－2；④2a b ＋b a <12. 11．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．12．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为__________________．13．设a>0且a≠1，则log a(a3＋1)与log a(a2＋1)的大小关系为____________________．14．已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，c n与a n＋b n的大小关系为________．答案解析1．充分不必要解析 方法一 因为a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab， 所以若a >b >1，显然a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab>0，则充分性成立； 当a ＝12，b ＝23时， 显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立， 所以必要性不成立．方法二 令函数f (x )＝x ＋1x， 则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2， 可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件． 2．④解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，①不成立；②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，②不成立；③中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，③不成立；④中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，④成立．3．M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab (1＋a )(1＋b )>0，∴M >N . 4．d ≤AB5．M ≥N解析 a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab≥0.故M ≥N . 6.T <0解析 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc. ∵ab <0，－c 2<0，abc >0，∴T <0.7．(－∞，0)解析 由x －m e x >x 得：－m >e x ×x －x (x >0)， 令f (x )＝e x ×x －x (x >0)，则－m >f (x )min .f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x－1≥2×e x －1>0(x >0)， 所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m >0，m <0.8．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5.∴－1≤a －b ≤6.9．2解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a<0，所以②为假命题； ③为真命题；若log a b <0(a >0，a ≠1)，则有可能a >1,0<b <1或0<a <1，b >1，即(a －1)(b －1)<0，所以④是真命题．综上，真命题有2个．10．③解析 若0<a <1，此时log 2a <0，①错误；a －b <0，此时2a －b <1，②错误；由a b ＋b a >2a b ·b a ＝2,2a b ＋b a>22＝4，④错误； 由a ＋b ＝1>2ab ，即ab <14， 因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2.故③正确． 11．a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.12.12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b ) 解析 图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式可表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )． 13．log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 (a 3＋1)－(a 2＋1)＝a 2(a －1)，①当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；②当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．14．c n >a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0.而a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c)n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则(a c )2＋(b c)2＝1， ∴0<a c <1,0<b c<1.∵n ∈N ，n >2， ∴(a c )n <(a c )2，(b c )n <(b c)2. ∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n .。
2018届高三数学每天一练半小时(48)不等式综合练(含答案)
1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2D ．4 33．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－44．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0成立的x 的取值范围是( ) A ．(32，152)B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7)5．(2016·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12二、填空题6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f (x )＝|lg x |，a >b >0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．7．(2017·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________．8．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x的最小值为________． 三、解答题9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10．(2016·海口一模)已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实常数)．(1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；(3)设m <0，若不等式f (x )≤kx 在x ∈[12，1]时有解，求k 的取值范围．答案精析1．C [依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]，故选C.] 2．D [由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)， OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.]3．C [∵x <0，∴f (x )＝－[(－x )＋1?－x ?]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．]4．C [由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152，又因为[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x <8.故选C.]5．C [易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.] 6．2 2解析 由函数f (x )＝|lg x |，a >b >0，f (a )＝f (b )，可知a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，b ＝1a ，a －b ＝a －1a >0，则a 2＋b2a －b＝a 2＋(1a)2a －1a＝a －1a ＋2a －1a ≥22(当且仅当a －1a ＝2a －1a，即a ＝2＋62时，等号成立)．7．3解析 设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分， 由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值3－0＝3. 8. 2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号． 9．解 (1)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250?0<x <80，x ∈N *?，1 200－(x ＋10 000x)??x ≥80，x ∈N *?.(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋mx＋2，PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋(x ＋mx )2＝2x 2＋m 2x2＋2m ≥22|m |＋2m ＝2，当m >0时，解得m ＝2－1； 当m <0时，解得m ＝－2－1. 所以m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由题意知，任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋mx 2＋2－(x 1＋m x 1＋2)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－mx 1x 2>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以x 1x 2－m >0，即m <x 1x 2. 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2>4，所以m ≤4. 所以m 的取值范围是(－∞，4]． (3)由f (x )≤kx ，得x ＋m x＋2≤kx . 因为x ∈[12，1]，所以k ≥m x 2＋2x＋1.令t ＝1x，则t ∈[1,2]，所以k ≥mt 2＋2t ＋1.令g (t )＝mt 2＋2t ＋1，t ∈[1,2]，于是，要使原不等式在x ∈[12，1]时有解，当且仅当k ≥[g (t )]min (t ∈[1,2])．因为m <0，所以g (t )＝m (t ＋1m )2＋1－1m的图象开口向下，对称轴为直线t ＝－1m>0.因为t ∈[1,2]，所以当0<－1m ≤32，即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5；当－1m >32，即－23<m <0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3.综上，当m ≤－23时，k ∈[4m ＋5，＋∞)；当－23<m <0时，k ∈[m ＋3，＋∞)．。
高考不等式易错题解析
不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。
3．不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或 错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。
正确答案为D 。
4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。
正确答案为B 。
5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。
正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。
6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。
2018届高三数学每天一练半小时(40)数列中的易错题(有答案)AKKqPw
训练目标 (1)数列知识的深化应用；(2)易错题目矫正练．训练题型 数列中的易错题．解题策略 (1)通过S n 求a n ，要对n ＝1时单独考虑；(2)等比数列求和公式应用时要对q＝1，q ≠1讨论；(3)使用累加、累乘法及相消求和时，要正确辨别剩余项，以免出错.1．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 152．已知等差数列：1，a 1，a 2,9；等比数列：－9，b 1，b 2，b 3，－1.则b 2(a 2－a 1)的值为( )A ．8B ．－8C ．±8 D.893．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *，那么“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2017·抚州月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n <nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7<－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7 5．(2016·湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2 013<0B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 013>0D ．若a 4>0，则S 2 014>06．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1,3)D ．(2,3)7．(2016·江南十校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3n n ＋1(n ∈N *)，则使S n <－4成立的最小自然数n 为( )A ．83B ．82C ．81D ．808．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝r ·a n ＋r (n ∈N *，r ∈R 且r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题9．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则数列{a n }的通项公式为________________．10．(2016·辽宁五校联考)已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ，则数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为________． 11．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝____________.答案精析1． C [∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数．∴a 1＋6d 为常数．∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数．] 2．B [a 2－a 1＝d ＝9－13＝83， 又b 22＝b 1b 3＝(－9)×(－1)＝9，因为b 2与－9，－1同号，所以b 2＝－3.所以b 2(a 2－a 1)＝－8.]3．A [由题意，函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *.若“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”，则“数列{a n }是递增数列”一定成立；若“数列{a n }是递增数列”，则“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”不一定成立，现举例说明，如函数在[1,2]上先减后增，且在1处的函数值小．综上，“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件，故选A.]4．D [由(n ＋1)S n <nS n ＋1，得(n ＋1)·n (a 1＋a n )2<n ·(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2， 整理得a n <a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7<－1，所以a 8>0，a 7<0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.]5．C [设a n ＝a 1qn －1， 因为q 2 010>0，所以A ，B 不成立．对于C ，当a 3>0时，a 1>0，因为1－q 与1－q 2 013同号，所以S 2 013>0，选项C 正确，对于D ，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论，D 不成立，故选C.]6．D [根据题意，a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，(3－a )×7－3<a 8－6，解得2<a <3.] 7．C [∵a n ＝log 3n n ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4， 解得n >34－1＝80.故最小自然数n 的值为81.]8．A [当r ＝1时，易知数列{a n }为等差数列；由题意易知a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ，当数列{a n }是等差数列时，a 2－a 1＝a 3－a 2，即2r －1＝2r 2－r .解得r ＝12或r ＝1， 故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件．]9．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，n ＝1，2n －3，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，n ＝1，2n －3，n ≥2.10.2n n ＋2解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12， 则1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4(1n ＋1－1n ＋2)， 所以所求的前n 项和为4[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝4(12－1n ＋2)＝2n n ＋2. 11．(－3，＋∞)解析 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．12.⎩⎪⎨⎪⎧ 3(1－q n )1－q，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1解析 ∵数列{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，即a n ＋2a n＝q ， 这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列， 所有偶数项成等比数列，且公比都是q ， 又a 1＝1，a 2＝2，∴当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1)1n q q--； 当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) (1111)(2222)3n n n =+++++++++=K K 1442443144424443个个 综上所述：S 2n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3(1－q n )1－q，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》经典测试题含答案
【高中数学】数学高考《不等式》复习资料一、选择题1．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙每天原料的可用总量A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【解析】【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得3212,28,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y=+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,x yx y+=⎧⎨+=⎩得()2,3P，则max324318z=⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为5．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.6．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A．[；B ．(,-∞C ．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--，当10a >时，11111133323222222a a a d a a a ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭，当且仅当13a =时等号成立； 当10a <时，111133232222a a d a a ⎛⎫⎛⎫=--≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当13a =-时等号成立；∴实数d 的取值范围为(,3][3,)-∞-⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.7．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0） ∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．已知x，y满足约束条件1,22,326,x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z+≥恒成立，则实数z的最大值为（）A．22B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y+-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z+≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y+-=的距离的平方最小，其中最小值距离为2212211d-==+，则212d=，即12z≤所以数z的最大值12．故选：C．本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．9．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．10．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C.本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.11．已知,a b 都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（ ） A．23-B．3-C．1D ．43【答案】A 【解析】 【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n +=--++，利用基本不等式求解. 【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n ma b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n mm n=时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是23-. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.13．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．14．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+= ()212222225529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.15．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<， 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …． 当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．17．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）A ．1(1,)2-B ．1(,1)(,)2-∞-+∞UC ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>， 得()()()221f x f x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭． 故选B ．【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥20．若，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》专项训练及解析答案
数学《不等式》高考知识点一、选择题1．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.2．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.3．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知函数())22log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 2210,x x x x x x +≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数 因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.6．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.7．已知x、y满足约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y=+，则实数z的最小值为（）A．2B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y+的最小值，进而可得出实数z的最小值.【详解】作出不等式组122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y+==⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A ．855B ．8C ．515D ．163【答案】D 【解析】 【分析】222424512x y x y ----=+222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为222424512x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y--=的距离的5倍，如图所示，点44(,)33A到直线240x y--=的距离d最小，此时224424333512d-⨯-==+所以24x y--的最小值为1653d=.故选：D.【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.9．若x，y满足约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y=+的最大值为26a+，则a的取值范围是（）A．[1,)-+∞B．(,1]-∞-C．(1,)-+∞D．(,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y=+的最大值为26a+，所以z ax y=+在点(2,6)A处取得最大值，则1a-≤，即1a≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.11．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.12．已知,x y满足33025010x yx yx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36yzx-=-的最小值为（）A．157B．913C．17D．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.13．已知直线22+=mx ny()0,0m n>>过圆()()22125x y-+-=的圆心，则11m n+的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．14．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为(43,423]+.故选：C【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.15．在区间[]0,1内随机取两个数m､n，则关于x的方程20x nx m-+=有实数根的概率为（）A．18B．17C．16D．15【答案】A【解析】【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.【详解】若方程20x nx m-+=有实数根，则40n m∆=-≥.如图，400101n mmn-≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101mn≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118SPS⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A.【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.16．若均不为1的实数a、b满足0a b>>，且1ab>，则（）A．log3log3a b>B．336a b+>C．133ab a b++>D．b aa b>【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.17．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥20．若，，则（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.。
2018届高三数学每天一练半小时：第47练 不等式中的易错题 含答案 精品
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是( ) A ．{x |－1≤x ≤2－1} B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－33．已知a ，b 都是正实数，且满足log 4(2a ＋b )＝log 2ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．64．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥?a ＋b ?2x ＋y ，当且仅当ax ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3x ＋41－3x (0<x <13)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．25．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11.则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )A ．80B ．85C ．90D ．1006．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．87．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为( )A ．2B ．7C ．9D ．108．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2二、填空题9．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是________．10．对于0≤m ≤4的任意m ，不等式x 2＋mx >4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是________________．11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________．12．某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t 物资的任务，该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元.答案精析1．C [由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，②解不等式组①得x <－1； 解不等式组②得－1≤x ≤2－1.故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，故选C.]2．C [因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，且x 2＋ax ＋1≥0，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，所以a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x max .又y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12内是单调递减的，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝－(12＋112)＝－52.] 3．C [由题意log 4(2a ＋b )＝log 4ab ， 可得2a ＋b ＝ab ，a >0，b >0，所以2a ＋b ＝12·2a ·b ≤12·(2a ＋b )24，所以2a ＋b ≥8，当且仅当2a ＝b 时取等号， 所以2a ＋b 的最小值为8，故选C.]4．C [由题意可得f (x )＝3x ＋41－3x ＝323x ＋221－3x ≥?3＋2?23x ＋?1－3x ?＝25，当且仅当33x ＝21－3x ，即x ＝15时取等号，故最小值为25.]5．C [如图，作出可行域，由z ＝10x ＋10y ⇒y ＝－x ＋z 10，它表示斜率为－1，纵截距为z10的平行直线系， 要使z ＝10x ＋10y 取得最大值，当直线z ＝10x ＋10y 通过A (112，92)时z 取得最大值．因为x ，y ∈N *，故A 点不是最优整数解． 于是考虑可行域内A 点附近的整点(5,4)，(4,4)， 经检验直线经过点(5,4)时，z max ＝90.]6．B [不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9，所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.]7．C [y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5， 当x >－1，即x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)×4x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取“＝”)．故选C.]8．D [由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－2 3. ∵a 、b 、c >0. ∴(a ＋c )·(a ＋b )≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ≥24－23＝2(3－1)＝23－2.] 9．4解析 由x >0，y >0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2， 得lg 2x 8y＝lg 2，即2x ＋3y＝2，所以x ＋3y ＝1，故1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y ) ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x3y＝4， 当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.10．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 不等式可化为m (x －1)＋x 2－4x ＋3>0在0≤m ≤4时恒成立． 令f (m )＝m (x －1)＋x 2－4x ＋3.则⎩⎪⎨⎪⎧f ?0?>0，f ?4?>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >3，x <－1或x >1，即x <－1或x >3. 11．1解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0， 得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3 ≤124－3＝1，当且仅当x ＝2y 时取等号． 此时z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－(1y )2＋2y ＝－(1y－1)2＋1≤1.12．2 560解析 设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的费用为z 元，则目标函数z ＝320x ＋504y (x ，y ∈N )．由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N ，0≤y ≤4，x ∈N ，x ＋y ≤10，4x ×6＋3y ×10≥180.作出上述不等式组所确定的平面区域即可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，z min＝320×8＋504×0＝2 560.故每天调出A型卡车8辆，公司所花费用最低为2 560元．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是( )
A ．{x |－1≤x ≤2－1}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x |x ≤2－1}
D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} 2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0
B ．－2
C ．－52
D ．－3
3．已知a ，b 都是正实数，且满足log 4(2a ＋b )＝log 2ab ，则2a ＋b 的最小值为( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6 4．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥?a ＋b ?2x ＋y ，当且仅当a x
＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3x ＋41－3x (0<x <13
)的最小值为( ) A ．5
B ．15
C ．25
D ．2
5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，
2x ≤11.则
z ＝10x ＋10y 的最大值是( )
A ．80
B ．85
C ．90
D ．100
6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1
(x >－1)的最小值为( ) A ．2
B ．7
C ．9
D ．10
8．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2
D ．23－2
二、填空题
9．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y
的最小值是________． 10．对于0≤m ≤4的任意m ，不等式x 2＋mx >4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是________________． 11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z
的最大值为________．
12．某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t 物资的任务，该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元.
答案精析
1．C [由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于
⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0，x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，②
解不等式组①得x <－1；
解不等式组②得－1≤x ≤2－1.
故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，故选C.]
2．C [因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，且x 2＋ax ＋1≥0，所以a ≥－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ， 所以a ≥－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x max . 又y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12内是单调递减的， 所以a ≥－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x max ＝－(12＋112
)＝－52.] 3．C [由题意log 4(2a ＋b )＝log 4ab ，
可得2a ＋b ＝ab ，a >0，b >0，
所以2a ＋b ＝12·2a ·b ≤12·(2a ＋b )24
， 所以2a ＋b ≥8，当且仅当2a ＝b 时取等号，
所以2a ＋b 的最小值为8，故选C.]
4．C [由题意可得f (x )＝3x ＋41－3x ＝323x ＋221－3x ≥?3＋2?23x ＋?1－3x ?＝25，当且仅当33x ＝21－3x
，即x ＝15
时取等号，故最小值为25.] 5．C [如图，作出可行域，
由z ＝10x ＋10y ⇒y ＝－x ＋z 10，它表示斜率为－1，纵截距为z 10的平行直线系， 要使z ＝10x ＋10y 取得最大值，
当直线z ＝10x ＋10y 通过A (112，92
)时z 取得最大值． 因为x ，y ∈N *
，故A 点不是最优整数解．
于是考虑可行域内A 点附近的整点(5,4)，(4,4)，
经检验直线经过点(5,4)时，z max ＝90.] 6．B [不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax y
≥a ＋2a ＋1≥9，所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.]
7．C [y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1
＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1
＝(x ＋1)＋4x ＋1
＋5， 当x >－1，即x ＋1>0时，y ≥2
(x ＋1)×4x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取“＝”)．故选C.]
8．D [由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－2 3.
∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋b ＋c 22(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)， ∴2a ＋b ＋c ≥24－23＝2(3－1)＝23－2.]
9．4
解析 由x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，
得lg 2x 8y ＝lg 2，即2
x ＋3y ＝2，
所以x ＋3y ＝1，
故1x ＋13y ＝(1x ＋13y
)(x ＋3y ) ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2 3y x ·x 3y ＝4， 当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16
时取等号，
所以1x ＋13y
的最小值为4. 10．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 不等式可化为m (x －1)＋x 2－4x ＋3>0在0≤m ≤4时恒成立．
令f (m )＝m (x －1)＋x 2－4x ＋3.
则⎩⎪⎨⎪⎧ f ?0?>0，f ?4?>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x <1或x >3，x <－1或x >1， 即x <－1或x >3. 11．1 解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0， 得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，
∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x
－3 ≤
124－3＝1， 当且仅当x ＝2y 时取等号．
此时z ＝2y 2，
∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y
2 ＝－(1y )2＋2y ＝－(1y
－1)2＋1≤1. 12．2 560
解析 设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的费用为z 元，则目标函数z ＝320x ＋504y (x ，y ∈N )．
由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤8，x ∈N ，0≤y ≤4，x ∈N ，x ＋y ≤10，4x ×6＋3y ×10≥180.
作出上述不等式组所确定的平面区域即可行域，如图中阴影部分所示．
结合图形可知，z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，z min＝320×8＋504×0＝2 560.
故每天调出A型卡车8辆，公司所花费用最低为2 560元．。