河北省徐水一中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题
2016-2017年河北省保定市徐水一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．802．（5分）同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（）A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面B．至少有1每正面和恰好有1枚正面C．至少有2枚正面和恰有1枚正面D．最多有1枚正面和恰有2枚正面3．（5分）如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题4．（5分）已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥05．（5分）椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（）A．2 B．C．D．6．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+4=0，则的最小值是（）A．2+3 B．﹣3 C．+3 D．﹣37．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条9．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．11．（5分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．212．（5分）已知双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N（﹣12，﹣15），则E 的方程为（）A．B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=．15．（5分）已知点，点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为．16．（5分）方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k 的取值范围．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．（12分）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．21．（12分）如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y ﹣3=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．22．（12分）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．2016-2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．80【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，解得n=70，故选：C．2．（5分）同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（）A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面B．至少有1每正面和恰好有1枚正面C．至少有2枚正面和恰有1枚正面D．最多有1枚正面和恰有2枚正面【解答】解：恰好有1枚正面和恰好有2枚正面有可能同时不发生，不互为对立事件，故A错误；至少有1枚正面和恰好有1枚正面有可能同时发生，不互为对立事件，故B错误；至少有2枚正面和恰好有1枚正面有可能同时不发生，不互为对立事件，故C错误．最多有1枚正面和至少有2枚正面不可能同时发生，也不可能同时不发生，互为对立事件，故D正确；故选：D．3．（5分）如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题【解答】解：∵“非p”是真命题，∴命题p是假命题又∵“p且q”是假命题∴命题q可以是真命题也可以是假命题．故选：C．4．（5分）已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：C．5．（5分）椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意，b2=，a2=∴c2=﹣=1，∴k=∴e2=k=∴e=故选：D．6．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+4=0，则的最小值是（）A．2+3 B．﹣3 C．+3 D．﹣3【解答】解：x2+y2﹣4x+6y+4=0 即（x﹣2）2+（y+3）2=9，表示以C（2，﹣3）为圆心、半径等于3的圆．而表示圆上的点A（x，y）到原点O（0，0）的距离，由于CO==，故的最小值是CO﹣r=﹣3，故选：B．7．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+16y﹣48=0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y+8）2=121∴圆C1的圆心坐标为（3，﹣8），半径r1=11同理，可得圆C2的圆心坐标为（﹣2，4），半径r2=8因此，两圆的圆心距|C1C2|==13∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2=16∴两圆的位置关系是相交，可得两圆有2条公切线故选：C．9．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5，∴抛物线的焦点为F（0，5），设双曲线的方程为，∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即，∴，解得（舍负），可得该双曲线的标准方程为．故选：C．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．11．（5分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．故选：B．12．（5分）已知双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N（﹣12，﹣15），则E 的方程为（）A．B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，∵线段AB的中点坐标为N（﹣12，﹣15），∴∴∵直线的斜率为∴∵右焦点为F（3，0），∴a2+b2=9解得a2=4，b2=5∴E的方程为故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为2．【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，根据方差计算公式得s2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2故答案为：214．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=4．【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．故答案为：415．（5分）已知点，点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为2．【解答】解：用抛物线的定义：焦点F（0，1），准线y=﹣1，设P到准线的距离为dy0+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y0+|PQ|的最小值是2．故答案为：2．16．（5分）方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为[﹣2，﹣）∪（，2]．．【解答】解：解：设y=f（x）=，（y≥0，﹣1≤x≤1）；即x2+y2=1 （半圆），y=h（x）=kx+2 （x∈R）即y﹣2=kx，直线恒过点M（0，2），∵方程f（x）=h（x）有两个不同的实数根，（k＞0）即y=f（x）和y=h（x）有两个不同的交点，画出f（x），h（x）的图象，如图示：，当直线与圆相切时，k=±，当直线过（0，2），（﹣1，0）时，k=±2，∴﹣2≤k＜﹣或＜k≤2，故答案为：[﹣2，﹣）∪（，2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k 的取值范围．【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即2＜k＜4；…（2分）当q为真时，（k﹣1）（k﹣3）＜0，即1＜k＜3；…（5分）若p∨q为真，p∧q为假，则p和q有且只有一个为真命题，则（1）若p为真q为假，则，即3≤k＜4；…（7分）（2）q为真p为假，则，即1＜k≤2；…（9分）∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．（12分）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．【解答】解：设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴1+a2=r2 ①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=220．（12分）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b==1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为．（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由，得∵点P在椭圆上，得，∴线段PA中点M的轨迹方程是．21．（12分）如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y ﹣3=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为：，依题意得：，即m＜，故m的取值范围为（﹣∞，）；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则k OP•k OQ=﹣1，即，所以x1x2+y1y2=0，又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，所以（3﹣2y 1）（3﹣2y 2）+y 1y 2=0，即5y 1y 2﹣6（y 1+y 2）+9=0①， 将直线l 的方程：x=3﹣2y 代入圆的方程得：5y 2﹣20y +12+m=0， 所以y 1+y 2=4，，代入①式得：，解得m=3，故实数m 的值为3．22．（12分）已知抛物线E ：x 2=2py （p ＞0），直线y=kx +2与E 交于A 、B 两点，且•=2，其中O 为原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）点C 坐标为（0，﹣2），记直线CA 、CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 12+k 22﹣2k 2为定值．【解答】（1）解：将y=kx +2代入x 2=2py ，得x 2﹣2pkx ﹣4p=0， 其中△=4p 2k 2+16p ＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=﹣4p ， ∴===﹣4p +4，由已知，﹣4p +4=2，解得p=， ∴抛物线E 的方程为x 2=y ．（2）证明：由（1）知x 1+x 2=k ，x 1x 2=﹣2，===x 1﹣x 2，同理k 2=x 2﹣x 1， ∴=2（x 1﹣x 2）2﹣2（x 1+x 2）2=﹣8x 1x 2=16．。
河北省保定市徐水一中高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)
2015-2016学年河北省保定市徐水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题3．设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c4．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x2）＞的解集为( )A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）5．函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为( )A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]6．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣37．已知x，y为正实数，则( )A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy8．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A． B．C．D．9．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是( )A．e x≤1+x+x2B．C．D．10．定义两种运算：，则函数的解析式为( )A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2] B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣12．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为( )A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．f（x）=，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是__________．14．已知函数f（x）=，则f[f]=__________．15．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为__________．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值范围是__________．三、解答题：写出必要的过程17．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．18．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．19．汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3﹣k•t2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．20．已知（1）若tanα=2，求f（α）的值；（2）已知sinθ，cosθ是方程x2﹣ax+a=0的两根，求f（θ）﹣的值．21．已知函数（1）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求f2（﹣1）的取值范围．22．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．2015-2016学年河北省保定市徐水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】函数的性质及应用；集合．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出∁R P和（∁R P）∩Q．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以∁R P={x|x＜﹣1或x＞2}，且（∁R P）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故选：C．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【考点】全称命题；复合命题的真假．【专题】常规题型．【分析】先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．【点评】本题考查复合命题的真假，属于基础题．3．设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．4．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f （x2）＞的解集为( )A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x），构造单调递减函数h（x）=f（x）﹣，利用其单减性求解．【解答】解：∵f′（x），∴f′（x）﹣＜0，设h（x）=f（x）﹣，则h′（x）=f′（x）﹣＜0，∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．不等式f（x2）＞，即为f（x2）x2＞，即h（x2）＞h（1），得x2＜1，解得﹣1＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣1，1）．故选：D．【点评】本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．5．函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为( )A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，即﹣1≤2x﹣1≤1，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．6．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】先求出p的等价条件，利用¬q的一个充分不必要条件是¬p，即可求a的取值范围．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．7．已知x，y为正实数，则( )A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．【解答】解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．8．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．9．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是( )A．e x≤1+x+x2B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；构造法；导数的综合应用．【分析】A，B，D，可利用利用特殊值的方法，举出反例；对于C，构造函数h（x）=cosx﹣1+x2，求出导数，得出函数的单调递增且h（x）≥0；【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，令h（x）=cosx﹣1+x2，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增，∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数h（x）在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1﹣x2，故正确；对于D，当x=100时，左式大于零，右式小于零，所以不等式不恒成立；故选C．【点评】选择题中特殊值代入法的应用，利用构造函数，根据单调性求最值．10．定义两种运算：，则函数的解析式为( )A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2] B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；新定义；函数的性质及应用．【分析】根据中的新定义，化简得f（x）=，由此解出函数定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}，再将函数解析式去绝对值化简，可得本题答案．【解答】解：根据题意，可得∵，∴，=|x﹣2|，因此，函数=，∵，∴函数的定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}．由此可得函数的解析式为：f（x）===﹣，（x∈[﹣2，0）∪（0，2]）．故选：A【点评】本题给出新定义域，求函数的解析式．着重考查了函数的定义域求法、不等式组的解法和求函数解析式的一般方法等知识，属于中档题．11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f （x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C【点评】本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．12．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为( )A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．【解答】解：sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故选B．【点评】已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．f（x）=，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是{x|x＜2}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0，当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0，解不等式即可求解【解答】解：当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0解可得，﹣2≤x≤1此时x不存在当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0即x2﹣x+2≥0解不等式可得x∈R此时x＜2综上可得，原不等式的解集为{x|x＜2}故答案为：{x|x＜2}【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，解题中要注意分类讨论的应用．14．已知函数f（x）=，则f[f]=1．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．15．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为x+y﹣2=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y=的导数y'=，y'|x=1=﹣1，而切点的坐标为（1，1），∴曲线y=在在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值范围是（0，）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可转化为函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有且仅有两个零点，∴函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，作函数f（x）=与函数y=x+b的图象如下，当b=0时，有一个交点，是一个临界值，当直线y=x+b与f（x）=相切时，f′（x）==；故切点为（1，1）；故b=1﹣=；结合图象可得，b∈（0，）；故答案为：（0，）【点评】本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题三、解答题：写出必要的过程17．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由于函数f（x）=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，分当a＞0时、当a＜0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．（2）由题意可得可得，g（x）=x2﹣（m+2）x+2，根据条件可得≤2，或≥4，由此求得m的范围．【解答】解：（1）由于函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，当a＞0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，由题意可得，解得．当a＜0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．（2）若b＜1，则由（1）可得，g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2，再由函数g（x）在[2，4]上为单调函数，可得≤2，或≥4，解得m≤2，或m≥6，故m的范围为（﹣∞，2]∪[6，+∞）．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，利用命题P或Q为真命题，P且Q为假命题，求a的范围即可．【解答】解：当命题p为真命题即f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，即ax2﹣x+a＞0对任意实数x均成立，∴解得a＞2，当命题q为真命题即﹣1＜ax对一切正实数均成立即a＞==对一切正实数x均成立，∵x＞0，∴＞1，∴+1＞2，∴＜1，∴命题q为真命题时a≥1．∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，∴p与q有且只有一个是真命题．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a∈[1，2]．综上知a∈[1，2]．【点评】本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于一道中档题．19．汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3﹣k•t2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（1）当k=8时，s=5t3﹣8t2+t+10，令瞬时速度即s′=0，可求t，再代入s可求；（2）汽车静止时v=0，故问题转化为15t2﹣2kt+1=0在[1，2]内有解，，令，利用导数可求得f（t）的范围，从而可得k的范围；【解答】解：（1）当k=8时，s=5t3﹣8t2+t+10，这时汽车的瞬时速度为V=s′=15t2﹣16t+1，令s′=0，解得t=1（舍）或，当时，，所以汽车的刹车距离是米．（2）汽车的瞬时速度为v=s′，∴v=15t2﹣2kt+1，汽车静止时v=0，故问题转化为15t2﹣2kt+1=0在[1，2]内有解，又，∵，当且仅当时取等号，∵，∴记，，∵t∈[1，2]，∴，∴f（t）单调递增，∴，，即，故k的取值范围为．【点评】该题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，在实际问题中构建恰当函数是解决问题的关键．20．已知（1）若tanα=2，求f（α）的值；（2）已知sinθ，cosθ是方程x2﹣ax+a=0的两根，求f（θ）﹣的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过tanα=2求出结果即可．（2）利用已知条件求出a，然后求解f（θ）﹣的值．【解答】解：（1）===，∵tanx=2，∴==，cos2x===﹣．∴f（α）==．（2）sinθ，cosθ是方程x2﹣ax+a=0的两根，sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，∴a2﹣2a=1，解得，又，∴a=，f（θ）﹣=1．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，两角和与差的三角函数，考查计算能力．21．已知函数（1）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求f2（﹣1）的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】转化思想；判别式法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由f1（x）=3x+1，f2（x）=ax2+bx+c为偶函数，运用偶函数的定义和恒等式的知识即可得到a，b，c；（2）先令x=1，可得f2（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，结合二次函数的判别式小于等于0，及配方思想，可得a的范围，进而得到f2（﹣1）=4a﹣2，可得范围．【解答】解：（1）f1（x）=3x+1，f2（x）=ax2+bx+c为偶函数，可得a+b=3，b=0，c=1，解得a=3，b=0，c=1；（2）可令x=1，即有2≤f2（1）≤2，则f2（1）=2，即a+b+c=2，由2x≤f2（x）恒成立，即为ax2+（b﹣2）x+c≥0，可得a＞0，且（b﹣2）2﹣4ac≤0，即有（a+c）2﹣4ac≤0，即有（a﹣c）2≤0，则a=c成立，即有b=2﹣2a，又f2（x）﹣（x+1）2=ax2+（2﹣2a）x+a﹣（x+1）2=（a﹣）（x﹣1）2，对任意的x∈R，都有f2（x）≤（x+1）2，即有0＜a≤，故f2（﹣1）=a﹣b+c=4a﹣2的取值范围是（﹣2，0]．【点评】本题考查函数的性质和应用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用判别式和配方思想，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】压轴题．【分析】（1）由a=﹣3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；（2）求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判别式大于0时由f（x1）•f（x2）＞0得到求出a的解集可．【解答】解：（1）当a=﹣3时，，∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3．当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为f（﹣1）=；当x=3时，f（x）取得极小值为=﹣6．（2）∵f′（x）=x2﹣2x+a，∴△=4﹣4a=4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2=2，x1x2=a．当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：∵x12﹣2x1+a=0，∴a=﹣x12+2x1．∴===．同理f（x2）=．∴===．令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，分类讨论的数学思想．。
2016-2017学年河北省徐水县高二上学期期中考试理科数学(详细答案版)
2016-2017学河北省徐水县年高二上学期期中考试理科数学一、选择题：共12题1．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型号产品有件，那么样本容量为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查分层抽样法.由题意，设、、三种不同型号的产品分别为3x,4x,7x,由题意可得,则n=70.2．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是A.恰好有1枚正面和恰有2枚正面B.到少有1每正面和恰好有1枚正面C.至少有2枚正面和恰有1枚正面D.最多有1枚正面和恰有2枚正面【答案】D【解析】本题主要考查对立事件.掷2枚硬币，有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），4个基本事件，则互为对立事件的是最多有1枚正面和恰有2枚正面，故答案为D.3．如果命题“且”是假命题，“非”是真命题，那么A.命题一定是真命题B.命题一定是真命题C.命题可以是真命题也可以是假命题D.命题一定是假命题【答案】C【解析】本题主要考查逻辑联结词.因为命题“且”是假命题，“非”是真命题，所以命题一定是假命题, 命题可以是真命题也可以是假命题,故答案为C.4．已知命题，，则A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为D.5．椭圆的一个焦点的坐标为，，则其离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质，考查了计算能力.椭圆的标准方程为，由焦点坐标，可知，c=1，b2=，则a2=，即a=，则其离心率e=6．已知实数，满足则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查点与圆的位置关系，考查了逻辑推理能力.表示圆上的点到原点的距离，又圆心(2,-3)到原点的距离为，圆的半径为3，所以的最小值是7．“”是“方程表示椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条年C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的方程、充分条件与必要条件，考查了逻辑推理能力.当m=2时，方程表示圆，即充分性不成立，当方程表示椭圆时，则且,求解可得且,则必要性成立，故答案为B.8．两圆与的公切线条数为A.条 B.条 C.条 D.条【答案】C【解析】本题主要考查两个圆的位置关系，考查了逻辑推理能力.两个圆的圆心与半径分别为C1(3,-8),r1=11;C2(-2,4),r2=8,又|C1C2|=13,且r1+r2=17，r1-r2=3，所以两圆相交，所以两个圆的公切线条数为2条9．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且其渐近线的方程为3x±4y=0,则该双曲线的标准方程为A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的方程、渐近线,抛物线的焦点等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.∵抛物线x2=20y的焦点为(0,5),∴c=5且双曲线的焦点在y轴上.∵渐近线方程为3x±4y=0,∴=,∴a=3,b=4,双曲线的标准方程为-=1,故选C.10．执行此程序框图，若输入的，，为分别为，，，则输出的A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运算程序：a=1,b=2,k=3,n=1;M=,a=2,b=,n=2;M=,a=,b=,n=3;M=,a=,b=,n=4,此时条件不成立，循环结束，输出M=11．设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可知，当PQ与直线垂直时，能取得最小值，又圆心到直线的距离为6，圆的半径为2，所以的最小值为12．已知双曲线，的右焦点为，，过点的直线交双曲线于，两点，若的中点坐标为，，则的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得直线AB的斜率k=1，设，，，,则,,两式相减,化简可得，即，又c=3，所以，，则的方程为二、填空题：共4题13．样本中共五个个体，其值分别为，，，，，若该样本平均数为1，则样本方差为 .【答案】2【解析】本题主要考查样本的平均数与方差.由题意可得,则a=-1，则样本的方差s2=14．已知圆，直线.设圆上到直线距离等于的点的个数为，则 .【答案】4【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力.圆心(0,0)到直线的距离d=1，圆的半径r=，所以圆上到直线距离等于的点的个数为15．已知点，，点，为物线上的动点，则的最小值 . 【答案】2【解析】本题主要考查抛物线的定义，考查了逻辑推理能力与计算能力.设抛物线的焦点F(0,1),则,所以16．方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为 .【答案】或【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理能力与数形结合思想.令,作出这两条曲线的图像，如图所示，当直线过点(1,0),(-1,0)时，直线与曲线有两个交点，此时；当直线与曲线相切时，原点(0,0)到直线的距离d=,计算得，所以实数的取值范围为或三、解答题：共6题17．已知命题表示焦点在轴上的椭圆，命题表示双曲线.若或为真，且为假，求的取值范围.【答案】当正确时，，即；当正确时，，即；由题设，若和有且只一个正确，则(1)正确不正确，∴或，∴；(2)正确不正确，∴或，∴；∴综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是或.【解析】本题主要考查逻辑联结词、椭圆与双曲线的方程，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得，求解可得命题p；解不等式可得命题q，由或为真，且为假，知和有且只一个正确，再分正确不正确与正确不正确两种情况讨论求解即可.18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.【答案】(1)由频率分布直方图可知(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1.所以a=0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为=0.05×55+0.4×65+0.3×75+0.2×85+0.05×95=73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比,可得下表:于是数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10.【解析】本题主要考查统计知识,意在考查考生认识频率分布直方图,并用频率分布直方图估计出样本频数的能力.(1)根据样本频率之和为1,求出参数a的值.(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式求出样本平均值.(3)根据频率分布直方图估计出语文成绩在每一个分数段上样本出现的频数,从而根据语文成绩与数学成绩在同一分数段上的人数比确定出数学成绩在相应分数段上的人数,再计算出结果.【备注】【易错点拨】解答本题时要注意样本的频率不是频率分布直方图中的纵坐标,而是纵坐标乘以组距.19．已知圆关于轴对称，经过抛物线的焦点，且被直线分成两段弧长之比为1∶2，求圆的方程.【答案】根据题意，设圆的方程为抛物线的焦点F(1，0)又直线分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线的距离等于半径的即解得故所求圆的方程为或【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系的运用，及其抛物线的性质和圆的方程的求解.20．在平面直角从标系，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，，且过，.⑴求该椭圆的标准方程；⑵若是椭圆上的动点，点，，求线段中点的轨迹方程.【答案】⑴由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则关短轴.又横圆的焦点在轴，∴圆的标准方程为.⑵设线段的中点为，，点的坐标，.由，得因为点椭圆上，得.∴线段中点的轨迹方程是.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、点的轨迹，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1) 由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则结论易得；(2) 设线段的中点为，，点的坐标，，由中点坐标公式可得，由点P在椭圆上，化简可得结论.21．已知圆的方程为，直线的取值范围；⑵若圆与直线交于、两点，且以为直径的圆恰过坐标原点，求实数的值.【答案】⑴由圆的方程求解可得⑵由又，所以，则所以，这时，则.【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查了方程思想与计算能力.(1)由圆的标准方程化简求解可得结论；(2)联立直线与圆的方程，由韦达定理，由题意可得，化简求解可得结论.22．已知抛物线，直线与交于、两点，且，其中为原点.⑴求抛物线的方程；⑵点坐标为，，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值【答案】⑴将代入，得.其中，设，，，，则，.由已知，，.所以抛物线方程⑵由⑴知，，，同理.所以.【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、平面向量的数量积、直线的方程与斜率，考查了方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)联立直线与抛物线方程，由韦达定理，结合条件，化简求解即可；(2)结合(1)，化简计算，，再计算可得结论.。
2016-2017学年河北省高一上学期期末考试数学试题 word版含答案
2016-2017学年河北省高一上学期期末考试数学试题时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B ð=A ．∅B ．{1,2,3}C ．{0,1,2,3}D ．{2,3}2.设集合{|02015}A x x =<<，{|}B x x a =<.若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．{|0}a a ≤B ．{|02015}a a <≤C ．{|2015}a a ≥D ．{|02015}a a <<3.幂函数的图象过点,则该幂函数的解析式为 A ．1y x -= B ．12y x = C ．2y x = D ．3y x =4. 已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨⎩≤，则1(())8f f =A ．18B ．116C ．19D ．1275.函数2sin(2)3y x π=-A ．在区间7[,]1212ππ上单调递增B ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 6.已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(-，且2[0,2)απ∈，则tan α等于A．．3 D．3-7.在同一个坐标系中画出函数,sin x y a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是A ．B ．C ．D ．8.已知()24f x x =-，2()g x x =.则(())y f g x =的零点为D.9.设12,e e 是两个互相垂直的单位向量，且1214OA =+e e ，1212OB =+e e 则OA 在OB 上的投影为A.410B.35C.10D.32210.设356log 6,log 10,log 12a b c ===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>11.对于函数3()sin f x a x bx c =++（其中，,R a b ∈，c Z ∈），选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和2C ．2和4D ．3和512.已知A B C 、、是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心(三条中线的交点)，AB 边的中点为D .动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++，则点P 一定为三ABC ∆的 A ．线段CD 的中点 B ．线段CD 靠近C 的四等分点 C ．重心 D ．线段CD 靠近C 的三等分点第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13.已知(,2),(1,2)a a =-=-m n ，且m n ||，则a =__________. 14.若12sin()213πα-=,那么cos()πα-=_________. 15.已知奇函数()f x 在区间[0，+∞）单调递增，则满足(21)(1)f x f ->的x 取值范围是_________ 16. 如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且||2,||43OA OC ==(,)R OC OA OB λμλμ=+∈，则λ=_______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)计算：（Ⅰ）2log 351log 25lg2100++ （Ⅱ）0.5129()(3)0.754--+-÷18. (本小题满分12分)已知集合{|22}A x x x =-或≤≥，{|15}B x x =<<， {|13}C x m x m =-≤≤. （Ⅰ）求AB ,()R A B ð；（Ⅱ）若B C C =，求实数m 的取值范围．19. (本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．若关于x 的方程()10g x m --=在[0,]2π上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．20. 已知(1,0),(0,2),(cos ,sin ),(0)A B C αααπ<<．（Ⅰ）若||2OA OC +=O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（Ⅱ）若AC BC ⊥，求3sin cos αα-的值．21．黄瓜从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到黄瓜种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据上表的数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜种植成本Q 与时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a·b t，Q ＝a·log b t ；(2)利用你选取的函数，求黄瓜种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．22. 设)10()(log )(≠>=a a x g x f a 且（Ⅰ）若12()log (21)f x x =-，且满足1)(>x f ，求x 的取值范围；（Ⅱ）若2()g x ax x =-，是否存在a 使得()f x 在区间[21，3]上是增函数？如果存在，说明a 可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.（Ⅲ）定义在[]q p ,上的一个函数)(x m ，用分法T :q x x x x x p n i i =<<<<<<=- 110将区间[]q p ,任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得不等式102111|()()||()()||()()||()()|i i n n m x m x m x m x m x m x m x m x M ---+-++-++-≤恒成立，则称函数)(x m 为在[]q p ,上的有界变差函数．试判断函数)(x f ＝2)x x -是否为在[21，3]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．2016-2017学年河北省高一上学期期末考试数学试题参考答案13.113- 15. (1,)+∞ 16.47.C 正弦函数的周期公式T=2||πω，∴y=sinax 的最小正周期T=2aπ；对于A：T＞2π，故a＜1，因为y=a x的图象是减函数，故错；对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y=a x是增函数，故错；对于C：T＞2π，故a＜1，∴y=a x是减函数，故对；对于D：T=2π，故a=1，∴y=a x=1，故错.9.C 投影为12121111()()410||OBOAOB+⋅++⋅===e e e e.11.B (1)(1)2f f c+-=一定是偶数.12.D11111(2)(2)(4)32233OP OA OB OC OD OC OD OD OD=++=+=-=-.16.2 【解析】如图所示，过点C作//CE OB 交OA的延长线于点E，过点C作//CF OA交OB的延长线于点F，因为向量OA与OC的夹角为30︒，因为向量OA与OB的夹角为120︒，所以因为向量OB与OC的夹角为90︒，在Rt OCF∆中，||2,||43OA OC==30COE∠=︒.所以||8OE=，所以||4||OEOAλ==．17.解：（Ⅰ）原式=172(2)322+-++=……………………………………………5分（Ⅱ）原式=31921231616-⨯=………………………………………………………10分O18.解：（Ⅰ）{|25}A B x x =<≤………………………………………………3分{|22}R A x x =-<<ð，∴(){|25}R A B x x =-<<ð．………………………6分 （Ⅱ）∵B C C =，∴C B ⊆，…………………………………………………7分①当C =∅时，13m m ->，12m <-.此时C B ⊆.……………………………9分当C ≠∅时，131135m m m m -⎧⎪->⎨⎪<⎩≤,解得m φ∈，………………………………………11分综上m 的取值范围是1(,)2-∞-．…………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得5A =，2ω=，6πϕ=-.函数表达式为()5sin(2)6f x x π=-．………………………………………………3分6分 （Ⅱ）通过平移，()5sin(2)6g x x π=+.……………………………………………8分方程()(1)0g x m -+=可看成函数()y g x =，[0,]2x π∈和函数1y m =+的图像有两个交点. ……………………………………………………………………………9分 当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈，为使横线1y m =+与函数()y g x =有两个交点，只需5152m +<≤，解得3[,4]2m ∈．……………………………………………12分20.解：（Ⅰ）|||(1cos ,sin )|OA OC αα+=+解得cos α=.……………………………………………………………………3分 又∵0απ<<，∴6πα=，1sin 2α=.∴31()22OC =，又(0,2)OB =，设OB 与OC 的夹角为θ，则0θπ≤≤；∴1cos 2||||OB OC OB OC θ⋅==⋅，∴3πθ=．……………………………………………6分（Ⅱ）∵(cos 1,sin )AC αα=-，(cos ,sin 2)BC αα=-，且(cos 1)cos sin (sin 2)0AC BC αααα⋅=-+-=，∴2sin cos 1αα+=.…………………………………………………………………8分 平方得24sin cos 3sin 0ααα=-<,又0απ<<，∴sin 0,cos 0αα><………9分 又22sin cos 1αα+=.∴43sin ,cos 55αα==-.…………………………………11分 ∴3sin cos 3αα-=．………………………………………………………………12分21.解：(1)由题目所提供的数据知道，描述黄瓜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t，Q ＝a·log b t 中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不能吻合．所以，我们应选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，进行描述．…………3分用表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧150＝2500a ＋50b ＋c ，108＝12100a ＋110b ＋c ，150＝62500a ＋250b ＋c ，…………6分解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. …………8分所以描述黄瓜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为：Q ＝1200t 2－32t ＋4252. …………10分 (2)当t ＝－－322×1200＝150天时，黄瓜的最低种植成本为：Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/102kg)．………………12分 22.解：（Ⅰ）1112221211()log (21)1log (21)log 22210x f x x x x ⎧-<⎪=->⇔->⇔⎨⎪->⎩……3分解得1324x <<……………………………………………………………………4分（Ⅱ）当1a >时，11222111()0242a a g a ⎧⎪⎪⇒>⎨⎪=->⎪⎩≤……………………………………6分 当01a <<时，113621(3)9303a a g a a ⎧⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=->>⎩⎪⎩≤≥，无解……………………………7分综上所述2a >………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）函数)(x f＝2)x x -为[21，3]上的有界变差函数．…………………9分由（2）知当a =)(x f 为[21，3]上的单调递增函数，且对任意划分T :321110=<<<<<<=-n i i x x x x x ，有)3()()()()()21(110f x f x f x f x f f n n =<<<<=- ,所以10211()()()()()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-01()()(3)()22n f x f x f f =-=-=-=,…………………11分所以存在常数2M ≥,使得11()()nii i f x f xM -=-∑≤恒成立，所以M 的最小值为2．…………………………………………………………………12分。