难点31数学归纳法解题_6
数学归纳总结
数学归纳总结一、数学归纳法的基本原理1.数学归纳法的步骤：首先验证基本情况，然后假设对于某个正整数k，命题成立，最后证明当k增加1时，命题也成立。
2.数学归纳法的适用范围：可以用来证明与自然数有关的数学命题。
二、数学归纳法的应用1.求解数列的前n项和：利用数学归纳法可以证明某些数列的前n项和公式。
2.求解递推式：利用数学归纳法可以证明某些递推式的解。
3.证明恒等式：利用数学归纳法可以证明某些涉及自然数的恒等式。
4.解决计数问题：利用数学归纳法可以解决某些与自然数相关的计数问题。
三、数学归纳法的常见错误1.基本情况验证不充分：在证明过程中，首先要验证基本情况是否成立，如果基本情况不成立，则整个证明过程无效。
2.归纳假设不正确：在证明过程中，假设对于某个正整数k，命题成立，但如果归纳假设不正确，则整个证明过程也无效。
3.没有证明归纳步骤：在证明过程中，不仅要验证基本情况，还要证明当k增加1时，命题也成立。
四、数学归纳法的推广1.双向数学归纳法：除了验证基本情况外，还需要验证基本情况的反面情况，即证明当n不取特殊情况时，命题也成立。
2.多元数学归纳法：适用于证明与多个自然数有关的命题。
3.非标准数学归纳法：适用于证明某些特殊形式的命题。
五、数学归纳法的实践与应用1.数学竞赛：在数学竞赛中，数学归纳法是一种常用的证明方法。
2.数学研究：在数学研究中，数学归纳法可以用来证明某些定理和公式。
3.日常生活：在解决日常生活中的一些问题时，也可以运用数学归纳法。
六、数学归纳法的学习与掌握1.理解数学归纳法的基本原理和步骤。
2.熟练掌握数学归纳法的应用，能够根据题目要求选择合适的证明方法。
3.注意数学归纳法中的常见错误，避免在证明过程中出现逻辑错误。
4.学习数学归纳法的推广形式，提高自己的数学思维能力。
知识点：__________习题及方法：1.习题：证明对于所有自然数n，1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n + 1)(2n +1)/6。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。
下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。
例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。
解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。
解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。
当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。
接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。
我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。
由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。
我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
高中数学中的数学归纳法解题技巧
高中数学中的数学归纳法解题技巧数学归纳法是一种常用的解题思路，特别适用于高中数学中的证明、递推问题以及数列等内容。
通过观察题目的特点，我们可以灵活运用数学归纳法的解题技巧，快速解决问题。
本文将从数学归纳法的基本概念、应用场景以及解题策略三个方面，介绍高中数学中的数学归纳法解题技巧。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种数学推理方法，常用于证明命题对于所有自然数都成立。
其基本思想是：先证明当n为某个自然数时命题成立，然后证明如果n为某个自然数时，命题对于n+1也成立。
根据这个思路，如果命题对于n=1成立，并且对于n=k成立时，可以推出对于n=k+1也成立，那么我们可以断定命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用场景数学归纳法的应用场景广泛，特别适用于证明与递推问题。
在高中数学中，常见的应用场景包括：1. 证明等式和不等式成立。
2. 证明数列的通项公式。
3. 证明递推关系式成立。
4. 证明集合中的元素具有某种性质。
三、数学归纳法解题策略在应用数学归纳法解题时，我们可以按照以下策略进行操作：1. 确定基本情况：首先证明当n为某个具体的数时命题成立。
通常选择n=1或n=0作为基本情况。
2. 假设归纳成立：假设命题对于n=k成立，即假设命题在n=k时是成立的。
3. 证明归纳成立：利用假设的前提，证明对于n=k+1时命题也成立。
可以通过计算、推导、代入等方法进行证明。
4. 总结归纳：由于基本情况成立并且归纳步骤推导成立，我们可以得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
通过上述解题策略，我们可以快速有效地运用数学归纳法解决涉及证明、递推、数列等问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们要保证每一步的推导都是准确无误的，以确保最终结论的可靠性。
总结数学归纳法是高中数学中常用的解题思路，它能够帮助我们理清问题的思路，快速解决证明、递推、数列等类型的问题。
在运用数学归纳法时，我们要注意确定基本情况，假设归纳成立，证明归纳成立以及总结归纳的步骤。
掌握数学归纳法高中数学归纳法问题的解题技巧
掌握数学归纳法高中数学归纳法问题的解题技巧数学归纳法是一种证明数学定理的技巧，它被广泛应用于高中数学中的数列、递归和整数论等分支中。
掌握数学归纳法不仅是学生迈向高中数学成功的重要一步，也对于日后从事理科相关工作的人士非常有用。
但是，许多学生在学习数学归纳法时，可能会感到困难和挫败。
接下来，本文将提供一些有用的技巧，以帮助学生掌握高中数学归纳法。
1. 理解归纳法归纳法的基本思想是，如果证明了一个定理对于其中某一个数值成立，那么就可以证明该定理对于如此数值以上所有的数值均成立。
也就是说，这种技巧要通过逐步证明某些特定的问题，以确保它们与已知的问题保持一致性。
2. 寻找基准情况在使用数学归纳法证明定理时，我们首先需要找到一个基准情况，即某个特定情况下，定理是否成立。
如果只是单纯的陈述一个问题，是无法进行任何操作的。
例如，如果证明一个数列的特点适用于数列的第一项或第二项，那么我们就可以说明在这些元素上定理是完全成立的。
这就是所谓的“基准情况”。
3. 假设成立条件在数学归纳法中，需要假设某些情况下定理是成立的。
这些情况不一定要包括所有的情况，也可以是一部分情况。
你需要考虑哪种形式的假设能够完成证明。
4. 做归纳假设的情况下证明定理公式成立在这一步中，我们通常会针对基准情况进行证明，并假设此时证明是成立的。
接下来，我们使用归纳假设对定理的公式进行证明，以证明基准情况之后所有的情况都是成立的。
需要注意的是，当证明过程中会出现一些细节问题，需要认真考虑如何解决。
5. 以基准情况为前提，证明更广泛的情况当基于归纳假设证明某定理的公式成立时，我们还需要证明它适用于更广泛的情况。
这一步的关键问题是，我们已经知道基准情况以及在某些情况下成立，所以我们也就需要证明除此之外的其他情况均成立。
在运用数学归纳法时，我们需要确保对这些所谓的“其他情况”进行明确的定义，并给出符合这些条件的例子以加强证明的可行性和可靠性。
6. 思考如何使用归纳法学会如何正确运用数学归纳法并不容易，需要经过实践和思考。
数学归纳法(难点突破,教师版)
b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}，令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数． (1)写出 f(6)的值； (2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6 中的元素(a，b)满足： 若 a＝1，则 b＝1,2,3,4,5,6；若 a＝2，则 b＝1,2,4,6；若 a＝3，则 b＝1,3,6. 所以 f(6)＝13. (2)当 n≥6 时，
项相消等方法达到证明的目的．
【真题展示】
1.(2010 年)已知△ABC 的三边长为有理数 ⑴求证 cosA 是有理数 ⑵对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数 证法(一)：(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cosA＝AB22+AABC·A2-CBC2 (2)用数学归纳法证明：cosnA 和 sinA·sinnA 都是有理数（辅助命题） ①当 n＝1 时，由(1)知 cosA 是有理数，从而有 sinA·sinA＝1-cos2A 也是有理数， ②假设当 n＝k(k≥1)时，coskA 和 sinA·sinkA 是有理数， 当 n＝k+1 时，由 cos(k+1)A＝cosA·coskA-sinA·sinkA sinA·sin(k+1)A＝sinA(sinA·coskA+cosA·sinkA)
5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确： (1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础， 第二步是递推的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n0 ，并非一定取 1，也可能取 0,2 等值，要看清题
数学归纳法在解题中的技巧
数学归纳法在解题中的技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体内容转变方法存有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段探讨法：适用于于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于于存有显著几何意义的情况。
2、因式分解根据项数挑选方法和按照通常步骤就是顺利进行因式分解的关键技巧。
因式分解的通常步骤就是：提取公因式；选择用公式；十字相乘法；分组分解法；拆项添项法；3、分体式方法。
利用全然平方公式把一个式子或部分化成全然平方式就是分体式方法，它就是数学中的关键方法和技巧。
分体式方法的主要根据存有：4、换元法。
解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、未定系数法。
未定系数法就是在未知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于于求点的座标、函数解析式、曲线方程等关键问题的化解。
其解题步骤就是：①设立②列于③求解④写下6、复杂代数等式。
复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最了不起的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)谋值域范围的思路列于欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式。
基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法存有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)特别注意：当表达式的代数式就是字母的“等距式”时，通常可以化成字母“和与内积”的形式，从而用“和内积代入法”表达式。
11、解含参方程。
方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型解(2)根据需要讨论(3)分类写下结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任一x都设立关于x的方程ax+b=0存有无数个求解a=0且b=0。
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。
通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。
本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。
这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。
通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。
常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。
通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。
基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子【例题】已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则证明：a_n=n^2。
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难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n . 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n qb +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n(n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+ 则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式. 解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立. (2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+n b 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=101133970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a 于是，对n =1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1 －(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2 (k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C 二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2 )∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1 的大小⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小. 取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>> 推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1 8.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0, ∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1 ∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k , 所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(221)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1 )－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。