《直线的倾斜角和斜率》课件2 (北师大版必修2)
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点：
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念； 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
K的范围
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
2
2、直线的倾斜角
问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不 管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。 l y y y y l p l p p p o o o x o x x x
（2）如果直线 l 的斜率 围是什么？
《直线的倾斜角和斜率》课件2 (北师大版必修2)
作业：
书P72 1, 2 (1),(2),(3) , 3 (1),(3) , 5
谢谢指导！ 谢谢指导！
C（0，－1），求直线AB、AC的斜率， 并判断A,B,C是否在同一直线上？
2.如图3，判断下列直线的斜率是否存在？若
存在说明它们的符号？并比较斜率的大小？
3.求直线y=-2x+4
的斜率。
d e
c
b
图3
a
五、归纳小结
1.一个概念—直线的斜率； 2.一个公式—过两点的斜率公式 3.两个问题— （1）已知直线上两点如何求斜率； （2）已知一点和斜率如何画出直线。
7
x
例2：画经过（３，２）点的直线，使 4 3 斜率为（1） ， （2） ．
y
4
（－2，6）
5
.
7 6
5
4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6
. .
（3，2）
7
（7，5）
x
-4
-5
变题2: 比较L1,L4斜率 的大小 l
Q3 y 7
3 3 k1 , k 4 5 4
导 指
迎 欢
一、情境引入
一点和一个确定的方向 可以确定一条直线.
为什么滑滑梯要很高才刺激?
b
高 度
c
a
宽度
坡度＝
高度 宽度
二、探索研究
如何准确的刻画直线的倾斜程度？
y
B
.
.
A 1 0
.
1
.
D
C
x
课题：直线的斜率
y
已知两点P(x1,,y1), Q(x2,,y2)
《直线的倾斜角和斜率》课件3 (北师大版必修2)(2)
例3 判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ） ②直线的斜率为 t an ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有 斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ） ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
3
（3）若k (1,1) 则 的取值范围 0 0 0 [0, 45 _________) (135 ,180 ) 0 0 若 (60 ,150 ),则K的取值范围___
(, 3 ) ( 3, )
3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ( 3, ), 则 _____ 3
l1
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小
l1 l２ l３
例3、 填空 0 3 （1） 若 60 则k=________ 0 若k 3, 则 ________ 120 0 0 3 (30 ,60 ) ，则 k ____ ； （2） 若 ( , 3)
o
x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180
Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o
x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
小结
1、倾斜角的定义及其范围
高中数学《直线的倾斜角和斜率》课件12 北师大必修2
已知点A(4,1)、B（1，3）且直线 L:y=ax+2有交点，则a的取值范围 是
图像
已知两点A（－1, 2）、B（m, 3) （1）求直线AB的斜率k和倾斜角α （2）求直线AB的方程
（3）已知实数m∈
3 - 1, 3
3 - 1, 求直线AB
的倾斜角α的取值范围。
图像
• 3.下列四个命题中正确的是( ) A.过定点P(x0,y0)的直线方程都可用方程:
直线的倾斜角与方程
目的要求:
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线的斜率公式.
2.理解直线方程的几种形式,能熟练 地运用直线方程的各种形式求满足 条件的直线方程.
知识再现:
1.已知直线L过 (1)点A(2,1),B(3,2),则直线L的斜率
为__1_____,倾斜角为_4_5__°___;
(2)点A(2,1),B(2,3),则直线L的倾斜
角为_9_0_°__,斜率__不__存__在__;
(3)点A(2,1),B(3,1),则直线L的倾斜
角为_0_°___,斜率为_0______.
2.过点A(-2,m),B(m,4)的直线的倾斜
角为π-arctan2,则实数m的值为
___-_8_____.
小结: 1.若直线L与x轴相交于A,则将x轴 绕着点A按逆时针方向旋转到和直 线L重合时转过的角称为直线的倾 斜角.倾斜角的范围是[0,π)
2.若直线的倾斜角α不是90°时,角α的正 切值叫做这条直线的斜率.即k=tanα. (1)当k>0时,α=arctank;
(2)当k<0时,α=π+arctank
小结1：
2.直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式).
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)(2)
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
北师大版高中数学必修二第二章1.1直线的倾斜角和斜率.docx
§1直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率问题导学1．求直线的倾斜角活动与探究1已知直线l1的倾斜角是30°，直线l2⊥l1，试求直线l2的倾斜角．迁移与应用1．如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是( )．A．α1＞α2＞α3 B．α1＞α3＞α2C．α2＞α3＞α1 D．α3＞α2＞α12．直线l过原点，且倾斜角为150°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为__________．求直线的倾斜角，主要是根据题意画出图形，根据倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正半轴所成的角，即为倾斜角，注意平面几何中相关知识的应用．2．求直线的斜率活动与探究2(1)已知两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝45°，求这两条直线的斜率；(2)如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．迁移与应用1．(1)若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为__________；(2)经过两点A (3,2)，B (4,7)的直线的斜率是__________．2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；③(2,2)，(10,2)；④(－2，－3)，(－2,3)．1．求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得；二是已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式计算求得．2．使用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．3．直线的倾斜角和斜率的关系活动与探究3a 为何值时，过点A (2a,3)，B (2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？迁移与应用已知直线l经过点P(5,10)，Q(m,12)，若l的倾斜角θ≥90°，则实数m的取值范围是__________．根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．4．运用斜率公式解决三点共线问题活动与探究4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．迁移与应用已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，求证：三点在同一直线上．三点共线问题的证明(1)用斜率法证明三点共线问题．(2)三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若|AB |＋|BC |＝|AC |，则可判定A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．对于下列命题：①若θ是直线l 的倾斜角，则0°≤θ＜180°；②若k 是直线l 的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线l 的斜率k ＝－1，则其倾斜角等于( )．A ．0° B．45° C．90° D．135°3．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )．A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44．已知A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，C (a ，2a )三点共线，求实数a 的值． 5．已知直线l 的倾斜角为30°，且过点P (1,2)和Q (x,0)，求该直线的斜率和x 的值．答案：课前预习导学预习导引1．一个点 方向2．(1)逆时针 倾斜角 0° 0°≤α＜180°预习交流1 提示：任何一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角相同的直线不是唯一的，它们是一组平行线；不同的直线其倾斜角可能是相同的．(2)正切 tan α预习交流2 提示：并非每一条直线都有斜率，当直线与x 轴垂直时，即倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率k ≥0；当90°＜α＜180°时，斜率k ＜0，故可知斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即k ∈R .预习交流3 提示：斜率和倾斜角之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个实数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率也越大．3．y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) 预习交流4 提示：不能．斜率公式的适用条件是x 1≠x 2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x 轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在．预习交流5 提示：无关，即k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由l 1⊥l 2知两直线与x 轴可构成直角三角形，因此可利用三角形内角和定理以及倾斜角的定义求出l 2的倾斜角．解：如图所示，由于l 2⊥l 1，所以△MAB 是直角三角形，而l 1的倾斜角等于30°，即∠MAB ＝30°，于是∠MBA ＝60°，从而∠MBx ＝180°－60°＝120°，即直线l 2的倾斜角等于120°.迁移与应用 1．D2．0° 解析：将l 绕原点旋转30°后，直线与x 轴重合，其倾斜角为0°.活动与探究2 思路分析：利用斜率公式k ＝tan α和k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)来解决． 解：(1)k 1＝tan 30°＝33，k 2＝tan 45°＝1. (2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12； 直线AC 的斜率k AC ＝2－(－1)3－0＝33＝1. (3)当a ＝3时，斜率不存在．当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a . 迁移与应用 1．(1) 3 (2)52．解：①k ＝－2－1－1－1＝32；②k ＝4－(－1)－2－1＝－53；③k ＝2－210－2＝0；④∵x 1＝x 2＝－2，∴斜率不存在．活动与探究3 思路分析：根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的倾斜角是锐角，则k ＞0，若为钝角，则k ＜0，若为直角，则斜率不存在．解：当过点A ，B 的直线的倾斜角是锐角时，k AB ＞0，根据斜率公式得k AB ＝3＋12a －2＝2a －1＞0， ∴a ＞1；同理，当倾斜角为钝角时，k AB ＜0，即2a －1＜0， ∴a ＜1.当倾斜角为直角时，A ，B 两点的横坐标相等．即2a ＝2，∴a ＝1.迁移与应用 m ≤5 解析：当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在，故m ＝5；当θ＞90°时，倾斜角为钝角，l 的斜率k ＜0，即2m －5＜0，解得m ＜5.综上m 的取值范围是m ≤5. 活动与探究4 思路分析：先用k AB ＝k BC 建立关于a 的方程，然后解方程求实数a 的值． 解：∵A ，B ，C 三点共线，且3≠－2，∴BC ，AB 的斜率都存在，且k AB ＝k BC .又∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75， ∴9a ＋75＝53－a ，解得a ＝2或a ＝29. 迁移与应用 证明：∵k AB ＝3＋13－1＝2，k BC ＝5－34－3＝2， ∴k AB ＝k BC .又直线AB 和BC 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．C 2．D 3．A4．解：∵A ，B ，C 三点共线，3≠32， ∴AB ，AC 的斜率都存在，且k AB ＝k AC .∴－3－032－3＝2a －0a －3，解得a ＝2. 5．解：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k ＝tan 30°＝33. 又l 过点P (1,2)和Q (x,0)，则k ＝2－01－x ＝33，解得x ＝1－2 3.。
《直线的倾斜角和斜率》课件11 (北师大版必修2)
例2，如图，直线 l1 , l 2 , l3 的斜率分别 为 k1 , k 2 , k 3 ，则： C
Y
l2 l1
A、k1 k3 k2
B、k1 k2 k3 C、k3 k1 k2 D、k3 k2 k1
O
X
l3
例3、 填空 0 3 （1） 若 60 则k=________ arctan 3 若 k 3, 则 ________ 3 ( , 3) 0 0 （2） 若 (30 ,60 ) ，则 k ____ ； 3
思考、证明
已 知 ： 直 线 方 程 y=kx , 直 线 的 倾 斜 角 为 ａ,k=tanａ成立吗？
已知：直线方程y=kx+b，直线的倾斜角为ａ， k=tanａ是否成立，为什么？
思考： 是 （1）每条直线都有倾斜角？_________
否 （1）每条直线都有斜率？_________
总结：
当 当
x
-1
o
(B) 1
x
y
y x
-1
o
x
-1
o
(D)
(C)
以一个方程的解为坐标的点都是某条直 线上的点；反过来，这条直线上的点的坐标 都是方程的解；这时，这个方程叫做这条直 线的方程，这条直线叫做方程的直线
直线的方程 （点集）
一 一对应
方程的直线 （解集）
给一个直线的方程，我们可以画 出它的图象；给一个方程的直线，我 们可以写出它的方程。我们数学中一 种重要的研究方法：以数解形，产生 了一个新的学科——解析几何。
文艺复兴使欧洲学者继承了 古希腊的几何学，也接受了东方 传入的代数学。利学技术的发展， 使得用数学方法描述运动成为人 们关心的中心问题。笛卡儿分析 了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻 求另外一种包含这两门科学的好处，而没 有它们的缺点的方法”。
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Q2
1 x
对于一条与x轴不垂直的定直线而言，斜率为 定值，由该直线上任意两点确定的斜率总相等。
y
(x2,,y2)
Q
Q1
x x2 x1 0 向右平移
P(x1,y1)
(x1,,y1)
F
P
y2-y1
C E
x x2 x1 0 向左平移 y y2 y1 0 向上平移
作业：
书P72 1, 2 (1),(2),(3) , 3 (1),(3) , 5
谢谢指导！ 谢谢指导！
7 6 5 4 Q3
l2 l1
(-3 , 2)
-6 -5 -4 -3
.
3
2
1 1 2
.
3
(3 , 2)
l3
6 7 x
(-2
-2 -1 0 -1 Q1 , -1) -2 -3 -4
.
(4 , -2)
.
4
5 Q2
-5
l1
变题1:你能很快的说出下列直线的 斜率吗?
y y
B
3
A
1 0 1
C
5
x
3
D
1 0 1
1 0
Q (x1,,y1)
y2-y1
C
P (x2,,y2)
1 0
x2-x1
1
x
1
x
k
y2-y1
=
x2-x1
x2≠x1
直线PQ的斜率
当x2=x1 时，即直线与x轴垂 直时，斜率不存在。
y
尝试活动
(x2,,y2)
Q1
Q
(x1,,y1)
F
P
C
1 0 E
(1)点P固定不动，Q 运动到Q1,则直线的 斜率为多少？ (2)点P固定不动，Q运 动到Q2,则直线的斜率 为多少？
l2 l4 l1
l3
6 7 x
5
6
5 4
(-3 , 2)
-6 -5 -4 -3
.
3 2 1
.
1 2 3
(3 , 2)
.
-2
(-2 , -1) 1
Q
-1 0 -1 -2 -3
(4 , -2)
.
4
5 Q2
比较L2,L5斜率的 大小
-4 -5
4 k 2 4, k5 5
斜率变化
四、反馈练习
1.已知点A（－1，1），B（2，－1），
导 指
迎 欢
一、情境引入
一点和一个确定的方向 可以确定一条直线.
为什么滑滑梯要很高才刺激?
b
高 度
c
a
宽度
坡度＝
高度 宽度
二、探索研究
如何准确的刻画直线的倾斜程度？
y
B
.
.
A 1 0
.
1
.
D
C
x
课题：直线的斜率
y
已知两点P(x1,,y1), Q(x2,,y2)
y
Q(x2,,y2) P(x1,,y1)
1 0
x2-x1 Q2
1
x
Q(x2,y 2)
y y2 y1 0 向下平移
当x2≠x1
k
y2-y1
=
x2-x1
纵坐标的增量 y ＝ ＝ 横坐标的增量 x
关于斜率的几点注意：
1．斜率是刻画直线倾斜程度的量。
y2 y1 y 2．斜率的计算 k x x x ( x1 x2 ) 2 1
C（0，－1），求直线AB、AC的斜率， 并判断A,B,C是否在同一直线上？
2.如图3，判断下列直线的斜率是否存在？若
存在说明它
的斜率。
d e
c
b
图3
a
五、归纳小结
1.一个概念—直线的斜率； 2.一个公式—过两点的斜率公式 3.两个问题— （1）已知直线上两点如何求斜率； （2）已知一点和斜率如何画出直线。
3．当x1=x2时.斜率不存在。 4.某一条直线的斜率是一个定值。
三、知识应用
例1:直线 l1 , l2 , l3 都经过点P(3,2),又 l1 , l2 , l3
分别经过点Q1 (2, 1) , Q2 (4, 2) , Q3 (3,2),试计 y 算 l1 , l2 , l3 的斜率。
7
x
例2：画经过（３，２）点的直线，使 4 3 斜率为（1） ， （2） ．
y
4
（－2，6）
5
.
7 6
5
4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6
. .
（3，2）
7
（7，5）
x
-4
-5
变题2: 比较L1,L4斜率 的大小 l
Q3 y 7
3 3 k1 , k 4 5 4