北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》整合课件
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高中高中数学北师大版必修2课件第一章立体几何初步 1.6.1.2精选ppt课件
正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误.
答案:(1)(2)
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12345
1下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线 a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面 内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系,其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案:B
∴平面ABC⊥平面SBC.
题型一 题型二 题型三
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
方法二:∵SA=SB=SC=a, 又∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D, ∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心. 又△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点,故AD⫋平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.
(3)如图所示,α∩β=l,a⫋α,a⊥l, 但不一定有α⊥β,错误. (4)b与β的位置关系为相交、平行或b⫋β,错误. 答案:(1)(2)
题型一 题型二 题型三
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HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
北师大版必修2高中数学第一章《立体几何初步》ppt章末归纳提升课件
图 1－4
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．
北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.1.2简单多面体课件
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可 记作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
-11-
1.2 简单多面体
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-4-
1.2 简单多面体
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(2)表示:通常用底面各顶点的字母表示棱柱.如上图中的棱柱可 记作:五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)特殊的棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多 边形的直棱柱叫作正棱柱.
(5)棱柱的性质有: ①侧棱互相平行且相等,侧面都是平行四边形. ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形,如图①所示. ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形,如图②所示.
-5-
1.2 简单多面体
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名师点拨四棱柱是一种常见的棱柱,它的侧棱与底面的变化会产 生一系列特殊的四棱柱.
四棱柱 面体 正方体. 长方体
平行六面体 正四棱柱
直平行六
-6-
1.2 简单多面体
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北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.1.1简单旋转体课件
第一章
立体几何初步
-1-
§1 简单几何体
-2-
1.1 简单旋转体
-3-
1.1 简单旋转体
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1.理解球、圆柱、圆锥、圆台的有关概念,初步掌握运用旋转的 观点去观察问题. 2.理解旋转体的轴截面在几何体中的作用,会利用旋转体的轴截 面解决有关计算问题.
-5-
1.1 简单旋转体
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2.几种简单几何体的比较
名称 定义 相关概念 图形表示 球心:半圆的圆心 以半圆的直径 叫作球心; 所在的直线为 半径:连接球心和 旋转轴,将半 球面上任意一点 圆旋转所形成 的线段叫作球的 的曲面叫作球 半径; 面.球面所围 直径:连接球面上 成的几何体叫 的两点并且过球 作球体,简称 心的线段叫作球 球 的直径
-7-
1.1 简单旋转体
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名称 定义 以直角三角形的一条 直角边所在的直线为 旋转轴,其余各边旋转 而形成的曲面所围成 的几何体叫作圆锥 以直角梯形垂直于底 边的腰所在的直线为 旋转轴,其余各边旋转 而形成的曲面所围成 的几何体叫作圆台
-4-
1.1 简单旋转体
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立体几何初步
-1-
§1 简单几何体
-2-
1.1 简单旋转体
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1.1 简单旋转体
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1.理解球、圆柱、圆锥、圆台的有关概念,初步掌握运用旋转的 观点去观察问题. 2.理解旋转体的轴截面在几何体中的作用,会利用旋转体的轴截 面解决有关计算问题.
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1.1 简单旋转体
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2.几种简单几何体的比较
名称 定义 相关概念 图形表示 球心:半圆的圆心 以半圆的直径 叫作球心; 所在的直线为 半径:连接球心和 旋转轴,将半 球面上任意一点 圆旋转所形成 的线段叫作球的 的曲面叫作球 半径; 面.球面所围 直径:连接球面上 成的几何体叫 的两点并且过球 作球体,简称 心的线段叫作球 球 的直径
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1.1 简单旋转体
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名称 定义 以直角三角形的一条 直角边所在的直线为 旋转轴,其余各边旋转 而形成的曲面所围成 的几何体叫作圆锥 以直角梯形垂直于底 边的腰所在的直线为 旋转轴,其余各边旋转 而形成的曲面所围成 的几何体叫作圆台
-4-
1.1 简单旋转体
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北师大版数学必修2 第一章 立体几何初步归纳总结课件(64张)
4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
8．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为 90° ； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
明朗化的立体几何问题．
[例 2] 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝ 3.沿对角线 BD 将△BCD 折起，使点 C 移到点 C′，且 C′O ⊥平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上．
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； m、n α，m∩n＝A ⇒l⊥α； (2)判定定理 1： l⊥m，l⊥n (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
高中数学第一章立体几何初步本章整合课件北师大版必修2
(1)绳子的最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值. 提示:将圆锥的侧面沿母线SA展开,转化为平面问题.
专题1
专题2
专题3
Hale Waihona Puke 专题4专题5解 :将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上 ,如图 ,则该展开图为扇形 , 且弧 AA'的长度 L 就是 ☉O 的周长 ,
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题2 垂直问题 直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和 平面相交的特殊情况.对这两种情况的认识,可以从已有的线线垂 直、线面垂直关系出发进行推理和论证.无论是线面垂直还是面面 垂直,都源于线线垂直,这种“降维”的思想方法很重要.在处理实际 问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论“反探”所 需的关系,从而架设已知和未知的桥梁. 在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直 线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约 束性;另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理 的严谨性,又要注意推理的规律性.空间中的垂直关系是比平行关 系更重要、更灵活多变的一种重要关系.“转化”“降维”是重要的思 想方法和解题技巧,应在学习中提炼这些方法.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
应用关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题: ①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n; ②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n; ③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n; ④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④D.②③ 答案:D
专题1
高中数学第一章立体几何初步1.1.2简单多面体课件1北师大版必修2
B．4
D．2
【解析】 ①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．
忽视棱柱的定义致误 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形， 由这些面围成的几何体是棱柱吗？
【错解】 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行 四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
【错因分析】 题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱 柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的 例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
①棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱 台。
A1
D1 B1 C1
A1 D1
C1 B1
A1 D1
C1 B1
②棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得 的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台……
③棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点 的字母来表示，如图，棱台ABCD-A1B1C1D1。
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连
线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是
圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点
的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是
互相平行的．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【解析】 圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的 连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的 边”，故①③错误，②④正确．
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C 棱锥的底面 B
S
A
B
C
D
②棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分
为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
D．2
【解析】 ①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．
忽视棱柱的定义致误 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形， 由这些面围成的几何体是棱柱吗？
【错解】 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行 四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
【错因分析】 题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱 柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的 例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
①棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱 台。
A1
D1 B1 C1
A1 D1
C1 B1
A1 D1
C1 B1
②棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得 的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台……
③棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点 的字母来表示，如图，棱台ABCD-A1B1C1D1。
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连
线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是
圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点
的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是
互相平行的．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【解析】 圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的 连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的 边”，故①③错误，②④正确．
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C 棱锥的底面 B
S
A
B
C
D
②棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分
为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
高中高中数学北师大版必修二课件第一章 立体几何初步§5 5-1精选ppt课件
定理
平面平表 行示的判定定理，直并线知与道平其面地平位 行和 的判 作定 用定 ．理(重点、易错点)
3．能运用直线与若平面平行一、条平直面线与与平 此面平行的 的一判条定直定线理证明，空则间该线面关
Hale Waihona Puke 文字叙述系．(难点)
直线与此平面平行
平面外
平面内
平行
能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( l∥b )
∵E 为 PB 的中点， ∴EH∥AB，EH＝12AB， 又∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴EH∥CD，EH＝CD， ∴四边形 DCEH 是平行四边形，∴CE∥DH. 又∵DH 平面 PAD，CE⊆ / 平面 PAD，
∴CE∥平面 PAD.
[再练一题] 1．如图 1-5-2，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点，求证：SA∥平面 MDB.
又∵SB 平面 BDD1B1，
EG⊆/ 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
探究2 在上述问题中，能否证明平面EFG∥平面BDD1B1?
【提示】
能．连接 SD，
∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，
∴FG∥SD如.图 1-5-6，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别又 是∵ ABS，D PC平的面中B点D．D1B1，
∴AM∥DF. 又 AM⊆/ 平面 EFDB，DF 平面 EFDB，
∴AM∥平面 EFDB. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另 一个平面．
2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先 在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
平面平表 行示的判定定理，直并线知与道平其面地平位 行和 的判 作定 用定 ．理(重点、易错点)
3．能运用直线与若平面平行一、条平直面线与与平 此面平行的 的一判条定直定线理证明，空则间该线面关
Hale Waihona Puke 文字叙述系．(难点)
直线与此平面平行
平面外
平面内
平行
能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( l∥b )
∵E 为 PB 的中点， ∴EH∥AB，EH＝12AB， 又∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴EH∥CD，EH＝CD， ∴四边形 DCEH 是平行四边形，∴CE∥DH. 又∵DH 平面 PAD，CE⊆ / 平面 PAD，
∴CE∥平面 PAD.
[再练一题] 1．如图 1-5-2，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点，求证：SA∥平面 MDB.
又∵SB 平面 BDD1B1，
EG⊆/ 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
探究2 在上述问题中，能否证明平面EFG∥平面BDD1B1?
【提示】
能．连接 SD，
∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，
∴FG∥SD如.图 1-5-6，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别又 是∵ ABS，D PC平的面中B点D．D1B1，
∴AM∥DF. 又 AM⊆/ 平面 EFDB，DF 平面 EFDB，
∴AM∥平面 EFDB. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另 一个平面．
2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先 在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
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本章整合
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
知识建构
综合应用
真题放送
应用关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题: ①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n; ②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n; ③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n; ④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 答案:D
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专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
知识建构
综合应用
真题放送
方法二:转化为证明线线平行 过点E作EG∥AD交SA于点G,连接BG. ∵BF∥AD,∴BF∥EG, ∴平面BFEG∩平面SAB=BG. ∵SE∶ED=BF∶FC,∴SE∶SD=BF∶BC. 又SE∶SD=EG∶AD,∴BF∶BC=EG∶AD, ∴BF=EG,故四边形BFEG为平行四边形. ∴EF∥BG, 又EF⊈平面SAB,BG⫋平面SAB, ∴EF∥平面SAB.
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知识建构
综合应用
真题放送
应用如图所示,在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,矩形沿对角线BD将 △ABD折起,使点A移到点A1,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD 上.
求证:(1)BC⊥A1D; (2)平面A1BC⊥平面A1BD.
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知识建构
综合应用
真题放送
应用如图所示,在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA 上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值. 提示:将圆锥的侧面沿母线SA展开,转化为平面问题.
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真题放送
应用如图所示,S为矩形ABCD所在平面外一点,E,F分别是SD,BC 上的点,且SE∶ED=BF∶FC.
求证:EF∥平面SAB.
提示:本题主要考查线面平行的证明,证明的关键是转化为面面 平行或线线平行.
-5-
本章整合
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
������ 2π
-15-本章整合源自-12-本章整合专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
知识建构
综合应用
真题放送
专题4 几何体的表面展开图 常见的几何体中,除了球的表面无法展开在一个平面内,其余几 何体的表面展开后,均为一个平面图形,由此产生的表面展开图将 空间问题化归为平面问题,转化过程中一般采用“化曲为直”“化折 为直”的方法.
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专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
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解 :将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上 ,如图 ,则该展开图为扇形 , 且弧 AA'的长度 L 就是 ☉O 的周长 ,
∴L=2πr=2π. ∴∠ASA'=2π������×360° = ×360° = 90° . 2π×4
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证明:(1)∵A1在平面BCD上的射影O在CD上, ∴A1O⊥平面BDC. 又BC⫋平面BCD,∴BC⊥A1O. 又BC⊥CD,A1O∩CD=O, ∴BC⊥平面A1CD. 又A1D⫋平面A1CD, ∴BC⊥A1D. (2)∵四边形ABCD为矩形, ∴A1D⊥A1B. 由(1)知A1D⊥BC,A1B∩BC=B, ∴A1D⊥平面A1BC. 又A1D⫋平面A1BD,∴平面A1BC⊥平面A1BD.
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专题2 垂直问题 直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和 平面相交的特殊情况.对这两种情况的认识,可以从已有的线线垂 直、线面垂直关系出发进行推理和论证.无论是线面垂直还是面面 垂直,都源于线线垂直,这种“降维”的思想方法很重要.在处理实际 问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论“反探”所 需的关系,从而架设已知和未知的桥梁. 在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直 线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约 束性;另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理 的严谨性,又要注意推理的规律性.空间中的垂直关系是比平行关 系更重要、更灵活多变的一种重要关系.“转化”“降维”是重要的思 想方法和解题技巧,应在学习中提炼这些方法.
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专题3 平面图形的折叠问题 把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图 形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题. 在解决这类问题时,要求既会由平面图形想象出空间图形,又会 准确地用空间图形表示出空间物体;既会观察、分析平面图形中各 点、线、面在折叠前后的相互关系,又会对图形进行转化. 解决折叠问题,要注意折叠前后的变量与不变量,折叠前后同一 半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变.
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专题1 平行问题 在解决线面平行、面面平行的问题时,利用判定定理,一般遵循 从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面 面平行”,而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是 “低维”的判定方法.特别注意,转化的方法总是由具体题目的条件决 定,不能过于呆板僵化,遵循规律而不受制于规律.
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证明:方法一:转化为证明面面平行 过点F作FG∥AB,交AD于点G,连接EG. ∵FG∥AB,∴AG∶GD=BF∶FC, ∴AG∶GD=SE∶ED,故EG∥SA. 又FG∥AB,FG∩GE=G, AB∩SA=A, ∴平面SAB∥平面EFG. 又EF⫋平面EFG, ∴EF∥平面SAB.
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应用关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题: ①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n; ②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n; ③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n; ④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 答案:D
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方法二:转化为证明线线平行 过点E作EG∥AD交SA于点G,连接BG. ∵BF∥AD,∴BF∥EG, ∴平面BFEG∩平面SAB=BG. ∵SE∶ED=BF∶FC,∴SE∶SD=BF∶BC. 又SE∶SD=EG∶AD,∴BF∶BC=EG∶AD, ∴BF=EG,故四边形BFEG为平行四边形. ∴EF∥BG, 又EF⊈平面SAB,BG⫋平面SAB, ∴EF∥平面SAB.
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应用如图所示,在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,矩形沿对角线BD将 △ABD折起,使点A移到点A1,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD 上.
求证:(1)BC⊥A1D; (2)平面A1BC⊥平面A1BD.
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应用如图所示,在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA 上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值. 提示:将圆锥的侧面沿母线SA展开,转化为平面问题.
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应用如图所示,S为矩形ABCD所在平面外一点,E,F分别是SD,BC 上的点,且SE∶ED=BF∶FC.
求证:EF∥平面SAB.
提示:本题主要考查线面平行的证明,证明的关键是转化为面面 平行或线线平行.
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������ 2π
-15-本章整合源自-12-本章整合专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
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专题4 几何体的表面展开图 常见的几何体中,除了球的表面无法展开在一个平面内,其余几 何体的表面展开后,均为一个平面图形,由此产生的表面展开图将 空间问题化归为平面问题,转化过程中一般采用“化曲为直”“化折 为直”的方法.
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解 :将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上 ,如图 ,则该展开图为扇形 , 且弧 AA'的长度 L 就是 ☉O 的周长 ,
∴L=2πr=2π. ∴∠ASA'=2π������×360° = ×360° = 90° . 2π×4
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证明:(1)∵A1在平面BCD上的射影O在CD上, ∴A1O⊥平面BDC. 又BC⫋平面BCD,∴BC⊥A1O. 又BC⊥CD,A1O∩CD=O, ∴BC⊥平面A1CD. 又A1D⫋平面A1CD, ∴BC⊥A1D. (2)∵四边形ABCD为矩形, ∴A1D⊥A1B. 由(1)知A1D⊥BC,A1B∩BC=B, ∴A1D⊥平面A1BC. 又A1D⫋平面A1BD,∴平面A1BC⊥平面A1BD.
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专题2 垂直问题 直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和 平面相交的特殊情况.对这两种情况的认识,可以从已有的线线垂 直、线面垂直关系出发进行推理和论证.无论是线面垂直还是面面 垂直,都源于线线垂直,这种“降维”的思想方法很重要.在处理实际 问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论“反探”所 需的关系,从而架设已知和未知的桥梁. 在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直 线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约 束性;另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理 的严谨性,又要注意推理的规律性.空间中的垂直关系是比平行关 系更重要、更灵活多变的一种重要关系.“转化”“降维”是重要的思 想方法和解题技巧,应在学习中提炼这些方法.
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专题3 平面图形的折叠问题 把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图 形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题. 在解决这类问题时,要求既会由平面图形想象出空间图形,又会 准确地用空间图形表示出空间物体;既会观察、分析平面图形中各 点、线、面在折叠前后的相互关系,又会对图形进行转化. 解决折叠问题,要注意折叠前后的变量与不变量,折叠前后同一 半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变.
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专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
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专题1 平行问题 在解决线面平行、面面平行的问题时,利用判定定理,一般遵循 从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面 面平行”,而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是 “低维”的判定方法.特别注意,转化的方法总是由具体题目的条件决 定,不能过于呆板僵化,遵循规律而不受制于规律.
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证明:方法一:转化为证明面面平行 过点F作FG∥AB,交AD于点G,连接EG. ∵FG∥AB,∴AG∶GD=BF∶FC, ∴AG∶GD=SE∶ED,故EG∥SA. 又FG∥AB,FG∩GE=G, AB∩SA=A, ∴平面SAB∥平面EFG. 又EF⫋平面EFG, ∴EF∥平面SAB.