5.0附录平面图形的几何性质(第五章之前介绍)
平面图形的几何性质
第五章 平面图形的几何性质§5-1 静矩和形心１．面积（对轴）矩：是面积与它到轴的距离之积（用S 表示）。
微面积dA 对X 轴的静矩微面积dA 对Y 轴的静矩 or如S=0 ↔ 轴过形心２．组合截面的静矩与形心：整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和（由静矩定义可知）。
则 ∴ §5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径１．惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
图形对x 轴的惯性矩:图形对y 轴的惯性矩:２．极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
图形对O 点的极惯性矩:３．惯性积：面积与其到两轴距离之积。
图形对xy 轴的惯性积:y A S x ⋅=d d xA S y ⋅=d d ⎰=⎰=⎰=⎰=A A y y A A x x A x S S A y S S d d d d y A S xA S x y ==i n i A A ∑==1:如x A x A S y A y A S i i n i y i i n i x =∑==∑===11⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑=∑A A y y A A x i i i i ⎰=⎰=A y A x A x I A y I d d 22y x AI I A I +=⎰=d 2ρρ⎰=Axy A xy I d如果x 或y 是对称轴，则Ixy =0４．惯性半径 图形对x 轴的惯性半径: 图形对y 轴的惯性半径: §5-3 平行移轴公式１．平行移轴定理：以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图注意: C 点必须为形心 图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.。
２．组合截面的惯性矩：§5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩１．惯性矩和惯性积的转轴定理２．截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩⑴主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到α=α0时；恰好有A I i A I i y y x x //==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=C C y b y x a x A b bS I A b by y A b y A y I xC xC C A C A C A x 222222d )2( d )( d ++=++⎰=+⎰=⎰=0==C xC y A S A b I I xC x 2+=A b I I xC x 2+=A a I I yC y 2+=abA I I xCyC xy +=A b a I I C 2)(++=ρρxi n i x I I ∑==1yi n i y I I ∑==1xyi n i xy I I ∑==1⎩⎨⎧+-=+=ααααcos sin sin cos 11y x y y x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=αα2sin 2cos 221xy y x y x x I I I I I I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=αα2sin 2cos 221xy y x y x y I I I I I I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=αα2cos 2sin 211xy y x y x I I I I y I x I y I x I +=+110)2cos 2sin 2(0000=+-=ααxy y x y x I I I I则与α0对应的旋转轴x 0 ,y 0 称为主惯性轴。
平面图形几何性质
zc
d 4 d 2 3 2 d 4 d 2 3 2 11d 4 I zc 2 d d 4 6 4 3 64 64 64
第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理
移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、
惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标
的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩 与惯性积。
第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理
I z y dA y C a dA
2 2 A A
y
yc
I I a A 2 2 z zc dA I zcy c dA 2 a y c dA a a A A A A
2
2
zc
dA
yc
zc
A
I yc b A y c dA IA yy c
2
b
C
a
I zy I zcyc abA
在所有相互平行的坐标轴中， 图形对形心轴的惯性矩为最 小，但图形对形心轴的惯性 积不一定是最小
y
dA
例题
圆截面惯性矩、极惯性矩计算
dA 2 πd
C
d
z
IP 1 d Iy Iz 2 2 dA 2 2 0 4 1 d π d 2 2 2 π d 2 0 64
d
πd 4 I p Iy Iz 32
第五章 平面图形的几何性质
三 平行移轴定理
第五章 平面图形的几何性质
一 静矩、形心及相互关系 二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
三 平行移轴定理
第五章 平面图形的几何性质
第5章 平面图形的几何性质
称为该微面积
dA对于O点的极惯性矩。整个面积A对O点的极惯性矩等于在A范
围内所有这些微面积极惯性矩的总和，即
工程力学
5.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
微面积dA与其分别至y轴和x轴距离的乘积xyzdA，称为 该微面积dA对于x、y轴的惯性积。整个面积A对于x、y轴的
惯性积等于在A范围内所有这些微面积惯性积的总和，即
式中的ai为该细长条的中点至z轴的距离 。因为t很小，所以 与 相比可略去不计
。于是，整个截面对于z轴的惯性矩为：
工程力学
Thank you
工程力学
于x、y轴的惯性矩和惯性积。在计算它们时，常需用到平行
移轴公式。
工程力学
5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩
如果已知某一平面图形对通过O点的一对直角坐标轴x、y的惯性
矩
和惯性积
（图5-12），则当这对坐标轴绕O点旋转了
一个α 角时（ α 角以逆时针旋转为正），平面图形对这一对新 坐标轴 的惯性矩 和惯性积 可按下述关系求得：
轴称为主惯性轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。当一对主 惯性轴的交点与图形的形心重合时，就称为形心主惯性轴。对形 心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。主惯性矩的计算公式如 下：
工程力学
5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩
如果这里所说的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心 主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。
式中的
称为图形对x、y轴的惯性积。由上述定义可见，同一图形对于不同的坐标轴的惯性矩 或惯性积一般也是不相同的。
工程力学
5.3 平行移轴公式
平行移轴公式
1
2
组合图形的惯性矩与惯性积
工程力学
附录Ⅰ 平面图形的几何性质
例 求图示矩形对于对称轴y、z的惯性矩。
z
解：
h /2
dz z
2
Iy
A
bh
z dA
3
2
z bdz
h
O
y
h /2
b
12
同理可得：
Iz
hb
3
12
例 求图示圆形对于对称轴y、z的惯性矩。
z
解：
Ip
d
32
4
d
O y
Iy Iz I p
Iy Iz
Iy Iz
d
64
0
R z dz
2 2
2 3
3
(R z )2
2 2
R 0
2 3
R
3
2 zc Sy A 3 1 2
R
2
4R 3
R
即形心位置为： ( 0 ,
4R 3
)
例 求图示阴影部分面积对 y 轴的静矩。
解：
Sy h a h b a a 2 4 2
Ip
z z dA
ρ
dA
2 A
O
y
y
说明： （1）具有惯性矩的特点:恒为正；单位用m4 、 cm4 、 mm4 等。 （2）由于ρ2=y2+z2, 所以有Ip=Iy+Iz, 即平面图形对通过一点的任 意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等, 并且等于平面图形对 坐标原点的极惯性矩。 （3）惯性矩是针对某一坐标轴定义的，而极惯性矩是对某一点 定义的。
具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩： 对任一主惯性轴的惯性矩。 (3)形心主惯性轴: 过形心的主惯性轴。
工程力学 附录 平面图形的几何性质
§2 惯性矩 惯性积 惯性半径
常用图形的极惯性矩：
1.环形截面
I p dA
2 A
D/ 2
d/ 2
2 0
d d
2
D
y
4
即
Ip
D
4
32
d
4
32
dA=d d d x
d 式中 D
32
(1 )
4
d
O
2.圆形截面 在环形截面中，令 = 0，得到
xC C yC
x
A xC S y S yi Ai xCi
i 1
2.形心
xC
Ax
i 1 i
n
Ci
A
yC
A y
i 1 i
n
Ci
A
§1 形心和静矩
四、静矩的性质
形心轴 ——通过图形形心的 坐标轴 若
y
yC
xC
A
C yC
xC
yC 0
xC 0
性质 1 ：
xC
xC1 a 57.5 mm C 1 xC
30
II
I yC I yC I yC
200 157.5
xC2 a2 57.5 mm
30 200 3 200 30 3 mm 4 12 12 2.05 107 mm 4
将微面积 dA 看作是 力 则 xdA 和 ydA 相当于力矩
y
x
xC
A
O
C yC
dA
y
x
由合力矩定理
(各分力对任一轴的力矩之和等于其合力对同一轴的力矩)
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
附录I 平面图形的几何性质.
附录I 平面图形的几何性质第一节 概述1.1研究平面图形几何性质的意义材料力学中研究的杆件，其横截面是各种形式的平面图形，如矩形、圆形、T 形、工字形等。
我们计算杆件在外荷载作用下的应力和变形时，要用到与杆横截面的形状、尺寸有关的几何量。
例如在扭转部分会遇到极惯性矩I P ，在弯曲部分会遇到面积矩S 、惯性矩I Z 和惯性积I YZ 等。
我们称这些量为杆横截面图形的几何性质。
1.2定义图I-1表示杆件横截面面积为A 的任意平面图形，若在坐标为（y ，z ）处取出一微面积d A ，则此平面图形的一些几何性质可用数学式定义如下。
图Ⅰ-1 平面图形（1）面积矩y Az A S zdA S ydA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ （I-1-1）（2）惯性矩22y Az A I z dA I y dA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ （I-1-2） （3）惯性积yz AI yzdA =⎰（I-1-3）（4）极惯性矩 2p AI dA ρ=⎰（I-1-4）另外还有抗扭截面横量W P ，抗弯截面模量W z ,惯性半径r 等。
下面分别作比较详细的介绍。
第二节 面积矩和形心位置图I-2（a ）为一任意形状的平面图形，设要求其形心C 的位置（z y ，）。
若我们将平面图形看成是一极薄的匀质板，则板上各点将受到平均分布的地心引力作用。
设单位面积所受的重力为q ，则微面积A ∆上所受的重力P q A ∆=∆。
整个薄板所受重力的合力R 应为各微面积所受重力的总和，即(a )(b )图Ⅰ-2 任意平面图形的形心计算R P q A q A qA =∆=∆=∆=∑∑∑式中的A 为图形的总面积，合力R 作用在形心C 上。
根据合力矩定理，合力R 对点O 的矩等于各分力P ∆对点O 的矩的代数和，可得 ()Rz Pz =∆∑故zzPz q Az q A A z R q A q A A∆∆∆∆====∆∆∆∑∑∑∑∑∑∑ （a ） 因形心在平面图形上的位置是不变的，故将截面旋转90°到图I-2（b ）所示位置时，同样可求得形心的另一坐标为Ay y A∆=∆∑∑ （b ） 面积A ∆取得越小，用式（a ）和（b ）计算的形心坐标就越准确。
附录平面图形.ppt
y dA
A
z
I yz
yzdA
A
图形对y、z两轴的惯性积
单位：m4
讨论
（1） I yz 可0；0；0；
o
y
（2）若坐标轴y或z中有一根是图形的对称轴，则：
Iyz 0
材料力学
平面图形的几何性质 z
AII AI
AIII AIV
y
yzdA yzdA
AI
AII
yzdA yzdA
AIII
材料力学
平面图形的几何性质
例如: A AI AII AIII
则
I y
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
I yI I yII I yIII m I yi
同理
i 1
z I
II
y
III
m
m
m
m
I z I zi , S y S yi, Sz Szi , I yz I yzi
dz z h
同理
解：（1） Sz 0, S y 0.
c
h
y
（2） I y
z2dA
A
2 h
z 2bdz
h
2
b
b z3 2 1 bh3
3 h 12
2
Iz
y2dA
A
1 hb3 12
iy
I y 3 h, A6
材料力学
iz
Iz 3 b A6
平面图形的几何性质
（3）
I yz
yzdA
1 2 (Iy
Iz ) sin 20
I yz cos20
0
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附录I 平面图形的几何性质
§I.3
平行移轴公式
z
b yC zC
（面积关于平行轴之间惯性矩的数量关系）
形心 C，形心轴是 yC、 zC 的平面图形
y、z 是与 yC、zC 平行的 非形心轴
C zC
dA
yC
a
C 在 y、z 坐标轴中的坐 标 ( b, a )
O
A
y
z
zC 附录I 平面图形的几何性质
b
附录I 平面图形的几何性质
z
解法二：分割为一个正面积的大矩
形，挖去一个负面积的小矩形
10
200 10
C
O
Az z A
i
z 38.8mm y
150
i i
310 200 5 300 180 0 310 200 300 180
300
有两个解 0
0 90
关于主轴系的惯性矩＝极值惯性矩
I max I y I z I y Iz 2 I yz I min 2 2
Imax、Imin和0、090°对应关系目前尚不清楚
2
附录I 平面图形的几何性质
I y1 I z1 I y Iz 2 I y Iz 2 I y Iz 2 I y Iz 2 cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2 I y1z1 I y Iz 2 sin 2 I yz cos 2
附录I 平面图形的几何性质
4、组合图形的形心轴惯性矩 S[ 子图形形心轴惯性矩 ]
I yC 2.7 107 +2 2.7 107
(Ⅰ)
10
8.10 107 mm4 同理
(Ⅰ )
zC
200 10
(Ⅲ )
10 200 3 I zC 12 (Ⅱ ) (Ⅱ)的移轴 300 10 3 2 100 5 300 10 2 12
B
I y1z1
注意到 Iz1 是 Iy1 继续逆时针转 90°的结果，所以可以 认为②式是不独立的，其①③两式是独立的
I y1
I y Iz 2
I y Iz 2
附录I 平面图形的几何性质
cos 2 I yz sin 2 I y1z1 I y Iz 2 sin 2 I yz cos 2
如果组合图形 A 由 n 个子图形组成，即 A Ai
i 1
n
由定义 S z A ydA A ydA A ydA S zi Ai yi i i i 1 i 1 i 1 同理
S y S yi Ai zi
i 1 i 1 n n
n
10
200 10
解：1、分割图形
300Biblioteka C(Ⅱ ) (Ⅲ )
38.8mm
O
yC
2、计算各矩形关于自形 心轴的惯性矩
y
附录I 平面图形的几何性质
(Ⅰ ) (Ⅱ ) (Ⅲ )
(Ⅰ)
10
zC
200 10
(Ⅲ )
200 103 12
10 3003 12
10 3003 12
300
3、用平行移轴公式计算各矩形关 于全截面形心轴 yC 的惯性矩
附录I 平面图形的几何性质
附录 I
平面图形的几何性质
附录I 平面图形的几何性质
# 拉压
FN A
面积
# 扭转
T Ip
极惯性矩
附录I 平面图形的几何性质
§I.1
静矩和形心
z dA
一、面积的一次矩
微面积 dA 对 y 轴的一次矩
y
dS y zdA
微面积 dA 对 z 轴的一次矩
dS z ydA
A
D
A
I y I z Ip / 2
( I p 2dA 极惯性矩)
πD 4 Ip 32
πD 4 I y Iz 64
附录I 平面图形的几何性质
3. 圆环
由圆形截面有
z
π I y I z D4 d 4 64
C
y
πD 4 I y Iz 1 64
38.8mm
如果参考轴不同，计算结果不同， 但是形心的位置是唯一的 距上边缘121.2mm，距下边缘188.8mm
附录I 平面图形的几何性质
§I.2 惯性矩和惯性积
（面积的二次矩和二次积）
一、面积的二次矩和二次积
微面积 dA 对 y 轴的二次矩
z
y
dA
dI y z 2 dA
微面积 dA 对 z 轴的二次矩
z
O
Sz A y S y A z
z y
如果 y、z 轴过形心， y z 0
Sz S y 0
附录I 平面图形的几何性质
三、组合图形的静矩和形心
组合图形： 由若干个简单图形拼凑而成的图形
简单图形： 如圆形、矩形、三角形
面积和形心均为已知
1. 组合图形的静矩的计算方法：
n n
附录I 平面图形的几何性质
1. 组合图形的静矩的计算方法：
S z Ai yi
i 1 n
S y Ai zi
i 1
n
2. 组合图形的形心的计算方法：
Sz y A
Ay A
i
i
i
z
Sy
Az A A
i
i i
由简单图形的面积Ai、形心 ( yi , zi )，用初等数学的方 法，计算组合图形的静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质
平行移轴公式
I y I yC a A
2
I z I zC b A I yz I yC zC abA
2
截面关于形心轴的惯性矩，是一套平行轴惯性矩 中的最小者 截面关于形心轴的惯性积，不具有上述性质 (a、b为图形形心在yoz坐标系中的坐标，有正负)
平行移轴公式的用途：
已知简单图形的形心、形心轴的惯性矩，建立初等数 学的方法，去计算组合图形的惯性矩
附录I 平面图形的几何性质
§I.4
组合图形的惯性矩和惯性积
zC
用简单图形的惯性矩和惯性积，通过初等数学方法， 计算组合图形的惯性矩和惯性积
例2 计算右图关于形心轴 yC 、zC
的惯性矩和惯性积
(Ⅰ )
4
d D
d/D
附录I 平面图形的几何性质
三、惯性半径
注意到 Iy、Iz 量纲是 (mm)4，总可以写成
2 I y A iy
I z A iz2
可有
iy
Iy A
iz
Iz A
惯性半径
对比记忆：
静矩和形心，惯性矩和惯性半径， 它们都是反映截面面积关于坐标轴分布情况的物理量
静矩＝( 面积 )( 形心坐标 ) 惯性矩＝( 面积 )( 惯性半径 )2
二、主轴和主惯性矩
研究 Iy1 的极值，有
dI y1 I y Iz 2 sin 2 I yz cos 2 0 d 2
I y1z1 0
给出
tan 2 0
2 I yz I y Iz
有两个解，记作 0
0 90
定义与上述方向相合的轴系，称为主轴
dA
A
经三角学公式，整理上式，可有
I y1 I y Iz 2 I y Iz 2 I y Iz 2 I y Iz 2 I y Iz 2 cos 2 I yz sin 2
O
y1
E
z
z1
C
y1
D
y
同理
I z1 cos 2 I yz sin 2 sin 2 I yz cos 2
200 10 2 150 5 38.8 200 10 (Ⅰ ) 12 2.7 107 mm 4
3
C
O (Ⅱ )
z 38.8mm
yC
y
(Ⅱ )
(Ⅲ )
10 3003 2 38.8 300 10 2.7 107 mm 4 12
2.7 107 mm4
z1 z
y
y1 OC OE EC OE BD y cos z sin z1 AC AD CD AD EB z cos y sin
O
2
dA
A
y1
E
z
z1
C D
B
y1
y
按定义
I y1 z dA z cos y sin dA
A
z
O
全面积对 y、z 轴的一次矩
S y zdA
A
S z ydA
A
y
面积一次矩称为静矩
附录I 平面图形的几何性质
二、平面图形的形心 （几何中心）
定义：平面图形的形心坐标 ( y , z )
y
z y dA C
A
ydA
A
Sz A dA
z
A
zdA dA
Sy A
y
A
A
2 A 1 A
cos 2 z 2 dA sin 2 y 2dA 2sin cos yzdA
A A A
cos 2 I y sin 2 I z 2sin cos I yz
Iy
Iz
I yz
z1
附录 z I 平面图形的几何性质
y
I y1 cos 2 I y sin 2 I z 2sin cos I yz