第五平面图形的几何性质
附录1：平面图形的几何性质new
（3）求整个截面的惯性矩：
§ I - 4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
y
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
则 dA=b dy
C
x
同理
注：对于高度微h平行四边形，对形心 x的主惯性矩同样成立。
b y (a)
C
x
b (b)
§ I - 3 平行移轴公式
一、平行移轴定理：
y
yC
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
x
dA
a
C
xC
rb y
x
同理:
注意: C点必须为形心
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
y
四、惯性半径
图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:
x dA
y
r
x
例I-2 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
解： y
由于圆截面有极对称性，
附录1 平面图形的几何性质PPT课件
槽钢 工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a
图形的分类与性质
汇报人：XX
图形的分类 图形的性质
图形的分类
根据边数分类
三角形：三条边
四边形：四条边
五边形：五条边
六边形：六条边
根据形状分类
圆形：各边相等，各角相等，是曲边多边形中最具有对称性的图形。
椭圆形：是介于圆形和方形之间的一种图形，可以看作是一个被压扁的圆形。
三角形：由三条边构成的图形，具有稳定性两 个或多个部分组 成，各部分之间 没有重叠
性质：各部分之 间有明确的界限， 可以单独进行操 作和变换
举例：矩形、三 角形、圆形等基 本图形都是组合 性质图形
应用：在几何学、 计算机图形学等 领域有广泛应用
THANK YOU
汇报人：XX
四边形：由四条边构成的图形，是最常见的多边形之一，根据边的长度和角度可以分为 多种类型。
根据维度分类
一维图形：线段、射线、直线
二维图形：矩形、三角形、圆 形等平面图形
三维图形：长方体、球体、锥 体等立体图形
更高维度图形：超立方体、马 鞍面等高维空间图形
根据用途分类
几何图形：用于描述几何性质和关系 工程图形：用于表示工程设计和制造中的对象 地图图形：用于表示地理信息和位置 图表图形：用于表示数据和统计信息
图形的性质
几何性质
定义：图形的几何性质是指图形在空间中表现出的形状、大小、方向等 特征。 分类：图形的几何性质可以分为对称性、平行性、垂直性、相切性等。
对称性：图形关于某一直线或点对称，具有对称性。
平行性：图形中的线段或平面相互平行，具有平行性。
拓扑性质
连通性：图形中任意两点之间存在至少一条路径 紧致性：图形在有限区域内具有有限的面积或体积 分离性：图形中任意两点是否分离取决于它们之间的距离 连通分支：图形中任意一点到其他所有点的路径都是连通的
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
数学的几何学分支
数学的几何学分支几何学是数学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。
几何学的广泛应用范围涵盖了建筑设计、计算机图形学、物理学、天文学等众多领域。
在数学中，几何学可分为多个分支，包括平面几何、立体几何、非欧几何等。
本文将重点介绍数学中几个重要的几何学分支。
一、平面几何学平面几何学是几何学中最基础的一个分支，研究平面内的几何关系和性质。
它通过欧几里得几何的基本公理和定理，探讨了平面上点、直线、角等基本元素的特性。
平面几何学的研究内容包括平面图形的性质、平行线的性质、三角形的性质等。
在平面几何中，欧几里得几何是最为常见和应用广泛的。
二、立体几何学立体几何学是研究三维空间中的几何关系和性质的分支，也是几何学的重要组成部分。
与平面几何学不同，立体几何学关注的是由点、线、面构成的立体图形，如立方体、圆锥体、棱锥等。
立体几何学的研究内容包括体积、表面积、相交性质等。
它在物理学、工程学等领域中有着广泛的实际应用，如建筑设计、三维模型制作等。
三、非欧几何学非欧几何学是相对于欧几里得几何学而言的，研究不满足欧几里得几何公理的几何系统。
欧几里得几何学假设的五条公理中，第五条平行公理是非欧几何学的研究目标。
非欧几何学包括椭圆几何学、双曲几何学和椭球几何学等分支。
这些非欧几何系统所呈现的几何性质与欧几里得几何学不同，给了人们对空间性质更多的认识和探索。
四、复几何学复几何学是几何学与复数理论相结合的研究领域，它在解析几何中发挥着重要作用。
复几何学主要研究复数平面上的几何性质，通过使用复数代数中的运算和概念，描述和分析平面上的点、线、圆等图形的特征和性质。
复几何学的应用广泛，不仅在数学中有着重要地位，同时也在物理学、工程学等领域提供了实质性的帮助。
总结：几何学是数学中一个重要的分支，它通过研究物体的形状、大小、相对位置和关系，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在几何学中，平面几何学、立体几何学、非欧几何学和复几何学是主要的分支。
建筑工程技术 教材 组合图形的惯性矩
Iz Iy
a 2 A
b
2
A
I z1y1 I zy abA
特别注意：式中 I与Iy必须是平面图形对其形心轴的惯性矩 。
上式表明：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与
该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两
平行轴间距离平方的乘积。 由于 a2 恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形
对形心轴的惯性矩最小。
yC2=29cm
yC
Ai yCi Ai
600 64 1450 29 39.2cm 600 1450
2 计算组合图形对形心轴的惯 性矩I、Iy。
首先分别求出矩形Ⅰ、Ⅱ对形心轴的惯性矩。由平行移轴公 式可得
平面图形的几何性质
I1z I1z1 a12 A1 50123 24.82 600 12 3.76105 cm4
I y I1y I2y
12503 58 253
12
12
2.01105 cm4
当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单 图形对同一轴惯性矩之和；当把组合图形视为几个简单图形 之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差。
平面图形的几何性质
例6-5 计算图示的矩形截面对1轴和y1轴的惯性矩。
解
2
I z1
Iz
h 2
A
bh3 12
h 2
2
bh
bh3 3
2
I y1
Iy
b 2
A
hb3 12
b 2
2
bh
hb3 3
平面图形的几何性质
二、组合图形惯性矩的计算
由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或 由由几惯个性型矩钢定组义成可，知称：为组组合合图图形形对。任一轴的惯性矩，
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
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y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
xC
b
②求形心位置。
x
xi Ai 0 0 AA
y
yi A
Ai
d d 2
2 3d 2
4
d
2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
80
101108010
图(a)
y yi Ai y 1 A1 y 2 A2
A
A1 A2
6010110 34.7 10110 8010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1A2
5 (70110) 20.3 12080 70110
x
图形对y轴的惯性半径: iy I y / A
一、平行移轴定理：
y
yC
§5-3 平行移轴公式
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
xyabxyCC
x
dA
a
r
bC y
xC
I x
y 2dA
A
(
A
yC
b)
2
dA
x
(
A
yC2
2byC
b2
)dA
I xC2bSxCb2 A
SxCAyC 0
I x I xC b2 A
n
S y Ai xi Ax i 1
∴
x
xi Ai A
y
yi Ai A
例1 试确定下图的形心坐标。
10
解 ： 1.用正面积法求解，图形分割
y
及坐标如图(a)
C2
C1(0,0)
C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
120 10
C1
x
3510110 20.3
I x I xC b2 A 同理: I y I yC a2 A
I xy I xCyC abA
注意: C点必须为形心
I r I rC (ab)2 A
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
1.5d(2d )3 3d 2 (0.177 d )2[d 4 d 2 (0.5d0.177 d )2 ]0.685 d 4
12
64 4
y
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
d
yC
x1
2d
I xCyC 0
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
I
r
d 4
32
I
x
I
y
圆
2I
x
I AB
Ix
d
2
A
2
d 4
64
d 4
16
5d 4
64
二、组合截面的惯性矩：
组合截面对某坐标轴的惯性矩(积), 等于其中各部分对 同一坐标轴惯性矩 (积)之和.
微面积dA对Y轴的静矩 dS y dAx
S x dS x ydA
A
A
or
Sy dSy xdA
A
A
Sy Ax Sx Ay
x 量钢：L3 如S=0 ↔ 轴过形心
二、组合截面的静矩与形心：
整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的 代数和（由静矩定义可知）
n
如 : A Ai
i 1
则
n
Sx Ai yi Ay i 1
对其惯性积为零的一对坐标轴.
平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
主惯性轴位置:
tg20
2I xy Ix Iy
主惯性矩：II
x0 y0
I
x
I 2
y
(
I
x
I 2
y
)
2
I
2 xy
2.形心主轴和形心主惯性矩：
主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
tg
③求形心位置
x
Sy A
xi Ai A
y
Sx A
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
⑤求形心主轴方向 — 0
tg20
2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)
2
I
2 xCyC
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
图形对O点的极惯性矩:
x dA
Ir r 2dAIxI y
A
量钢：L4
y
r
x
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
图形对xy轴的惯性积:
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
y
量钢：L4
四、惯性半径
x dA
y
r
图形对x轴的惯性半径: ix I x / A
第五章 平面图形的几何性质
§5–1 静矩和形心 §5–2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 §5–3 平行移轴公式 §5–4 转轴公式* 主惯性轴 主惯性矩
§5-1 静矩和形心 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
是面积与它到轴的距离之积（用S表示）。
y
x
dA
x
C
yy
微面积dA对X轴的静矩 dSx dAy
图(b)
y 5 (70110) 20.3 12080 70110
验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
§5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径
二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
量钢：L4 y
2
0
2I xC yC I xC I yC
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱyC
)2
I
2 xCyC
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴;
若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系
②计算面积和面积矩
n
I x I xi i 1
n
I y I yi i 1
n
I xy
I xyi
i 1
§5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y1
x1xcos ysin y1xsin ycos
y
x x1
dA y y1
x1 x
I
x1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
y1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
x1
y1
I
x
I 2
y
sin
2
I
xy
cos2
I x1 I y1 I x I y
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
I
x0
y0
(
I
x
I 2
y
s
in2
0
I
x
y
cos2
0
)0
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形