初三数学几何中的最值问题

初三数学几何中的最值问题一、几何中的最值问题1．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE 为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．2．如图1，在一张▱ABCD的纸片中，▱ABCD的面积为6，DC＝3，∠BCD＝45°，点P是BD 上的一动点（点P与点B，D不重合）．现将这张纸片分别沿BD，AP剪成三块，并按图2（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）所示放置（1）当点P是BD的中点时，求AP的长．（2）试探究：当点P在BD的什么位置上时，MN的长最小？请求出这个最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1，0)和点B(4，0)，且与y 轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．4．定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135AEB 180<∠<︒︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”，AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG 的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”，4=AD ，6BC =，试求边AB 长的最小值．5．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．6．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，AD=5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的点E 处，折痕为PQ ．过点E 作EF ∥AB 交PQ 于点F,连接BF（1）若AP ： BP=1：2，则AE 的长为 ．（2）求证：四边形BFEP 为菱形；（3）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在边AB 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．7．在图1至图3中，O 的直径30BC =，AC 切O 于点C ，40AC =，连接AB 交O 于点D ，连接CD ，P 是线段CD 上一点，连接PB ．（1）如图1，当点P ，O 的距离最小时，求PD 的长；（2）如图2，若射线AP 过圆心O ，交O 于点E ，F ，求tan F 的值；（3）如图3，作DH PB ⊥于点H ，连接CH ，直接写出．．．．CH 的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x +2的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，⊙P 5P 在x 轴上运动．（1）如图1，当圆心P 的坐标为（1，0）时，求证：⊙P 与直线AB 相切；（2）在（1）的条件下，点C 为⊙P 上在第一象限内的一点，过点C 作⊙P 的切线交直线AB 于点D ，且∠ADC ＝120°，求D 点的坐标；（3）如图2，若⊙P 向左运动，圆心P 与点B 重合，且⊙P 与线段AB 交于E 点，与线段BO 相交于F 点，G 点为弧EF 上一点，直接写出12AG +OG 的最小值 ． 9．在ABC ∆中，90,2ACB BC AC ︒∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转α角0180()α︒<<︒至''AB C ∆的位置．（1）如图1，当旋转角为60︒时，连接'C C 与AB 交于点M ，则'C C = ．（2）如图2，在（1）条件下，连接'BB ，延长'CC 交'BB 于点D ，求CD 的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线'','CC BB CC 、所在直线交'BB 于点D ，那么CD 的长有没有最大值?如果有，求出CD 的最大值：如果没有，请说明理由．10．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM =∠ACB ，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE=BD ，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，求∠ADE 的度数；（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，试问∠ADE 的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE 的度数； （3）在（2）的条件下，若AB =6，求CF 的最大值．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动．（1）求线段AD 的长；（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．12．如图，在▱ABCD 中，AB 32=，BC 5=，B 45∠=，点E 为CD 上一动点，经过A 、C 、E 三点的O 交BC 于点F ．（操作与发现）()1当E 运动到AE CD ⊥处，利用直尺与规作出点E 与点F ；(保留作图痕迹) ()2在()1的条件下，证明：AF AB AE AD =． （探索与证明）()3点E 运动到任何一个位置时，求证：AF AB AE AD=； （延伸与应用）()4点E 在运动的过程中求EF 的最小值．13．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点．（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1．设CF ＝kEF ，则k ＝ ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2．求证：BE-DE ＝2CF ；（3）若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的取值范围．14．（阅读材料）某兴趣小组的同学将一个矩形ABED 和一个等腰直角三角形DEC 拼成如图1的一个四边形ABCD ，已知1,2AD DC ==（1）①直接写出BC 的长为②如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD PC 、为边作PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．爱动脑筋的小明得到如下思路：过点Q 作//QH AB ，交BC 的延长线于点H ，因为APQ DPQ PQH PQC ∠-∠=∠-∠，即APD HQC ∠=∠，则PAD QHC ∆≅∆，得AD CH =，所以BH BC CH BC AD =+=+，即PQ 存在最小值为（方法应用）（2）①若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到F ，使2PF PD =，再以PF PC 、为边作PCQF ，请在图3中画图研究，求出对角线PQ 的长的最小值？②若P 为AB 边上任意一占，延长PD 到F ，使 PF nPD =（n 为常数），再以PF PC 、为边作PCQF ，则对角线PQ 的长的最小值=（延伸拓展）（3）如图4，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到F ，使PF nPA =（n 为常数），以PF PB 、为边作PBQF ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．15．如图1所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，其中点9,02B⎛⎫⎪⎝⎭、()0,6D．（1）求C点的坐标；（2）如图2，E是AD上一点，且AE＝114，P是AC上一动点，求PD PE+的最小值；（3）如图3，动点Q从点B出发，以每秒54个单位长度的速度，沿折线B C D→→在菱形的两边上匀速运动，设运动时间为t秒．若点Q到BD的距离是52，则t＝．16．如图，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）DFBF= _______；（2）若BE2= EF▪EC，且BEDF=32，6，求DE的长；17．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点(3)A，，点()0, 3B，点(0,0)O(I)过边OB上的动点D (点D不与点B，O重合)作DE OB⊥交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当AEF∆为直角三角形时，求E点坐标：(Ⅱ)P是AB边上的动点(点P不与点B重合)，将AOP∆沿OP所在的直线折叠，得到'A OP∆，连接'BA，当'BA取得最小值时，求P点坐标(直接写出结果即可)．18．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．19．如图，一次函数y＝12x+1的图象与二次函数y＝12x2+bx+c的图象交于A，B两点，点A在x轴上．点B的横坐标为4．（1）b＝，c＝；（2）设二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴的另一个交点为D．连接AC，CD，求∠ACD的正弦值；（3）若M点在x轴下方二次函数图象上，①过M点作y轴平行线交直线AB于点E，以M点为圆心，ME的长为半径画圆，求圆M 在直线AB上截得的弦长的最大值；②若∠ABM＝∠ACO，则点M的坐标为．20．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝23，将点B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．21．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．22．如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，求线段DF的最小值23．n（n n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF 沿过点A 的直线折叠，使折叠后的点B 落在对角线AE 上的点G 处，折痕为AH ．操作2：将FE 沿过点G 的直线折叠，使点F 、点E 分别落在边AF 、BE 上，折痕为CD ．则四边形ABCD 2矩形．（1）证明：四边形ABCD 2（2）点M 是边AB 上一动点．①如图b ，O 是对角线AC 的中点，若点N 在边BC 上，OM ON ⊥，连接MN ．求tan OMN ∠的值；②若AM AD =，点N 在BC 边上，当DMN 周长最小时，求CN NB 的值． ③连接CM ，作BR CM ⊥，垂足为R ．若2AB =DR 的最小值为 ． 24．如图，点A 在抛物线y ＝﹣x 2+6x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（2，2）． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任一点，过P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH +HF +32FO 的最小值； （3）在（2）中，当PH +HF 3取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为y 轴上一动点，M 为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D ，Q ，R ，M 为顶点的四边形为矩形？若存在请直接写出点R 的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，23BC =，以点B 为圆心，3为半径作圆．点P 为B 上的动点，连接PC ，作P C PC '⊥，使点P '落在直线BC 的上方，且满足:1:3C PC P ='，连接BP ，'AP ．（1）求BAC ∠的度数，并证明AP C BPC '△△∽；（2）如图2，若点P 在AB 上时，连接BP '，求BP '的长；（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP '取得最大值或最小值时，PBC ∠的度数；若没有，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、几何中的最值问题1．（1）①全等，理由见解析； ②GH 815=（2）①见解析；②PC 的最大值为3【分析】（1）①结论：△AGD ≌△CED ．根据SAS 证明即可．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．解直角三角形求出AT ，GT ，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为∠CPA ＝90°，AC 是定值，推出当∠ACP 最小时，PC 的值最大，推出当DE ⊥PC 时，∠ACP的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合（如图4中）．【详解】（1）①如图2中，结论：△AGD ≌△CED ．理由：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG ＝DE ，∠GDE ＝90°，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠GDE ＝∠ADC ，∴∠ADG ＝∠CDE ，∴△AGD ≌△CED （SAS ）．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．∵△AGD ≌△CED ，CD ＝CE ，∴AD ＝AG ＝4，∵AT ⊥GD ，∴TG ＝TD ＝1，∴AT 2215AG TG =-∵EF ∥DG ，∴∠GHF ＝∠AGT ，∵∠F ＝∠ATG ＝90°，∴△GFH ∽△ATG ， ∴GH FG AG AT =， ∴415GH =， ∴GH 815=． （2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC222242CD DE=-=-=3∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝3，∴PC的最大值为3【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．2．（1）292；（2）当AP⊥BD时，MN的长最小，105【分析】（1）连接AC交BD于P，根据平行四边形的性质得到PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根据三角形的中位线的性质得到PE＝12DH，BE＝12BH，根据已知条件得到DH＝2，解直角三角形即可得到结论；（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，于是得到∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，根据勾股定理得到BD＝22DH BH+＝5，根据三角形的面积公式得到AP＝655，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）连接AC交BD于P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，∴PE∥DH，∴PE＝12DH，BE＝12BH，∵▱ABCD的面积为6，DC＝3，∴DH＝2，∴PE＝1，∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AH＝DH＝2，∴BH＝1，∴HE＝BE＝12，∴AE＝52，∴AP＝22AE PE+＝292；（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，∴∠MCD+∠NCB＝45°，∴∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，由（1）求得DH＝2，BH＝1∴BD ＝22DH BH +＝5 ，∵AP ⊥BD ， ∴S △ABD ＝12AB•DH ＝12BD•AP ， ∴AP ＝655， ∴CM ＝CN ＝AP ＝655， ∴MN ＝22CM CN +＝6105， ∴MN 长的最小值是6105．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形准确性的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（1）213222y x x =-++；（2）点P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）线段EG 的最小值为455.. 【分析】（1）根据抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0）和点B （4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可；（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD 的面积，即可求出△PDB 的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或-3，再把它代入抛物线的解析式，求出x 的值是多少，即可判断出点P 的坐标；（3）首先应用待定系数法，求出BC 所在的直线的解析式，然后根据点P 的坐标是（m ，n ），求出点F 的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG 2的最小值，即可求出线段EG 的最小值．【详解】解：（1）把A （-1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =-++； （2））∵抛物线的解析式为213222y x x =-++， 当x=0时，y=2，∴点C 的坐标是（0，2），∵点A （-1，0）、点D （2，0），∴AD=2-（-1）=3， ∴S △CAD =13232⨯⨯=， ∴S △PDB =3， ∵点B （4，0）、点D （2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或-3，①当n=3时，2132322m m -++=， 解得：m=1或m=2，∴点P 的坐标是（1，3）或（2，3）；②当n=-3时，2132322m m -++=- 解得m=5或m=-2，∴点P 的坐标是（5，-3）或（-2，-3）；综上，可得点P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）如图，设BC 所在的直线的解析式是：y=mx+n ，∵点C 的坐标是（0，2），点B 的坐标是（4，0），∴240n m n =⎧⎨+=⎩， 解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC 所在的直线的解析式是：122y x =-+， ∵点P 的坐标是（m ，n ），∴点F 的坐标是（4-2n ，n ），∴()22242EG n n =-+ 251616n n =-+2816555n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴当85n =时，线段EG= ∴线段EG的最小值为5. 【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键，难度较大，属于中考的常考题型.4．（1）见解析；（2）EFG 是等腰直角三角形．理由见解析；（3【分析】（1）延长,BE DG 交于点H ，根据四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形，易证()ABE ADG SAS ≌△△，则有BE DG =，ABE ADG ∠=∠，可证BHD 90∠=︒，根据BE DG =，可证四边形BEGD 是等垂四边形．（2）延长,BA CD 交于点H ，根据四边形ABCD 是等垂四边形，AD BC ≠，有AB CD ⊥，AB CD =，HBC HCB 90∠+∠=︒，根据点E,F,G 分别是AD,BC,BD 的中点可得1EG AB 2=，1GF CD 2=，//EG AB ，//GF DC ，则可证EGF 90，即有EFG 是等腰直角三角形；（3）延长,BA CD 交于点H 分别取,AD BC 的中点,E F ，连接,,HE EF HF ，根据11EF HF HE BC AD 32122-=-=-=，EFG 是等腰直角三角形，可得12GE GF AB ，22EF AB ，即可得出AB ． 【详解】（1）如图，延长,BE DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒．∴BAE DAG ∠=∠．∴()ABE ADG SAS ≌△△．∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠．∵ABD ADB 90∠+=︒∴90ABE EBD ADB DBE ADB ADG ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒即EBD BDG 90∠+∠=︒，∴BHD 90∠=︒．∴BE DG ⊥．又∵BE DG =，∴四边形BEGD 是等垂四边形．（2）EFG 是等腰直角三角形．理由如下：如图，延长,BA CD 交于点H ，∵四边形ABCD 是等垂四边形，AD BC ≠，∴AB CD ⊥，AB CD =∴HBC HCB 90∠+∠=︒∵点E,F,G 分别是AD,BC,BD 的中点 ∴1EG AB 2=，1GF CD 2=，//EG AB ，//GF DC ， ∴BFG C ∠=∠，EGD HBD ∠=∠，EG GF =． ∴EGF EGD FGD ABD DBC GFB ABD DBC C HBC HCB 90， ∴EFG 是等腰直角三角形；（3）如图，延长,BA CD 交于点H 分别取,AD BC 的中点,E F ，连接,,HE EF HF ，则11EF HF HE BC AD 32122-=-=-=， 由（2）可知EFG 是等腰直角三角形， ∴12GEGF AB ∴2222112222EFGE GF AB AB AB ∴AB 2EF 2=．∴AB 2．【点睛】本题是新定义类探究题，主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质和勾股定理，解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用条件，构造直角三角形是解题的关键． 5．问题探究：（1）24；（2）存在，BC 的最小值为23144【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OB OC x ==．求出x 的最小值即可解决问题；（3）如图3中，连接AF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FNH △的外接圆O ．由（2）可知，当FNH △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFM 的面积最大．【详解】解：（1）当AD BC ⊥时，ABC 面积的最大，则ABC 面积的最大值是11862422BC AD ⋅=⨯⨯=， 故答案为：24；（2）如图中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OA OC x ==，∵2120COB CAB ∠=∠=︒，OC OB =，OE CB ⊥，∴CE EB =，60COE BOE ∠=∠=︒， ∴12OE OB x ==，3BE x =． ∵OC OE AG +，∴33x ，∴1x ，∴x 的最小值为1，∵23BC x =，∴BC 的最小值为23；（3）如图中，连接AF ，EF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，∵90D ∠=︒，626AD DE ==+，∴45DAE AED ∠=∠=︒，∵6212CD AB ==，∴6CE CF ==，∴45CEF CFE ∠=∠=︒，∴90AEF ∠=︒，∴62EF BF ==，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FHB △的外接O 交BC 于N ，连接ON ，∵90AEF ABF ∠=∠=︒，AF AF =，EF BF =，∴Rt Rt ()AEF ABF HL △≌△，∴AEF ABF S S =△△，∵45EFG ∠=︒，∵90FEG ∠=︒，45EFG ∠=︒， ∴EF EG == ∴12FG ==，由（2）可知，当FHN △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFE 的面积最大，设OF ON r ==，则2OB BN r ==，∴r +=∴r ⋅=-， ∴12(2NH ==-，∴四边形ANFM 的面积的最大值112(1212(222=⨯⨯+⨯⨯⨯ 144=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6．，(2)证明见解析；(3)2cm ；【分析】(1) 先根据AB=3cm ，AP ： BP=1：2，计算出AP 、BP 的长度，再根据勾股定理即可求得AE 的长度；(2)根据折叠的性质得到点B 与点E 关于PQ 对称，进而得到PB=PE ，BF=EF ，∠BPF=∠EPF ，根据平行的性质再证明BP=BF=EF=EP 即可得到答案；(3) 找到E 点离A 最近和最远的两种情况，运用矩形的性质以及勾股定理即可求出点E 在边AD 上移动的最大距离；【详解】解：(1)∵AB=3cm ，若AP ： BP=1：2，则AP=113AB cm = ，BP=223AB cm =， 根据折叠的性质得到：PE=PB=2cm ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°， ∴222AP AE PE += ,即：22212AE +=，∴23AE=，AE=，即：3故AE的长为：3cm；(2)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称．∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP（两直线平行，内错角相等），∴∠EPF=∠EFP（等量替换），∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP（四边相等的四边形是菱形），∴四边形BFEP为菱形；(3)当点Q与点C重合时，如图2所示，此时点E离点A最近，∵四边形ABCD是矩形，BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，224=-=DE CE CD∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此时AE=1cm；当P点与A点重合时，如图3所示，点E离点A最远．此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm．点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定方法、勾股定理等知识，解题的关键是依题意画出正确的图形，运用折叠的对称性解决问题．7．（1）12；（2）73388-；（3）CH 的最小值为3739- 【分析】 （1）连接OP ，根据切线的性质和圆周角定理的推论可得AC BC ⊥,∠BDC=90°，利用勾股定理求出AB ，然后根据三角形的面积公式即可求出CD ，根据垂线段最短可得当OP CD ⊥时，点P ，O 的距离最小，从而求出PD 的长；（2）连接CE ，则90ECF ∠=︒，利用勾股定理即可求出AE ，然后根据相似三角形的判定定理证出Δ~ΔACE AFC ，列出比例式，根据正切的定义即可求出结论；（3）以BD 为直径作G ，则G 为BD 的中点，利用勾股定理和圆的基本性质求出半径DG ，根据直径所对的圆周角是直角可得点H 一定在G 上，当点C ，H ，G 在一条直线上时，CH 最小，利用勾股定理求出CG ，即可求出结论．【详解】解：（1）如图1，连接OP ，AC 切O 于点C ，BC 为直径AC BC ∴⊥,∠BDC=90°30BC =，40AC =，50AB ∴=．由Δ1122ADC S AB CD AC BC =⋅=⋅, 即1150403022CD ⨯⨯=⨯⨯, 解得24CD =，当OP CD ⊥时，点P ，O 的距离最小，此时1122PD CD ==．（2）如图2，连接CE ，则90ECF ∠=︒．由（1）知，90ACB ∠=︒，由222AO AC OC =+，得()222154015AE +=+，解得57315AE =． 90ACB ECF ∠=∠=︒，ACE BCF AFC ∴∠=∠=∠．又CAE FAC ∠=∠，Δ~ΔACE AFC ∴， CE AE FC AC ∴=． 57315733tan 404088CE AE F CF AC ∴===-=-．（3）CH 的最小值为3739-．如图3，以BD 为直径作G ，则G 为BD 的中点，BD=2218-=BC CD ∴192==DG BD ， DH PB ⊥，∴点H 总在G 上，9GH =， ∴当点C ，H ，G 在一条直线上时，CH 最小，此时，2222249373CG CD DG =+=+=，3739CH =-，即CH 的最小值为3739-．【点睛】此题考查的是圆的综合大题、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握切线的性质、圆周角定理及推论、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．8．（1）见解析；（2）D（233，33+2）；（3）372．【分析】（1）连接PA，先求出点A和点B的坐标，从而求出OA、OB、OP和AP的长，即可确定点A在圆上，根据相似三角形的判定定理证出△AOB∽△POA，根据相似三角形的性质和等量代换证出PA⊥AB，即可证出结论；（2）连接PA，PD，根据切线长定理可求出∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，利用锐角三角函数求出AD，设D（m，12m+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出m的值即可；（3）在BA上取一点J，使得BJ＝52，连接BG，OJ，JG，根据相似三角形的判定定理证出△BJG∽△BGA，列出比例式可得GJ＝12AG，从而得出12AG+OG＝GJ+OG，设J点的坐标为（n，12n+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出n，从而求出OJ的长，然后根据两点之间线段最短可得GJ+OG≥OJ，即可求出结论．【详解】（1）证明：如图1中，连接PA．∵一次函数y＝12x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，∴A（0，2），B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵P（1，0），∴OP＝1，∴OA2＝OB•OP，225+=OA OP∴OAOP ＝OBOA，点A在圆上∵∠AOB＝∠AOP＝90°，∴△AOB∽△POA，∴∠OAP＝∠ABO，∵∠OAP+∠APO＝90°，∴∠ABO+∠APO＝90°，∴∠BAP＝90°，∴PA⊥AB，∴AB是⊙P的切线．（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．∵DA，DC是⊙P的切线，∠ADC＝120°，∴∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，∴∠APD＝30°，∵∠PAD＝90°∴AD＝PA•tan30°＝153，设D（m，12m+2），∵A（0，2），∴m2+（12m+2﹣2）2＝159，解得m＝23∵点D在第一象限，∴m＝233，∴D233）．（3）在BA上取一点J，使得BJ5，连接BG，OJ，JG．∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB22OA OB+2224+5∵BG5BJ5，∴BG2＝BJ•BA，∴BGBJ＝BABG，∵∠JBG＝∠ABG，∴△BJG∽△BGA，∴JGAG＝BGAB＝12，∴GJ＝12AG，∴12AG+OG＝GJ+OG，∵BJ5，设J点的坐标为（n，12n+2），点B的坐标为（-4,0）∴（n+4）2+（12n+2）2＝54，解得：n=-3或-5（点J在点B右侧，故舍去）∴J（﹣3，12），∴OJ22132⎛⎫+ ⎪⎝⎭37∵GJ+OG≥OJ，∴12AG+OG37，∴12AG+OG37故答案为372． 【点睛】 此题考查的是一次函数与圆的综合大题，掌握相似三角形的判定及性质、切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数和两点之间线段最短是解决此题的关键． 9．（1）2；（2）13CD =+；（3）CD 的值最大，此时22CD =.【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而'C C =AC=2即可求解.(2)过点B 作BH ⊥CD 于H ，求得△CBH 三边之比为1:3:2，进而求出CH 和BH 的长，再求得△DBH 为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH 即可求解.(3)证明''∆∆B AB C AC ，再取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ，得出D 点的运动轨迹为以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大，即可求解.【详解】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形∴'2==C C AC .故答案为2.(2)如图2中，作BH CD ⊥于H ，如下图所示：','60AB AB BAB ︒=∠='ABB ∴∆是等边三角形，60︒∴∠=∠=DBM ACM ，DMB AMC ，45BDC BAC ︒∴∠=∠=，且△DBH 为等腰直角三角形，'30BCH BCA ACC ︒∠=∠-∠=11,32BH DH BC CH ∴==== 13CD CH DF ∴=+=故答案为：13+.()3CD 的长有最大值为22，理由如下，如下图3中，’'45B AC BAC ︒∠=∠=''B AB C AC ∴∠=∠','AB AB AC AC ==''AB AB AC AC∴= ''B AB C AC ∴∆∆DBM ACM DMB AMC ∴∠=∠45BDM MAC ︒∴∠=∠=取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ．,90CA CB ACB ︒=∠=,CH AB CH BH AH ∴⊥==，90BHC ︒∠=∴12BDC BHC ∴点D 的运动轨迹是以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大, 故CD AB =时，CD 的值最大，此时22CD =故答案为2.【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.10．（1）∠ADE=30°；（2）∠ADE=30°，理由见解析；（3）92 【分析】（1）利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE=∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；（2）同（1）的证明方法相同；（3）证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到26ADAF=，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．【详解】解：（1）∠ADE=30°．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠ACM=∠ACB，∴∠ACM=∠ABC，在△ABD和△ACE中，∵AB ACABC ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，∴∠DAE=∠BAC=120°，∴∠ADE=30°；（2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°．∵∠ACM=∠ACB，∴∠B=∠ACM=30°．在△ABD和△ACE中，∵AB ACABC ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=30°；（3）∵AB=AC，AB=6，∴AC=6，∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD AFAC AD =， ∴AD 2=AF•AC ， ∴AD 2=6AF ，∴AF=26AD ，∴当AD 最短时，AF 最短、CF 最长，易得当AD ⊥BC 时，AF 最短、CF 最长，此时AD=12AB=3， ∴AF 最短=26AD =96=32，∴CF 最长=AC －AF 最短=6－32=92． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．（1）5；（2）PQ ∥A D ''，理由见解析；（3 【分析】（1）求出AE △ABE ∽△DEA ，由AD AEAE BE=可求出AD 的长； （2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，证明△PEF ∽△QEC ，再证△EPQ ∽△A'ED'，可得出∠EPQ ＝∠EA'D'，则结论得证；（3）由（2）知PQ ∥A′D′，取A′D′的中点N ，可得出∠PEM 为定值，则点M 的运动路径为线段，即从AD 的中点到DE 的中点，由中位线定理可得出答案． 【详解】解：（1）∵AB ＝2，BE ＝1，∠B ＝90°， ∴AE∵∠AED ＝90°， ∴∠EAD+∠ADE ＝90°，∵矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴∠BAE+∠EAD ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ADE ， ∴△ABE ∽△DEA ， ∴AD AEAE BE=，∴=，∴AD ＝5；（2）PQ ∥A′D′，理由如下： ∵5,5AD AE ==，∠AED ＝90°∴22DE DA AE =-＝225(5)-＝25，∵AD ＝BC ＝5，∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣1＝4， 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，则∠FEC ＝90°， ∵∠A'ED'＝∠AED ＝90°， ∴∠PEF ＝∠CEQ ， ∵∠C ＝∠PFE ＝90°， ∴△PEF ∽△QEC ， ∴2142EP EF EQ EC ===， ∵51225EA EA ED ED ''===， ∴EP EA EQ ED ''=， ∴PQ ∥A′D′；（3）连接EM ，作MN ⊥AE 于N ， 由（2）知PQ ∥A′D′， ∴∠EPQ ＝∠A′＝∠EAP ，又∵△PEQ 为直角三角形，M 为PQ 中点， ∴PM ＝ME ， ∴∠EPQ ＝∠PEM ，∵∠EPF ＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM ＝∠PEM+∠AEA′ ∴∠EPF ＝∠NEM ， 又∵∠PFE ＝∠ENM ﹣90°， ∴△PEF ∽△EMN ， ∴NM EM EF PE =＝PQ2PE为定值，又∵EF ＝AB ＝2，∴MN 为定值，即M 的轨迹为平行于AE 的线段， ∵M 初始位置为AD 中点，停止位置为DE 中点， ∴M 的轨迹为△ADE 的中位线， ∴线段PQ 的中点M 所经过的路径长＝1AE 2＝52．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．()1作图见解析；()2证明见解析；()3证明见解析；()4 EF 最小值为262. 【分析】()1当AE CD ⊥，此时AC 是O 的直径，作出AC 的中点O 后，以OA 为半径作出O即可作出点E 、F ；()2易知AC 为直径，则AF BC ⊥，ABCD S BC AF CD AE =⋅=⋅四边形，从而得证；()3如图，作AM BC ⊥，AN CD ⊥，若E 在DN 之间，由()2可知，AMABANAD=，然后再证明AMF ∽ANE ，从而可知AM AF ABAN AE AD==，若E 在CN 之间时，同理可证；()4由于A 、F 、C 、E 四点共圆，所以180FAE BCD ∠+∠=，由于四边形ABCD 为平行四边形，45B ∠=，从而可证FOE 为等腰直角三角形，所以2FE R =，由于2AN AC R ≤≤，所以E 与N 重合时，FE 最小． 【详解】()1如图1所示，()2如图，易知AC 为直径，则AF BC ⊥，则ABCD S BC AF CD AE =⋅=⋅四边形，AF CD ABAE BC AD∴==， ()3如图，作AM BC ⊥，AN CD ⊥，若E 在DN 之间由()2可知，AM ABAN AD= A 、F 、C 、E 四点共圆，AFC AEC 180∠∠∴+=，AFC AFM 180∠∠+=， AEN AFM ∠∠∴=， AMF ANE ∠∠=， AMF ∴∽ANE AM AF AB AN AE AD∴==， 若E 在CN 之间时，同理可证()4A 、F 、C 、E 四点共圆，FAE BCD 180∠∠∴+=，四边形ABCD 为平行四边形，B 45∠=，BCD 135∠∴=， FAE 45∠∴=， FOE 90∠∴=，FOE ∴为等腰直角三角形， FE 2R ∴=，AN AC 2R ≤≤，E ∴与N 重合时，FE 最小，此时2FE =， 在ABC 中，AM BM 3==，则CM 2=∴由勾股定理可知：AC 13=此时EF 最小值为262. 【点睛】。