第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

考点突破 考点三
(2)(2017· 湖 北 武 汉 模 拟 ) 设 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ π φ) A>0，ω>0，|φ|<2 与直线 y＝3 的交点的横坐标构成以 π π 为公差的等差数列，且 x＝6是 f(x)图象的一条对称轴， 则下列区间中不是函数 f(x)的单调递增区间的是( D ) π A. －3，0 2π 7π C. 3 ， 6
π 倍， 纵坐标不变， 得到 y＝sin(2x＋6)的图象， 即 f(x) π ＝cos(2x－3)的图象．
考点突破 考点一
纠错训练
π (1)若函数 y＝cos ωx(ω>0)的 依题意得，函数 y＝cos ωx＝sin ωx＋ 的图象向右 2
π 图象向右平移6个单位后与函数 y＝sin ωx π 平移 6 个单位后得到的曲线对应的解析式是 y ＝ 的图象重合，则 ω 的值可能是( C ) π πω π π ωx－ ＋ ＝sinωx－ ＋ sin ＝sin ωx，因此有 6 2 6 2 1 A.2 B．1 πω π － 6 ＋2＝－2kπ，k∈Z，即 ω＝12k＋3，其中 k∈ C．3 D．4

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π π 2． (必修 4· 习题 1.5A 组改编)已知简谐运动 f(x)＝2sin 3x＋φ|φ|<2 的图象经过点

(0,1)，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( A ) π A．T＝6，φ＝6 π C．T＝6π，φ＝6 π B．T＝6，φ＝3 π D．T＝6π，φ＝3
ωx＋φ _______
初相 φ
2π ω T＝_____
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[三基自测] π 1．(必修 4· 习题 1.5A 组改编)为了得到函数 y＝sin 2x－3 的图象，只需把函数 y π ＝sin 2x＋6 的图象( B ) π π A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度 π π C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
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[基础梳理] 1．五点法画函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)列表：
X＝ω· x＋φ x sin X y 0 π 2 π 3π 2 2π
φ π φ π φ 3π － φ 2π φ －ω 2ω ω _______ ω －ω ____ _______ 2ω－ω ______ ω－ω _______
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1 ⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到 y＝sin(ωx＋φ)； ⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍， 横坐标不变， 就得到 y＝Asin(ωx ＋φ)的图象．
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3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 频率 1 ω f＝T＝2π 相位
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3．(必修 4· 习题 1.5A 组改编)电流 i(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的函数关系 π 是 i＝5sin 100πt＋3 ，t∈[0，＋∞)，则电流 i 变化的初相、周期分别是______．

π 1 答案：3，50
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1 4． (必修 4· 习题 1.5 例题改编)由 y＝sin x______得到 y＝sin 3x______得到 y＝2sin 1 1 π x ______ 得到 y ＝ 2sin( 3 3x－6)．
Z，于是结合各选项知 ω 的值可能是 3.
考点突破 考点一
①f(x)＝cos2x－sin2x－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＝ (2) 已知函数 f(x) ＝ cos x － 2sin xcos x － 2 π 2 2 cos 2x－ sin 2x＝ 2cos2x＋4 . 2 2 2 sin x. ②列表： π π π 3 9 π 2π 2x＋4 4 2 π 2 4π π 3 5 7 x 0 π π π 8 8 8 8π f(x) 1 0 － 2 0 2 1 ①将 f(x)化为 y＝Acos(ωx＋φ)的形式； 图象为： ②用“五点法”在给定的坐标中， 作出函
(3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度 为一个周期内的图象．
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2．由函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
12 个小环节构成 6 条路线： (以③⑨⑫线路为例) ③把 y＝sin x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度，得到 y＝sin(x＋φ)的图象；
考点突破 考点一
π (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π] (2)由(1)得 f(x)＝cos 2x－ ，列表： 3
上的图象．
π 5 2 11 π π π 6 12 3 12π π π π 3 5 π 2x－3 －3 0 2 π 2 3π 1 1 f(x) 1 0 －1 0 2 2 图象如图所示． x 0
0 1 0 －1 0
A 0 0 －A 0 ____ _______ ______ _______ _______
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π π 3π 2π φ φ φ φ φ － ，－ A － ， 0 －ω，0 2ω－ω，A － ，0 ω ，2ω ω ω ， ω ， ω . (2)描点： ，
考点突破 考点三
三角函数的图象和性质的应用(方法突破)

π 方法 1 整体换元法求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、 对称轴、 (1)由题意 f(x)＝sin 2x＋ ，将其 6 对称中心 图象向右平移 φ(φ>0)个单位后所 1 【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝ 3sin xcos x＋2cos 2x，若将其 得图象对应的解析式为 g(x) ＝ π π 图象向右平移 φ(φ>0)个单位后所得的图象关于原点对称， 则 sin 2x－φ＋ ，则 2φ－ ＝kπ(k 6 6 φ 的最小值为( C ) kπ π ∈ Z ) ，即 φ ＝ ＋12(k∈Z)，又 π 5π 2 A.6 B． 6 π φ >0 ，所以 φ 的最小值为 .故选 π 5π 12 C.12 D．12 C.
考点突破 考点一
易错提醒 1.给定区间的五点法作图，除一个周期 π π π π (3)由 y＝sin x 经过怎样的变换得到 f(x)＝ (3)f(x)＝cos(2x－ )＝sin[ ＋(2x－ )]＝sin(2x＋ )， 3 2 3 6 内的五个特征点外，还要写出端点． cos(ωx＋φ)的图象(x∈R)． π 所以由 y ＝ sin x 向左平移 2．图象作左右平移变换时，要注意是先变周期，还 6个单位长度，得到 y＝ 是先变相位，两种方法平移的单位个数不同． π 1 sin(x＋6)的图象， 再将图象的横坐标缩小到原来的2
π π π ∵ f 4 ＝ cos 2×4＋φ ＝ cos 2＋φ
π 3 周期为 π，且 f 4 ＝ 2.

3 ＝－sin φ＝ 2 ， 3 ∴sin φ＝－ 2 .
(1)求 ω 和 φ 的值；
π π ∵－2<φ<0，∴φ＝－3.
b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 3 3π

[答案]
(2)f(x)＝sin x－ 2 4 ＋2
考点突破 考点二
由图象可知，ymin＝2，T＝18－6＝12， 母题变式 在本例(1)中， 若条件和图象不 2π π ∴ω＝ T ＝6， 13 π π 变，当 x＝6 时，y＝ 2 ，φ∈(－2，2)，求 ymax－ymin 由于 A＝3，∴3＝ ，∴ymax＝8， 2 函数 y＝3sin(ωx＋φ)＋k 的解析式． 8＋2 ∴k＝ 2 ＝5. 13 又当 x＝6 时，y＝ 2 ， π 13 1 ∴3sin(6×6＋φ)＋5＝ 2 ，∴sin(π＋φ)＝2， 1 ∴－sin φ＝2， π π π π π ∵φ∈－2，2 ，∴φ＝－ .∴y＝3sin( x－ )＋5. 6 6 6
答案：横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变 纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 π 向右平移2个单位
考点突破 考点一 图象与变换 (易错突破)

π 【例 1】 设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) ω>0，－2<φ<0 的最小正
2π (1)最小正周期 T＝ ω ＝π， ∴ω＝ 2.
数可知，这段时间水深(单位：8
B．6 D．10
考点突破 考点二
3－1 T 5π π 2π 思维升华 确定 y＝y A sin( ωx ＋φ(2) )＋ b(A>0，ω>0) 的思维和步骤 (2)(2017· 莱芜质检 )如图是函数 ＝ f(x )＝ 由图象知， A＝ ＝ 1 ， 2 2 ＝ 6 －6＝ 3 ，则 T M－m M＋m Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象 (1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，则 A ＝ ， b ＝ . 4π 3 5π 3 2 π 2 ＝ 3 ，ω＝2，由 6 ×2＋φ＝2＋2kπ，k∈Z，得 φ 的 一 部 分 ， 则 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 2π (2) 求 ω ，确定函数的周期 T ，则可得 ω ＝ . 3π 3π ________． T ＝－ 4 ＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，∴φ＝－ 4 . (3)求 φ，常用的方法有： 3 3π ∴f(x)＝sin ＋ 2. x－ ①代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时 A ， ω ， b 已知)或代入图象与直线 y＝ 4 2