第三讲 函数的极限 无穷小与无穷大
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函数的极限(无穷小与无穷大)
(或
则
则称函数
为
x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当
时, C
显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x ) A
f ( x ) A , 其中 为 x x0
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
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一、 无穷小
定义1 . 若
(或x )
时, 函数
则称函数
为
(或x )
例如 :
时的无穷小 .
函数 函数
当
时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
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定义1. 若
(或改为
则记作
x x0 ( x )
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x ) )
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注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 !
时的无穷小量 .
对自变量的其他变化过程有类似的结论.
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二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 ① 则称函数
( x X ) 的 x , 总有
当
则
则称函数
为
x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当
时, C
显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x ) A
f ( x ) A , 其中 为 x x0
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
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一、 无穷小
定义1 . 若
(或x )
时, 函数
则称函数
为
(或x )
例如 :
时的无穷小 .
函数 函数
当
时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
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定义1. 若
(或改为
则记作
x x0 ( x )
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x ) )
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注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 !
时的无穷小量 .
对自变量的其他变化过程有类似的结论.
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二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 ① 则称函数
( x X ) 的 x , 总有
当
无穷大与无穷小
无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。
它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。
无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。
换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。
在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。
当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。
无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。
在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。
在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。
与无穷大相对应的是无穷小。
无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。
换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。
在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。
当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。
无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。
在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。
在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。
下面我们来看几个具体的例子。
例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。
这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。
例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。
这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。
例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。
这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。
通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。
无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。
高等数学无穷小与无穷大
n
0
k ,
1, 2,
记：
3, n
，则对每个 k
n
k
n
，则有
k 1
有
n
lim n lim k n lim
n
n k 1
n
1 n 2
2 n2
k n2
n n2
lim
n
1
2
n2
n
lim n
n n 1 2n 2
lim n
1 2
1
1 n
1 2
0,
故无穷多个无穷小的和未必是无穷小。
ux M, x X
M
X
O
M
x u x x x 0
若 ( x )当 x → 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )( x)当 x → 时为无穷小。
例：证明函数
f x
x sin
1 x
是
x → 0 时的无穷小。
利用无穷小的性质进行证明
因为 lim x lim x 0 ,
x
例：根据定义证明：当
x→0
时，y
1 2x x
是无穷大。
又问， x 只要满足什么条件，就能使 y >10 4 ？
按定义证明当 x → 0 时，给定函 数是无穷大，就是对任意给定的正数 M ，
要设法说明存在正数 ，使得当 0 < |x - 0 |= |x |< 时有
y
1 2x x
M.
要说明这样的 存在，最直接的办法就是将 找出
为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。
根据无穷小的定义进行证明
证明 x → x0 时的情形。
设 lim x 0, lim x 0, lim x 0,
无穷小与无穷大
3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要 条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小 的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二 无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷 大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率 为 ，试分析存款时间越长，本利和如何变化？ 解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负 无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1
2.3无穷大与无穷小
例1 自变量x在何变化过程中, 下列函数 f (x)为无穷小.
x2 1 (1) f ( x ) ； x 1
1 (2) xn ； n1
(3) f ( x) x 2 1.
解
x2 1 为无穷小; (1) 当x 1时, f ( x ) x 1
(2) 当n 时,
证 设 及 是当 x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 ( x ) 2 2
解
(1)当 x 0或 x 时, f ( x ) ln x为无穷大;
(2) 当 x 时,
(3) 当 n 时,
e x为无穷大;
n2 1为无穷大;
(4) 无论 x 趋于何值, sinx 都不是无穷大.
三、无穷小的性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
1 M 0, 0, 使得当 0 x x0 时, 恒有 f ( x) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
x2 1 (1) f ( x ) ； x 1
1 (2) xn ； n1
(3) f ( x) x 2 1.
解
x2 1 为无穷小; (1) 当x 1时, f ( x ) x 1
(2) 当n 时,
证 设 及 是当 x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 ( x ) 2 2
解
(1)当 x 0或 x 时, f ( x ) ln x为无穷大;
(2) 当 x 时,
(3) 当 n 时,
e x为无穷大;
n2 1为无穷大;
(4) 无论 x 趋于何值, sinx 都不是无穷大.
三、无穷小的性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
1 M 0, 0, 使得当 0 x x0 时, 恒有 f ( x) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
无穷小与无穷大的概念
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
快慢程度不同.
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
(1)
如果
lim
0,
称 是比 高阶的无穷小,
无穷小比较的概念
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
中, 用任意一个无穷小 ( x) 代替 x, 等价关系依
然成立.
例如, x 1 时,有 ( x 1)2 0,从而 sin( x 1)2 ~ ( x 1)2 ( x 1).
完
例 5 证明：e x 1 ~ x( x 0).
证 令 y e x 1, 则 x ln(1 y), 且 x 0 时， y 0, 因此
又 lim(4x 1) 3 0, 故 x1
lim
x1
x2 2x 4x 1
3
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x 1 x2 2x
3
.
完
例3
求
lim
x
2x2 7x2
3 4
x2 x2
5 1
.
解 当 x 时, 分子和分母的极限都是无穷大,
此时可采用所谓的无穷小因子分出法, 即以分母
而
lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim
x0
sin x
x
1,
从中可看出各无穷小趋于0的快慢程度: x2 比 x
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
无穷小与无穷大和极限的关系
x x0
x x0
x x0
第八页，课件共16页
2. 无穷小与无穷大的关系
定理2 (1)若lim f (x) 0,( f (x) 0),则 x lim 1 . x f (x) (2)若lim f (x) ,则 x lim 1 0. x f (x)
即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小 的倒数是无穷大.
式 f ( x) A,误差为 ( x).
第十二页，课件共16页
三、 无穷小的运算性质
定理3 同一过程中，有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
证： 设及是当x 时的两个无穷小, 0, X1 0, X 2 0,使得
第十三页，课件共16页
当
x
X
时恒有
1
;
2
当
x
X
时恒有
2
;
2
取 X max{X1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有
一无穷小与无穷大的概念定义如果对于任意给定的正数不论它多么小总存在正数那末称函数时为无穷小记作极限为零的变量称为无穷小
无穷小与无穷大和极限的关系
第一页，课件共16页
一、无穷小与无穷大的概念
1.无穷小 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存在 正数 ( 或正 数 X ), 使 得对 于适 合不 等式
当k充分大时,xk ,
但 y( xk ) 2kp sin 2kp 0 M . 不是无穷大．
第六页，课件共16页
例 证明 lim 1 . x1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时,就有 1 M .lim 1 .
第三节无穷小和无穷大
例. 求 解:
tan x − sin x lim . 3 x→0 x
原式
x−x 原 = lim 3 式 x→0 x
= lim x⋅ 1 x2 2 x3
x→ x→0
说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ),
( lim f (x) = −∞)
概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数， 概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变 化过程中的无穷大量 非正常极限). 无穷大量.(非正常极限 化过程中的无穷大量 非正常极限
limsin x = 1.
x→
π
因此， 因此，它不是x → 时的无穷小量. 2
(3)关于有界量. 关于有界量 关于有界量
π
2
2.无穷小量的运算性质 无穷小量的运算性质
定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
∀ε > 0,
当 当
时,有 时,有
取 δ = min{ δ1 , δ2 }, 则当 0 < x − x0 < δ 时, 有
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
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2.几何解释:
当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
A A A
y
y f (x)
o
函数与极限
x0
x0
x0
x
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显然, 找到一个后, 越小越好.
2013-7-26
lim 例2 证明 x x C C , (C为常数).
推论 若 lim f ( x ) A, 且 0, 当x U ( x 0 , )时,
oБайду номын сангаас
f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0).
2013-7-26 函数与极限
21/42
4.保序性
定理 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.若 0,
(不论它多么
小),总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的 一切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
x
f ( x ) A(当x )
2013-7-26 函数与极限
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sin x 例1 证明 lim 0. x x
证 由 sin x 0 sin x 1 , x x x
0,
1 取X ,
则当 x X时恒有
y
sin x x
sin x 0 , x
x
sin x 故 lim 0. x x
x x0
0, 0, 使当0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
又 lim x n x0 且 x n x0 ,
n
对上述 0, N 0, 使当n N时, 恒有 0 xn x0 .
高等数学Ⅰ
函数的极限 无穷小与无穷大
复习：
N定义 : lim x n a n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
f ( x) A x2 9 x 3 x 3 7 x 3
任给 0, 要使 f ( x ) A ,
只要取 min 1, , 7
当0 x x0 时,
就有 x 9 ,
2
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lim x 2 9.
2013-7-26 函数与极限
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定理 : lim f ( x ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A.
x x0
推论：f ( x0 ) f ( x0 ) lim f ( x )不存在 x x0 x 例7 验证 lim 不存在. y x0 x x 1 x lim lim 证 x 0 x 0 x x
定义：如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐近线.
2013-7-26 函数与极限
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二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
x0
x0 x0
y y 1 x
1
y x2 1
o
记作x x0 ; 记作x x0 ;
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x 0 , x从右侧无限趋近x 0 ,
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左极限
0, 0, 使当x 0 x x 0时, 恒有 f ( x ) A .
o
5. 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定理 若 lim f ( x ) A,xn 是f ( x )的定义域内任一
收敛于x0的数列，且xn x0，那么 f ( xn )
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x x0
必收敛，且lim f ( xn ) A. 函数与极限
n
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证 lim f ( x ) A
播放
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函数与极限
4/42
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 一般地， 如果函数 y f ( x ) 在 x 的过程
中, 对应函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
lim ( 1) 1
x 0
o
x
1
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x 0 x
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左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在. x0
函数与极限
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三、函数极限的性质
1.唯一性
定理 若极 lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
lim f ( x ) A
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
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lim f ( x ) A
2.另两种情形:
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
10 . x 情形 : xlim f ( x ) A
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
2 . x 情形 : xlim f ( x ) A
0
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
x x0 x x0
x U ( x 0 , ), 有f ( x ) g( x ), 则A B.
o
推论 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B , 且A B
x x0 x x0
则 0, x U ( x0 , ), 有f ( x ) g ( x ).
lim lim 定理 : lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
2013-7-26
函数与极限
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3.几何解释:
y
A
sin x A x
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
当0 x x 0 时,
f ( x ) A x x 0 成立,
2013-7-26 函数与极限
lim x x 0 .
x x0
13/42
x 1 例4 证明 lim 2. x 1 x 1
2
证 函数在点x=1处没有定义.
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
任给 0,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
2013-7-26
x2 1 当0 x 1 时, 就有 2 , x 1
函数与极限
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例5 证明 lim x 2 9
x 3
证
x 3, 可设 x 3 1,即 2 x 4,
2.函数极限的局部有界性
定理 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在过程 的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
x x0
0 | x x0 |
x
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| x | X
函数与极限
| f ( x ) | M
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3.函数极限的局部保号性
定理 若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0)，
取 min{ x 0 , x 0 },
当0 x x 0 时,
lim 就有 x x0 , x x x
0
x0 .
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函数与极限
3.单侧极限:
例如,
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
lim " " 定义 x x f ( x ) A 0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
2013-7-26 函数与极限
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1 注意： .函数极限与f ( x )在点x 0是否有定义无关;
2.与任意给定的正数有关.
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x 0 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都
满足不等式 f ( x ) A ,那么常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作
x x0
lim f ( x ) A 或
0
f ( x ) A(当x x 0 )
x x0
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0)
o
定理 若 lim f ( x ) A, 且A 0，则 0，
x x0 o