2021年山西省高考文科数学压轴题总复习(附答案解析)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习01 集合(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。
压轴25 直线的方程 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P (1,1)平分，则AB 所在直线的方程为A. 9x +4y −13=0B. 4x +9y −13=0C. x +2y −3=0D. x +3y −3=0 【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，由中点坐标公式可知：{x 1+x 22=1y 1+y22=1， 则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)9+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，∴y 1−y2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的方程为：y −1=−49(x −1)，整理得：4x +9y −13=0， 故选B ．2. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F(−c,0)，上顶点为A ，离心率为√32，直线FA 与抛物线E:y 2=4cx 交于M ，N 两点，则|MA|+|NA|=A. 2√3aB. 5aC. 4√3aD. 10a【答案】D 【解析】解：如图，离心率为√32，即c a =√32，解得a =2b ，c =√3b ，由F(−c,0)，A(0,b)，则k AF =bc =√33，∴直线FA 的方程y =√33x +b ，又y2=4cx，即y2=4√3bx与y=√33x+b联立消去y得，x2−10√3bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∴x1+x2=10√3b，则|MA|+|NA|=(√33)1+x2)=√310√3b=20b=10a．故选D．3.下列四个命题：①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(x−x1)=(y2−y1)(y−y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示，①故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)，故②为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa +yb=1表示，故③为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故④为假命题；故选A．4.已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为P，若点Q为直线l3:x−y+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：易知直线l1:mx−y+m=0过定点A(−1,0)，直线l2:x+my−1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1⊥l2，当m≠0时，l1与l2斜率乘积为m·(−1m)=−1，所以l1⊥l2，所以点P 在以AB 为直径的圆上，圆的方程为x 2+y 2=1， 圆心(0,0)到直线x −y +3=0的距离为√2=3√22， 所以|PQ|的最小值为圆心到直线x −y +3=0的距离减去半径，即32√2−1， 故选B ．5. 如已知点A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y =kx +b(k >0)将三角形ABC 分割成面积相等的两个部分，则b 的取值范围是A. (1−√22,12) B. (1−√22,12] C. [13,12)D. (0,12]【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为12⋅AB ⋅OC =1， 由于直线y =kx +b(k >0)与x 轴的交点为M(−b k ,0)，由直线y =kx +b(k >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0， 故−bk <0，故点M 在射线OA 上．设直线y =kx +b 和BC 的交点为N ，则由{y =kx +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b k+1,k+bk+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N (12,12)， 把A 、N 两点的坐标代入直线y =kx +b ，求得k =b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+bk )·k+bk+1=12，可得k =b 21−2b >0，求得b <12 ， 故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−bk <−1，求得b >k ． 设直线y =kx +b 和AC 的交点为P ，则由{y =kx +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b k−1,k−b k−1)，此时，由题意可得，△CPN 的面积等于12，即12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12， 即12(1−b )·|1−bk+1−1−bk−1|=12，化简可得2(1−b)2=|k 2−1|． 由于此时b >k >0，0<k <1，∴2(1−b)2=|k 2−1|=1−k 2 ．两边开方可得√2(1−b )=√1−k 2<1，∴1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是(1−√22,12) ，故选A ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)向圆C:(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A. (−12,1)B. (−1,32)C. (−12,32)D. (−1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)，向圆C ：(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，则切线长为√PC 2−r 2=√42+(m −1)2−(m 2+5)=√12−2m ，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为(x −1)2+(y −4)2=12−2m ， ∴直线AB 的方程为[(x −m)2+y 2]−[(x −1)2+(y −4)2]=(m 2+5)−(12−2m)， 整理得：(x +4y −5)−m(1+x)=0． 令{x +4y −5=0x +1=0，解得{x =−1,y =32． 所以直线AB 过定点(−1,32)． 故答案为(−1,32)． 故选B ．7. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(0,+∞)时，S(λ)的最小值是A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】C【解析】解：如图，由直线2x +y +2+λ(2−y)=0，分别可得与坐标轴的交点(−1−λ,0)，(0,2+2λλ−1)，λ∈(0,+∞)，则S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选C ．8. 已知直线(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0恒过定点P ，则与圆C:(x −2)2+(y +3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为A. (x −2)2+(y +3)2=36B. (x −2)2+(y +3)2=25C. (x −2)2+(y +3)2=18D.(x −2)2+(y +3)2=9【答案】B【解析】解：因为(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0，所以λ(2x +3y −1)+3x −2y +5=0， {2x +3y −1=03x −2y +5=0，解得{x =−1y =1，即P(−1,1)，C:(x −2)2+(y +3)2=16的圆心为(2,−3)， 则所求圆的半径为√(2+1)2+(1+3)2=5， 故所求圆的方程为，故选B ．9. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)，直y =kx +m (k >0)将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是A. (0,1)B. (13,12]C. (13,4−√102] D.【答案】D【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)， 如图，四边形的面积为12×(4+2)×1=3，①若直线在第一象限与CD 相交，设交点为F ， 则直线必与OA 交于一点，设为E ， 连接BF ，DE ，要使直线平分梯形， 只须CF +BE =DF +AE =3，设BE =t ，则E 点坐标为(2−t,0)，F 点坐标为(t −2,1)，EF 关于(0,12)对称，此时m=12②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2−t，∴三角形BEF在BE边上的高为32−t ≤1，F点横坐标为(2−32−t,32−t)，其中−2≤t≤−1，经计算，m=3(−t−1t)+4(−2≤t≤−1)，当t=−1时，m有最大值12，t=−2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k→0时，有最小值(取不到)4−√102，综上，m∈(4−√102,1 2 ]故选D．二、填空题10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】3√2【解析】解：因为点A(−4,0)，B(0,4)， 所以直线AB 的方程为x −y +4=0． 设P (x 0,y 0)，因为P 是直线AB 上一点，所以y 0=x 0+4.①又因为以AP 为直线的圆的方程为：x (x −x 0)+y (y −y 0)=0， 即x 2+y 2−xx 0−yy 0=0．由{x 2+y 2=4x 2+y 2−xx 0−yy 0=0两式相减得xx 0+yy 0=4，② 即直线CD 的方程为xx 0+yy 0=4．又因为线段CD 的中点为M ，所以直线OM 的方程为：xy 0−yx 0=0.③ 联立①②③消去x 0，y 0得点M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12．又因为 A(−4,0)，所以|AM |max =√(−4+12)2+(12)2+√22=3√2．故答案为3√2．11. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=72，且2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)，直线√S n+1x +√S n y =1与两坐标轴围成的三角形的面积为T n ，则T 1+T 2+T 3+...+T 2159的值为__________． 【答案】21592160【解析】解：由2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)可得， √S n+2−√S n+1=√S n+1−√S n ，则{√S n }为等差数列， 又 S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，∵√S n 为等差数列，∴a 1=d2，又a 4=72，a 4=a 1+3d ， 则a 4=a 1+3d =d2+3d =72d =72， 故d =1，S n =n 22，√S n =√n 22,√S n ⋅S n+1=√n 22⋅(n+1)22=n⋅(n+1)2，因直线√S n+1x +√S n y =1， 当x =0时，y =S ， 当y =0时，x =S ，T n=2S√S =12⋅1n⋅(n+1)2=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，T1+T2+T3+⋯+T2159=1−12+12−13+13−14+⋯+12159−12160=1−12160=21592160．12.若动点P在直线a：x−2y−2=0上，动点Q在直线b：x−2y−6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，则x02+y02的取值范围为________．【答案】[165,16]【解析】解：由题意知，直线a：x−2y−2=0与直线b：x−2y−6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x−2y−4=0．因为线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，所以点M(x0,y0)在圆(x−2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得{x−2y−4=0,(x−2)2+(y+1)2=5,解得A(4,0)，B(0,−2)．因为x02+y02=|OM|2，x02+y02表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x02+y02的最小值为(()22=165，当M与A重合时，x02+y02取得最大值，且最大值为42+02=16，即x02+y02的最大值为16，所以x02+y02的取值范围是[165,16]．13.已知直线l：恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为______．【答案】4√5【解析】解：直线l：，即为，可得时，，即直线l恒过定点，取BC的中点M，连接AM，OM，OB，圆O：的半径，设，则，由，可得， 由，可得，设，则，再由cosα⩽1，即，，解得5⩽a 2⩽20，即√5⩽a ⩽2√5，可得a 的最大值为2√5，此时A ，M ，O 三点共线， 则弦长BC 的最大值为4√5， 故答案为：4√5．三、解答题14. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.求证：直线l 经过定点． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则{c =11b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 1,x 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +t, 消去y 得：(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0，由韦达定理得： x 1+x 2=−4kt2k 2+1，x 1x 2=2t 2−22k 2+1，……① ∵A(0,1)，P(x 1,y 1)， ∴直线AP 的方程为：y =y 1−1x 1x +1，∴M(−x 1y 1−1,0)，同理：N(−x 2y 2−1,0)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴x 1x 2y 1−1y 2−1=1，化简得x 1x 2−y 1y 2+(y 1+y 2)−1=0，∴(1−k 2)x 1x 2+(k −kt )(x 1+x 2)−t 2+2t −1=0， 将①代入并化简有：t 2+2t −3=0， ∴t =−3或t =1(舍)，∴直线l 的方程为：y =kx −3，经过定点(0,−3)．15. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP|=1，记动点C 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过G(2,0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG =6S △SHN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：(1)由题意可知，|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |=2|CP |+|AB |=4>|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 设曲线E 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,y ≠0)，则c =1，2a =4， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=3， 即曲线E 的方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；(2)∵HA ⊥x 轴，∴H (−1,32)，设S(0,y 0)，则−y 0−2=−323，∴y 0=1，即S(0,1)． ∵a =2c ，∴|SG |=2|SH |，∴S △SMGS △SHN=12|SM ||SG |sin∠MSG 12|SN ||SH |sin∠NSH =2|SM ||SN |=6，∴|SM ||SN |=3，即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3SN⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，SN⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)，∴x1=−3x2．①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0，此时|SM||SN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+1．联立{y=kx+1x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，∴{x1+x2=−8k3+4k2x1x2=−83+4k2，将x1=−3x2代入得：{−2x2=−8k3+4k2−3x22=−83+4k2,∴3(4k3+4k2)2=83+4k2，解得：k=±√62，故直线MN的方程为y=√62x+1或y=−√62x+1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行．(1)求直线l的斜率；(2)已知圆C：x2+y2−4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(3)在(2)的圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行，∴直线l的斜率k=k AB=2−01−(−1)=1．(2)∵圆C：x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，圆心C(2,0)，半径为2，由(1)知直线l的斜率k=1，设直线l的方程为x−y−m=0，则圆心C到直线l的距离d=√2=√2，∵MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，∴4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y+4=0．(3)假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，整理，得x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，∵|2−2| <√(2−0)2+(0−1)2<2+2，∴圆(x −2)2+y 2=4与圆x 2+(y −1)2=4相交，∴点P 的个数为2．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2,4)，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．(1)若直线l 与y 轴交于D ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16，求直线l 的方程； (2)设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1+k 2的值；(3)设AB 的中点为M ，点N(43,0)，若MN =√133OM ，求△QAB 的面积． 【答案】解：(1)若直线l 垂直于x 轴，则其方程为x =2，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为：y −4=k(x −2)，即：kx −y −2k +4=0， 则圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以d =√k 2+1<2，解得k >34． 又D(0,−2k +4)，Q(2,0)，所以DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k −4)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k)， 所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2k(2k −4)=16， 解得k =3或k =−1(舍去)，所以直线l 的方程为：y =3x −2；(2)由题意可知，联立{y −4=k(x −2),x 2+y 2=4,, 得(1+k 2)x 2−4k(k −2)x +(2k −4)2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k(k−2)1+k 2,x 1·x 2=(2k−4)2−41+k 2,,所以k 1+k 2=y 1x 1−2+y2x 2−2 =k(x 1−2)+4x 1−2+k(x 2−2)+4x 2−2=2k +4x 1−2+4x 2−2 =2k +4(x 1+x 2−4)x 1x 2−2×(x 1+x 2)+4=2k +4×[4k(k −2)1+k 2−4](2k −4)2−41+k 2−2×4k(k −2)1+k 2+4 =2k −4×(8k +4)16 =2k −2k −1=−1．即k 1+k 2的值是−1；(3)设中点M(x 0,y 0)，则由(2)知{x 0=x 1+x 22=2k(k−2)1+k 2,y 0=k(x 0−2)+4=−2(k−2)1+k 2,(∗) 又由MN =√133OM ，得(x 0−43)2+y 02=139(x 02+y 02)， 化简得：x 02+y 02+6x 0−4=0， 将(∗)代入上式并解得：k =3． 因为圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1=10， 所以AB =2√4−d 2=65√10，Q 到直线l 的距离：ℎ=25√10， 所以S △ABQ =12AB ·ℎ=125，即△QAB 的面积为125．。
2021年山西省名校高考数学押题试卷(文科)(三模)(附答案详解)
2021年山西省名校高考数学押题试卷（文科）（三模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−2,−1,0，1}，B={x|x2+3x−4<0}，则A∩B=()A. {−2,−1,0}B. {−2,−1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0，1}2.已知复数z满足(√3+3i)z=3i，则z=()A. 32−√32i B. 34−√34i C. 32+√32i D. 34+√34i3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是等边三角形，则离心率为()A. √22B. 13C. √33D. 344.现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为()A. 6√3πB. 8√3πC. 8πD. 4√2π5.已知△ABC的重心为O，则向量BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 23AB−+13AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC−D. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗6.某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如表：第x天12345使用人数(y)151734578421333由表中数据可得y关于x的回归方程为ŷ=55x2+m，则据此回归模型相应于点(2,173)的残差为()A. −5B. −6C. 3D. 27.已知a∈R，设函数f(x)=ax−lnx+1的图象在点(1,f(1))处的切线为l，则l过定点()A. (0,2)B. (1,0)C. (1,a+1)D. (e,1)8.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(2π3−x)=f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ=()A. π3 B. −π3 C. π6 D. −π69. 如图，三棱锥P −ABC 的四个面都为直角三角形，PA ⊥平面ABC ，PA =√2，AC =BC =1，三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，现在球O 内任取一点，则该点取自三棱锥P −ABC 内的概率为( )A. √224π B. √216π C. √212π D. √28π10. 已知点A(1,m)，B(2,n)是角α的终边上的两点，若m −n =13，则sin2α−cos 2α1+cos2α的值为( )A. −53B. −56C. −16D. −3211. 已知函数f(x)=cosx −√x,g(x)=lnx ，用max{a,b}表示a ，b 中的最大值，则函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x >0)的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ，且U =k 0q 2(1R +1R+x1−x 2−1R+x 1−1R−x 2)，其中k 0为静电常量，x 1，x 2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且x 1⋅x 2的绝对值远小于R.当x 的值接近于0时，在近似计算中(1+x)−1≈1−x +x 2，则U 的近似值为( )A. −2k 0q 2x 1x 2R3 B. −k 0q 2x 1x 2R 3C. k 0q 2x 1x 2R 3D. 2k 0q 2x 1x 2R3 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={−x +4,x ≤0x 2,x >0，若f(m)=4，则m =______．14. 已知圆O 1：x 2+y 2=1和圆O 2：(x −4)2+y 2=4，过点P(x,y)分别作O 1，O 2的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，且|PA|=|PB|，则动点P 的轨迹方程为______． 15. 《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为______里．16. 高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形ABCD 为等腰梯形，且AB//CD ，BC =CD ，∠ABC =60°，AB 为圆O 的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O 大小确定，OC 最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O 的半径与BC 长度的比值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是递增等比数列，且a 3=4，a 2+a 4=10，S n 为等差数列{b n }的前n项和，且b 1=a 1，S 2=a 2+1． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =4,AA 1=3√2,M,N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点E 在侧棱A 1A 上，且A 1E =2EA ．(1)求证：平面MEB⊥平面BEN；(2)求三棱锥C−BEM的体积．19.我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%.新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间(0,25]，(25,50]，(50,75]，(75,100]内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包(每包1kg)，得分数据如图．(1)试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如表所示：等级一级二级三级四级售价(万元/吨) 2.2 1.8 1.6 1.4若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由．20.已知直线l：y=kx+2与抛物线C：x2=2py(p>0)相交于A，B两点，当k=1时，．在C上有且只有三个点到l的距离为5√24(1)求C的方程：(2)若点P在直线y=−2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点．21.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x0和x0+t(t>0)．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x0(t+2)<2．=1，以坐标原点为极点，x轴的非负22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y29半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2−8ρcosθ+15=0．(1)求曲线C1的参数方程与C2的直角坐标方程；(2)设点A，B分别为曲线C1与C2上的动点，求|AB|的取值范围．23.已知函数f(x)=|2x−m|+2|x+3m|．(1)若m=1，试求不等式f(x)≤8的解集；2(2)若f(x)≥7恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={−2,−1,0，1}，B={x|x2+3x−4<0}={x|−4<x<1}，∴A∩B={−2,−1,0}．故选：A．求出集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：z=√3+3i =3i(√3−3i)12=√3i+34=34+√34i．故选D．将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式．本题是基础题，注意变形后的化简：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi 的形式．3.【答案】C【解析】解：∵△F1AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．∴√3×b2a=2c，可得√3(a2−c2)=2ac，化为√3e2+2e−√3=0，0<e<1．解得e=√33．故选：C．△F1AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．√3×b2a=2c，化简解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r ，因为圆锥的高为ℎ=2， 体积为13π⋅r 2⋅2=π⋅22⋅2，解得r =2√3； 所以圆锥的母线长为l =√r 2+ℎ2=√12+4=4， 如图所示：所以圆锥侧面积为S 侧=πrl =π×2√3×4=8√3π. 故选：B ．求出圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，即可计算圆锥侧面积．本题考查了圆锥的侧面积与体积的计算问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：取AC 中点D ，连接OD ， ∵O △ABC 的重心，∴B 、O 、D 三点共线， 由重心特点得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．由△ABC 的重心为O ，为三条中线交点，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0A ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，取AC 中点D ，得BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0A ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )可求解． 本题考查平面向量基本定理、三角形重心，考查数学运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：令t =x 2，则y ̂=55t +m ， 由题意可得，t −=1+4+9+16+255=11，y −=15+173+457+842+13335=564，则样本中心为(11,564)， 故y ̂=55t +m 经过点(11,564)，所以564=55×11+m ，解得m =−41， 则y ̂=55x 2−41，当x =2时，y ̂=55×22−41=179， 所以残差为173−179=−6． 故选：B ．先计算出m 的值，然后求出估计值，最后计算残差即可．本题考查了线性回归方程的理解和应用，残差定义的理解，解题的关键是掌握回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：函数f(x)=ax −lnx +1的导数为f′(x)=a −1x ， 可得图象在点(1,f(1))处的切线斜率为a −1， 且f(1)=a +1，则切线l 的方程为y −a −1=(a −1)(x −1)， 即ax −(x +y −2)=0， ∴l 过点(0,2)． 故选：A ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，再求出f(1)，由点斜式方程可得切线的方程，再结合直线系方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查直线系方程的运用，以及运算能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(2π3−x)=f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=π3对称，结合图象，5π6−π3=12×2πω，∴ω=2．结合五点法作图可得，2×π3+φ=π2，∴φ=−π6，故选：D．由题意可得，函数f(x)的图象关于直线x=π3对称，结合图象，利用由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意知PB的中点是球的球心O，∵AC=BC=1，∴AB=√2，∵PA=√2，∴PB=2，即PO=1，即球的半径R=1，球的体积V=43π×13=4π3，三棱锥P−ABC的体积为13×S△ABC⋅PA=13×12×1×1×√2=√26，则在球O内任取一点，则该点取自三棱锥P−ABC内的概率P=√264π3=√28π，故选：D．根据条件求出球的体积和三棱锥的体积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出球的体积是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】B【解析】解：点A(1,m)，B(2,n)是角α的终边上的两点，m−n=13所以tanα=n−m2−1=−13，所以sin2α−cos2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2αsin2α+cos2α+cos2α−sin2α=2tanα−12=−56．故选：B．直接利用同角三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，同角三角函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：分三种情况：①当x>1时，g(x)=lnx>0，所以ℎ(x)≥g(x)>0，故ℎ(x)无零点，②当x=1时，f(1)=cos1−1<0，g(1)=0，所以ℎ(1)=0，所以x=1是ℎ(x)的零点，③当0<x<1时，g(x)=lnx<0，所以f(x)的零点就是ℎ(x)的零点，所以f(x)=cosx−√x在(0,1)上单调递减，且f(0)=1>0，f(1)=cos1−1<0，所以f(x)在(0,1)内有唯一零点，即g(x)在(0,1)内有唯一零点，综上所述，函数ℎ(x)在x>0时有2个零点，故选：C．分三种情况：①当x>1时，②当x=1时，③当0<x<1时，讨论可得结果．本题考查函数的零点，最值，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得，U=k0q2(1R+1R+x1−x2−1R+x1−1R−x2)=k0p2R (1+11+x1−x2R−11+x1R−11−x2R)=k0p2R [1+(1−x1−x2R+(x1−x2)2R2)−(1−x1r+x12R2)−(1+x2R+x22R2)]−(1+x2R+x22R2)]=k0R [−x1−x2R+(x1−x2)2R2+x1R−x12R2−x2R−x22R2]=−2k 0q 2x 1x 2R 3．故选：A ．根据题意，由题中给出的公式进行变形分析，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，涉及了因式的变形化简，注意题目中公式的运用，属于中档题．13.【答案】0或2【解析】解：根据题意，函数f(x)={−x +4,x ≤0x 2,x >0，当m ≤0时，f(m)=−m +4=4，解可得m =0， 当m >0时，f(m)=m 2=4，解可得m =2或−2(舍)， 综合可得：m =0或2； 故答案为：0或2．根据题意，由函数的解析式，分析m ≤0与m >0两种情况讨论，求出m 的值，综合可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的应用，属于基础题．14.【答案】x =138【解析】解：因为|PA|2=|PO 1|2−|AO 1|2=x 2+y 2−1，|PB|2=|PO 2|2−|BO 2|2=(x −4)2+y 2−4，所以x²+y²−1=(x −4)²+y²−4，整理得x =138，即为P 点的轨迹方程．故答案为：x =138．利用P 点坐标分别表示|PA|，|PB|的长度，代入|PA|=|PB|化简求值． 本题考查圆的切线长，属于基础题．15.【答案】1146【解析】解：根据题意，良马的每日行程构成一个等差数列{a n }，且首项为a 1=193，公差d 1=13，令{a n }的前n 项和为S n ，则S8=8×193+8×72×13=1908，驽马的行程也构成一个等差数列{b n}，且首项为b1=97，公差为d2=−0.5，令{b n}的前n项和为T n，则T8=8×97+8×72×(−0.5)=762，所以S8−T8=1908−762=1146，即8天后两马之间的距离为1146里．故答案为：1146．根据题意可得良马的每日行程构成一个等差数列{a n}，且首项为a1=193，公差d1=13；驽马的行程也构成一个等差数列{b n}，且首项为b1=97，公差为d2=−0.5，从而分别计算出{a n}与{b n}的前8项和再相减即可得到8天后两马之间的距离．本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．16.【答案】√2【解析】解：过O作OE⊥DC于E，交AB于点F，过C作AB的垂线，垂足为G，设∠ABO=θ，θ∈(0,π2)，OB=r，∴BF=rcosθ，OF=rsinθ，∵BC=CD，∠ABC=60°，∴BF=rcosθ=BG+FG=1 2BC+12DC=BC，∴EF=√32BC=√32rcosθ，∴OC=√EC2+OE2=√14r2+(√32rcosθ+rsinθ)2=√r2+√3r2sinθcosθ=√r2+√32r2sin2θ．∴当sin2θ=1，即θ=π4时，|OC|min=√(2+√3)r22．此时BF=BC=rcosθ=√22r，则圆O的半径与BC长度的比值为r√22r=√2．故答案为：√2．过O作OE⊥DC于E，交AB于点F，过C作AB的垂线，垂足为G，设∠ABO=θ，θ∈(0,π2)，OB=r，得到EF=√32BC=√32rcosθ，OC=√r2+√3r2sinθcosθ=√r2+√32r2sin2θ，故当θ=π4时，|OC|最长，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4>0且数列{a n }是递增等比数列， ∴公比q >1，由a 3=4，a 2+a 4=10， 可得{a 1q 2=4a 1q +a 1q 3=10，解得{a 1=1q =2，∴a n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗， 设等差数列{b n }的公差为d ， 则b 1=a 1=1，由S 2=a 2+1，可得b 1+b 2=2+1=3， 即2b 1+d =3，解得d =1，∴b n =1+(n −1)×1=n ，n ∈N ∗． (2)由(1)，可得c n =a n b n =n ⋅2n−1，∴T n =1+2×2+3×22+4×23+⋯+(n −1)⋅2n−2+n ⋅2n−1，① 2T n =2+2×22+3×23+4×24+⋯+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n .② ①−②，得−T n =1+2+22+23+24+⋯+2n−1−n ⋅2n =1−2n 1−2−n ⋅2n=(1−n)⋅2n −1， ∴T n =(n −1)⋅2n +1．【解析】(1)根据题意设等比数列{a n }的公比为q ，再判别出公比q >1，然后根据已知条件列出首项a 1与公比q 的方程组，解出a 1与q 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；设等差数列{b n }的公差为d ，再根据已知条件分别计算出首项b 1与公差d 的值，即可得到数列{b n }的通项公式．(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，再运用错位相减法计算出前n 项和T n ．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用错位相减法计算前n 项和．考查了方程思想，转化与化归，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，∴AA1⊥BN．∵N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，∴BN⊥AC．∵AA1∩AC=A，∴BN⊥平面AA1C1C，∵ME⊂平面AA1C1C，∴BN⊥ME．又∵AB=4,AA1=3√2,A1E=2EA，∴EA=√2,A1E=2√2，∴A1EA1M =ANAE=√2.∴△A1EM～△ANE，∴∠A1EM=∠ANE，∴∠A1EM+∠AEN=∠ANE+∠AEN=90°，∴∠MEN=90°，∴EN⊥ME．又∵EN∩BN=N，∴ME⊥平面BEN，∵ME⊂平面MEB，∴平面MEB⊥平面BEN．(2)∵S△MCE=S矩形ACC1A1−S△ACE−S△A1EM−S△MCC1=4×3√2−12×4×√2−12×2√2×2−12×2×3√2=5√2，∴三棱锥C−BEM的体积为：V C−BEM=V M−BCE=13×BN×S△MCE=13×2√3×5√2=10√63．【解析】(1)推导出AA1⊥BN，BN⊥AC，从而BN⊥平面AA1C1C，BN⊥ME.推导出△A1EM～△ANE，从而EN⊥ME.进而ME⊥平面BEN，由此能证明平面MEB⊥平面BEN．(2)S△MCE=S矩形ACC1A1−S△ACE−S△A1EM−S△MCC1，由V C−BEM=V M−BCE，能求出三棱锥C−BEM的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)得分在(0,25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为110；得分在(25,50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为310；得分在(50,75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为720；得分在(75,100]内的有76，79，83，85，92，共5个， 所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例14． (2)解答一：选用方案2，理由如下： 方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 设方案2的彩棉售价平均值为x −万元/吨，则x −=2.2×14+1.8×720+1.6×310+1.4×110=1.8． 因为x −=1.8>1.79，所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2． 解答二：选用方案1，理由如下：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 设方案2的彩棉售价平均值为x −．则x −=2.2×14+1.8×720+1.6×310+1.4×110=1.8， 因为x −=1.8>1.79，但1.8−1.79=0.01(万元)差别较小．所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．【解析】(1)根据茎叶图可分别求出答案；(2)分别讨论出两方案的平均单价，即可判断选择哪种方案． 本题考查频率分布直方图，茎叶图的识别，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意可知斜率为1的某直线与抛物线C 相切且切点到直线y =x +2的距离为5√24． ∵y =x 22p，∴y′=xp =1，因此，切点坐标为(p,p2) ∴|p−p2+2|√2=5√24，∴p =1，或p =−9(舍去)，所以C 的方程为x 2=2y ．(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则P(x 2,−2)，由{x 2=2y y =kx +2，得x 2−2kx −4=0，∴△>0，且x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4， ∴kx 1x 2=−2(x 1+x 2). 又直AP 的方程为y +2=y 1+2x 1−x 2(x −x 2)，令x =0，得y +2=x 2(y 1+2)x 2−x 1．∵y 1=kx 1+2，∴y +2=x 2(kx 1+4)x 2−x 1=−2(x 1+x 2)+4x 2x 2−x 1=2，∴y =0．故直线AP 恒过定点(0,0)．【解析】(1)求出函数的导数，求出切点坐标，利用点到直线的距离转化求解抛物线方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则P(x 2,−2)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线系方程，得到定点坐标．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x −a ．①当a ≤0时，f′(x)≥e x >0，所以f(x)在R 上单调递增， 故f(x)至多有一个零点，不符合题意；②当a >0时，令f′(x)<0，得x <lna ；令f′(x)>0，得x >lna ． 故f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(lna)=a −alna =a(1−lna)．(i)若0<a ≤e ，则f(x)min =a(1−lna)≥0，故f(x)至多有一个零点，不符合题意； (ii)若a >e ，则lna >1，f(x)min =a(1−lna)<0． 由(i)知e x −ex ≥0，∴e lna −lna =a −elna ≥0．∴a −2lna >a −elna ≥0，f(2lna)=a 2−2alna =a(a −2lna)>0，又∵f(0)=1>0，0<lna <2lna ，故f(x)存在两个零点，分别在(0,lna)，(lna,2lna)内．综上，实数a 的取值范围为(e,+∞)． (2)证明：由题意，得{e x 0=ax 0e x 0+t =a(x 0+t)，两式相除得e t =x 0+t x 0，变形得x 0=te t −1，要证x 0(t +2)<2，即证t(t+2)e t −1<2，即证t 2+2t+2e t<2．记ℎ(t)=t 2+2t+2e t(t >0)，则ℎ′(t)=(2t+2)e t −(t 2+2t+2)e te 2t=−t 2e t<0，故ℎ(t)在(0,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(0)=2， 即t 2+2t+2e′<2，所以x 0(t +2)<2．【解析】(1)对f(x)求导，分a ≤0和a >0两种情况，结合f(x)=e x −ax 有两个零点x 0和x 0+t ，求出a 的取值范围；(2)根据条件，可知要证x 0(t +2)<2，即证t 2+2t+2e t<2，记ℎ(t)=t 2+2t+2e t(t >0)，判断ℎ(t)的单调性，求出ℎ(t)的范围，进一步得到x 0(t +2)<2成立．本题考查了根据函数的零点求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1：x 2+y 29=1，转换为参数方程为{x =cosαy =3sinα(α为参数)；由x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程为 x 2+y 2−8x +15=0， 整理得(x −4)2+y 2=1．(2)由(1)可知C 2(4,0)，设A(cosθ,3sinθ)，则|AC 2|2=(cosθ−4)2+9sin 2θ=−8(cosθ+12)2+27． ∵−1≤cosθ≤1， ∴9≤|AC 2|2≤27， ∴3≤|AC 2|≤3√3， ∴2≤|AB|≤3√3+1，故|AB|的取值范围是[2,3√3+1]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用两点间的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当m =12时，f(x)=|2x −12|+|2x +3|，即f(x)={−4x −52,x ≤−3272,−32<x ≤144x +52,x >14， 所以f(x)≤8可化为{−4x −52≤8x ≤−32，或{72≤8−32<x <14，或{4x +52≤8x >14， 解得−218≤x ≤−32，或−32<x ≤14，或14<x ≤118，所以不等式f(x)≤8的解集为{x|−218≤x ≤118}．(2)因为|f(x)=2x −m|+2|x +3m|≥|(2x −m)−(2x +6m)|=|7m|，当且仅当(2x−m)(2x+6m)≤0时取等号，∴f(x)min=|7m|，又∵f(x)≥7恒成立，∴|7m|≥7，解得m≤−1或m≥1，所以m的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)．，去掉绝对值符号，转化为分段函数，分段求解不等式f(x)≤8，【解析】(1)若m=12最后取并即可；(2)利用绝对值不等式可得f(x)min=|7m|，依题意，解不等式|7m|≥7可得实数m的取值范围．本题考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题．。
2021年山西省太原市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2021年山西省太原市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每题5分，共60分.1．已知复数z满足，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{2，3}D．{﹣1，2，3} 3．设m∈R，则“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A．﹣1B．0C．1D．25．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β6．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（）A．B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D．正八边形ABCDEFGH的面积为7．已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．执行如图所示的程序框图，若N＝2021，则输出的p＝（）A．B．C．D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．3D．210．已知锐角α，β满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．11．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．12．已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．C．D．[﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 80457424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为．14．若命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是．15．已知实数x，y满足，则的取值范围是．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝e x﹣x，若存在实数m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则实数m﹣n ＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．附：；．18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2的浓度空气质量等级1（优）28622（良）578 3（轻度污染）3894（中度污染）11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，SO2的浓度[0，150]（150，475]空气质量空气质量好空气质量不好（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，当三棱锥O1﹣APO2体积最大时，求点B到平面APO1的距离．20．已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，其离心率，求椭圆C的标准方程．21．已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f（x）＝有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）解：∵＝，∴在复平面内与复数z对应的点的坐标为（1，1），故选：B．2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{2，3}D．{﹣1，2，3}解：由题意可得：A∩B＝{0，1}，∴阴影部分表示的集合为：{2，3}，故选：C．3．设m∈R，则“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：解二次不等式m2＞1，得m＜﹣1或m＞1，∴“m＞1”是“m2＞1”的充分不必要条件，故选：A．4．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A．﹣1B．0C．1D．2解：，，即样本点的中心坐标为（3，10），代入，可得10＝，解得，∴线性回归方程为，取x＝5，得，∴此回归模型第5周的残差为15﹣16＝﹣1．故选：A．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β解：若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故B错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故D正确．故选：D．6．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（）A．B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D．正八边形ABCDEFGH的面积为解：如图所示：对于A：，故A正确；对于B：以射线OF为终边的角的集合可以表示，故B正确；对于C：在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为，故C正确；对于D：正八边形ABCDEFGH的面积为，故D错误．故选：D．7．已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵3×2a﹣2b+1＝0，∴3×2a＝2b+1，∵3×2a＞2×2a＝2a+1，∴2b+1＞2a+1，∴b＞a，又∵≥c+1，∴a＞c，故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若N＝2021，则输出的p＝（）A．B．C．D．解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出p＝1+（）1+（）2+....+（）2021的值，由于p＝1+（）1+（）2+....+（）2021＝1+＝2﹣．故选：C．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．3D．2解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为3的直棱柱ABC﹣DEF，切去一个四棱锥体C﹣ABGH；如图所示：所以＝．故选：A．10．已知锐角α，β满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．解：因为锐角α，β满足，所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ，则x+y＝，由题意得x＞0，y＞0，则＝＝2（x+y）（）＝2（2+）＝8，当且仅当x＝y时取等号，此时的最小值8．故选：C．11．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．解：设S△ABC＝S1，，棱台的高为h，由已知，得，得，，则，∴三棱台ABC﹣A1B1C1的体积V＝＝＝．故选：B．12．已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．C．D．[﹣1，+∞）解：∵双曲线，∴a2＝4，b2＝5，c2＝a2+b2＝5+4＝9，即a＝2，b＝，c＝3，∵双曲线与过原点的直线l都关于原点对称，∴|FA|＝|F2B|，∵由双曲线的定义，可知|FB|﹣|F2B|＝2a＝4，∴|FA|＝|FB|﹣4，设|FB|＝d，d≥a+c＝5，∴＝，设f（d）＝，d≥5，求导可得f'（d）＝，∴f（d）在[5，6）单调递减，在（6，+∞）单调递增，，又∵当d趋近于正无穷时，f（d）趋近于0，∴f（d）的取值范围为[﹣1，0），则的取值是[﹣1，0）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 80457424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为0.6．解：根据题意，在20组随机数中，表示至少击中3次目标的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636；共12个，则该运动员射击4次至少击中3次目标的概率P＝＝0.6；故答案为：0.6．14．若命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．解：∵命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，∴△＝a2﹣4＞0，∴a＞2或a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．15．已知实数x，y满足，则的取值范围是[﹣1，3]．解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A（2，1），B（1，3），则t＝∈[，3]，∴＝，可知当t＝1时，有最小值﹣1；当t＝3时，有最大值3．∴的取值范围是[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝e x﹣x，若存在实数m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则实数m﹣n＝1．解：∵f（x）＝lnx﹣x，∴f'（x）＝（x＞0），令f'（x）＝0，则x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在x＝1上取得极大值点，也为最大值点，即f（x）max＝f（1）＝﹣1，∵g（x）＝e x﹣x，∴g'（x）＝e x﹣1，令g'（x）＝0，则x＝0，当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在x＝0上取得极小值点，也为最大值点，即g（x）min＝g（0）＝1，∴任取m，n都有f（m）﹣g（n）≤f（1）﹣g（0）＝﹣2，∴若要使f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则必有m＝1，n＝0，∴m﹣n＝1．故答案为：1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．附：；．【解答】（Ⅰ）由题意知：∠BPC＝β﹣γ＝600﹣450＝150，∠PBC＝180°﹣β＝1200，所以∠PCB＝180°﹣150﹣1200＝450．在△PCB中，由正弦定理得：，＝，即PB＝m．（Ⅱ）在△PAB中，∠PAB＝α＝300，∠ABP＝β＝600，所以∠APB＝90°，所以AB＝2PB＝464，所以DE＝AB﹣AD﹣BE＝464﹣100﹣34＝330m．18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2的浓度空气质量等级1（优）28622（良）578 3（轻度污染）3894（中度污染）11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，[0，150]（150，475] SO2的浓度空气质量空气质量好空气质量不好（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828解：（1）由表格可得，该市100天中空气质量为1的有28+6+2＝36天，空气质量为2的有5+7+8＝20天，空气质量为3的有3+8+9＝20天，空气质量为4的有1+12+11＝24，则该市一天的空气质量等级为1的概率为，该市一天的空气质量等级为2的概率为，该市一天的空气质量等级为3的概率为该市一天的空气质量等级为4的概率为．（2）由表格数据，可得列联表如下：[0，150]（150，475] SO2的浓度空气质量空气质量好4610空气质量不好2420（3）由（2）可得，∴有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关．19．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，当三棱锥O1﹣APO2体积最大时，求点B到平面APO1的距离．解：（Ⅰ）证明：由题意可得O1O2⊥平面PAB，所以O1O2⊥PA，因为AO2为直径，所以AP⊥PO2，因为PO2∩O1O2＝O2，所以AP⊥平面PO1O2，又AP⊂平面APO1，所以平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）由题意可得，当AP＝PO2时，三棱锥O1﹣APO2的体积最大，设点O2到平面APO1的距离为d，由（Ⅰ）可得AP⊥PO2，AP⊥平面PO1O2，因为AB＝2，所以AO2＝O1O2＝1，AP＝PO2＝，V＝V ，即S•O1O2＝S•d，所以d ＝＝＝＝＝，所以B到平面APO1的距离为．20．已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，其离心率，求椭圆C的标准方程．解：（Ⅰ）由题意可知点A与点B分别在直线y＝x和y＝﹣x上，不妨设A（m，m）（m＞0），则S△AOB＝m2＝16，所以m＝4，所以A（4，4），因为点A在抛物线y2＝2px上，所以p＝2，所以此抛物线的方程为y2＝4x，焦点F的坐标为（1，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ），得F（1，0），直线l的方程为x＝y+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由，得y2﹣2y﹣4＝0，所以y1+y2＝2，所以y0＝1，x0＝，所以M（，1），由题意可设椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），由，解得，所以椭圆C的标准方程为+＝1．21．已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2，∴f′（x）＝﹣（x＞0），∵f′（2）＝，∴a＝1，∴f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜，令f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），由x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，得f（x1）＝f（x2）＝m，且0＜x1＜＜x2，∴x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））＝，令，x＞，∵，令t1′（x）＞0，得＜x＜2，令t1′（x）＜0，得x＞2，∴t1（x）在（，2]上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，∴t1（x）≤t1（2）＝2ln2；令，0＜x＜，∵，令t2′（x）＞0，得0＜x＜1，令t2′（x）＜0，得1＜x ＜，∴t2（x）在（0，1）上单调递增，在[1，）上单调递减，∴，∴x2﹣x1﹣+4m≤＜0，∴x2﹣x1＜﹣4m．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB 面积的最大值．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅱ）点A的极坐标为，设点B（ρ，α）（），则＝＝，当时，三角形的面积取得最大值2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f（x）＝有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．解：（1）当m＝2时，不等式f（x）＝f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，当x＜时，﹣（2x+1）﹣（1﹣2x）＜2，解得x＜，当时，2x+1﹣（1﹣2x）＜2，解得，当时，2x+1﹣（2x﹣1）＜2，无解，综上所述，原不等式f（x）＜2的解集为{x|x}．（2）设h（x）＝，则h（x）的图象对称轴为x＝，开口向下的抛物线，∵有最小值，∴m＞2时，当x＜﹣时，f（x）无最小值，即0＜m≤2，∵f（）＝，∴，∴，∴1＜m≤2．。
高考满分数学压轴题26 创新型问题(可编辑可打印)
【方法综述】创新型问题主要包括：（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）. （Ⅱ）创新性问题①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.【解题策略】类型一 实际应用问题【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c 且a 、b 、c ∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．乙和丙都有可能【答案】B 【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数,,a b c 的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果. 【详解】根据题中所给的五人的得分，可知5()40a b c ++=，所以有8a b c ++=，又因为a b c >>，且,,a b c N *∈，所以,,a b c 的值为5,2,1或4,3,1，创新型问题又因为乙投弹获得了第一名，且得分为9分，所以4,3,1不合题意， 所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名， 因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.【例2】某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.【来源】数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月22日） 【答案】3【解析】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，23CD =67.5CAD ∴∠=，则23AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，2CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得32sin 6023sin 4522CE BC ===在ABC 中，23AC =3BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【举一反三】1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）A ． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b ，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.【答案】70 40 【解析】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a +b ≥51， （1）若51≤a +b ≤100，则11 （a +b ）＝990得：a +b ＝90，① 由共需支付门票费为1290元可知，11a +13b ＝1290 ② 解①②得：b ＝150，a ＝﹣60，不符合题意．（2）若a +b ≥100，则9 （a +b ）＝990，得 a +b ＝110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290 ④， 解③④得：a ＝70人，b ＝40人， 故答案为：70，40．【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型． 类型二 创新性问题【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】试题分析：将(1,1)y x --带入221x y +=，化简得1x y +=，显然不行，故集合A 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入1y x =-，即111x y -=--，整理得1x y +=，显然不行，故集合B 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入11x y -+=，即1111y x --+-=，化简得11x y -+=，故集合C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称，故选B.【例4】对于向量(1,2,...,)i PA i n =，把能够使得12...n PA PA PA +++取到最小值的点P 称为(1,2,...,)i A i n =的“平衡点”.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD CD 、于,F G 两点.下列的结论中，正确的是（ ）A ．A C 、的“平衡点”为O .B ．DC E 、、的“平衡点”为DE 、的中点. C ．AFG E 、、、的“平衡点”存在且唯一. D ．A B E D 、、、的“平衡点”必为F 【答案】D【解析】对A ，A 、C 的“平衡点”为线段上的任意一点，故A 错误；对B ，D 、C 、E 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为120︒的点，故B 错误； 对C ，A 、F 、G 、E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；对D ，因为矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点，所以A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．故选：D ． 【举一反三】1．对任一实数序列()123,,,A a a a =，定义序列()213243,,,A a a a a a a ∆=---，它的第n 项为1n n a a +-.假定序列()A ∆∆的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（ ） A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006【来源】湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题 【答案】D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列,设其首项为a ,通项为n b ， 则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==⎡⎤-++---⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑由于1820170a a ==,即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩,解得11016,17136a a =-=.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选：D2.（2020兰州高三联考）若数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( ) A ．个 B ．个C ．个D ．个【答案】C 【解析】 令，则，所以数列是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”； 令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则 ，所以数列是“数列”．综上，“数列”的个数为． 本题选择C 选项.3．（2020·河南高考模拟）在实数集R 中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意；（2）对任意；（3）对任意.关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3； ②函数为奇函数； ③函数的单调递增区间为.其中所有正确说法的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】试题分析：在（3）中，令，可得，则，易知函数是非奇非偶函数，故②错；又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又，由可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中运算.利用新定义将运算转化为常规运算.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.【强化训练】一、选择题1．对于n ，*k ∈N ，若正整数组()12,,,k F a a a 满足12k a a a ≤≤≤，12k a a a n +++=，则称F为n 的一个拆，设F 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为()S n ，()T n ，则（ ） A ．存在2021n ≥，使得()0S n = B ．不存在2021n ≥，使得()0T n = C ．存在2021n ≥，使得()()S n T n =D ．不存在2021n ≥，使得()()S n T n <【来源】浙江省宁波市宁海中学2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题 【答案】D【解析】对于任意的2021n ≥，至少存在一个全为1的拆分，故A 错误； 当n 为奇数时，()0T n =，故B 错误； 当n 为偶数时，()12,,,k a a a 是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了()1,1,,1和()121,1,,1,1,,1k a a a ---的均为奇数的拆，当2n =时，偶数拆为()2，奇数拆为()1,1，()()221S T ==； 当4n =时，偶数拆为()2,2，()4，奇数拆为()1,1,1,1，()1,3；n≥时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故故当6()()>，故C错误，D正确.S n T n故选：D2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令，则，解得．故选B．3．（2020·福建高考模拟）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：设数列{}的前n项和为，则由题意可得，∴，，∴，∴．4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ） A ．3972 B ．3974 C ．3991 D ．3993【答案】D 【解析】【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n 次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果． 【详解】第1此染色的数为1=11⨯ ，共染色1个， 第2次染色的最后一个数为6=23⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为15=35⨯，共染色5个， 第4次染色的最后一个数为28=47⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为45=59⨯，共染色9个， …∴第n 次染色的最后一个数为n 2n 1⨯-（），共染色2n-1个， 经过n 次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n 2个， 而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯，且相邻两个数相差2， ∴2019＝458912⨯-＝3993．故选D ．6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155≈）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【解析】【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则1255414,...4()77nn a a a =⨯=⨯=⨯，，. 1251()57...414(1())5717nn n a a a -+++=⨯=⨯--. 令1251()57...414(1())135717nn n a a a -+++=⨯=⨯-≤-，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个. 应选B.7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．415B ．730C ．15D ．16【答案】C 【解析】【分析】分别求出事件A 与事件B 的基本事件的个数，用()|P B A =()AB P P A （）计算结果.【详解】由题意知，事件A 共有4454C A =120个基本事件，事件B ：“局部等差”数列共有以下24个基本事件， （1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个. 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个， 含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个， 含5，3，1的也有上述4个，共24个，()24|120P B A ∴==15.故选C. 8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( ) A ．4 B ．3C ．8D ．6【答案】D 【解析】根据已知中的点E ，F 的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G ，G 在DA 上，且DG ，第三次碰撞点为H ，H 在DC 上，且DH ，第四次碰撞点为M ，M 在CB 上，且CM，第五次碰撞点为N ，N 在DA 上，且AN ，第六次回到E 点，AE ．故需要碰撞6次即可． 故选：D ．9．几何中常用表示L 的测度，当L 为曲线、平面图形和空间几何体时，L 分别对应其长度、面积和体积．在ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，P 为ABC 内部一动点（含边界），在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则L 等于（ ） A ．612π+B ．2263π+ C ．20123π+ D ．22123π+ 【来源】专题4.3 立体几何的动态问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题 【答案】D【解析】空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面ABC 的角度看，如下图所示：其中：BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为,,C B A ；ABC 区域内的几何体是高为2的直三棱柱. 四边形BCDF 和ACEI 为矩形，2DCB ECA π∴∠=∠=，2DCE ACB ACB πππ∴∠=--∠=-∠，同理可得：FBG ABC π∠=-∠，HAI CAB π∠=-∠，()332DCE FBG HAI ACB ABC CAB ππππ∴∠+∠+∠=-∠+∠+∠=-=，∴CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，则CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体的体积之和3144133V ππ=⨯=； 又BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体的体积之和()221134562V ππ=⨯⨯++=；ABC 区域内的直三棱柱体积31342122V =⨯⨯⨯=，4226121233L πππ∴=++=+.故选：D.10．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A 5B ．12C 25D ．2【来源】热点08 立体几何-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用） 【答案】D【解析】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AA BB CC DD 交于,,,,M N P Q 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=， 1BN ∴=在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP 交1BB 于H ， 则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠, 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===. 故选：D. 二、填空题11.（2020安徽省宣城市二调）数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.【答案】【解析】解：由＝2n，得a 1+2a 2+…+2n ﹣1a n ＝n •2n ，①n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣1）•2n ﹣1，②①﹣②得2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n +1）•2n ﹣1，即a n ＝n +1， 对n ＝1时，a 1＝2也成立，所以 .12．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为【答案】154【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:切点为,A A ',与圆柱面相交于,C C ',此时可知CC '即为椭圆的长轴2a ,在直角三角形ABO ∆ 中,2022212,8,sin 284AB AB BO AOB OB -⨯===∴∠===,又因为sin rAOB OC ∠=,所以28sin a OC AOB ===∠,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即24b =,则求得22215c a b =-=15c e a ∴==,故选A.点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴a 的值,需要先利用切线性质求出AOB ∠,再利用相似求出OC 长,即为a ,短轴长为底面半径,故b 比较容易求出,根据椭圆中的关系式222a b c =+,得出c 值,进而求出离心率. 13.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______. 【答案】1 【解析】 若为线周期函数 则满足对任意，恒成立 即，即则本题正确结果：14．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.【答案】【解析】d （O ，C ）＝|x |+|y |＝1，首先证明：，两边平方得到变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：．故答案为：．15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB 的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF 的面积最大值为____m2.【答案】【解析】以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，设边缘线OM上一点，则，设EF与边缘线OM的切点为,因为，所以，故EF所在直线方程为，因此，其中，从而因为当时，，当时，，即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.16．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：①数列是等比数列；②数列是递增数列；③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.【答案】②④【解析】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，，所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即④正确；③错误，综上可知正确的由②④.17．（2020河南省十所名校联考）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）①；②；③.【答案】①②【解析】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”. 对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.18．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=；③()322f π=；④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】②③④【解析】1()2f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为12的圆弧长组成，因此13π()24f = (1)f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为1 的圆弧长组成，因此3π(1)2f = 2)f 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为1,,B D A 半径为1 的圆弧长组成，因此13π(2)32π142f =⨯⨯⨯= 21()3f 由如图三段相同弧长组成，圆心角为π6 ，半径为23 ，因此21π23π()33633f =⨯⨯=，因此选②③④ 19．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE ＝α，∠ADE ＝β，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4米，大雁塔高度H ＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d ，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d 为_____米．【答案】1615【解析】由题意得46415BD d BD BD d =∴=+ ， 因此6460tan tan 4tan()646064601tan tan 646081512d d d d d d d dαβαβαβ---===≤=⨯+⨯+⋅+⋅， 当且仅当15d =时取等号，因此当15d =时，tan()αβ-取最大值，即αβ-取最大，即标杆到大雁塔的距离d 为1615【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点,,A B C 在半径为1的圆上，且3BAC π∠=，分别以ABC ∆各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC ∆构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的最大值是__________．【答案】332 【解析】设三个半圆圆心分别为G,F ，E ，半径分别为123r r r ,，，M,P,N 分别为半圆上的动点，则PM≤12r r ++GF= 12r r ++AC 2=123a b c r r r 2++++=，当且仅当M,G ,F,P 共线时取等；同理：PN ≤123r r r ,++MN≤123r r r ++,又ABC 外接圆半径为1，πBAC 3∠=，所以BC 2πsin 3=,∴BC=a=2sin π3=3,由余弦定理()2222b c b c bc 3,b c 33bc 3,2+⎛⎫+-=+-=≤ ⎪⎝⎭即解b+c≤23,当且仅当b=c=3取等；故123a b c 33r r r 22++++=≤21．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列{}n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列{}n x 为“p ﹣摆动数列”.①若21n a n =-，(10)n n b q q =-<<，*n N ∈，则数列{}n a _____“p ﹣摆动数列”，{}n b _____“p ﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p ﹣摆动数列”{}n c 满足111n n c c +=+，11c =.则常数p 的值为_____.【答案】不是 是12【解析】①由21n a n =-知道{}n a 是递增数列，故不存在满足定义的p又因为(10)nn b q q =-<<可知n b 正负数值交替出现，故0p =时满足定义②因为数列{}n c 是“p ﹣摆动数列”，故1n =时有()()210x p x p --< 可求得：112p <<又因为使对任意正整数n ，总有()()10n n c p c p +--<成立，即有()()210n n c p c p ++--<成立 则()()20n n c p c p +-->所以1c p >，3c p >，…，21n c p ->同理2c p <，4c p <，…，2n c p <所以221n n c p c -<<，即212111n n c c --<+，解得2112n c->，即12p ≤ 同理2211n n c c +>，解得2n c<p ≥综上，p =本题正确结果：不是；是；12。
压轴题10 导数的简单应用(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题10导数的简单应用题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○热○点○题○型一导数的计算及几何意义1.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.一、单选题1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．10x y ++=B ．230x y ++=C ．230x y --=D ．30x y --=2．若函数的图象在点处的切线方程为，则=a （）A ．1B ．0C ．－1D ．e．已知直线l为曲线A B．10C．5D与函数()的图象都相切，则a b+=（）A．1-B．0C．1D．35．曲线22e24xy x-=⋅+在1x=处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．32B．3C．4916D．4986．已知函数()()21220232023ln 22f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20197．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()f m a b=-成立，则称函数()f x 满足性质Ω，下列函数不满足．．．性质Ω的是（）A ．()23f x x x=+B ．()()211f x x =+C ．()1ex f x -+=D ．()()cos 12f x x =-对于C ，1x -+∈R ，()1e xf x -+∴=的值域为()0,∞+；()1e x f x -+'=- ，()f x '∴的值域为(),0∞-；则()f x 的值域不是()f x '值域的子集，C 不满足性质Ω；对于D ，12x -∈R ，()()cos 12f x x ∴=-的值域为[]1,1-；()()2sin 12f x x '=- ，()f x '∴的值域为[]22-,，则[][]1,12,2-⊆-，D 满足性质Ω.故选：C.8．已知函数()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，()f x '为()f x 的导函数，若()()()121f f x f x x'=+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为（）A 1-B ．15-C 1D ．15-二、多选题9．已知函数()332f x x ax =+-的极值点分别为()1212,x x x x <，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线10．若函数()()ln 12f x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．-1B ．3C ．1D ．2因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．设函数在区间,a b 上的导函数为f x ，f x 在区间,a b 上的导函数为f x ，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（）A ．1m >-B ．m 1≥C ．1m >D ．0m >○热○点○题○型二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.一、单选题1．函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为（）A ．(),0∞-B ．()ln2,+∞C ．(],ln2∞-D ．[)0,∞+【答案】C【详解】()2e xf x x =- ，()2e x f x ∴-'=，令()0f x ¢>，得ln 2x <，所以函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为(],ln2∞-.故选：C2．已知函数()2,0,ln ,,x a xf x x x a x⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩若()f x 在()0,∞+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎡⎤⎣⎦B ．[]e,2eC ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．[)e,+∞=A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．b c a<<【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--，因为()e 1x f x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，4．若函数满足xf x f x >-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【答案】B【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e sin xf x x =+，则不等式()π21e f x -<的解集是（）A ．1π,2+⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1π0,2+⎛⎫⎪⎝⎭C ．π1e 0,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1π1π,22-+⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞7．已知函数()，若存在0使得00恒成立，则0的取值范围（）A ．10,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．211,e 2e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．21,e 2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【详解】由00()()f t x f x t =+-，可得00()()f t t x f x +=+，设函数()()e x h x f x x x =+=+，则()e 10xh x '=+>在R 上恒成立，所以()e xh x x =+单调递增，所以0t x =，则0()b f x t =-()e tf t t t =-=-，[]1,2t ∈-，令()e t g t t =-，[]1,2t ∈-，则()e 1tg t '=-，当0=t 时，()0g t '=，令()0g t '>得：(]0,2t ∈，令()0g t '<得：[)1,0t ∈-，所以()()0min 0=e 01g t g =-=，又()11e 1g --=+，()22e 2g =-，其中21e 2e 1-->+，所以实数b 的取值范围是21,e 2⎡⎤-⎣⎦.故选：D.8．已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值范围是（）A ．21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎤-⎦C ．)2⎡++∞⎣D ．()2e,⎡+∞⎣二、多选题9．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（）A ．函数()f x 的极小值点为21e -B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-【答案】BCD【详解】由()(1)e x f x x =+，得()(2)e x f x x '=+，当2x =-时，(2)0f '-=，B 正确；当<2x -时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，观察图象知，当210e a -<<时，直线所以函数()()g x f x a =-有两个不同的零点时，故选：BCD10．对于三次函数()3ax bx f x =+，给出定义：设f x 是函数的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题11．已知函数()321132f x x ax =-，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性．当0a =时，()20f x x '=≥，()f x \在R 上单调递增；当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若(),0x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若()0,x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，()f x 在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.12．已知函数()222ln 12x x f x x -+=．求函数()f x 的单调区间；○热○点○题○型三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点.(2)由y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得到函数y ＝f (x )的单调性，可得极值点.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.一、单选题1．函数()32142f x x x x =+-的极小值为（）A ．43-B ．1C ．52-D ．10427．函数的定义域为R ，导函数f x 的图象如图所示，则函数f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点.故选：C ．3．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()2h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥．若函数在1x =处有极大值，则实数的值为（）A ．1B ．1-或3-C ．1-D ．3-6．已知函数()()2ln 11f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2+D ．()f x 的最大值为37．若函数()3ln f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．(]3e ,09⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪8．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122g x a ax x=+--，若01a <<，则()()f x g x -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值二、多选题9．已知函数()2211e e x x f x -+=+，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间()0,2上单调递减C ．()f x 的极小值为22e D ．()f x 的最大值为411e +10．设函数()ln x f x ax x =-，若函数()f x 有两个极值点，则实数a 的值可以是（）A ．12B ．18C ．2D ．14-观察图象知，当a<0或10a 4<<时，直线y a =与函数于是当a<0或10a 4<<时，2ln 1(ln )x a x -=在(0,1)(1,⋃+∞所以实数a 的取值范围是a<0或10a 4<<，即a 的值可以是三、解答题11．已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ，b ∈R ），其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值；(3)求函数()f x 在区间[]2,5-上的最大值．12．已知函数()ln f x x a=+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数.(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2，求a 的值.∴max ，∴，∴3e a =-③若e a -≥，即e a -≤时，在(0,e)上()0f x ¢>，∴()f x 在(0,e)上是增函数，故()f x 在(0,e]上的最大值为()()max e e 12f x f a ==+=，∴e a =不符合题意，舍去，综合以上可得e a =.。
新高考数学高考数学压轴题多选题专项训练分类精编含解析(2)
一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}na 满足递推关系()12211,1,+3nn n aa a aan --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；对于C ，可得()112nn n a aan +-=-≥，则()()()()1234131425311++++++++++nn n a a a a aa a a aa a a aa+-=----即212++1nnn n S a a aa++=-=-，∴202020221Sa=-，故C 正确；对于D ，由()112n n n a aan +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a aaa=---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3nn n a a a aan --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.2．已知数列{}na 中，11a =，1111n na a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212n at a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n =-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++， 则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．13520192022a a a aa++++=D ．22212201920202019a a a aa+++=答案：ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n aaa ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n naaa ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确；7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，可得13572019a a a a a+++++=242648620202018a a a a a a a aa+-+-+-++-2020a=，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a aaaa=+-+-+-+-20192020aa=，所以22212201920202019a a a aa+++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.4．已知数列{}na 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ） A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--； 32131a a==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．5．设数列{}na 的前n 项和为*()nS n N ∈，关于数列{}na ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若1*()n naa n N +∈=，则{}na 既是等差数列又是等比数列B ．若2nS An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}na 是等差数列C ．若()11n nS =--，则{}na 是等比数列D ．若{}na 是等差数列，则nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈也成等差数列答案：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】 选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n aa +∴-=得{}na 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2nS An Bn =+,12nn a aA -∴-=,得{}na 是等差数列，故对;选项C: ()11n nS =--,112(1)(2)n nn nS Sa n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n na -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}na 是等差数列，由等差数列性质得nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.7．公差不为零的等差数列{}na 满足38aa =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的A ．110S =B ．10nnS S-=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5nS S ≥D ．当110S <时，5nS S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；8．设{}na 是等差数列，nS是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为nS 的最大值答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项：{}na 是等差数列，若67SS =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a+>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为nS 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.9．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a=-C ．当且仅当10n =时，nS 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为nS，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222na n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102nS n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 10．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}na的公差0d >，则{}na 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}na是等差数列，则数列{}12++nn aa也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}na必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}na是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)nn a aa n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.11．在下列四个式子确定数列{}na 是等差数列的条件是（ ）A ．na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈）； B ．2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}na 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， B 选项中2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误； C 选项中()*2120n n n aaa n ++-+=∈N ，对于数列{}na 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈），不符合2nS An Bn =+，所以{}na 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．二、等差数列多选题13．在等差数列{}na 中，公差0d ≠，前n 项和为nS，则（ ）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2nS n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由nS 求出na 及1a ，根据数列{}na 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}na 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}na 递减，则12130,0aa ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2nS n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)nnn a S Sn n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.14．题目文件丢失！15．已知数列{}na 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n na -=-+C ．2sin 2n n a π=D ．cos(1)1na n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}na 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．7D ．8解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+=整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 17．已知数列{}na ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记nS为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．68S a = B ．733S =C ．13520212022a a a aa++++=D ．2222123202020202021a a a a aa++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020aaa=-，可得13520212022a a a aa +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n aaa ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018aaaa-，220202020202120202019a aaaa=-，故2222123202020202021a a a a a a+++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n na aa ++=+对所给式子进行变形.18．已知等差数列{}na 的公差不为0，其前n 项和为nS，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，根据条件12a 、8S、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出na 、nS 的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列{}na 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122nnn d n n dS na --=+=.对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d S d -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和nS 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 19．定义11222n nna a a H n-+++=为数列{}na 的“优值”.已知某数列{}na 的“优值”2n nH =，前n 项和为nS ，则（ ）A ．数列{}na 为等差数列 B ．数列{}na 为等比数列C ．2020202320202S =D ．2S ，4S ，6S 成等差数列解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nna a a H n-+++==，即112222n n na a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1na n =+，易知{}na 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出nS ，判断C ，D 的正误.【详解】 解：由112222n n nna a a H n-+++==，得112222n n na a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a an ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅， 即2n ≥时，1na n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1na n =+．所以数列{}na 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错， 故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.20．数列{}n a 满足11,121n n naa a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2nS n =C ．数列{}na 的通项公式为21nan =-D ．数列{}na 为递减数列解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n naa a +=+，11a =， 所以121112n n nna a a a ++==+，即1112n na a+-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121nn a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.21．设等差数列{}na 的前n 项和为nS，若39S =，47a =，则（ ）A ．2nS n =B ．223nS n n =-C ．21na n =-D ．35na n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}na 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出na 与nS ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221na n n ∴+-⨯=-=．()21212nn nS n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知数列{}na 满足：13a =，当2n ≥时，()21111nn a a-=++-，则关于数列{}na 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}na 为递增数列C ．数列{}na 为周期数列D ．22na n n =+解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】()21111nn a a-=++-得()21111nn a a-+=++，∴1111nn a a-+=++，即数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，∴12(1)11na n n +=+-⨯=+，∴22na n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}na 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.23．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列 B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}na 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．24．等差数列{}na 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ）A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S>解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722aaa Sa <+⨯⨯===，()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故BD 正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确；()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！ 26．题目文件丢失！27．在数列{}na 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k aa+++-=-（k 为常数），则称{}na 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0 C ．若32n na =-+，则数列{}na是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 解析：BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}na ，考虑121,1,1nn n aaa++===，211n n n na aa a+++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na aa a a a+++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32n n a =-+，2113n n n na aa a+++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n na q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.28．已知数列{}na 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n= C ．13(1)n a n n =--D ．{}3nS 是等比数列解析：ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得nS ，利用nS 求出na ，并确定3n S 的表达式，判断D．【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113nn S S--=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3nn n S =+-=，13n S n =．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错； 由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．29．已知数列{}na 前n 项和为nS.且1a p =，122(2)nn S Sp n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}na 为等比数列 B ．1p =时，41516S = C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+解析：AC 【分析】 由122(2)nn S Sp n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n SSp ---=，相减可得120nn a a--=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得mnm na a a+⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．30．设等比数列{}na 的公比为q ，其前n 项和为nS，前n 项积为nT ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a <<C ．nS 的最大值为7SD ．nT 的最大值为6T解析：ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确；因为0na >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)na ∈，当16n ≤≤时，(1,)na ∈+∞，所以nT 的最大值为6T ，即D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.31．记单调递增的等比数列{}na 的前n 项和为nS，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ） A ．112n n nSS ++-=B ．12n naC ．21n nS =-D ．121n nS -=-解析：BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,nnn na S SS +-，进而判断出正确选项.【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}na 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q 或12q =．又因为数列{}na 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na，()1122112n nnS ⨯-==--，所以()1121212n n n n n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b 12＜ C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n解析：ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n+a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123212244a a aa a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n}为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n•b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132b b b b⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b 12＜，故B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnn b b b b⋅--=+=+-()()122212221n n b b ≥-=-； ∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n；故C 正确，D 错误．故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =解析：AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}na 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n nf a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n na a a n a nf a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C ，则111()()n n n nnnaf a aq f a aa+++=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n nnnnna a q a q q f a f a a a a a++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10解析：AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误； ∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a<故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．等差数列{}na 的公差为d ，前n 项和为nS，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S解析：BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a aS a +==为定值，但()()11616891682a aS a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.36．对于数列{}na ，若存在正整数()2k k ≥，使得1kk aa-<，1kk a a+<，则称ka 是数列{}na 的“谷值”，k 是数列{}na 的“谷值点”，在数列{}na 中，若98nan n=+-，下面哪些数不能作为数列{}na 的“谷值点”？（ ）A ．3B ．2C ．7D ．5解析：AD。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章导数及其应用 解答题专项 第1课时 利用导数证明不等式
-x
2
-e .
设函数 g(x)=xln x,则 g'(x)=1+ln x.
所以当
当
1
x∈(0,e)时,g'(x)<0;
1
x∈( ,+∞)时,g'(x)>0.
e
1
1
故 g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)的最小值为
1
1
g( )=- .
e
e
设函数 h(x)=xe
1
x+1+ -2x.
1
3
1
3-1-22
x+1+ -2x,h'(x)= − 2 -2=
2
当
1
1
x∈(0, )时,h'(x)<0,h(x)在(0, )上单调递减;
2
2
当
1
1
x∈( ,1)时,h'(x)>0,h(x)在( ,1)上单调递增;
2
2
1
1
∴h(x)≥h(2)=3ln2+1+2-1=2-3ln
x+ − >0.
e
e
设函数 g(x)=ln
1
2
g'(x)= − 2
e
2
1
x+e − e(x>0),只需证明
1
+
e
=
e (e-2)+e2
,
e2 e
g(x)min>0.
ln
令 h(x)=ex(ex-2)+ex2(x>0),则 h'(x)=ex(ex+e-2)+2ex>0,故 h(x)在(0,+∞)上单调
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）在（0，+∞）上有2个零点，求实数a的取值范围．
3．已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）ex﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若数列{an}为“C数列”，a1＝3，a2∈N*，且a2＞3，求a2所有的可能值；
（3）若S2也是数列{an}的项，求证：数列{an}为“C数列”．
9．已知函数 ，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x2）﹣2f（x1）的最大值．
10．已知函数f（x） x4 x3﹣cx2﹣mx+lnx．
（3）求证：数列{an}中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且m≥﹣1，使得a1＝md．
8．给定数列{Pn}，若∀m，n∈N*，且m≠n，Pm+Pn是数列{Pn}的项，则称数列{Pn}为“C数列”．记数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N，都有Sn ．
（1）求证：数列{an求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 时，设f（x）的极大值点为x1，极小值点为x2，求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
16．已知函数f（x）＝x2﹣ax （a，b∈R）．
（1）若a＞b＞0，证明f（a）＞f（b）；
（2）若对任意x∈（0，+∞），b∈（﹣e，0），都有f（x）＞﹣e，求实数a的取值范围．
17．椭圆C： 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2， 2 ，椭圆的上顶点为B，|AB| ，e ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆相交于M，N两点， • ，求直线l的方程．
（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．
4．已知函数f（x） （a＞0）．
（1）当a＝1时，证明：f（x） ；
（2）判断f（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，△PF1F2的周长为定值6，且当PF1⊥F1F2时， ．
（1）若直线AB的倾斜角为 ，求点P到直线AB的距离；
（2）求△ABP面积的最小值及取得最小值时直线l的方程．
12．已知椭圆E： 1（a＞b＞0）的离心率为e，点（1，e）在椭圆E上，A（a，0），B（0，b），三角形OAB的面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线l交椭圆E于M，N两点，若直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2 ，证明三角形OMN的面积是定值，并求此定值．
2021年山西省高考文科数学压轴题总复习
1．已知椭圆C： 1（a＞b＞0），离心率e ，且过点（1， ）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线x＝1上有一点P，且与x轴交于Q点，过Q的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝3于C点，是否存在实数λ使得kPA+kPB＝λkPC恒成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
（2）设ai+1＝2|ai+t+2|﹣|ai+t﹣2|（i、n∈N*，n≥3，1≤i≤n﹣1，常数t＞2），判断有穷数列{an}是否具有性质P（t﹣2），并说明理由；
（3）若有穷数列{yn}：y1、y2、…、yn具有性质P（1），其各项的和为2000，将y1、y2、…yn中的最大值记为A，当A∈N*时，求A+n的最小值．
（1）对于共有四项的数列：3，4，7，1，求出相应的d1、d2、d3；
（2）设c为常数，且ak+xm﹣k+1＝c（k＝1，2，3，⋅⋅⋅，m），求证：xk＝ak（k＝1，2，3，…，m）；
（3）设实数λ＞0，数列{an}满足a1＝1， （n＝2，3，…，m），若数列{an}对应的d1满足di+1＞di对任意的正整数i＝1，2，3，…，m﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．
（Ⅰ）当a＝c＝1，b＝0时，f（x）在定义域上单调递增，求m的取值范围；
（Ⅱ）当a＝c＝0，b＝1时，f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞2．
11．如图，已知抛物线C：y2＝2x，过点M（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点P是直线x 上的动点，且PO⊥AB交AB于点Q（其中O为坐标原点）．
（1）求C的方程．
（2）若斜率为k（k≠0）的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且 成等差数列，证明：直线l过定点．
6．已知点F为抛物线x2＝4y的焦点，过F且与x轴平行的直线被椭圆Γ： 1（a＞b＞0）所截得的线段长为 ，椭圆Γ的离心率e ．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）过抛物线上一点A（点A在第一象限）作切线l，交椭圆Γ于B，C两点，l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的垂直平分线交x轴于点K，记△KED，△AOD的面积分别为S1，S2，其中O为坐标原点，若 ，求点A的坐标．
14．若有穷数列{xn}：x1、x2、…、xn满足xi+1≥xi+t，xi＞0（这里i、n∈N*，n≥3，1≤i≤n﹣1，常数t＞0），则称有穷数列{xn}具有性质P（t）．
（1）已知有穷数列{xn}具有性质P（t）（常数t ），且|x2﹣x1|+|x3﹣x2|+…+|xn﹣xn﹣1| ，试求t的值；
13．对于项数为m（m≥3，m∈N）的有限数列{an}，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为xi（i＝1，2，…，m），记xi＝max{a1，a2，…，ai}，该数列后m﹣i项ai+1，ai+2，…，am中的最小项yi（i＝1，2，…，m﹣1），记yi＝min{ai+1，ai+2，…，am}，di＝xi﹣yi（i＝1，2，3，…，m﹣1）．
7．已知无穷数列{an}的首项为a1，其前n项和为Sn，且an+1﹣an＝d（n∈N*），其中d为常数且d≠0．
（1）设a1＝d＝1，求数列{an}的通项公式，并求 的值；
（2）设d＝2，S7＝﹣7，是否存在正整数k使得数列{n•Sn}中的项 成立？若存在，求出满足条件k的所有值，若不存在，请说明理由；