导数及其应用单元复习与巩固

导数及其应用单元复习与巩固
编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅
知识网络
目标认知
考试大纲要求：
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一
点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念.
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；
3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
4．能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数
的最大值、最小值.对多项式函数一般不超过三次.
5．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的概念和几何意义.直观了解微积分
基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分.
6．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题.
重点：
导数的概念及几何意义；用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值；正确计算定积分，利用定积分求面积.
难点：
复合函数的导数；利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习；将实际问题化归为定积分问题.
学习策略：
导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等函数问题提供了一般的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间、极值与最值以及有关的实际问题等，在具体问题中，应根据问题的具体条件适当选用方法。

知识要点梳理
知识点一：导数的相关概念
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量
.若极限存在，则此极限称为
在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导.
即：（或）注意：增量△x可以是正数，也可以是负数.
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在
处的函数值，反映函数在附近的变化情况.
3．导数的几何意义：
过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即.也就
是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为
.
知识点二：导数的运算
1．常见基本函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
2．函数四则运算求导法则
设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
3．复合函数的求导法则
一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量
的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或
知识点三：导数的应用
1、确定函数的单调区间
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则
当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；
当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；
当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数.
注意：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！
2、函数的极值
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)<f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作
y极大值=f(x0)；
(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作
y极小值=f(x0).
注意：极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
3、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值.
注意：最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数
的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内
部，也可能在区间的端点.
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
知识点四：定积分
1．定积分的概念
如果函数在区间上连续，用分点将
区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式
，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，
叫做积分变量，叫做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
2．定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线
与轴围成的曲边梯形的面积；
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线
与轴围成的曲边梯形面积的负值；
在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，
而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.
3．定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
（5）基本公式：，，
知识点五：微积分基本定理
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:
如果在上连续，且，则。

其中叫做的一个原函数.
注意：
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函
数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数，其中c为常数.
知识点六：定积分的应用
1．应用定积分求曲边梯形的面积
（1）如图，由三条直线，，轴及一条曲线()围成的曲边梯
形的面积为S,则；
（2）如图，由三条直线，，轴及一条曲线()围成的曲边梯
形的面积为S,则；
（3）如图，由曲线及直线，
围成图形的
面积为S,则.
2．利用定积分解决物力问题
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定
积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
，那么变力所作的功.
规律方法指导
1、求曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程.
注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
2、利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数；
(3)在定义域内解不等式；
(4)确定f(x)的单调区间.
3、求函数的极值的基本步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右
正，则f(x)在这个根处取得极小值. (最好通过列表法)
4、利用导数求区间[a，b]上函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，
最小的一个为最小值.
5、求定积分的方法：
（1）用定义求定积分
步骤：①分割；②近似代替；③作和；④求极限。

（2）利用微积分基本公式求定积分
步骤：
①求的一个原函数；
②计算：
6、利用定积分求平面图形面积的一般步骤：
①画出草图，将其适当分割成若干个曲边梯形；
②选定积分变量，对每一个曲边梯形确定被积函数；
③求出交点坐标，确定每个被积函数的积分上、下限，用定积分表示其面积；
④计算各个定积分，求出所求的面积。